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TRAITÉ
DR
NOMOGRAPHIE
TRAITÉ
DE
NOMOGRAPHIE
/
PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER- VILLARS ,
tsevi Quai des Grands-Augustins, 55.
TRAITÉ
DE
NOMOGRAPHIE
THEORIE DBS ABAQUES. - APPLICATIONS PRATIQUES-
Maurice d'OCAGNE,
B ET CBAUSaÉES, PROFESSEUR A l'eCOLI SES
REFÊTITBUR A l'école l'OLY TECHNIQUE.
PARIS,
GAUTHIER- VILLA RS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE
DD BDBBAU DES LONOITUDBS, DE L'BCOLB POLVTBCHMQUE.
Quai dot Grindi-Auguatint, 55.
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INTRODUCTION.
Réduire à de simples lectures sur des tableaux gra-
phiques, construits une fois pour toutes (*), les calculs qui
interviennent nécessairement dans la pratique des divers arts
techniques, tel est le but que se propose la Nomographie.
Si, à chacune des variables qui sont liées par une certaine
équation, on fait correspondre un système d'éléments géo-
métriques (points ou lignes), cotés au moyen des valeurs de
cette variable, et que le lien établi par l'équation entre ces
variables se traduise géométriquement par une certaine rela-
tion de position facile à constater entre les éléments géomé-
triques correspondants, l'ensemble de ceux-ci constitue un
abaque de l'équation considérée.
C'est la théorie des abaques, c'est-à-dire celle de la repré-
sentation graphique cotée des lois (^) mathématiques définies
(1) Ce caractère, absolument fondamental pour la Nomographie, la dis-
tingue du Calcul graphique proprement dit, dont les principes ont été
pour la première fois présentés avec quelque généralité par Cousinery,
sous le nom bien choisi de Calcul par le trait (1840). Calcul auquel se
rattache notamment la Statique graphique, et dans lequel, pour une
opération effectuée sur des données particulières, on substitue à un
calcul numérique le tracé d'une épure. On doit chaque fois, pour un
choix différent des données, recommencer cette épure. Les abaques, au
contraire, fournissent, à lafoisy le résultat d'une certaine opéralion/>ow/'
tous les états possibles des données compris à l'intérieur d'un certain
champ de variation. On peut dire que l'abaque synthétise en quelque
sorte les constructions géométriques correspondant à une infinité d'états
différents des données.
C*) En grec : vÔ(jlo;.
VI INTRODUCTION.
par des équations à un nombre quelconque de variables, qui
est désignée aujourd'hui sous le nom de Nomographie (*).
Le principe de la représentation plane des équations à
deux variables était acquis le jour où Descartes eut jeté les
fondements de la Géométrie analytique.
Pour les équations à trois variables le premier exemple de
représentation plane semble être dû à Pouchet qui, dans son
Arithmétique linéaire (1795), fait usage d'un système de
courbes cotées tracées sur un quadrillage régulier. La même
idée se retrouve dans les travaux de d'Obenheim, officier du
Génie {Balistique y 181 4 ; Mémoire sur la planchette du ca-
nonniery 181 8); de Piobert, officier d'Artillerie {Mémorial
de V Artillerie, 1826); de Bellencontre, également officier
d'Artillerie (Afg'morf a/ de V Artillerie y i83o); d'Allix, in-
génieur de la Marine {Nouveau système de tarif Sy 1840).
C'est Terquem qui fit remarquer, à propos des publications
de d'Obenheim et de Bellencontre {Mémorial de l'Artil-
lerie^ i83o), la généralité de ce mode de représentation des
équations à trois variables, en l'assimilant à celui des sur-
faces topographiques au moyen de la projection de leurs
courbes de niveau, dont les inventeurs furent Philippe
Buache {Essai de Géographie physique dans les Mémoires
de l'Académie des Sciences pour 1752), Ducarla {Exprès-
sion des nivellements y 1782) et Dupain-Triel {Méthode
nouvelle de nivellement y i8o4) (*).
Toutefois, dans cette première période d'une cinquan-
(*) C'est en publiant, en 1891, notre brochure : Les Calculs usuels
effectués au moyen des abaques^ où cette théorie se trouve pour la pre-
mière fois esquissée dans son ensemble, que nous avons proposé ce nom
qui a reçu maintenant la sanction de l'usage, et que la Commission inter-
nationale du* Répertoire bibliographique des Sciences mathématiques a
adopté pour désigner la division X3 de ce Répertoire.
(*) D'après M. Favaro, l'emploi des courbes de niveau, dans certains cas
particuliers, se rencontre chez divers auteurs plus anciens : Bassantin
{Astronomique Discours, i^Sj); le P. Jean-François {Art du fontai-
nier^ i665).
INTRODUCTION. VII
laine d'années, l'emploi des tableaux graphiques de calcul
resta fort restreint. Il fallut que l'application de la loi du
II juin 1842, qui avait décidé l'établissement de notre pre-
mier réseau de chemins de fer, fît sentir la nécessité d'éva-
luer par des méthodes rapides les terrassements considé-
rables que comportaient de tels travaux, pour que des
ingénieurs comme Lalanne et Davaine fussent amenés à se
préoccuper du parti qui pouvait, à cet égard, être tiré des
méthodes graphiques. C'est à cette heureuse circonstance
que nous devons l'invention due à Lalanne (i843) de l'in-
génieux principe de l'anamorphose qui, développé en un
Mémoire paru en 1846 dans les Annales des Ponts et
Chaussées, devait se prêter à de si nombreuses applica-
tions.
Ce n'est qu'en ces dernières années que M. Massau, dans
son important Mémoire sur V intégration graphique {An-
nales de l^ Association des ingénieurs sortis des Ecoles
spéciales de Gand y 1884) a porté le principe de l'anamor-
phose à son plus haut degré de généralité.
Pour le cas particulier qu'avait d'abord envisagé Lalanne,
M. Lallemand, ingénieur des Mines, a su donner aux abaques
anamorphoses une forme spéciale, à laquelle il a attaché
la désignation ai abaques hexagonaux (^Comptes rendus y
1886). Ces abaques, outre l'avantage d'une plus grande pré-
cision dans la lecture, sont susceptibles de se prêter à l'intro-
duction de variables nouvelles.
Nous avons de notre côté, dans les Annales des Ponts
et Chaussées de 1884, fait connaître le principe d'un mode
nouveau, et beaucoup plus général, de représentation gra-
phique des équations, auquel nous avons été amené par une
certaine transformation dualistique appliquée aux abaques
de Lalanne et auquel nous avons, depuis lors, donné toute
l'extension qu'il comporte, en montrant, par exemple, com-
ment il se prête à la multiplication du nombre des variables.
La comparaison de ces diverses méthodes nous conduisit
VIII INTRODUCTION.
H opérer leur synthèse en une théorie unique, celle à propos
de laquelle est né le terme de Nomographie, et qui a fait
l'objet de notre brochure de 1891.
Nous avons eu Theureuse chance, en publiant cette théo-
rie, d'inciter divers hommes techniques à effectuer de nom-
breuses applications des principes qui s'y rencontrent, et
plus spécialement de la méthode des points alignés (dite,
dans cette première brochure, des points isoplèthes), appli-
cations qui se trouvent mentionnées pour la plupart dans le
corps du présent Ouvrage (Ch. III). En outre, M. Goedseels
a, sous le nom d^abaques à transversales quelconques,
étudié une généralisation intéressante des abaques à points
alignés.
Nous avons, d'autre part, depuis la publication de notre
première brochure, eu connaissance des travaux fort ingé-
nieux poursuivis par M. le professeur R. Mehmke qui, en
particulier, par sa méthode des images logarithmiques, a su
tirer un parti nouveau de l'anamorphose logarithmique.
Nous étions donc fort encouragé à reprendre et à complé-
ter la théorie dont notre brochure de 1891 ne contenait que
l'esquisse. Plusieurs Notes publiées dans divers recueils, et
dont on trouvera la liste ci-après, ont marqué les étapes de
nos recherches dans la voie d'une plus haute généralisation.
Nous pensons être maintenant parvenu au terme de la syn-
thèse que nous avions entreprise. C'est pourquoi nous nous
sommes décidé à publier le présent Traité.
Préoccupé avant tout d'être utile aux gens techniques :
1° nous avons, pour l'exposé de la théorie, adopté l'ordre
qui consiste à partir du cas le plus simple, celui des équations
à deux variables, pour atteindre progressivement à des cas
de plus en plus compliqués; 2® nous avons, d'un bout à
l'autre de cet exposé, multiplié les exemples d'application,
tous puisés, dans la pratique des arts techniques, d'ailleurs,
les plus variés.
Ces exemples d'application, ainsi que quelques digressions
INTRODUCTION. IX
d'un caractère plutôt accessoire, sont imprimés en petit
texte.
La synthèse la plus générale, englobant toutes les mé-
thodes possibles de représentation plane des équations à
un nombre quelconque de variables, fait l'objet d'un der-
nier Chapitre, celui par lequel nous aurions débuté si nous
nous étions adressé aux seuls mathématiciens, et sur lequel
nous nous permettrons d'attirer spécialement leur attention
en raison des problèmes intéressants dont il peut leur fournir
la matière.
Nous ne terminerons pas cette Introduction sans remer-
cier bien sincèrement notre ami Albert Gauthier- Villars du
soin qu'il a apporté à la publication de l'Ouvrage, et M. Du-
porcq, ingénieur des Télégraphes, de l'excellent concours
qu'il a bien voulu nous prêter pour la revision des épreuves.
Paris, i5 mai 1899.
M. d'Ocagne.
XII LISTE DBS PUBLICATIONS DE L AUTEUR
k. 1891. — Nomographie. Les calculs usuels effectués au moyen
des abaques. Essai d'une Théorie générale (Gauthier-
ViUars).
5. » — La Nomographie (/?. G. 5., p. 6o4).
6. 1892. — Le calcul sans opération. La Nomographie (/?. Q. S.,
t. XXXII, p. 48).
7. 1893. — Sur une méthode nomographique générale (C /?.,
t. CXVII, p. 216 et 277).
8. » — Le calcul simplifié au moyen des procédés mécaniques
et graphiques (A, C. A. M.). [Tiré à part, sous
forme de brochure.]
9. » — Problème d'Algèbre relatif à la Nomographie (A^. A.,
3" sér., t. XII, p. 469).
10. » — Sur les équations représentables par trois systèmes rec-
tilignes de points isoplèthes {Mathematical papers
read at the international Mathematical Congress
held in connection with the world's Columbian
Exposition, Chicago, p. 258).
11. 1894. — Abaque en points isoplèthes de Téquation de Kepler
(5. M. y t. XXII, p. 197).
12. » — Abaque général de la Trigonométrie sphérique(^. yl.,
t. XI, p. 5).
13. » — Abaques de déblai et remblai en points isoplèthes
{A, P. C, mars, p. 467).
14. » — Conférences sur la Nomographie, faites aux élèves de
TEcole Polytechnique (Autographie).
15. 1896. — Abaque de l'équation des marées diurnes et semi-
diurnes (C B., t. CXXII, p. 298).
16. » — Sur les équations représentables par trois systèmes
linéaires de points cotés (C. B,, t. GXXlll, p. 988).
17. » — Sur l'emploi des systèmes réguliers de points cotés
dans la représentation des équations (/^^., p. i254).
18. » — Sur la représentation nomographique des équations
du second degré à trois variables (S. AI,, t. XXIV,
p. 81).
19. » — Application générale de la Nomographie au calcul des
profils de remblai et déblai (A, P. C, mars, p. 4o6).
[Tiré en brochure.]
RBLATIVRS A LA NOUOGRAPHIK. XIII
20. 1896. — Sur la représentation par des droites et par des cercles
des équations du deuxième degré à trois variables
{S. P. M, K., 1" sér., t. VI, p. 93).
21. 1897. — S""* ^^ représentation des équations du second ordre
par des droites et par des cercles {S. M,, t. XXV,
P-9)-
22. » — Théorie des équations représentables par trois systèmes
linéaires de points cotés (A. M,, t. XXI, p. 3oi).
23. 1898. — Sur la méthode nomographique la plus générale résul-
tant de la position relative de deux plans superposés
(C. /?., t. CXXVI, p. 397).
24. » — Sur quelques applications pratiques de la méthode des
points cotés (/?. G, S., t. IX, p. 116).
25. » — Application de la méthode nomographique la plus gé-
nérale résultant de la superposition de deux plans
aux équations à trois et à quatre variables (S. M,,
t. XXVI, p. 16).
26. » — Une leçon sur les abaques (J. E. P., 2» sér., 4* G.,
p. 2o5).
27. ») — Sur les abaques à points cotés pour équations à trois et
quatre variables {S.S,B., t. XXII, I*"" Partie, p. 78).
28. » — Sur les questions de Mathématiques pures que soulève
Tétude de la Nomographie (/?. D., Xllj, p. 177).
29. » — Sur les types les plus généraux d*équations représen-
tables par des systèmes cotés de cercles et de droites
(Z. S., t. LXIII, p. 269).
30. » — Abaque de la nouvelle formule de M. Bazin, relative
aux canaux découverts {A, P. C, i*"" trim., p. 3o4).
D'OcAONE. Nomographie.
ERRA TA .
Page i3, $• ligne, au lieu de : « i'"'" », il faut : « î"""» ».
Page n^yfig. 38, à côté de réchellc B inférieure, au lieu de : a, il faut : a,.
Page 109, i4" et i5« ligne, supprimer: <* d'où résulteront les dimensinnsderabaque»
Page ii3, dernière ligne, au lieu de j? : il faut : y.
Page 166, 8« ligne, au lieu de : « P.Q^ et P.Q^ », il faut : « P,//, et P,Q, ».
Page 184, II* ligne, au lieu de : z, il faut : — z.
Page -yiA, dans Tcquation du n-90, /?, b, h sont exprimés en cm., 7 en kg par cm
courant.
Page 221, 9« ligne en remontant, au lieu de : Go*'», il faut : 75*'^.
Page 222, 9* ligne, au lieu de : « au tiers », il faut : « aux \ environ ».
-^ « 1- ,. , A -+- A ., - h -h h'
Page 238, 17* ligne, au lieu de : — ; — » il faut : — ;
Page 228, note en bas de la page, dernière ligne, ajouter « p. 4i *-
Page 229, y?^. 98, supprimer le petit rond à la rencontre du trait pointillé infé-
rieur et de l'échelle (Z).
Page 24g, 21* ligne, au lieu de : « angles droits B et C », il faut : « angles B et C ».
Page 25o, dans les équations (a,), (aj), (aj) et («4), permuter x et y, et dans
Téquation (a,), remplacer sin par cos.
Page 25i, sur la fig. loS, permuter a, et a,, le long des échelles horizontale et
verticale.
Page 252, i3* ligne en remontant, au lieu de : « descend sur la verticale », il
faut : « se transporte sur l'horizontale ».
Page 262, 12* ligne en remontant, au lieu de : « verticale », il faut : « horizontale ».
Page 3o4, dernière ligne, au lieu de : \xl' y il faut : kx -j-
X X
Page 3o5, 4' ligne, au lieu de : — » il faut : -y
X X
100 100
Page 309, i8* ligne, au lieu de : 5", il faut ; 3".
Page 320, 4* lir^ne, au lieu de « trouvent » il faut : « trouvant ».
Page 341, 22* ligne, au lieu de : 9, il faut : 93.
Page 348, 5* ligne en remontant, au lieu de : « deux derniers numéros », il faut :
« n" 125 et 12G ».
Page 3G4, dernière ligne, permuter x et y.
Page 382, 8» ligne, au lieu de : m, m\ m*, il faut : /?»', m", m".
Page 385, 9' ligne, au lieu de : IM, il faut : LM'.
Page 385, lo* ligne en remontant, au lieu de : m'|, m'f, m'j', il faut : m', m', m".
Page 390, note en bas de la page, au lieu de : « notre Mémoire O.30 » il faut :
<c notre Note 0.23 et notre Mémoire 0.25 ».
Page 396, 2* ligne, au lieu de : « R, "^ '^'i **» *^ ^^ut : « E, w T\ ».
Page 4o3, deuxième note en bas de la page, au lieu de: « 0. 3 O», il faut: ^0.25».
Page 407, 6« ligne, au lieu de : E'3 h- 0>', il faut : E3 h= O'x'.
Page 409, 9" ligne en remontant, au lieu de : Illf, il faut : IIlJ.
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Page 422, II* ligne en remontant, au lieu de : f * il faut : Ll±A'
PJ\ Pif\
Page 4^3, 8* ligne en remontant, au lieu de : U'i , Uj, il faut : Uj, l'2.
Page 438> dans les équations (E/^) et (E'6) remplacer tous les a par des a.
Page 4G1, 12' ligne en remontant, au lieu de : X 4- «x 4- "ît, il faut : X 4- |x + v.
Page 4^3, le dernier alinéa (lignes 367) doit être remplacé par celui-ci : « Les
égalités (9) et (10) montrent que chacun des syslè.ues (a,) et (aj) se réduit
à une seule droite, et l'égalité (7) que ces droites coïncident. »
TRAITÉ
DE
NOMOGRAPHIE
CHAPITRE I.
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES.
I. — Échelles de fonctions.
1. Echelle normale d^une fonction, — Soit /(a) une fonc-
tion de la variable a, prise dans un intervalle où elle est uni-
forme, c'est-à-dire n'a pour chaque valeur de a qu'une seule
valeur bien déterminée.
Portons sur un axe Ox^ à partir de l'origine O {Jig'^)i les
longueurs
/ étant une longueur arbitrairement choisie, et inscrivons, à côté
Fig. I.
0 CL a, a, a, It
I 1 ^H 1 1 \ O.-
des points qui liinitent ces segments, points qui seront marqués
d'un trait, aussi fin que possible, perpendiculaire à l'axe, les va-
leurs correspondantes ai, a2, as, ... de la variable ( ' ).
(') La première idée d'une éclieilc de ce genre, construite dans un cas par-
ticulier, semble due à Gunter, au début du xvii* siècle {voir la note au bas
de la page lo).
M. dO. I
2 CHAPITRE 1.
L'ensemble des points cotés ainsi obtenus constitue Véchelle
de la fonction f {%), La longueur / est dite le module de cette
échelle.
Cette échelle sera limitée à deux valeurs particulières a et 6
de la variable a.
Partant de la limite inférieure a, on pourra construire l'échelle
sans faire intervenir l'origine O. Il suffira, en effet, pour obtenir
les points ai, a2, aj, ... et 6 de porter sur l'axe, à partir du point
coté a, choisi arbitrairement, les segments
5.- /[/(«a) -/(«)],
\^=l[f(b)-f{a)\.
L est la longueur de l'échelle; a et 6 sont ses limites.
Si, pour la construction de Péchelle, on fait croître la variable a
par échelons égaux à un nombre rond (i, 2, 5, 10, . . .) d'unités
d'un certain ordre décimal, on obtient une échelle normale de
la fonction. C'est le cas de beaucoup le plus fréquent. Dans le
choix de l'échelon il faut avoir soin que les points les plus rap-
prochés sur l'échelle considérée laissent entre eux un intervalle
voisin d'une certaine limite fixée par l'expérience et que nous
appellerons le minimum d* intervalle graphique de l'échelle.
Dans la plupart des cas ce minimum d'intervalle graphique
sera fixé au millimètre ( * ). Tl pourra parfois être abaissé au-
dessous. On reviendra plus loin sur ce point (n® 4).
Remarque. — Si la fonction /(a), après avoir crû dans un cer-
tain sens, se met, à partir d'une certaine valeur de a, à croître
dans l'autre sens, il sera nécessaire de reporter, à partir de cette
valeur de a, l'échelle de la fonction sur un second axe parallèle au
premier.
(') Disons une fois pour toutes que, si sur certaines figures de cet Ouvrage on
rencontre des divisions beaucoup plus petites, cela tient à ce que ces figures ont
été obtenues au moyen d'originaui que les nécessités du format ont conduit à
réduire par la Piiotographie.
ÉQUATIONS A DEUX TARIABLES. O
2. Analyse de la graduation, — On réalisera, en général, par tâton-
nements la condition relative au minimum d'intervalle. Il est facile néan-
moins d'indiquer une marche rationnelle pour que la graduation obtenue
satisfasse à cette condition.
Nous supposons a <i b. Admettons, en outre, pour fixer les idées, que
de a à 6, les accroissements de la fonction, correspondant à des accroisse-
ments égaux de la variable, aillent constamment en diminuant en valeur
absolue. C'est, par exemple, le cas pour la fonction v^, de o à oo.
S'ils allaient constamment en augmentant en valeur absolue, comme
pour la fonction a<, de o à oo, il faudrait, dans la marche qui va être indi-
quée, partir de b au lieu de partir de a.
Si, enfin, ils allaient alternativement en diminuant et en augmentant,
on fractionnerait l'intervalle total en intervalles partiels pour lesquels le
sens de leur variation resterait le même.
Plaçons-nous donc dans la première hypothèse, et, prenant, par exemple,
le millimètre comme unité de longueur, posons (*)
l\f{b)-f(a)\ = L,
la longueur L étant environ celle que nous voulons donner à l'échelle. De
là nous tirons le module / correspondant, puis nous arrondissons la valeur
trouvée, de façon à avoir pour ce module une valeur commode, ce qui
conduit à une valeur de L voisine de celle que nous avions prise d'abord.
Soit, pour fixer les idées, la fonction /a à représenter de a = i à
a = loo. Adoptons pour notre échelle une longueur voisine de 9.00™'". Pour
cela posons
/(/loo — /i) = 200""",
d'où
, 200
/= =22"™, 22
9
Nous prendrons évidemment ici / = 25"™, d'où résultera pour L la
valeur
L = 25 X 9 = 225'
Lmm
La valeur de /étant ainsi déterminée, si nous désignons, en outre, par m
le minimum d'intervalle graphique, nous poserons
l\f{a)-f{a-i)\=m.
De là, par les procédés de l'Algèbre, soit directement, soit par approxi-
mations successives, suivant la nature de la fonction /(a), nous tirerons
la valeur de i. Cette valeur tombera entre 7 et
io«-»-i io«
(') La notation | X | indique la valeur absolue de X. On prendra donc la diiïé-
rcnce/(/i) —/(a — e) ou /(a — e) —/(a) suivant que de a ~£ à a la fonc-
tion est croissante ou décroissante.
4 CHAPITRE I.
Considérant les trois intervalles définis par
I 9. 5 I
f — rT^> — ZTT' — ::»
io«-^» 10»-»-* lo**-^! lo'*
nous verrons dans lequel de ces intervalles sera comprise la valeur de i.
Nous commencerons dès lors à faire croître a par échelons successifs égaux
à la limite supérieure de cet intervalle; si donc i tombe dans le premier
intervalle nous commencerons par faire croître a, à partir de a, de — j^^
en • Si I tombe dans le deuxième intervalle, nous ferons croître a de
,o«-»-i
5 5
en r» Si i tombe dans le troisième intervalle, nous ferons
lo'»-^* lo'»^-!
croître a de — - en — -•
De cette façon, nous sommes assurés que, jusqu'en un point qui sera
déterminé plus loin, les premiers intervalles de l'échelle seront supérieurs
à m.
Revenons à notre exemple de la fonction /ôc. Ici, puisque / = 25, nous
avons, en prenant m = i"",
25(v/T— v^i— 0 = I,
d'où
i — i=y^\ et 4=0,0784.
Comme on a
o,o5 < 0,0784 < o, I,
nous commencerons à faire croître a de o, i en o, i.
Si nous représentons par Oi la valeur de l'échelon adopté, nous pour-
rons continuer à nous servir de cet échelon jusqu'à la valeur ai de a telle
que
^l/(«i)-/(«i-0i)|>/n>/|/(a,-4-0,)-/(a,)|.
Pour la régularité) nous ferons coïncider le changement d'échelon avec
une valeur ronde de a. Il nous suffira donc de prendre la valeur ronde
immédiatement inférieure à la valeur ai définie par la double inégalité ci-
dessus.
Si la valeur ai est un peu inférieure à une valeur ronde dont elle est
très voisine, on pourra tout aussi bien effectuer le changement d'échelon
à cette valeur ronde parce qu'en somme la détermination du minimum
d'intervalle graphique n'a rien d'absolu et qu'on peut, sans inconvénient,
descendre légèrement au-dessous (*).
(') C'est pour cette raison qu'au n<* 1 nous avons dit que rintervalle entre les
points les plus rapprochés devait rester voisin de ce minimum cl non lui rester
supérieur, d'une façon absolue.
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 5
Si nous revenons encore à notre exemple de /a avec / = 25""", nous
voyons que l'échelon de o, î, que nous avons adopté à partir de la valeur i,
ne devrait être théoriquement conservé que jusqu'à la valeur ai telle que
•25 i/âl— /ai — o,i) > I > 25 (/a|-4-o,i — /a, ),
ce qui donne ai = i,6, car on a
25(/r76 — \/i,5) = i,oo5,
'>'5(/îT7 — /^6) = 0,972.
«
Mais ici on conservera évidemment l'échelon de o, i jusqu'à a = 2, pour
prendre à partir de cette valeur l'échelon de 0,2.
On voit que Técartement entre les points 1,9 et 2 sera égal à
25(/2 — y/ïTg) ou o'^,895,
dimension très admissible.
En résumé, considérant la suite
2 5 10 20 5o îoo
•> • • • >
lo'»-^-» 10»-^-* lo^-^-i lo»-»-* io«-^* io«-»-*
appelons Oi l'échelon initial déterminé ci-dessus, qui est une des trois
premières fractions écrites, et représentons par
VI, 65, 63, . . .
ce que devient la suite précédente lorsqu'on la fait commencer à ce
terme.
Nous nous servirons, à partir de a, de l'échelon Oi jusqu'à la valeur
ronde ai pour laquelle le produit
^l/(«i)-/(«i-ei)i
est le plus voisin de m, ce que nous exprimerons par la notation
^l/(«i)-/(«i-ei)|= mille.
Nous emploierons ensuite l'échelon Os jusqu'à la valeur a^pour laquelle,
avec la notation précédente, on aura
^l/(«î)-/(«t~Ô,)|=mdie,
et ainsi de suite.
Sous une forme encore plus condensée, nous pourrons énoncer la règle
à laquelle nous avons abouti sous la forme suivante :
CHAPITRE I.
Données :
Fonction /(a);
Limites a et 6 ;
Longueur approchée de Téchelle Lo;
Minimum de l'intervalle graphique m.
Opérations :
\^ Donner à / la valeur arrondie satisfaisant à Téquation
l\f{b)-f{a)\ = U±t^
7.^ Déterminer ô| en prenant celle des trois quantités
•2 5 lO
' — r— . »
10'*-^ > lo'*-^* 10'*-^^
qui est immédiatement supérieure à la valeur i défînie par
l\f{a)^aa-i)\r=.m±i.
Soit
Oi, 6j, 6s, 64, O5, ...
la portion de la suite
2 5 10 îto 5o
qui commence à Ô}.
3" Déterminer «i, aj, as, ... par les équations
l\f{a,)-f(,a,--^^)\=m±t,
^l/(«î)-/(«î-0,)| = /n±:e,
^l/(«3) — /(«3 - 0,)| = m ± e,
Des lors, la graduation procédera par échelons Oi de a à ai, par éche-
lons Ot de ai à a^^ par échelons Ô3 de a^ à as, ..., et ainsi de suite
jusqu'à 6. Rien d'ailleurs n'empêche, si les nombres a/^i et a/ semblent
trop rapprochés, de sauter 0| et de passer immédiatement à 0/-f.i.
Remarque, — En raison de l'égalité des échelons successifs
dans chaque section de la graduation, il est inutile d'inscrire les
cotes de tous les points constituant cette graduation. Il suffira
d'inscrire ces cotes de distance en distance, de telle façon qu'il
n'y ait point d'hésitation à déterminer mentalement les cotes des
points intermédiaires. C'est ainsi que, sur un double-décimètre,
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 7
la chifTraison en centimètres suffit, la lecture étant d'ailleurs
rendue plus facile par rallongement des traits correspondant aux
demi-centimètres. Un artifice analogue pourra toujours être mis
en œuvre avec toute autre graduation.
3. Construction géométrique d^une échelle, — Pour con-
struire l'échelle de la fonction /(a), on peut avoir recours à la
courbe C dont l'équation est
Il suffit de prendre sur la courbe le point dont l'ordonnée
est a pour que l'extrémité de son abscisse donne sur Ox le point
coté a de l'échelle demandée.
Si la courbe C peut être obtenue point par point au moyen
d'une construction géométrique simple, son tracé dispense de
tout calcul.
Supposons, par exemple, que la fonction dont on désire
l'échelle soit y/a^ — a^, a étant une constante; dans ce cas, le
module / étant égal à i , la courbe C, définie par l'équation
sera un cercle de rayon a ayant son centre à l'origine ; son tracé
est immédiat.
Sans que la construction soit toujours d'une aussi grande sim-
plicité, on conçoit, par cet exemple, le parti que l'on pourra, le
cas échéant, retirer de l'emploi d'une construction géométrique.
Le plus souvent, on procédera de la façon suivante : ayant
déterminé directement un certain nombre de points de cote ronde,
on élèvera en ces points, perpendiculairement à l'axe portant
l'échelle, des ordonnées proportionnelles à leurs cotes. Les extré-
mités de ces ordonnées sont autant de points de la courbe G.
On tracera dès lors cette courbe et Ton s'en servira ainsi qu'il
vient d'être dit pour obtenir les points de l'échelle, intermédiaires
entre ceux qui ont été obtenus directement.
La détermination des échelons successifs se fera ici avec une
grande facilité. On donnera à l'ordonnée y des accroissements
successifs égaux à un certain échelon jusqu'à ce que l'accroisse-
8 CHAPITRE I.
ment correspondant de l*abscisse x tombe au-dessous du minimum
d'intervalle graphique choisi. On adoptera alors un échelon supé-
rieur au précédent et on le conservera jusqu'à ce que la même
circonstance se reproduise; et ainsi de suite.
Remarque. — Le procédé géométrique ci-dessus permettra de
construire l'échelle d'une fonction définie par une courbe C ob-
tenue expérimentalement.
4. Interpolation à vue. — Un point étant pris sur l'axe de
l'échelle, en dehors des points qui constituent sa graduation, on
pourra se proposer d'évaluer approximativement la valeur corres-
pondante de la variable a. Cette évaluation porte le nom à^ inter-
polation à vue.
Les deux points de la graduation qui comprennent le point con-
sidéré fournissent des valeurs approchées par excès et par défaut
de la valeur cherchée, au degré d'approximation défini par l'échelon
correspondant.
La question qui se pose consistera apprécier l'appoint à ajouter
à la valeur approchée par défaut pour avoir la valeur cherchée.
Cet appoint s'estime au jugé d'après l'allure de la graduation
aux environs du point considéré.
Soit, par exemple, à lire la cote du point M sur l'échelle de la
fig. 2. On aura sensiblement pour cette cote la valeur 3,47»
Sur l'échelle de \dijig. a bis, on aurait 3,45.
Fig. 2. Fig. 2 bis.
I I I L_J I I I I
M
On voit que le degré de précision de ce genre d'interpolation
dépend du plus ou moins d'habitude du lecteur.
Toutefois l'expérience prouve qu'un lecteur tant soit peu exercé
arrive à ne pas se tromper du -^ de l'échelon lorsque l'intervalle
graphique n'est pas sensiblement inférieur à i"™.
Avec un intervalle de o"",5 l'approximation n'est pas sensi-
blement supérieure au \.
Cela montre qu'il n'y a pas de sérieux avantage à employer des
intervalles inférieurs à i™°.
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 9
Il y aurait sur ce point particulier à faire une élude qui relève
(le la Physiologie. Il est probable que le degré d'approximation
rt'latif est à peu près constant pour des divisions supérieures à
i"" environ et qu'il décroît, à partir de là, avec une assez grande
rapidité.
Remarque, — Les échelles construites dans la pratique, sous
les dimensions qui ont été reconnues commodes, ne donnent gé-
néralement que trois chiffres significatifs (exceptionnellement
quatre); encore le dernier chiffre n'est-il fourni que par l'interpola-
lion à vue, ainsi que cela a lieu avec les graduations du double-
décimètre et de la règle à calcul. Ce degré d'approximation suffit
d'ailleurs dans une foule d'applications, et notamment dans celles
qui relèvent de l'art de l'ingénieur.
S. Échelles usuelles. — Les échelles les plus fréquemment
employées dans les applications (*) sont les suivantes :
I® Echelle régulière, — On a une telle échelle quand la fonc-
tiony(a) se réduit à a, parce qu'ici les points obtenus en faisant
croître a par échelons égaux sont régulièrement espacés sur la droite
portant cette échelle.
Le type de cette échelle est fourni parla graduation du double-
décimètre {Jig* 3)^ il est inutile d'y insister.
Fig 3.
ItMlIlIlMllllIllllIlillUlIlIllllIllllIlMMllllIllllIlIlJllllIlMlIllllIllllIllllIlllllilllIlllll
La distance constante entre points dont la cote diffère d'une
unité donne dans ce cas le module de l'échelle.
2** Échelle logarithmique. — C'est l'échelle de la fonction
(*) La construction de ces échelles s'effectue très rapidement lorsqu'on dispose
de Tables numériques, qui se rencontrent aujourd'hui dans un grand nombre
de manuels, telles que : Tables des carrés, des cubes, des racines carrés et cu-
biques, des inverses et des logarithmes des nombres; Tables des lignes trigono-
métriques naturelles et de leurs logarithmes.
lO CHAPITRE I.
!«»• Un exemple très courant en est fourni par la graduation
dfî' h règle à calcul ordinaire ( * ) {fig- 4)-
Fig. 4.
• * ■ '.; ' ; *.!.!j.l.ltl:illll.l.l.l.l . hllIlIlIllillIlhllIlIlilIlIlIlIlIlIlIlIlIlIllJlIlIlIlIlIllllIllMhlIlIllIlIllllIlirJ
»•'— 2 3 *^ 5 6 7 8 9
Sur cette graduation rinlervalle entre les points î et lo est
do ia5"*", et les échelons sont de 0,02 de i à 2, de o,o5 de 2 à 5,
oiiiin de 0,1 de 5 à 10.
Voici au surplus comment Tanalyse de cette graduation peut être faite
conformément au procédé qui se trouve résumé à la fin du n** 2.
Prenons
L= liS""", m = o"'",5.
Le module est donné par
/(log 10 — log 1) =125"",
d'où
Pour déterminer Oi nous avons l'équation
ia5[logi — logd — 0] = 0,5,
d'où
log( 1 — 0 = —0,004 = 1 ,995
et
I — i= 0,988
e = o,oJ2.
Comparant cette quantité aux trois suivantes
0,02, o,o5, 0,1,
nous voyons qu'ici il faut prendre
6| = 0,02
et, par suite,
Gj = o,o5,
03 = 0,1.
(') La première échelle logarithmique semble avoir été construite par Gunter
(1581-1626). Voir notre brochure 0.8, p. 56.
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. Il
Les valeurs ai, a^, a^ sont alors données par les équations
i25[logûri — log(ai — 0,02)] = o,5,
i25[logaj — log(a2— o,o5)] = o,5,
i25[loga3— log(a3--o,i )] = o,3,
ou
log 1 = log = — - = log = o,oo4,
° ai — 0,02 °aj— o,o5 "aj — o,i
ou encore
ou enfin
ai a^ aj
= i,oi,
ai — 0,02 aj — 0,03 a^ — o,i
ai a? aj i ,oi
= lOI
0,02 O,00 0,l
0,OI
nt comme il a été dit,
a, -2,
aj. - 5,
a3=-- 10.
Un autre modèle usuel de règle à calcul (*) porte une échelle
logarithmique pour laquelle Fintervalle de i à lo (fractionné en
deux tronçons superposés sur la règle) a une longueur de i°*.
Sur cette règle l'échelon est de 0,002 de i à 2, de o,oo5 de 2 à 5,
et de 0,01 de 5 à 10.
Il est essentiel de remarquer que, si l'on prolonge l'échelle
logarithmique au delà de 10, elle se reproduira de 10 à 100 avec
la même longueur et les mêmes intervalles, mais ceux-ci corres-
pondant à des échelons dix fois plus grands ; de même de 1 00 à
1000 avec des échelons encore dix fois plus grands, et ainsi de
suite. En d'autres termes, sur l'échelle de i à 10, d'abord con-
struite, les unités peuvent être prises comme se rapportant à un
ordre décimal quelconque, c'est-à-dire que le degré d'approxima-
tion relatif est constant.
La justification de cette remarque résulte de ce que
/logCio^a) = l(n -+- loga),
en sorte que, de io"~* à 10'* l'échelle est la même que de i à 10.
•
(*) Construit par la maison Tavernier-Gravet, à Paris.
12 CHAPITRE I.
11 suffit seulement de supposer rorigine rejetée à la distance ni
de l'origine primitive dans le sens négatif.
3^ Échelle segmentait e. — Cette échelle, d'un emploi très
fréquent aussi, est celle qui correspond à la fonction •
Soient A et B les points de cette échelle correspondant àa = o
et a = 00. Si M est le point correspondant à une valeur a quel-
conque, on voit immédiatement que
AM _
MB "''•
Autrement dit, la cote de chaque point fait connaître le rapport
des segments déterminés sur AB par ce point; d'où le nom
A"* échelle segmentaire.
Si nous prenons pour la longueur de l'échelle entre les limites o
et 00 la valeur L=2oo°*™, ce qui donne pour le module /=ioo™™,
et si nous adoptons pour minimum de l'intervalle graphique
m = i™™, nous voyons, en appliquant le procédé indiqué au n** S
que l'échelle peut être constituée {fig- 5) (*) au moyen des
échelons suivants (^) :
De o à o,5 o,oi
o,5 I o,02
ï 4 0,1
4 lo 0,5
10 i5 I
1 5 3o 5
3o 5o lo
5o 100 5o
(') L'échelle construite avec le module indiqué ici a été réduite par la Pho-
tographie pour donner \^fig. 5.
(') Ces échelons ont été déterminés rigoureusement par la condition de ne
pas descendre au-dessous du minfmum d'intervalle graphique qu'on s'est fixé.
M. Prévôt, qui a une grande habitude du maniement pratique des abaques, estime
qu'il vaut mieux sacrifier un peu cette condition pour n'opérer les changements
d'échelon que sur des nombres constitués par des puissances de lo multipliées
par 1,2 ou 5. Par exemple, dans le cas ci-dessus, on prendrait :
De là a o,o5
2 5 f) , î
5 10 o,5
10 20 I
2o 5o 5
5o 1 00 I o
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. l3
On voit qu'ici la portion de l'échelle correspondant ^"'6- 5-
à la variation de a de loo à oo est un peu inférieure à
i"*°»,
o.a
:— o>
-0.3
-o,s
-0.6
0,-»
-0.8
0.9
- I
Mais si, dans une application, a doit varier entre
telles limites que l'on veut, comprises dans cet inter-
valle, par exemple de lOO à 200, on n'aura qu'à con-
struire entre ces limites une échelle ayant la longueur
convenable pour l'application qu'on aura en vue.
Nous jugeons inutile d'insister davantage sur la con-
struction des échelles usuelles. Ce qui précède suffira,
sans doute, à montrer la voie à suivre dans des cas
analogues.
6. Echelles dérivées. Etalons de graduation, —
Lorsqu'on possède une échelle de la fonction /(a), il
est très facile de construire l'échelle de la nouvelle
fonction obtenue en y remplaçant a par une certaine
fonction de a et, plus particulièrement, par/>a + 5r,
ce qui est le cas le plus ordinaire.
La nouvelle échelle est alors dite dérivée de la pre-
mière, et celle-ci prend le nom à! étalon. Les échelles
construites précédemment, si on les envisage à ce point
de vue, seront donc appelées : étalon régulier, étalon
logarithmique, étalon segmentaire.
Supposons, par exemple, qu'on ait à construire sur
un axe l'échelle de laf onction log(/>a -h q). On part de
la valeur a = a et l'on commence à construire l'échelle
avec un certain échelon 8.
Ayant appliqué l'étalon logarithmique le long de l'axe
à graduer, on marque d'abord un trait en face du point
de l'étalon dont la cote est pa -h gr, puis, à partir de
là, d'autres traits en face des points de cet étalon pris
de/?8 en/?0. Comme, en général, />8 a une valeur simple
telle que 0,1, 0,2, o,5, cette opération se fait très ra-
pidement. Elle n'est, en tout cas, pas plus compliquée
que celle qui consiste à porter sur un axe la gradua-
tion /?a -h y au moyen de l'étalon régulier.
On pourra même énoncer cette opération en disant tout sim-
10
15
10
l4 CHAPITRE 1.
plement que Von porte la graduation poL-\-q au moyen d'un
étalon logarithmique.
Tout dessinateur devant aujourd'hui avoir sous la main un
étalon logarithmique (graduation de la règle à calcul) aussi bien
qu'un étalon régulier (graduation du double-décimètre), on voit
qu'aw point de vue de la simplicité de la construction il sera
indifférent d'adopter une solution comportant le tracé de
l'échelle soit de /(ol), soit de log/(a). On trouvera dans la suite
de l'Ouvrage de nombreuses occasions d'appliquer cette remarque,
l'emploi des échelles logarithmiques y étant très fréquent.
7. Echelles transformées. Echelle linéaire générale. — On
peut également déduire d'une échelle donnée d'autres échelles
par application de transformations géométriques simples ^ les
nouvelles échelles ainsi obtenues sont alors dites transformées
de la première.
L'exemple le plus simple qui puisse être donné d'une telle,
transformation est celui de l'échelle linéaire la plus générale (*),
qui se déduit homographiquement d'une échelle régulière.
Une telle échelle est définie par l'équation
ma -h n ^
X = 1 avec 0 = ma — np ^ o.
poL-hq ^ ^
Si, sur le support A' A de l'échelle, nous reportons l'origine au
Fig. 6.
point A' ^fig. 6) correspondant à la valeur a' de la variable, l'équa-
(') Il est essentiel de remarquer que le terme de linéaire^ ici défini, ne doit
pas être confondu avec celui de rectiligne, qui désigne les échelles dont le sup-
port est une ligne droite, quelle que soit leur graduation.
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. l5
lion qui définit l'échelle devient
o(a — a')
A — — ; Y •
/? a-f- q'
Par le point A' menons un axe A'B de direction quelconque,
sur lequel nous porterons une échelle régulière d^ intervalle
également quelconque, mais telle que son point cfJ coïncide
avec le point A'. Cette échelle sera des lors définie par une
équation de la forme
La droite joignant les points A et B, cotés a sur Tune et l'autre
échelles, a pour équation, par rapport aux axes A' A et A'B,
o(a-a') A-(a — a')
ou
k{p'a -+- q')\ -u rj\ = X-8ra — a').
Cette équation renfermant le paramètre a au premier degré, la
droite AB passe par un point fixe P, qui sera dit le centre de
rayonnement.
Pour construire ce centre, il suffit de prendre les couples de
points A" et B'', A''' et B'" correspondant à deux valeurs quel-
conques a!' et a"' du paramètre, et de prendre l'intersection des
droites A'B'' et A''' B'''.
L'échelle régulière portée sur A'B, projetée à partir du
centre P, donne sur Pi! K C échelle linéaire demandée,
" Remarque, — Si Ao et A„ sont les points cotés o et oo, on a,
pour les abscisses de ces points,
n m
Xq ■= — 9 Xn = — •
7 P
Donc
■s
_ _ mai -^ n n oa
/\() i\ ^^ X —^ Xy)
pcc-h^cj q q(p^^g)
P P^-^ q p(poL-^ q)
OU, par suite,
AqA _p
AAoe ~ q
l6 CHAPITRE I.
Cette dernière égalité montre que, lorsqu'on a marqué les
points Ao et A„, l'échelle linéaire peut être obtenue comme
dérivée; d'un étalon segmentaire de même longueur (n° o, 3**, et
n»6).
8. Echelles iso grades. — Nous avons supposé jusquMci que
pjg ^ l'échelle était construite pour des valeurs de la va-
riable croissant par échelons égaux. Cela conduit,
pour toute échelle autre qu'une échelle régulière ,
à des points irrégulièrement espacés sur la droite
servant de support. Rien n'empêche, si l'on préfère
avoir des points régulièrement espacés, de satisfaire
à cette condition en sacrifiant alors l'égalité des éche-
lons. On obtient ainsi ce que nous appelons une échelle
p- 1.00
- 1.0*
- 1.09
- I.1S
1.21
1.26
_ 1.32
- 1.38
l.«»5
1.52
1.58
- 1.66
- '•'" isosrade,
- 1.82
- I f 1
_ 2.00
- 2.09
. 2.19
- 2.29
_ 2>0
2.52
- 2.6'»
_ 2.76
- 2.89
_3..6 7=/(GCi)-/(a)=/(aO-/(«i)=/(a3)-/(»î)=....
3.33 e
'3.1^7
3.63
3.81 La détermination de ai, a2, as, ... se fera très aisément
3.99
Le principe de la construction d'une telle échelle est
bien simple. Partant de la valeur «, et s'étant donné,
en outre du module /, Tlntervalle constant / entre les
points de division successifs, on détermine les cotes
ai, a2, as, ... de ces points par les équations
1, 17 si l'on possède une Table de la fonction /"(a). On n'aura
qu'à relever les valeurs de l'argument correspondant à
des valeurs de la fonction croissant en progression
arithmétique.
\udifig, 'j donne l'échelle Içgarithmique isograde con-
*^.37
•».58
V.79
_ 5.02
- 5.25
_ 5.50
- 5.76
f- 6.03 • 1 » / ^ • ••
_6,3i struite de o a 10 avec 1=^ i25'""*, i=z 2'"",o.
6.61
_ 6.92
- 7.25
- 7.59
- 7.95
- 8,32
_ 8,71
- 9,12
-' 9.55
_10
Le défaut d'une telle disposition est d'exiger une
chiffraison complète, au lieu que, avec les échelles nor-
males, comme nous l'avons indiqué dans la remarque
finale du n** 2, on peut n'inscrire des chiffres que de
loin en loin, comme sur un double-décimètre. Nous en
signalerons plus loin un avantage (n° 29, 2°).
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 17
II. — Abaques d'équations à deux variables.
9. Abaques à échelles accolées, — Prenons d'abord l'équalion
à représenter sous la forme
«t = /i («1 ),
qui est très fréquente dans la pratique.
Supposons construites, de part et d'autre d'un même axe et à
partir de la môme origine, les échelles
x = lat et iF = //i(aci).
Dès lors, deux valeurs de ai et de a2, se correspondant en vertu
de l'équation précédente, seront inscrites en face d'un même
point de l'axe supportant les deux échelles. Il suffira donc, étant
donnée l'une d'elles, ai par exemple, de lire la valeur de aj cor-
respondanty sur la seconde échelle, au point coté (i\ sur la
première.
Si (i\ a pour limites ax et 6|, on construira l'échelle (a, ) entre
ces limites et l'échelle (a2) entre les valeurs correspondantes a^
et &29 données par
Exemples :
!• Abaque du nombre probable des écarts, — Si la fonction S{t) est
. définie par l'égalité (*)
0(0
= -^ f'e-rdt,
on sait que le nombre probable N, sur 1000, des écarts inférieurs, en
valeur absolue, à celui dont le rapport à l'écart probable est p, est donné
par
N= 1000 e(p).
Preuant comme module / = o"'",i3, on aura l'abaque de cette équation
en construisant sur un même axe les deux échelles
a7=o°"»,i3N et ar — 1 So"^"* e( p ).
(») On possède les Tables de cette fonction. Voir notamment le Calcul des
probabilités de M. J. Bertrand, p. 839.
M. D'O. 2
i8
CHAPITRE I.
On obtient ainsi Ufig, 8, empruntée au TraUé de nwellement de haute
précision, de M. Lallemand (i).
Fig. 8.
Si
3X>
2.0
N
.1000
1.5-
MO
800
1.0
700
0.5
600
SOO
%00
4-. 300
tl
MO
100
(*) Page 227 du tirage à part de cet Ouvrage, extrait du Volume : Lever des
plans et nivellement de Y Encyclopédie des Travaux publics (1889), c' P^gc 5^5
de ce Volume.
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES.
«9
>.** Abaque de la dépression de l'horizon, — La formule qui fait
connaître, en minutes, la dépression 8 de l'horizon de la mer en fonction
de l'altitude h, en mètres, de l'œil de l'observateur au-dessus du niveau
de la mer, lorsqu'on tient compte de la réfraction, est
0 = 1,8385 /Â.
Si, prenant pour module / = 8"°*, on construit sur le même axe les
deux échelles
X = 8""» 0
et
x= 14™°, 708 /A,
on obtient la yî^. 9, empruntée au Mémoire de M. Favé sur les Éphémé-
rides graphiques (*).
F«8- 9-
W? JS" 30" 2S
20'
15?
(7t)
10'!'
l|ii|IV|Vi'[W|'ikyiiwi'|il|\i|^J^
5» i^m 3» 2** 1'
Mil. Il '
12*
ir
10'
9'
8'
I ifriifiiririii
7'
6'
(3)
S' %• 3'
rm
rr
r
0-
Les calculs nautiques s'effectuant encore à Taide de la division sexa-
gésimale du cercle, l'intervalle correspondant à chaque minute d'angle a
été divisé en six parties égales, de sorte que l'échelle de la dépression est
divisée de 10 en 10 secondes. D'après ce que nous avons dit à propos de
rinterpolation à vue (n° 4), un bon lecteur obtiendra donc sur cette
échelle la dépression à i seconde près.
Par exemple, pour h = 15°, on lit 0 = 7' 7'.
Remarque. — Nous avons supposé les deux échelles portées
sur le même axe, mais nous pouvons tout aussi bien les supposer
portées sur deux axes parallèles, les points se correspondant de
l'un à l'autre sur des perpendiculaires à leur direction commune,
qu'on pourra mener par les points de division de l'une des deux
échelles, (a2) par exemple.
10. Inversion des échelles, — Reprenant l'équation
»2=/l(Xl),
(') Annales hydrographiques; 1894.
20 CHAPITRE 1.
supposons qu'on la résolve par rapport à a|. Elle devient alors
«i=/i(«î)-
Les fonctions /i et/2 sont dites inverses l'une de l'autre.
Fig. 10.
P N
* M3
oi.
9C3
800
700
MO
SOO
MK>
300
200
100
On pourrai I construire l'abaque de l'équation mise sous cetle
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 21
nouvelle forme ainsi qu'on l'a fait précédemment, mais si le pre-
mier abaque a déjà été construit, l'établissement du second est
immédiat. Il suffit, en effet, après avoir disposé le long d'un axe
une échelle régulière pour ai , d'inscrire de l'autre côté de l'axe
les valeurs correspondantes deaa, relevées sur le premier abaque.
Les échelles qui accompagnent l'échelle régulière sur l'un et sur
l'autre abaque sont dites, comme les fonctions correspondantes,
inverses l'une de l'autre.
Par exemple, si l'on opère l'inversion de l'échelle de l'abaque de
\dLjig. 8 on obtient l'abaque de \^fig, lo, qui se rencontre dans
le Cours d^ Artillerie du commandant Jouffret (* ).
11. Abaques à deux échelles irrégulières. Échelles loga-
rithmiques, — L'équation entre ct.^ et a2 peut encore être mise
sous la forme
/i(ai)=/î(«»)»
soit qu'on ne puisse, par les procédés de l'Algèbre élémentaire,
dégager du signe fonctionnel ni ai ni a2, soit qu'on ait intérêt à
adopter pour l'une des variables une échelle spéciale. Il arrivera
notamment que, en vue d'avoir pour l'une des variables une
approximation relative constante, on la représentera par une
échelle logarithmique.
La construction de l'abaque dans cette hypothèse est tout aussi
simple. II suffît de placer, de part et d'autre d'un même axe, les
échelles définies par
x=//i(a,) et x = lft{0Lt).
Voici, à litre d'exemple, l'abaque de l'équation
tangai = sinaj,
dressé par M. Lallemand avec /= o", i [fig- 1 1).
(*) Cours d* Artillerie : Les Projectiles^ p. ii8. (Fontainebleau, i88i.) Le
commandant JoufTret considérant non pas la valeur absolue des écarts, mais ces
écarts eux-mêmes pris avec leur signe, l'échelle se reproduit symétriquement de
part et d'autre du zéro, les cotes de l'échelle du nombre probable des coups étant
diminuées de moitié.
22 CHAPITRE I.
Si. Inéquation étant mise sous la forme
(I) ai=/»(aj),
on adopte pour la variable ai réchelle
(•2) ^ = 9i(ai),
l'échelle de la variable a^ s'obtiendra par l'élimination de a^ entre
Fig. II.
\b?.
k09.
»«
. ♦>
•S
c
4
»-
20».
10«
-60«
.scr
.M)«
.30*
3
C
.20«
10*
-0<
équations (1) et (2), ce qui donnera
Si l'élimination peut se faire sous cette forme explicite, on est
ramené au cas précédent. Sinon, après avoir construit réchelle
(tti), on calcule les valeurs de ai qui, en vertu de l'équation (i),
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 23
correspondent à un certain nombre de valeurs de a, et, en face
des points ainsi obtenus sur Téchelle (ai), on inscrit ces valeurs
de a2. On obtient de cette façon Péchelie (a2) sans avoir eu à
efiectuer l'élimination algébrique destinée à faire connaître l'équa-
tion (3).
Exemple : Abaque auxiliaire pour le calcul de V erreur probable
d'une nivelée, — Dans la détermination de l'erreur accidentelle probable
d'une nivelée par diagrammes anamorphoses, l'abscisse X et l'ordonnée Y,
à Torigine, de la droite de répartition sont données, en décimillimètres,
par les formules
(I) X = 6,447^/2,823 — lOgYJ,
(2) Y = — ,
en fonction de l'erreur probable 7;, qui est représentée par une échelle
logarithmique.
L'abaque de l'équation (2) se construit immédiatement, / étant le
module, au moyen des formules
a7 = /log7), a? = /(log665 — logY).
En prenant / = 1 1*™, on obtient ainsi l'échelle de gauche de la Jlg. 12 (*).
Pour construire directement l'échelle (X) de l'équation (i), il faudrait,
après avoir éliminé t) entre cette équation et l'équation
x= /logT),
ce qui donne
X /
X
X = 6,44 X 10' i / 2,823 — y
>
tirer de là x sous forme explicite, ce qui ne se peut pas. On est donc
obligé de procéder comme il vient d'être dit, c'est-à-dire de calculer les
valeurs de X pour un certain nombre de valeurs de t] et de marquer les
points correspondants en se servant de l'échelle de r^. On obtient ainsi
Téchelle de droite de la^ï^. 12.
Remarque, — Nous avons supposé jusqu'ici que les échelles
étaient toujours construites sur des droites. C'est en effet ce qu'il
j a de plus simple; mais rien, le cas échéant, ne s'opposerait à
(') Cette figure reproduit \a fig. 77 du Traité de nivellement de haute préci-
sion de M. Lallemand.
H^ CHAPITRE r.
ce qu'elles fussent disposées le long d'une courbe, si, par exemple, '
les valeurs de l'une des variables provenaient d'un premier
abaque où celte variable serait nécessairement représentée par
des points cotés distribués sur une certaine courbe.
Kic ;
12. Abaques cartésiens à deux variables. — On peut affecter
à chacune des deux variables une échelle régulière en établîssaiit
le lien entre points correspondants par l'intermédiaire d'une
courbe.
Imaginons que l'on porte sur deux axes rectangulaires Oa: et O^
les échelles
et que, par les points de division marqués sur chacun de ces axes,
on leur élève des perpendiculaires.
Si les valeurs ai et k, satisfont ensemble à l'équation
<>)
¥(«,,"*) =
les perpendiculaires élevées aux axes correspondants parles points
cotés a, et aa se coupent en un certain point. Les points répon-
dant ainsi aux divers couples de valeurs a., et oc, satisfaisant à
Aquitions a deux variables.
l'équation (i) sont distribués sur une certaine courbe C qui
port<!e aux axes Ox et Oy, a pour équation
Kr^)-°-
Les divers points de la courbe C, déterminés individuellement,
sont facilement marqués sur le plan grâce au quadrillage ci-dessus
défini, et l'on voit que la courbe C obtenue en joignant tous ces
points suffit à constituer un abaque de l'équation (i). Un tel
abaque dérivant de l'emploi des coordonnées cartésiennes sera dit
cartésien .
Fig. i3.
<N).
900
1
il
i
i
tz
^^
tz
: =
i:
:[
v\
:::::::::
;
;:
1
MO-
ma-
3
T
ix
ï
ï:::::
1
5
S
1
'Au.
s
±^
-
:±.
1
=h
H
(f)
Si l'on se donne l'une des variables, a, par exemple, il suffit de
prendre le point où la courbe C est rencontrée par la perpendi-
culaire à Ox passant par le point de cet axe coté a, et de lire la
cote scg du pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur O^-.
26 CHAPITRE I.
Il ne sera d'ailleurs pas nécessaire de tracer ces perpendiculaires.
Si, par hasard, elles coïncident avec deux des droites du quadril-
lage, cela va de soi. S'il n'en est pas ainsi, on peut, par la pensée,
les intercaler entre celles-ci, effectuant de la sorte sur le quadril-
lage une interpolation à vue, analogue à celle dont nous avons déjà
parlé (n" 4) à propos des simples échelles.
Voifig, i3 donne un abaque de ce genre pour l'équation
N = loooe(p)
déjà envisagée au n° 9, construit avec les modules /, rr: i <=™ pour Oa%
/j = o*^™, oo4 pour Oy .
Remarque, — Si la variable ai a pour limites les valeurs a s
et 6|, il n'y a lieu de tracer la courbe C qu'entre les perpendicu-
laires à Ox correspondant aux points x:=zlya^ et.r= /i^i. Les
perpendiculaires abaissées sur Oy des extrémités de cet arc de
courbe déterminent les limites correspondantes «2 et b^ de la
variable a2.
13. Emploi d^ un transparent, — Pour éviter à la fois le tracé
d'un système de droites parallèles et la nécessité d'effectuer, le
cas échéant, une interpolation à vue entre ces droites, il est tout
naturel d'avoir recours à une droite tracée sur un transparent mo-
bile mais convenablement orienté, qu'on fera glisser sur l'abaque.
Selon le cas, on se servira de cet artifice pour l'un des deux ou
pour les deux systèmes de droites parallèles constituant le qua-
drillage défini au numéro précédent.
Dans les deux cas, le transparent portera deux axes rectangu-
laires qui seront dits ses index. Si l'on fait glisser l'un d'eux le
long de l'axe Ox de l'abaque, les diverses positions de l'autre
suppléeront aux perpendiculaires à cet axe non tracées. On en
trouvera un exemple plus loin (n"23; 3*^).
Si, en maintenant ses index respectivement parallèles aux axes
de l'abaque, on déplace le transparent de façon que son centre
(point de rencontre des index) reste sur la courbe C de l'abaque,
on voit que, pour chacune de ses positions, les cotes des points
où les index couperont les échelles des axes fourniront un système
de valeurs correspondantes.
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 27
Pour maintenir l'orientation du transparent, on peut tracer sur
l'abaque une série de parallèles à la direction de Tun des axes,
laissant entre elles des intervalles égaux assez petits, 5"™ par
exemple. L'index du transparent parallèle à l'axe considéré tom-
bera entre deux de ces parallèles, et l'on sait que l'œil apprécie
très exactement le parallélisme de deux droites peu écartées l'une
de l'autre.
Fig. i4.
Y
" |1.
O^M I I I I I I I I I I I j I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I M IX
à 1 ! 2 3 i
(?)
On peut aussi constituer le transparent au moyen d'une ma-
tière rigide et mince (verre, corne, celluloïd, etc.) ayant deux
bords rigoureusement parallèles aux deux index. Dans ce cas,
après avoir mis l'index I2 en coïncidence avec O^, de façon que
le centre du transparent se trouve au point coté a,, on applique
une règle contre le bord du transparent parallèle à I| et l'on fait
glisser ce transparent le long de cette règle jusqu'à ce que son
centre soit venu sur la courbe C. L'index I2 rencontre alors
l'axe Ojr en un point dont la cote fait connaître ol^-
28
CHAPITRE I.
hdi Jlg. i4 reproduit Tabaque précédent, modifié comme il
vient d^étre dit. La position du transparent, correspondant à
l'exemple numérique p = i , 3, N = 620, est indiquée en pointillé.
14. Emploi d'une échelle mobile, — Supposons que, dans
le mouvement qui vient d'être décrit, le transparent entraîne
Taxe Ox, On voit alors que l'on devra l'arrêter dans une position
telle que le point 'de l'axe Ox coté ai se trouve sur la courbe C
Cela suggère l'idée de cette autre disposition de l'abaque :
On ne laisse subsister sur le tableau que l'axe O^, avec sa gra-
duation, et la courbe C, et on le complète par un transparent por-
tant deux axes, l'un O'y', non gradué, destiné à diriger les mou-
vements du transparent en glissant le long de Oy, l'autre, O'x',
perpendiculaire au premier, portant la graduation (ai) précédem-
ment marquée sur O^.
Fig. i5.
Y
1000
900--
' ' I ' ' M Ix'
(N) 600 -JJ-
Le mode d'emploi de l'abaque est alors le suivant :
On fait glisser le transparent en maintenant O'y en coin-
ÉQUATIONS A DBDI 1
cidence avec Oy jusqu'à ce que le point a, de l'axe O'x' se
trouve sur la courbe C. La cote du point de Oy avec lequel
coïncide O' est alors égale à a,.
(N)
■oo-
E
=
=
i
=
E
=
^
S
=
3
i
?
2
^
2
i
300
=
7-
1
2
1
^
z
1
?
1
r
;
ï
:
1
T
II
:
oj
zi
^
=d
=i
—
-J
d
zi.
zd
^
=;
-
-J
J
-j
-
-
::::!:
14-
(f)
Onpoarrait évidemment rendre mobile l'axe O^aii lieu de Ox.
\Afig. 13 montre ce que devient, avec cette nouvelle disposi-
3o CRAPITHB t.
lion, l'abaque de X^fig. i4- H ne f^ul pas perdre de vue, en exa-
minant celle figure, que l'axe O'x' est lié à un axe O'y qu'on
peut faire glisser le long de Oy.
i5. Anamorphose. — Nous avons supposé les variables «i et
aj représentées respectivement sur les axes Ox et O^ par
des échelles régulières. C'est évidemment ce qui est le plus
simple; mais on peut, dans certains cas particuliers, être amené
à adopter d'autres échelles. Il n'y aurait alors rien à changer à ce
qui précède ; on aurait encore recours à la courbe lieu du point de
rencontre des perpendiculaires aux axes Ox et Oy-, élevées par
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. 3l
les points cotés ai et 7.2', seulement cette courbe ne serait pas la
même que dans le cas précédent.
On peut, en particulier, toujours substituer une droite à la
courbe qui serait construite au moyen de deux échelles régulières,
en transformant convenablement une de ces échelles.
Soit, par exemple (Jlg' 16), OP la courbe obtenue avec des
échelles régulières portées sur Ox et Oy, Les points A| et
A2 respectivement cotés ai et a2 correspondent au point M de la
courbe OP. Pour substituer à la courbe OMP la droite OM'P,
choisie d'ailleurs au hasard, il suffit de modifier l'échelle portée
sur O^ en plaçant la cote ai, d'abord inscrite à côté du point A|,
à côté du point A, obtenu en prolongeant la perpendiculaire A2M
à O^ jusqu'en son point de rencontre M' avec la droite OP et
abaissant du point P la perpendiculaire M'A', sur Ox.
Celte transformation, qui substitue la droite OM'P à la courbe
OMP- est ce que Lalanne a api)elé une anamorphose géomé-
irique, ainsi qu'on le verra plus loin (n** 24).
Appliquée à l'abaque de lajig. i3 l'anamorphose donne celui
dela/^. 17.
Voici un autre exemple emprunté à la Pratique du calcul des
planchers du capitaine du Génie Grisou (*) :
Cet abaque, reproduit par là /ig, 18, fait connaître la valeur
de
q = p^
en fonction de celle de p^ pour p variant de 5oo à 2000.
(') Brochure autographiée à l'École du Génie de Grenoble (1891). L'abaque du
capitaine Grison s'étend en réalité de /? = 5u à /? = 2000.
3a CHAPITRE II.
CHAPITRE IL
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES
A ENTRECROISEMENT.
I. — Abaques cartésiens. Anamorphose.
16. Abaques cartésiens à trois variables. — Soit à construire
un diagramme coté pour l'équation
(i) F(a,,a,,a3)=o.
L'idée qui se présente tout d'abord à l'esprit est celle-ci ; don-
nons à l'une des variables, de préférence à celle qui sera le plus
généralement calculée en fonction des deux autres (*), ai, par
exemple^ une valeur déterminée. Nous aurons alors une équation
entre les deux variables a^ et a2 que nous pourrons représenter,
ainsi que cela a été indiqué au n^' 12, au moyeu d'une courbe
tracée sur le quadrillage défini par les équations
(ai) ar^/ja,,
/i et I2 étant des modules choisis en vue de la meilleure disposi-
tion.
L'équation de cette courbe sera
( ' ) Bien qu'un abaque à irois variables permette, en général, indifTéremment
le calcul d'une des variables en fonction des deux autres, il convient, principale-
ment pour la limitation du diagramme, de distinguer celles que l'on a le plus
habituellement à considérer comme indépendantes. Dans la pratique ce choix n*est
pas douteux, attendu que, dans la plupart des formules représentées, c'est toujours
la même variable qui est prise pour inconnue.
fiQDATIORS A TROIS VAUABLES. ABAQDES A ENTBECBOISKnEKT. 33
Cette courbe le long de laquelle l'élément ccj conserve une
même valeur a été dite par Lalanoe une courbe d'égal clément,
puis par l'auteur allemand Vogler une courbe isoplèlhe (Ï30<;,
égal; raTktjOsç, quantité). Ce dernier terme a été depuis lors adopté
par Lalanne. Nous dirons tout simplement une courbe cotée.
CoDstruisons de même les courbes répondant à une série de va-
leurs de ïj, croissant par échelons réguliers, en aj'ant soin d'i'n-
scrire à côté de chacune d'elles la valeur de «g correspondante.
Remarquons d'ailleurs qu'il sufGra de tracer la portion de
chaque courbe comprise à l'intérieur du rectangle formé par les
perpendiculaires élevées respectivement à Ox et à Oy par les points
correspondant aux valeurs limites ai et 6, de ce,, fc-, et i, de «j,
qui sont des données de la question, puisque nous avons supposé
que et, et 0.3 étaient les variables indépendantes.
Nous obtenons donc, à l'intérieur d'un rectangle quadrillé
(_fig- 19)1 un s;ystème de courbes cotées qui nous fournît la re-
Fig. 19.
présentation demandée dans les limites admises pour tes variables
indépendantes. Ce rectangle quadrillé figurant une sorte de damier
(en grec, Sia^), on a donné à ce genre de diagrammes le nom
d'abaques qui, par voie d'extension, a fini par désigner toute
espèce de diagramme coté.
Faisant une fois pour toutes la convention de désigner par les
termes d'horizontale et de verticale les parallèles respectives à
Ox et à O^, nous pourrons énoncer le mode d'emploi d'un tel
M. D'O. 3
34 CHAPITRE II.
abaque, en vue d'obtenir la valeur de aj lorsqu'on s'est donné a,
et a2, de la manière suivante : lire la cote aj de la courbe pas-
sant par le point de rencontre de la verticale cotée t.^ et de
V horizontale cotée ol^*
Par exemple, sur la fig. 19, pour ai = 2, a2=5, on aaj=: 4«
Il va sans dire que cette lecture suppose, le cas échéant, le
secours d'une interpolation à vue. Par exemple, sur la fig. 19,
pour tti = 4 > 5, tta = 2,5, on lirait aj = 3,5.
Nous avons admis que l'équation considérée servait de préfé-
rence à calculer as en fonction de ai et aj, mais on voit immé-
diatement que l'abaque permet tout aussi bien d'obtenir ol^ ou 0L2
lorsque l'autre de ces deux variables est donnée ainsi que as.
Par exemple, aj et as étant données, on aura ai en lisant la
cote de la verticale passant par le point de rencontre de l* ho-
rizontale cotée 0L2 et de la courbe cotée a|.
Les abaques ainsi constitués, dérivant directement de l'appli-
cation des coordonnées cartésiennes, sont dits abaques cartésiens.
Terquem a remarque qu'ils peuvent être considérés comme four-
nissant la représentation par courbes de niveau de la surface dé-
finie par l'équation (i) où a,, aa et as sont prises pour des coor-
données cartésiennes de l'espace.
Remarque. — Les courbes (as) ont une enveloppe dont l'équa-
tion s'obtient, comme on sait, en éliminant as entre l'équation (as)
et sa dérivée par rapport a as
ijivi'^)^''-
Mais le tracé de cette enveloppe ne sera généralement d'aucune
utilité. Elle peut d'ailleurs être complètement extérieure à la
partie utile de l'abaque, limitée à l'aire d'un rectangle, ainsi qu'on
vient de le voir.
17. Rattachement aux abaques à échelles accolées, — A simple titre
de curiosité, nous ferons remarquer que le principe de la représentation
des équations à trois variables, obtenu ci-dessus par la voie la plus natu-
relle, peut également se dégager du mode de représentation des équations
à deux variables, exposé au n* 9, lorsqu'on tient compte de la remarque
qui termine ce numéro.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 35
Donnant à «i dans l'équation (i) du numéro précédent une valeur par-
ticulière aj, nous avons à représenter une équation entre les deux va-
riables as et «3
(0 F(aî,a,,a3) = o.
Pour cela, portons respectivement, sur Taxe Oy et sur la parallèle à cet
axe dont Tabscisse est
(2) X = li(Z\,
les graduations (aj) et («3) définies par
et
(4) r = <p(a3,«î),
cette dernière équation étant celle qu'on obtient en explicitant par rapport
à^ l'équation
(4') F (a?, ^, a,)=o.
lorsque nous donnerons à a^ d'autres valeurs, la graduation de Oy ne
variera pas et nous aurons de nouvelles graduations sur d'autres verti-
cales, en vertu des équations (2) et (4).
Nous pourrons joindre par une courbe tous les points qui, sur ces ver-
ticales, correspondent à une même valeur de as, valeur qui servira de cote
à cette courbe.
L'équation d'une telle courbe s'obtient par l'élimination de af entre (2)
et (4) ou, ce qui revient au même, entre (2) et (4')« Elle est donc
On voit qu'on retrouve bien ainsi les courbes précédentes.
18. Emploi d'un transparent ou d^une échelle mobile, —
On pourra ici encore recourir à l'emploi d'un transparent tel qu'il
a été décrit au n^ 13.
Le mode d'emploi de l'abaque sera alors le suivant {Jig^ 20):
Le transparent étant orienté, faire passer ses index I| et I2
respectivement par les points cotés ai et 0L2 sur Ox et Oy; la
cote de la courbe sur laquelle se trouve alors le centre du
transparent fait connaître aj.
6 CHAPITRE II.
Par exemple, sur la fig. 20, pour Ki = 10, «] =:^ 8, on a a, ^ 5.
On pourra aussi, comme cela a été indiqué au n" 14, rendre mo-
Fig. M.
Iiile l'un des axes Ox ou O/, le second par exemple. Dans ce
cas, le mode d'emploi devient le suivant (^fig. a 1) :
On amène l'origine O' de Vaxe mobile O' y au point a, de
l'axeOx. Le point oij de l'axe O' y tombe alors sur une courbe
dont la cote/ait connaître «3.
Sur la Jig. 21, pour a, ^= 10, 13^ 4i on a a^^ 3.
19. Exemples. — Les exemples d'application de cette méthode sont
extrêmement nombreux. Ils comprennent notamment tous les tableaux
graphiques construits depuis les premiers essais de Pouchet jusqu'aux
trat'aux de Lalaone, dont quelques-uns ont été cités dans l'Introduction.
IQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A BHTRECROISBIENT. 3j
Nous signalerons simplemeni ici le tableau de niultiplication de Pouchel,
parce que c'esi le premier en dale de lous les abaques connus.
Premier type d'abaque de multiplication. — La muliiplicatïon se
traduit par l'équaiioD
Si, pour la représenter, nous portons sur les axes Ox et 0^ les gra-
duations
a; = 5'°'°a, et _^ = 5-"a,,
nous obtenons pour les courbes cotées (a,) les hyperboles équilatéres
icj-— 25a, = 0.
C'est ainsi qu'a été obtenue la ^g. ii, qui ne doit être considérée que
Fig. M.
comme un schéma de l'abaque de Pouchet, construit avec une bien pi"
grande précision.
Il est essentiel de remarquer que la méthode s'applique sans nulle difîi-
cnlié lorsque les trois variables sont liées par une loi qui n'est connue
qu'empiriquement. En effet, a chaque couple de valeurs de deux des va-
riables X) ^t ''il prises comme indépendantes, correspond le sommet du qua-
drillage situé au croisement de la verticale (ai) et de l'horizontale (a,).
Supposons que nous inscrivions en ce point la valeur correspondante de aj.
Nous n'aurons plus ensuite qu'à joindre, par une ligne continue, tous les
points répondant à une même valeur de a, pour avoir la courbe cotée (ii),
de même qu'en unissant sur un plan topographique les points de même
cote par un trait continu on obtient ses courbes de niveau.
;
38 CHAPITRE II.
Les applications de celte méthode sont très fréquentes. On trouvera
quelques détails, à ce sujet, dans le Calcul graphique de Favaro (tra-
duction Terrier, p. i54 et suiv.) et dans Timportant Ouvrage que M. Marey
a consacré à la Méthode graphique dans les Sciences expérimentales
(I™ Partie, Chap. V).
20. Superposition des graduations, — Supposons qu'une équation entre
les trois variables ai, aj, «3 soit telle que, si Ton a
F(a,,aj,a3)=o,
on ait aussi, quelle que soit la solution (ai, a^, aj),
F(/i(aO,/î(aO./3(a3)) = o,
fif f\ et /s étant des fonctions connues.
Dans ces conditions, l'abaque, construit entre certaines limites, per-
mettra de résoudre encore Téquation proposée pour des valeurs prises en
dehors de ces limites.
Supposons, en effet, que Tabaque ait été construit avec les limites ai
et h\ pour ai, aj et hx pour aj, a^ et 63 pour as. A côté de chaque valeur
de ai, S] et as comprise entre ces limites, nous pourrons inscrire respecti-
vement la valeur de/i(ai), de/j(aj) et de /a (03), en doublant ainsi cha-
cune des lignes de graduation. Dès lors, si nous prenons pour «i et a^ des
valeurs respectivement comprises entre /i(ai) et/i(6i), et entre /j(ai)
et/j(6î), nous voyons que Tabaque nous fournira la valeur correspon-
dante de as, à la condition que nous fassions usage, pour les éléments,
droites et courbes, qui le constituent, des cotes inscrites dans les secondes
lignes de graduation.
Il suffît que les limites primitives soient telles que les amplitudes de va-
riation s'étendant de a\ à h\ et de/i(ai) à f\{bx) d'une part, de 0% et ôj,
et de/î(aj) k f%{hi) de l'autre, aient une partie commune pour qu'il n'y
ait pas de lacune dans le champ de variation auquel l'abaque est appli-
cable.
C'est en cela que consiste le principe de la superposition des gradua-
tions.
Après avoir construit l'abaque, on peut, sans rien changer aux droites
et aux courbes tracées, superposer aux graduations primitives de nouvelles
graduations s'en déduisant suivant des lois connues et fournissant encore
des solutions de la même équation.
Il pourra arriver que les fonctions /i(ai), /i(ai), /3(aî)» ou certaines
d'entre elles, soient assez simples pour que le calcul de leur valeur se
fasse immédiatement de tête. Ce sera le cas, par exemple, si /i (ai) se
réduit au produit de si par un facteur simple comme 2, 5, 10 ou
une puissance de 10. Lorsque cette circonstance se produira, il sera évi-
demment inutile d'inscrire sur l'abaque la seconde graduation qu'une
opération mentale permettra de déduire immédiatement de la première.
ÉQUATIONS A TROIS YARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 3q
A ce point de vue, les cas particuliers qui suivent méritent une attention
spéciale. Ils se rencontrent d'ailleurs assez fréquemment dans la pratique.
21. Multiplicateurs correspondants. — i° Il arrivera que, si Ton mul-
tiplie deux des variables ai et as par des facteurs quelconques Xf et Xj,
la nouvelle valeur a, de la troisième variable pourra se déduire de sa
valeur a^ correspondant à ai et a^.
Cela aura lieu lorsque l'on aura
(I) aj=A(aï'a;«),
A étant une fonction quelconque, /ii et n^ des constantes quelconques. On
voit, en effet, que Ton a dans ce cas, en représentant par V la fonction
inverse de A,
(-2) ai=A(Xî'X;«V(a,)).
Le cas le plus simple est celui où l'on a
(i bis) a,= A:aî'a;«,
parce qu'alors (2) devient
(2bù) a'3 = Xî«X;«a,.
Autrement dit, si le système de valeurs (ai, a», as) satisfait à l'équa-
tion (i bis)^ il en est de même du système (Xiai, Xjaj, Xî'Xï'aa).
On peut alors dire que X|, Xj et X"'Xî* constituent des multiplicateurs
correspondants pour les variables ai, aj et as.
En prenant pour Xi et Xj des valeurs simples, telles que 10 et ses puis-
sances par exemple, on voit que les nouvelles valeurs de ai, aj, aj se
déduiront de celles inscrites sur l'abaque, par une simple opération men-
tale, sans difficulté aucune.
2*" Supposons maintenant que les facteurs par lesquels on multiplie a]
et as, au lieu d'être indépendants l'un de l'autre soient X et X'», m étant
une constante.
La circonstance indiquée se présentera dans ce cas lorsqu'on aura
A et /étant des fonctions quelconques. On voit, en effet, que, dans ce cas,
(4) a',= A(XV(«,)).
L'équation (3) pourra encore s'écrire
(3') a,= A(a?/(afaî)),
ko
CHAPITRE II.
\% nombre m étant alors
P
rn — — — •
9
Dans ce cas (i), on aura
(4') a', = A(X«V(a,)).
Si, par exemple, l'équation est de la forme
(5) ^«jaî'H- Ajaaaî'-Hi = o,
elle peut s'écrire
a, = — -^(/i,a,aî«-f-i)
et rentre bien ainsi dans le type (3'). Alors
/M = — 11%,
et la formule (4') donne
Autrement dit, si le système (aj, aj, as) satisfait à V équation (5), il
en est de même du système (Xai, X-'»«aî, X-^jaa).
C'est-à-dire que, dans ce cas, les variables ai, a^ e/ aj admettent les
multiplicateurs correspondants X, X-»», X-»» (*). '
Considérons en second lieu l'équation
(6) a,= (Aafaî)aP.
Pour voir qu'elle rentre dans le type (3'), il suffit de l'écrire
a3=e«"'<>»<^«î*^.
On a dès lors
9
(*) Il ne faudrait pas croire que sous cette forme l'équation fût plus générale
que sous la précédente. II suffit, en effet, de poser
pour qu'elle devienne
(^} Dans ce cas, le principe des multiplicateurs correspondants se trouve
appliqué dans notre brochure de 1891 (p. 91). Il a été exposé sous forme géomé-
trique par M. A. Chancel dans une étude dont il sera question plus loin
(n« 118, 2").
tQUATIONS ▲ TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. ^l
et la formule (4') devient
ai = «i
Par suite, lorsque le système («i, «j, «3) satisfait à V équa-
tion (6), il en est de même du système \Xai, X *7ai, «3 /.
C*est par Texamen de divers cas particuliers que nous avons été conduit
aux types (1) et (3).
M. G. Kœnigs, à qui nous avions soumis la question, a démontré qu'ils
sont les plus généraux correspondant à la propriété caractéristique de
chacun d'eux. On trouvera plus loin sa démonstration (n**155).
22. Abaques à lignes droites, — Parmi les abaques qui
viennent d'être définis, il convient de distinguer ceux sur lesquels
les courbes (as) se réduisent à des droites; de tels abaques se ren-
contrent fréquemment dans la pratique.
Si nous nous reportons au n** 16, nous voyons que, pour que
cette circonstance se présente, il faut que l'équation (as) soit de la
forme
i\ Il
= o.
cl, par suite, Péquation (i)
«1 /(«a) -H «2 ?(a3) -+- ^(«3) = o.
Dans ce cas, il pourra être plus intéressant que dans le cas gé-
néral de considérer l'enveloppe E des courbes (as) qui sont ici des
droites. Si, en effet, la portion utile de cette enveloppe se trouve
dans les limites de l'abaque, elle pourra dispenser du tracé des
droites («3). H suffira d'inscrire la cote de chacune de ces droites
à côté de son point de contact avec la courbe E.
Étant données des valeurs pour ai et a2, pour avoir la valeur
correspondante de ol^ il suffira de mener par le point de rencontre
des axes du quadrillage cotés ai et ol^ ^^^ tangente à la courbe E
(ce qui se fera très aisément au moyen d'un index rectiligne
marqué sur un transparent) et de lire la cote du point de contact
de cette tangente. On pourra évidemment, le cas échéant, avoir
ainsi plusieurs solutions, lorsque du point de rencontre des droites
cotées ai et 0.2 il sera possible de mener plusieurs tangentes à la
courbe E.
CBAPine II.
23. Exemples: i" Second type d'abaque de multiplication. — L'équi
tion de la multiplication étant écrite
it suflît (]e constituer le quadrillage au moyen des droites
(a,) x = l,a„
pour que les courbes cotées (a^) soient des droites issues de l'origine
En prenant /i = 5°"", /i = o"",5, on obtient ainsi l'abaque de la
M- 23 (')■
Fig. ï3.
Il va sans dire qu'ici s'applique le principe des multiplicateurs corres-
pondants, l'équation étant la plus simple du type du n° îl, i". Les multi-
plicateurs correspondants pour a,, Hx et «j sont respectivement X|, Xj et
x,x..
(') Le triangle à calcul de M. P. Chcnevier, qui ligure dans les galeries du
Conserva toire des Arts et Métiers, n'est autre qu'une forme particulière de cet
abaque, dans laquelle, au lieu de tracer un certain nombre des droites (s^) issues
de l'origine, on a fl^ié en cette origine un lil que l'on peut tendre pour te taire
passer par les points d'une graduation placée sur un bord du cadre et repérant
les positions des droites (a,) non tracées.
BQDATIOng A TBOIS VÀBIABLBB. ABtQUBS A ENTHECKOIBEHEHT. 43
Od obtient une meilleure disposition de l'abaque {fig. 33 hW) en pre-
nant des axes de coordonnées non plus rectangulaires, mais faisant eotre
eux un angle égal à — ■ Noua devons celte remarque à l'obligeance de
M. Prochot, ancien conservateur des Forêts (').
a" Abaque de Lalanne pour l'équation trinôme du troisième degré.
— Soit l'équation
Cboisissant un module / quelconque, nous pouvons construire l'abaque
de cette équation en prenant
x = lp, jr = Iq,
ce qui nous donne pour i les droites
L'abaque ainsi obtenu (_fie: aj) est celui qui a été construit par La-
Noas avons d'ailleurs fait remarquer(') qu'on pouvait se borner à tracer
( ' ) C'est en 189a, an Congrès de l'A*tocialion française pour l'Avancement
de* Seiencet, qui se tenait  Pau, que M. Frocbot nous a communiqué son
■baque. Il l'avait, croyons-noua nom rappeler, publié dan» un Ouvrage, mais
ooDS manquons sur ce point d'indicalioD précise.
<') Mémoire sur les Tables graphiques {A. P. C, 1" semestre, iS^C).
<') 0.4, p. î5.
44 CHIPITRE II.
les droites correspondant aux valeurs positives de z, les valeurs absolues
des racines négatives de l'équation étant obtenues comme racines posi-
tives de la transformée en —s, c'est-à-dire de l'équation qui se déduit de
la précédente par simple changement de 7 en — q.
Fig. A-
l P\K
\NiV\
. v^\
^ ^tv^
1 '\l /^^l
. j Y'v\ '
.\ K ^^^^
\i i\ \ \\-^
\ 1-^ i \- C>^ , ~
\\^ ^ X ^sL
• -tic vx s
± 5 \ N^ S^
4\ ' S ^t
K\ \ \ ^ V ^ t \
IttitlU .Ho p
Cet artifice peut être considéré comme dérivant du principe des multi-
plicateurs correspondants (n° 21).
L'équation donnée peut, en ciïet, s'écrire
Sous celte forme, elle rentre évidemment dans le type (5) du n" 2i, et
l'on voit ainsi que, pour les variables q, p, f , on a, en faisant X = — 1,
les multiplicateurs correspondants ( — 1)', ( — i)', —1, ou — 1, i et — r.
C'est bien là la remarque qui vient d'être faite au sujet des racines néga-
tives.
Mais, plus généralement, on peut dire que les variables q, p, s ad-
mettent les multiplicateurs correspondants n', n' et it. Pour montrer
l'utilité de cette remarque, nous prendrons l'exemple suivant :
Si l'on représente par
: la hauteur en mètres sur laquelle le parc
peut être maintenu vertical à partir du cou
ÉQUATIONS A TROIS TARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. ^0
X le rapport de la pression limite admissible par mètre carré au poids
de i"* de maçonnerie;
6 le rapport du poids de 1°"' d'eau à celui de 1™* de maçonnerie,
M. Delocre a fait voir, dans son Mémoire classique sur les grands bar-
rages, que la hauteur z est donnée (i) par la racine positive de l'équation
ou
5«-f-
«
0 -
si
a« X»
ox "
3a»
0 =*»
si
a» ^ X»
0 < .r
a = 10",
X = 20",
2
Posons
Ici,
a^ X«
Y = 200, -- = 100,
et c'est la première équation qui est applicable. Cette équation devient
-5* H- 200.5 — 4000 = o.
L'abaque de la Jig, 24 ne nous donne pas directement z. Ayons dès lors
recours aux. multiplicateurs ci-dessus définis en prenant n = 10.
II vient ainsi
— ) -\- 1— 4=0,
10/ 10
et l'abaque donne
doù
— = iM8,
10
z rriir^S.
3" Abaque du poids de la vapeur d^eau contenue dans Vair (').
Si p est le poids en grammes de la vapeur d'eau contenue dans 1"*= d'air
à r, lorsque la tension de la vapeur est f en millimètres, on a
810/
7G0 -+- 2,78^
(') Les inégalités de condition, telles qu^cUes sont énoncées ici, se rencontrent
pour la première fois, dans une Note publiée par nous, en mars iStji, dans les
Annales des Ponts et Chaussées (p. 443)' Par suite d'un lapsus, le sens de toutes
les inégalités de cette Note a été renversé, ainsi que nous l'avons fait remarquer
depuis dans un erratum.
(') Nous avons construit cet abaque en 1886, pour la Direction de l'Artillerie
(le TArsenal de Rochefort, en vue d'observations à faire, plusieurs fois par jour,
dans des poudrières qui étaient de son ressort.
46 cbàpitie II.
D'ailleurs la tension / est fournie par les Tables de Regnanlt (*> en
fonction de la température de condensation ^ lue sur Thygrométre.
L'équation ci-dessus peut s'écrire
76o/> -H 2,78//> — 810/ = o.
Pour la représenter nous poserons, /| et /j étant deux modules quel-
conques
a- = /, X 810/,
^=/,X2,78/,
ce qui donne pour les droites (/>)
y ^
760/? -H /> 7 — = o.
Faisons, par exemple ('),
/i = o"", oo37, l\ = o"", 43.
Nous obtenons ainsi Tabaque de \di fig, 25.
Les graduations de 0 or et de Oy sont alors données par
X = 3-"/
y= i"",2^
et les droites {p) par
py X
760^ -+- -^-^ r- = o.
'^ 0,43 0,0037
Toutes ces droites convergent au point j: = o, ^ = — 326"^, 8. On les
appelle des radiantes (n* 27).
(') Jamin, Cours de Physique de V École Polytechnique, t. II (3« édition )
p. 223.
(') Ces nombres ont été choisis pour mettre le texte d'accord avec la fig. aS
qui a été obtenue par réduction photographique de l'abaque construit à plus grande
échelle en 1886. Sans cela on eût pris
/, = o*", 0037, /j = o"»", 36
de façon à avoir à porter les graduations
X — If, y ~ t.
II pourrait, de prime abord, sembler plus simple de choisir /, et /, de façon à
n'avoir à porter que les graduations
X = /, y = t,
mais alors les radiantes (z^) se rapprochant de la direction parallèle à Oy^ leurs
points de rencontre avec les verticales (/) se détermineraient avec moins
d'exactitude.
Bchelle de la thmpéra
AS CHAPITRE II.
L'échelle de t ou échelle des températures sera construite entre
t — — 10° et / = 4o'. Sa longueur sera égale à i^^^^a x 5o = 60""".
Pour construire les droites (p) déterminons les points où elles coupent
les horizontales 0° (y = o) et 4o" (^^ = i"",2 x 40 = 48°»").
Pour^ = o, nous avons, en prenant comme unité le millimètre,
X = 760 X o,oo37/> = 2,8i/>;
pour ^ = 48
X =: (760 -h -^)o,0037/> =3,22/?.
Construisons ces droites pour des valeurs de/> croissant d'unité en unité
de o à 5o.
Les abscisses des deux points déterminant la droite extrême {p =■ 5o)
seront, pour t = 0° (y = o) et t = 4o* (y = 48),
a: = 140""°, 5 et ar = 161""°.
Reste à construire l'échelle de la tension/. Celle-ci étant fonction de
la température de condensation <', nous pourrons la déterminer par le pro-
cédé indiqué au n" 12, c'est-à-dire en traçant la courbe qui fait connaître
les variations de /en fonction de ^(traduction graphique de la table de
Regnault), les modules le long de Ox et Oy étant précisément les nombres
3™"» et i°"",2 obtenus plus haut. En d'autres termes, on construira la
courbe définie par
X == 3™""/
y=i^«\'it\
les valeurs correspondantes de t' et de / étant celles que donne la table
de Regnault.
Cette courbe, que nous désignerons par F, étant tracée, on voit à quoi
se réduit le mode d'emploi de l'abaque : lire la cote p de la radiante
passant par le point de rencontre de Vhorizontale t et de la verti-
cale fj cette dernière coupant la courbe F au même point que l'hori^
zontale t'.
Usant ici d'un artifice (M signalé au n® 13 nous remplacerons le système
des verticales par un index mobile tracé sur un transparent dont l'orien-
tation sera maintenue par la coïncidence, avec Taxe AB de l'abaque, d'un
second index de ce transparent, perpendiculaire au premier.
Dès lors, le mode d'emploi de l'abaque peut s'énoncer ainsi : Vindex
d* orientation du transparent étant mis en coïncidence avec AB, faire
passer IHndex de lecture par le point de la courbe F situé sur l* hori-
zontale t\ suivre cet index jusqu en son point de rencontre avec Vho-
(') C'est précisément à Toccasion de cet abaque que nous avons eu pour la
première fois recours à cet artifice.
ÉQUATIONS À TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. ^9
rizontale i et lire la cote p de la radiante passant par ce dernier
point.
Par exemple, pour t— 30", l' = i6", la position do l'index étant celle
indiquée en pointillé sur la figure, on lit/? = 12*', 9. On aurait pu évidem-
ment tout aussi bien écrire au pied de chaque verticale la valeur corres-
pondante de t' obtenue par l'intermédiaire de la courbe F, et effacer
celle-ci.
4* Nous dirons encore un mot des abaques publiés par M. Genailh*
sous le titre Les graphiques de Vingénieur^ et nous indiquerons som-
mairement leur disposition dans un cas. Si une charge est uniformément
répartie sur une poutre de portée a, on a
pa"^-^ q,
q étant un nombre qui dépend de la section de la poutre et de la limite
de pression admise par unité de surface (^).
A chaque type de fer du commerce correspond une valeur de q.
L'abaque de l'équation précédente, en permettant de calculer çr, défi-
nira donc le type de fer à adopter pour des valeurs données de a et
de p.
Cet abaque peut être construit au moyen du quadrillage défini par
x=^l\q. y = l\P,
ce qui donne pour a les droites cotées dont l'équation est
Ixa^-y - l^x,
droites passant par l'origine. Au lieu d'inscrire la valeur de q au pied de
la verticale correspondante, on peut y inscrire les éléments de la section
donnant cette valeur de q. Les abaques ainsi obtenus pour les différentes
espèces de poutres sont ceux que M. Genaille a fait connaître au Congrès
de 1884 de l'Association française pour ravancement des Sciences, et dont
des exemplaires à grande échelle figurent dans les galeries du Conserva-
toire des Arts et Métiers (*)..
SRI
(') On a ^ = > I étant le momeni d'inertie polaire de la section, n la
distance des fibres qui supportent la plus grande tension, R la limite de pression
admise.
{*) Aux exemples qui viennent d'être donnés ci-dessus, et qui pourraient, sans
profit d'ailleurs pour le lecteur, être beaucoup multipliés, nous tenons à joindre
la mention d'abaques de ce genre, pour le calcul du profil de certains murs de
M>olèoement, dans la livraison de septembre 1898 de la Bévue du Génie par \(^
lieutenant Belhague {PLIA!') et le commandant Bertrand {Pt.XI). La très intr-
itssante étude du premier de ces officiers sur la construction de la route de Tana-
tttrive à Moranianga fait ressortir l'utilité de l'emploi des abaques pour des
travaux qui, comme celui-ci, exigent une grande célérité.
M. D'O. \
5o CHAPITRE II.
II. — Anamorphose.
24. Principe. — Nous avons vu au n" IS qu'en substituant
aux échelles régulières, qu'il est tout naturel, de prime abord, de
porter le long de Ox et de Oy, d'autres échelles fonctionnelles,
on peut toujours transformer en une ligne droite la courbe repré-
sentative d'une équation liant les variables auxquelles corres-
pondent ces deux échelles.
Dans quel cas une telle modification apportée aux deux échelles
Oj: et Oy d'un abaque cartésien à trois variables transformera-
t-elle à la fois toutes les courbes de cet abaque en lignes droites?
La réponse à cette question est facile.
Pour qu'avec les graduations
les courbes (as) constituant l'abaque soient des droites, il faut et il
suffit que leur équation soit de la forme
Ceci aura lieu si l'équation proposée est
/i(ai)/3(a3)-+-/2(a2)?8(aj) -4- 1^3(313) = o.
Nous obtenons ainsi à la fois la forme des équations auxquelles
cet artifice est applicable et l'indication de la manière dont cet
artifice doit être mis en œuvre.
Dans le cas où il ne s'agit que de la courbe isolée constituant
Tabaque d'une équation à deux variables, comme au n® 15, une
telle transformation n'offre aucun avantage appréciable, le travail
requis pour l'établissement d'une échelle fonctionnelle étant équi-
valent à celui qu'exige la détermination des points de la courbe
correspondante; on n'économise, somme toute, que le tracé de la
courbe réunissant les divers points obtenus individuellement. Il
n'en va pas de môme ici, et Tavantage y devient très sensible.
Si le travail exigé par le changement de graduation équivaut à
ÉQUATIONS À TROIS TARIÀBLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 5l
peu près à la construclion d'une courbe, comme on aurait un
certain nombre n de celles-ci à tracer, on voit que l'économie
réalisée peut-être représentée environ par le travail requis par le
tracé de /i — i courbes. Une fois, en effet, le nouveau quadrillage
établi, il suffit d'y marquer deux points pour obtenir chacune des
lignes droites destinées à remplacer les courbes qu'on aurait eu à
construire point par point dans le système primitif, et qui ont, en
outre, sur celles-ci l'avantage d'un tracé rigoureux.
Le principe d'une telle transformation a été indiqué, pour la
première fois, par Léon Lalanne qui lui a donné le nom à* ana-
morphose géométrique (*). C'est sous la forme indiquée au n° 28
qu'il s'est d'abord présenté à lui et cela à propos des applications
traitées plus loin aux n°^ 29 (i") et 108.
25. Exemple : abaque de tir, — Dans un travail relatif à une question
de tir (>), le capitaine G. Ricci, de l'artillerie italienne, se propose de con-
struire Tabaque de l'équation
p(c?cos<p -4- a) = d^ — a',
destinée à faire connaître a lorsque p et 9 sont donnés.
Il suffît d'écrire cette équation sous la forme
é/cos© — a = o,
P
pour voir qu'elle rentre dans le type précédent. Nous porterons donc sur
les axes les graduations
(?) ^ = j>
et
(?) 7 = ^ïCos<p,
et nous aurons ainsi pour les courbes (a)
âf« — a» d
(«) — -__a-— -^— a = o
c'est-à-dire des droites.
Le capitaine Ricci a construit cet abaque pour p, variant entre 1000 et
(') Mémoire sur les Tables graphiques et sur la Géométrie anamorphique
(A, P, C, i*' semestre 1846).
(') Rivista di Artiglieria e GeniOy t. IV, p. i65 (novembre 1896). On trouvera
dans le Bulletin astronomique^ t. III, p. G.! et '.>32, une série d'intéressantes
applications du même principe, dues à M. Hadau.
02 CHAPITRE 11.
8000 (de 100 en 100 entre 1000 et 6000, de 200 en 200 entre 6000 et 8000).
pour «p variant entre 0° et 120° (de 2 en 2 entre 10* et 20^*, de i en i entre
«o** et 120"), enfin, pour a variant entre — 800 et 5oo, de 10 en 10.
En vue de réduire les dimensions de l'abaque, il Fa fractionné en troi>
parties accolées les unes aux autres. Pour chacune de ces trois parties In
a été pris égal à o'",2o, tandis que /i varie de Tune à l'autre. Ayant
adopté /i= 5oo" pour la partie qui s'étend de 8000 à 3ooo, l'auteur a ré-
duit cette valeur de l\ à la moitié, soit à 25o", de 3ooo à 2000 et à son
sixième, soit à 83"", 33, de 2000 à 1000. Il en résulte que sur les verticales
suivant lesquelles ces trois abaques partiels s'accolent (p = 3ooo et p = 2000)
les droites (a) changent de direction.
La fig, 2G donne une réduction de cet abaque.
26. Abaques à parallèles, — Les équations du type signale
au n** 24 peuvent revêtir la forme très simple
/i(ai) ^-/2(aî) -H/sCaj) = o,
qui est extrêmement fréquente dans la pratique. Dans ce cas,
ayant constitué le quadrillage de Tabaque en élevant respective-
ment aux axes O^ et Ojk des perpendiculaires par les points des
échelles que définissent les équations
(ai) ^ = ^i/i(ai),
(«î) J^ = ^/i(aî).
on oblienl pour équation des courbes cotées (aj)
7- H- f ^-/3(aj)=o,
qui représente un système de droites parallèles.
Le coefficient angulaire de ces droites étant constant et égal à
— ^-> il suffira, après avoir déterminé la direction correspondante
qui s^obtient en joignant le point de Taxe Ox d'abscisse /| au
point de l'axe Oy d'ordonnée /a, de déterminer un point pour cha-
cune de ces droites. On pourra prendre notamment leurs points
de rencontre avec Taxe Ox^ définis par
X =— /i/j(a3).
On pourra aussi prendre leurs points de rencontre avec la per-
pendiculaire Os à leur direction menée par l'origine O, droite •
dont l'équation est
54 CHAPITBB II.
Si nous représentons par z les segments comptés sur cette
droite à partir de O, nous voyons que le z de la droite (aj) qui
n'est autre que la distance de l'origiDe à cette ^droite est donné par
En résumé, ayant gradué les axes Ox, Oy et Oz d'après les
trois équations ((X|), (a^) et (k,) ci-dessus, on n'a qu'à élever à
chacun de ces axes des perpendiculaires parles points de l'échelle
qu'il porte pour obtenir l'abaque de l'équation considérée.
Exemple : Nous rencontrerons par la suite un
d'équations <le cette forme. Contentons -nous ici
exemple la formule des miroirs et lentilles spKériqui
très grand nombre
de prendre comme
où d et d' sont les distances du miroir
jugués, y la distance focale principale.
u de la lentille à deux points c
\
Fig. .
\
\
\
'
\
\
X'
I
\
\
5 T
D'après ce qui précède o
abaque de cette formule, en posant
/ étant un module quelconque, ce qui donne pour lignes cotées (/) les
droites
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 55
immédiatement obtenues en joignant les points dont les cotes sont égales
à /dans les graduations de O a: et de Oy.
En prenant / = 3", 5, on a ainsi la yig, 27 ( * ).
27. Abaques à radiantes. — Une autre forme d'équation très
fréquenle, rentrant dans le type du n** 24, est la suivante :
/i(«i)/ï(aî)=/3(a3)-
On voit qu'on aura la représentation anamorphosée de celte
équation en graduant les axes Ox cl Oy suivant les lois
ce qui donne pour courbes cotées (a2)
/,
(«î) J = 7-/2^311)^,
droites issues de Torigine, que l'on appelle des radiantes {j^).
Ces droites passant par l'origine, il suffit d'obtenir un point de
chacune d'elles. Si, par exemple, on les coupe par la parallèle
à O^, dont /| est l'abscisse à l'origine, savoir
on voit que l'on obtient sur cette droile l'échelle définie par l'é-
quation
Nous avons rencontré plus haut (n" 23, 1", 3"* et 4") divers
exemples d'abaques à radiantes sans anamorphose.
(') Cet abaque a été construit par M. Garicl ( A. F. A. S., Congrès de Cler-
moat-Feirand, p. i4o; 1876), qui lui a ensuite appliqué une ingénieuse transfor-
mation géométrique. Nous avons fait voir dans notre brochure 0.4 (p. 88) com-
ment l'application directe de la méthode des points alignés, dont il sera question
plus loin (Cbap. III), conduisait à cet abaque transformé.
(^) On peut substituer au système de ces radiantes une droite pivotant autour
du point O. Il suffit, pour cela, d'inscrire le long d'une ligne quelconque les cotes
des points où les droites (a,) supposées tracées rencontreraient cette ligne. On
obtient ainsi une certaine échelle, rectiligne ou curviligne, qui permet de repérer
la position de la droite pivotante pour chaque valeur de a,. Une telle disposition
sera même avantageuse au point de vue de la précision de l'interpolation à vue.
■•"' CHIPITIIR II.
Voici des exemples de tels abaques obtenus par acainorphose :
I" Troisième type d'abaque de multiplication. — Od peut, pour
représenter l'équalion
i:e qui lionne comme eourbes colces {a,) les radiantes
t,T - li^iy.
\a lel abaque est représenté par la /(>. aN. Il se rencontre parmi les Ta-
Kig. -x».
[—
p
/ / /
[7
r/
1
/
/ '' ' '
■/
/
-11
t
h
^
M'-
r-^
-'
;!
1
$
1
w-
^
bleau\ {(rapliiques dressés par M. l'ingénieur des Ponts et Chaussées Crépin,
un vue de l'étude du dessècliement des pajis watringués, dans un Mémoire
remarquable où, pour la première fois, cette question complexe est sou~
■lise au calcul (').
%" Abaque des heures de lever et de coucher du soleil. — Si l'on
représente par X la latitude du lieu et par D la déclinaison du soleil eor-
lespondant à l'époque, l'angle horaire M du soleil
ou de son coucher est donné par l'équation
— rOS^ = ti
X.tangD,
f
ù'
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. ^j
t|ui rentre dans le type ci-dessus. Nous prendrons donc, pour représenter
ar— /,tangX, j^-— /, cos^l.
rette équation,
d'où
y ^ /jrtangD.
'1
Si l'on prend l\ •= /j, on voit que la droite cotée (D) est la droite menée
par l'origine, qui fait l'angle D avec l'axe des x.
Chaque horizontale M correspond à deux cotes égales et de signes con-
traires. Mais on peut immédiatement écrire les valeurs de ces angles
horaires en temps, ce qui donne l'heure vraie du lever ou du coucher.
Si Ton inscrit ces cotes aux points de rencontre des horizontales (iH) et
Fig. 29.
yi*^-^
d^un cercle de rayon /j, ayant «on centre en un point quelconque de l'axe
des X, on obtient la Ji^, 29, qui est une réduction de l'abaque construit
par M. Collignon (>).
On voit que l'horizontale, passant par le point de rencontre de la verti-
cale dont la cote est la latitude X du lieu et de la radiante dont la cote
est la déclinaison D du soleil pour l'époque, va couper le cercle horaire
(') L'abaque de M. Collignon est complété par des tracés psrniettant de passer
da temps vrai au temps moyen et de tenir compte de la durée du crépuscule
{\. A., '1* série, t. XVIII, p. 179, et 3* série, t. I, p. 49^)-
58 CHAPITRE II.
en deux points dont les cotes sont les heures de lever et de coucher du
soleil.
Au lieu de coter les radiantes au moyen des valeurs de D, on pourrait
inscrire immédiatement à côré de chacune d'elles l'indication de l'époque
correspondante, ainsi qu'on l'a fait sur \di Jig, 29 pour les solstices et les
équinoxes.
3° Abaque des débits d^une rivière. — Le débit d'une rivière en un
point déterminé est donné par la formule
^ = (I) a,
où q désigne le débit exprimé en mètres cubes par seconde, (1) l'aire de
la section exprimée en mètres carrés, u la vitesse moyenne exprimée en
mètres par seconde.
Pour la section considérée, l'aire a> est une fonction /(A) connue de la
hauteur d'eau h lue sur une échelle plongeant dans la rivière. On peut
donc écrire
(1) q=u/(h).
D'autre part, lorsqu'il ne s'agit que d'une détermination approximative,
on peut prendre pour la vitesse moyenne u le produit par 0,8 de la vitesse
à la surface donnée par un flotteur parcourant pendant t secondes une
longueur connue e, comprise entre deux repères, en sorte que
(a) 0,8 e = ut.
L'équation (i) peut être représentée au moyen des éléments cotés
(m) X = liU^
(9) y=^Uq,
(h) y=Yj'^h)x,
et l'équation (2), ainsi que cela a été expliqué au n^ iS, au moyen de la
courbe
TV
qui est une hyperbole équilatère G, dessinée sur le quadrillage défini par
37 = /j a, y = /j t.
Nous pouvons faire coïncider l'axe des x de ce quadrillage avec celui de
l'abaque précédent, son axe des y étant dans le prolongement de l'autre
et en sens contraire.
Pour construire les droites cotées (/t), il suffit de remarquer, ainsi qu'on
l'a fait au début de ce numéro, que, sur la droite x = l\, ces droites déter-
minent l'échelle
y = hf{h).
tQDATlOItS A TROIS VIRIABLRS. ABAQUES A ENTRECROISEUE.M. 5^
L'abaque ainsi obienu ( fig. 3o) est celui qui a été établi par
/
^
/
'^J^'d
,,/>
^ 'A
/
(a)
/
1
/
-r
«y
A
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y
^
ife
V
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' ><3
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^.-
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A
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1
1 1
— ' —
>■
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/
>
Îm
/
/
lea
H. Vandervin, iogÉDieur au corps belge des Ponts cl Chaussées, pour
6o CHAPITRE II.
la stalion de Hombeek , sur la Senne (*), où l'on avait e = loo".
I/abaque de M. Vandervin a été construit avec les modules
/, = o™,i, /,= o'",oo?., /', = o"*,ooo5.
La Jlg, 3o en est la réduction aux '.
Le mode d'emploi de cet abaque est le suivant : La verticale pas-
sant par le point de rencontre de ^horizontale (t) et de r hyperbole G
coupe la radiante (h) en un point situé sur Vhorizontale (q) (*).
Par exemple, le aS janvier 1891, à Hombeek, le flotteur a parcouru la
distance des repères en ^ = 92', la hauteur d'eau étant de 12", 04. La ver-
ticale passant par le point de rencontre de l'horizontale / = 92' et de
l'hyperbole G coupe la radiante 12™, oî en un point dont l'horizontale
suivie jusqu'à l'échelle des débits donne q = 38™*, 5.
4" Abaques des poutres chargées. — Le commandant Ghéry (depuis
lors général) a, dans sa Pratique de la résistance des matériaux ('),
«lonné une série d'abaques pour le calcul des poutres chargées, traduisant
pour les diverses sections usuelles l'équation
pa^T^q
déjà définie au n° 23 (4**). Pour construire ces abaques, il a eu recours au
quadrillage anamorphose défini par les équations
^ = iip, y = ^t'
d'où résulte pour les éléments cotés (q) l'équation
liX = l^qy,
qui définit des radiantes issues de Torigine. Au lieu d'inscrire à côté de
chacune de ces radiantes la valeur correspondante de q, le commandant
Ghéry y a placé une lettre de référence renvoyant à une table placée en
regard de l'abaque où se lisent les dimensions de la section donnant cette
valeur de q.
On trouvera, dans la partie du Ghapitre IV consacrée au calcul des pro-
(') Annales des Travaux Publics de Belgique, 1892. Dans le même Mémoire,
M. Vandervin construit un abaque de même type pour le calcul des moments
d'inertie des rectangles.
On en trouve un autre pour le calcul des sections résistantes des travées
droites dans une étude de M. D. Gorrieri {Atti del Collegio degli Ingegneri ed
Architetti in Bologna, 1895).
(') On pourrait, à côté de chaque verticale, écrire la valeur correspondante
de t obtenue par Tintermédiaire de l'hyperbole C, ce qui reviendrait à faire une
anamorphose le long de Ox.
(^) Paris, Ducher et €'•; 1877.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUKS A ENTRECROISEMENT. 6l
fils de remblai et de déblai, d'autres exemples d'abaques à radiantes
{fig» ii6 à 122).
28. Anamorphose logarithmique . — Toute équation repré-
sen table par un abaque à radiantes est également susceptible d'être
représentée par un abaque à parallèles.
Le type d'équation du n" 27 peut, en eflcl, s'écrire, lorsqu'on
prend les logarithmes des deux membres,
Il rentre alors dans le type du n" 26, représentablc par un système
de droites parallèles tracées sur un quadrillage irrégulier.
On appréciera par la suite tous les avantages de cet ingénieux
artifice, dû à Léon Lalanne, et qui a constitué la première formir
sous laquelle s'est présenté à lui le principe de l'anamorphose.
Pour effectuer la représentation de l'équation ci-dessus confor-
mément à la méthode indiquée au n^ 2i, on commencera par
tracer le quadrillage formé par les perpendiculaires élevées respec-
tivement à Ox et à Oy par les points de division des échelles
définies sur ces axes par les équations
(ai) ^=^ 'ilog/i(a, ),
^«î) y- ^log/!(aj).
On n'aura plus ensuite qu'à construire les droites
ce qui peut se faire, ainsi qu'on l'a vu au n^ 26, en graduant la
perpendiculaire O3 à la direction de ces droites suivant la loi
(o, bu) ' ~
Àé —
s/l\ -f- Il
La construction des échelles logarithmiques (a, ), (aj) et (as bis)
n'offre d'ailleurs pas plus de difficulté que celle des échelles des
foDCtions /i , /a et /a lorsqu'on dispose d'un étalon logarithmique
ainsi qu'on l'a fait observer au n" 6.
Au surplus, on trouve maintenant dans le commerce du papier
02 CHAPITRE II.
à quadrillage logarithmique (*), grâce auquel la construction d'un
abaque de ce genre se fait avec la même facilité que celle d'un
abaque non anamorphose sur du papier à quadrillage régulier.
On doit à M. R. Mehmke un autre mode d'utilisation des plus
remarquables de Tanamorphose logarithmique, sur lequel nous
reviendrons plus loin (n** 139) et qui consiste à substituer à cer-
taines courbes algébriques non pas des droites, ce qui ne serait
pas possible, mais de^ courbes qui peuvent être obtenues par
translation d'une seule et même courbe dessinée sur un transpa-
rent.
29. Exemples : i° Quatrième type d* abaque de multiplication, — Les
exemples d'application de l'anamorphose logarithmique sont extrêmement
nombreux. Le plus classique d'entre eux est celui, dû à son inventeur
même, qui a trait au calcul des profils de remblai et de déblai et que Ton
trouvera plus loin (n° 108). Nous aurons d'ailleurs bien d'autres occasions
d'utiliser ce principe dans la suite de cet Ouvrage. Aussi pensons-nous
pouvoir nous borner pour le moment à indiquer l'application classique qui
en a été faite par Lalanne lui-même à la multiplication (<).
Pour représenter l'équation
a, aj = «s,
il suffit, après l'avoir écrite
logai-4-logaj= logaj,
(') Nous signalerons, sur ce papier logarithmique, dont l'idée paraît due à
M. W.-F. Durand, deux intéressants articles, l'un de M. René de Saussure dans
la Bévue scientifique {i* semestre 1894, p. 743), l'autre du P. Poulain dans le
Cosmos (numéro du 29 juin 1895, p. 390).
(') Description et usage de l'abaque, etc. (i845; 2* édition, i85i; Z* édition,
i863). Les exemples d'application de l'anamorphose logarithmique sont très nom-
breux. Nous citerons ceux donnés par M. Collignon pour l'écoulement de l'eau
dans les tuyaux {Cours d* hydraulique)^ par le colonel Goulier pour certaines
corrections topométriques {Mémorial de l'officier du Génie, n" 18, 1868), par
M. A. Kapteyn pour divers calculs relatifs aux machines à vapeur {Revue uni-
verselle des mines, 2* semestre, 1876), par M. A. van Muyden pour le calcul des
conduites d'eau sous pression {Bull, de la Société vaudoise des ingénieurs,
mars 1884 ) ainsi que pour le calcul des conducteurs électriques {Lumière élec-
trique, 9 janvier 1886), etc.
Divers auteurs allemands, MM. G. Hermann {Das graphische Einmaleins, ...,
Braunschweig, 1875), Helmert {Zeitschrift fur Vermessungswesen, 1876),
Vogler {Sechs graphische Tafeln. . .j Berlin, 1877), semblent être arrivés de
leur côté au même principe dont la priorité ne saurait pourtant être contestée à
Lalanne.
IQUATIONS A
! TABIIBLES. IBAQt'ES A ENTRECROH^EMEMT.
X = l logai, y ~ Hoga,,
ce qui donne pour les droites (a,) Téquation
af-H/ = /losa,.
On voit qu'une fois le quadrillage construit les droiles(a]) scdclermineot
1res aisémenl. La droite ayant pour cote une certaine valeur de a, coupe,
en effet, les ases Or et Oy aux points ayant précisément pour cote, dans
les graduations de ces aies, la valeur considérée de a,.
On obtient ainsi l'abaque représenté par la _^ff. 3i.
Fig. 3i
1* Abaque de l'équation des portéei tum
faire voir comment l'anamorphose logarithmique permet de substituer à
des abaques à radiantes des abaques à parallèles. Son rôle se borne dans
ce cas à remplacer des llgnea droites par d'autres lignes droitesd'unc dis-
position plus avantageuse. On saisira par la suite tout l'intérêt d'une telle
substitution, mais il est bon d'observer que l'anamorphose logarithmique
permet encore de construire des abaques à lignes droites pour des équa-
tions qui ne sauraient, sans ce secours, bénéficier d'une telle simplifi-
Une
mple remarquable n
l'abaque de l'équation d
64 CHAPITRE II.
portées lumineuses (*), conslruit pour le Service des Phares par M. E.
Allard qui en était alors Tingénieur en chef. Cette équation est
looLa''^ </*,
où a désigne le coefficient de transparence du milieu, L l'intensité lumi-
neuse et d la portée lumineuse en kilomètres.
Pour construire l'abaque de cette équation, il suffit de l'écrire
log looL — — rfloga -ilogrf,
et de constituer le quadrillage au moyen des formules
(a) X - — Il logrt,
(L) 7 -z /, logiooL,
ce qui donne pour éléments cotés (d) les droites
(d) y = -Y^x-\- ililogd.
On commencera donc par porter sur Ox et Oy les échelles définies par
les formules (a) et (L), pour élever ensuite à ces a\es, par les points de
division ainsi obtenus, les perpendiculaires qui constitueront le quadrillage
de Tabaquc.
M. Allard a donné à ces échelles la forme isograde (n*^8), de façon qu'en
dépit de l'anamorphose le quadrillage présente un aspect régulier. II a
pris pour les modules les valeurs
'1™
'i ^"^ -77- •= I fJJJ. . ..
/î-o"',o4
et a adopté, tant sur l'axe Ox que sur l'axe O/, un intervalle constant
de a""".
Cela conduit à donner à a des valeurs dont les logarithmes décroissent
régulièrement de
0,002 X H .
= 0,001 5
4 •
et à L des valeurs dont les logarithmes croissent régulièrement de
0,002
— r = o,oj.
0,04
D'ailleurs, l'échelle (a) a été construite sur o"',uo de longueur, soit jus-
(') Mémoire sur l'intensité et la portée des phares^ par E, Allard (Paris,
Imprimerie Nationale; 187*3).
tQUATIONB A TROIS TABIAILBS. AiÂQDBB A ENTRECROlSBlSnT. 65
I nombre dg tel que
— j\oga„ = o,t
\o%a„ — — a,i5 — 1,85,
et l'échelle (L) sur o'iSo de longueur avec une limite supérieure égale
1-B 3ï
h\i^
k
: r
loooDtNM), ce qui donne pour la limite inférieure Lg
o,o4(7-'oeLo)-o,3,
66 CHAPITRE II.
OU
logLo = — 0,5 = 1 ,5,
d'où
Lo= 0,3^.
\a fig. 39. reproduit un fragment de Tabaque ainsi obtenu (*)•
M. Allard a remarqué que si (a, L, d) est une solution de l'équation,
c'est-à-dire si
100 La*' = d^y
cette égalité peut s'écrire, X étant un nombre absolument quelconque,
\\\d
iooX«L\a>^) =(Xrf)«
et que, par suite, \a^, X'L, Xrf/ est aussi une solution de l'équation.
On reconnaît là une application du principe de la superposition des gra-
duations (n** âO).
L'équation ci-dessus peut en effet s'écrire
\ loo /
Sous cette forme on voit qu'elle rentre dans le type (6) du n** 21, lors-
qu'on y fait
tti ^~ dy a^T-. L, as =^ a,
ce qui fait correspondre à la solution (d, L, a) la solution (Xé/, X*L, aîcr<).
ainsi qu'on vient de le constater.
Si, par exemple, on prend X = — > on voit qu'à la solution (d, L, a) cor-
respond la solution ( — > — > a^^ ). Le passage de d ci Là — et —^
\ 10 loo I <o loo
s'opère immédiatement de tête. Il n'en est pas de même de celui de a à a*<>.
Pour cette raison, les valeurs de a^^ ont été inscrites à côté de celles de a
sur une seconde ligne. Il suffira donc, si la valeur de a figure dans cette
seconde ligne, de prendre sur l'échelle de L la valeur de looL et de diviser
par 10 la valeur obtenue pour d.
Par exemple, la verticale 0,917 (T" ligne) ou 0,4^2 (it* ligne) coupant
l'horizontale 1,78 sur l'oblique 9, on a les solutions
a -^0,917, L = i,78, û? = 9
et
a = 0,42'-^» L = 0,0178, rf = o,9.
(') PI. K du Mémoire cité.
fiQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 67
m. — Emploi d'un transparent à trois index. Abaques hexagonaux.
Anamorphose graphique.
30. Desiderata à réaliser dans la lecture d^ un abaque. —
L'anamorphose, sur laquelle nous venons de nous étendre, eh per-
inellant de constituer Pabaque de certaines équations, uniquement
au moyen de systèmes de lignes droites et, plus particulièrement,
de droites parallèles, introduit une large simplification dans la
construction des abaques, mais sans qu'il en résulte de changement
essentiel dans leur mode d'emploi.
Celui-ci se réduit toujours à ce qui suit : prendre le point de
rencontre de deux droites cotées, et lire la cote d'une ligne,
droite ou courbe, passant par ce point.
Or, du fait qu'une cote inscrite en un point d'une ligne s'étend
à toute cette ligne, il résulte qu'il faut, soit en partant de cette
cote pour chercher un point d'intersection situé sur la ligne, soit
en parlant de ce point pour chercher la cote, suivre la ligne sur
une certaine étendue.
Cette opération s'appliquant à trois lignes pour chaque lecture,
on risque, pour peu qu'on ait quelque défaut d*attention, de
passer de la ligne qui devrait être suivie à la voisine et, par suite,
de commettre une erreur de lecture.
En outre, si les valeurs des variables auxquelles on a aflaire ne
sont pas de celles auxquelles correspondent des lignes effective-
ment tracées sur l'abaque, il faut, par la pensée, faire une inler-
|)olation entre ces lignes, opération qui n'est pas tout à fait aussi
simple que lorsqu'il s*agit de placer, également à vue, un point
intermédiaire entre ceux d'une échelle portée sur une ligne.
Enfin, Fenchevêtrement des lignes sur les abaques précédem-
ment décrits peut, à la longue, produire une certaine fatigue de
la vue.
Ces inconvénients ne sont pas, tant s'en faut, de nature à faire
renoncer à l'emploi des abaques construits comme on "vient de le
dire; on peut d'ailleurs les atténuer, dans une certaine mesure,
par l'emploi de traits de force convenablement espacés dans le
réseau des lignes tracées (n^ 43) ; ils sont assez sensibles cependant
pour qu'on se soit préoccupé des moyens de s'en affranchir.
68 CHAPITRE II.
Le but à atteindre peut, d'après ce qui vient d'être dit, être dé-
fini ainsi qu'il suit : faire en sorte que, sur l'abaqoe, une cote ne
soit attachée qiCà un seul point, l'équation à représenter se tra-
duisant par une certaine relation de position entre plusieurs
points.
On trouvera plus loin (Ch. Ill) une méthode d'une grande gé-
néralité permettant d'atteindre ce but. Mais nous possédons dès
maintenant le moyen de réaliser cette condition pour les équa-
tions représentables par trois systèmes de droites parallèles, grâce
à une nouvelle extension de l'usage des transparents dont il a été
question aux n" 13 et 18.
31. Transparent à trois index. — Si nous nous reportons au
n° 26, nous voyons que pour construire l'abaque de l'équation
nous n'avons (en prenant les modules /| et /^ égaux entre eux et
les désignant alors par la seule lettre /) qu'à porter sur les axes
Ox et Oy supposés rectangulaires et sur leur bissectrice 0^ les
échelles définies par
X - //i(a,),
y- //î(«0,
/
•X
et à élever, par les points cotés de ces échelles, des perpendiculaires
respectivement à ces trois axes.
Si donc nous avons recours à l'emploi d'un transparent tel
qu'il a été indiqué aux n"** 13 et 18, nous voyons que nous pour-
rons, grâce à ce transparent, rendre inutile, non seulement le
tracé des perpendiculaires élevées aux axes Oor et Oy respecti-
vement par les points des graduations (ai) et («2), mais encore
celui des perpendiculaires élevées à Oz par les points de la gi*a-
duation (a.^) pourvu que, par le centre 'du transparent, point de
rencontre des index I^ et I2, nous fassions passer un troisième
index I3 perpendiculaire à 0.3 {/i^^' 33).
Lorsque nous déplacerons ce transparent, en lui consentant
son orientation, ses trois index I|, J2 et I3 coïncideront à chaque
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 69
instant avec trois des droites que Ton s'est dispensé de tracer et
dont les cotes se correspondent en vertu de l'équation donnée.
En d'autres termes, il suffit, le transparent ayant une orien*
TATioir CONVENABLE ( * ), de faire passcr les index l| et\^ respec-
Uvement par les points a, et a2 des axes Ox et Oy pour que
l'index Ij donne a, sur l'axe Oz,
Fig. 33.
L'abaque, dans ce cas, se réduit donc aux trois échelles recti-
li^es (^4), {0L2) et (as), complétées par le transparent portant les
trois index Ii, la et I3 (^).
Cet emploi du transparent mobile a été proposé par M. Blum,
à l'occasion des calculs de terrassements, dans une Note sur
laquelle nous aurons occasion de revenir (') (n® 108).
(') Poar le maintien de l'orientation du transparent, voir ce qui a été dit au
D- 13.
(') Il y a lieu de se préoccuper des variations du papier en longueur et lar-
geQr; avec un papier de bonne qualité, ces variations, bien que pouvant difTérer
d'un lens à Taulrt, sont uniformes dans chaque sens, ainsi que permet de le con-
sulter ce fait qu'un rectangle dont les côtés sont parallèles aux bords de la feuille
de papier ne cesse pas d'être un rectangle. S'il reste semblable à lui-même, c'est
qoe tous les angles se sont conservés sur la figure, les droites restant des droites.
Par soite, l'application du transparent à trois index donne les mêmes résultats
gae s'il n'y avait eu aucune variation. Si le rectangle ne reste pas semblable à
loi-même, c'est que, les droites restant encore des droites, les angles ne se sont
pas conservés; par suite, le transparent précédent ne peut plus servir. Mais, si
r<Hi a eu soin de figurer sur l'abaque les directions des normales aux trois
échelles, elles donneront, à chaque instant, les directions corrigées des trois
index du transparent.
(') A. P. C, i* sem., p. 455: 1881.
70 CHAPITRE II.
Remarque, — li n'est pas essenliel que les trois échelles don-
nant les cotes des trois systèmes de parallèles, non tracés, aux-
quels on substitue les index du transparent, soient perpendiculaires
à la direction de ces systèmes; il n^est même pas nécessaire
qu'elles soient reclilignes. Supposant, en effet, les trois systèmes
de parallèles d'abord construits, nous pouvons inscrire leurs cotes
à leur rencontre avec des lignes quelconques et effacer ensuite
ces systèmes en ne conservant que leurs graduations avec les
lignes leur servant de support. L'application du transparent
convenablement orienté sur le tableau formé par les trois échelles
curvilignes conservées tient lieu des systèmes de parallèles effacés.
On peut même, si les trois graduations ne se gênent pas
mutuellement dans les limites admises, les inscrire le long d'une
seule et même ligne.
Mais, si des circonstances spéciales peuvent, en certains cas,
conduire au choix de telles dispositions, il est, d'une manière
générale, préférable sous le rapport de la précision, d'adopter des
échelles perpendiculaires à la direction des index correspondants.
32. Principe des abaques hexagonaux, — Si l'on se reporte
au numéro précédent, on voit que, moyennant l'emploi du trans-
parent à trois index,. la construction de l'abaque d'une équation
représentable par trois systèmes de droites parallèles se réduit à
la construction des échelles des trois fonctions /"i (ai), /^{(x.^) et
f^i^z) respectivement portées sur les axes Ox^ Oy et leur bissec-
trice Oz, avec le même module, d'ailleurs quelconque, pour les
deux premières, et ce module divisé par y/2 pour la troisième. Or,
il arrive souvent que ces trois échelles dérivent d'un même étalon
(n^ 6), l'étalon logarithmique par exemple; il y aurait donc avan-
tage à pouvoir constituer l'abaque au moyen de trois échelles de
même module. Cette considération fait ressortir a priori l'intérêt
qui s'attache à l'artifice, dû à M. Lallemand, dont il va être main-
tenant question et qui a encore l'avantage d'une disposition plus
symétrique des échelles, celles-ci étant parallèles aux trois côtés
d'un triangle équilatéral.
Cet artifice, auquel l'auteur est parvenu par une voie qui sera
indiquée plus loin (n** 33), consiste à faire usage des coordonnées
ainsi définies : Ayant pris deux axes Ox et Oy faisant entre eux
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 71
un aDgIe de -^ ou 120°, les coordonnées d'un point sont les
distances de Torigine O aux pieds des perpendiculaires abaissées
de ce point respectivement sur Ox et Oy.
Dans un tel système de coordonnées, toute droite est représentée
par une équation du premier degré
ax -h by -^ c = o.
On trouve, en outre, bien aisément, que la distance de Torigine
à cette droite est donnée par
Q :— . . . - - - _ -■ -
I / a* -f- 6* -h a a6 cos ^
S
En particulier, si Ton prend une droite perpendiculaire à la
bissectrice O^s de xOy^ droite dont l'équation est de la forme
on a
fi ,
0 = — //.
2 COS-
O
Dès lors, Fabaque de Téquation
étant défini, avec le module /, au moyen des équations
x-\-y = IMoLi^,
celles-ci, où x eiy désignent nos nouvelles coordonnées, repré-
sentent, comme dans le cas des coordonnées cartésiennes, des
droites respectivement perpendiculaires à Ox, à Oy et à la bissec-
trice Oz de Tangle de ces axes; mais ici les distances de Toriginc
aux droites du troisième système, qui définissent Téchelle portée
sur O^, sont données, en vertu de la formule ci-dessus, par
On obtient donc alors sur Os une échelle de même module que
celles portées sur Ox et Oy,
La construction de Fabaque se réduit par suite à celle des échelles
72 GHAPITRB 11.
des fonctions /i (ai), fii^a) el/3(aj), eiTectuée avec le même mo-
dule, respectivement sur les axes Ox, Oy et Oz tels que l'angle
jcOy soit égal à -^ ou 120®, et que Oz soit la bissectrice de cet
angle {^g. 34).
Ici, les index I| , Is et I3, respectivement perpendiculaires à Ox,
Oy et Oz constituent les trois diagonales d'un hexagone régulier,
d'où le nom d'abaque hexagonal donné à ces sortes de dia-
grammes.
Si donc on veut constituer le transparent au moyen d'une ma-
tière rigide ayant des bords parallèles aux trois index, on lui
donnera la forme d'un hexagone régulier.
Fig. 3i
L'orientation du transparent sera encore assurée au moyen de
parallèles équidistantes à la direction de Kun des index (*), et son
mode d'emploi ne différera pas de celui que nous avons précé-
demment indiqué pour les abaques à axes rectangulaires (n® 31).
Nous croyons bon toutefois de le rappeler :
Le transparent étant orienté, et son index I| passant par te
point coté ai de ta première échelle, on le fait glisser dans ta
direction de cet index (en appuyant une règle contre l'un de
(') Pour assurer rigoureusement cette orientation, il suffit de tracer sur le
transparent un index I^ perpendiculaire à I,. Cet index étant mis en coïnci-
dence avec O27 de façon que le centre du transparent marque le point coté a, sur
cet axe, on applique une règle contre un des bords du transparent, parallèles
à I,, et Ton fait £;lisser ce transparent le long de la règle jusqu'à ce que l'index I,
passe par le point coté a, sur 0^.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 78
ses bords parallèles à I| s'il est rigide) Jus qu^ à ce que r index I2
passe par te point a2 de la deuxième échelle. U index I3 ren-
contre alors la troisième échelle en un point dont la cote est
la valeur aj demandée.
33. Forme géométrique élémentaire du principe précédent.
— Appelons A, B, Clés points où les index I|, I2, I3 rencontrent
respectivement Ox^ Oy^ Oz {fig- 35).
Les segments OA, OB et OC représentent, d'après le numéro
précédent, lf\{^\)^ '/iiC^a) ^t ijz{^z)- On a donc
OC = OA -+- OB,
et comme ces segments ne sont autres que les projections de la
distance des points O et O' sur Ox, Oy et O5, on voit que Téga-
lité précédente exprime la propriété qui s'énonce ainsi :
La projection d'un vecteur sur la bissectrice d'un angle
de 120^ est égale à la somme des projections de ce vecteur sur
les côtés de cet angle.
Cette propriété est d'ailleurs bien facile à démontrer direc-
tement. Elle traduit, en effet, l'identité trigonométrique
COSO)
= COS ( ^ — O) j -^ cos f j — w j ,
dont la vérification est immédiate, attendu que
COS ( T -+"*«* ) -r" COS ( ô — W ) =2 COS O) cos -
74 CHAPITRE II
et que
TT I
cos - = -
3 2
On peut donc, par une marche inverse, partir de ce théorème
tout élémentaire pourétabh'r le principe des abaques hexagonaui[.
C'est d'ailleurs ainsi qu'a procédé M. Lallemand pour établir hi
théorie de ce genre d'abaque (* ).
La voie par laquelle nous y sommes parvenus, un peu moins
élémentaire sans doute, a toutefois l'avantage de rattacher plus
intimement cette théorie au corps même de la doctrine exposée
dans cet Ouvrage et qui embrasse la généralité des abaques.
34. Déplacement des échelles (-). — Si l'on se donne les limites
des variables ai et a2 auxquelles correspondent respectivement les
points « et B| d'une part, Aj et B^ de l'autre, les limites de a»
en résultent attendu que lorsque les index 1| et I^ passent respec-
tivement par A| et A2, l'index I3 détermine sur la première
échelle le point As; de même pour Es- On voit, en outre, en
vertu du théorème énoncé ci-dessus, que l'on a
A3B3= AjBi-+-A,Bj.
Les points cotés sur A| B| servent à déterminer la position do
l'index 1| dont la direction, perpendiculaire à A|B|, est fixe. Il
résulte de là que si l'on déplace l'échelle A| B| dans cette direc-
tion pour la reporter en A', B'^, chaque point coté continuera à
définir la même position pour l'index I| {Jig. 36).
La même remarque s'appliquant aux deux autres échelles, on
voit que chaque échelle peut être déplacée d^une quantité quel-
conque normalement à sa direction.
On pourra donc prendre pour supports des échelles (ai), (a2)
(' ) En dehors de la Note insérée, en i88(), dans les Comptes rendus, par la-
quelle M. Lallemand a porté sa méthode à la connaissance du public, il en a
sous forme de feuilles autographiées, datées de i885, donné un exposé complet
qu'il a bien voulu mettre à notre disposition et d'où nous avons ti^ tous les
renseignements relatifs à ses travaux personnels, qui ont trouvé leur place dans
cet Ouvrage.
(') Les remarques contenues dans les n*" 34 et 35, faites par M. Lallemand à
propos des abaques hexagonaux, s'appliqueraient aussi bien aux abaques du 0*^31.
7^
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT.
et (as) trois droites quelconques X, Y, Z parallèles aux axes Ox^
Oy et 0^ précédemment définis. 11 faudra toutefois rigoureu-
sement observer la condition que les origines A|, A2 et A3 des
trois graduations se correspondent, c'est-à-dire qu'elles se trouvent
simultanément sous les index I|, I2 et I3.
Fig. 36.
Nous sommes ainsi amenés au mode de construction suivant
des abaques hexagonaux :
Ayant choisi trois droites X, Y et Z formant un triangle
équilatéral, et ayant pris sur X un certain sens positif, nous
définissons les sens positifs sur Y et sur Z par la condition
qu'ils fassent avec le premier des angles {comptés dans le sens
trigonométrique positif ) respectivement égaux à— et à -•
Si a% et è| sont les valeurs limites de a,, a^ et 63 celles de a2,
nous construisons sur X et Y, avec un même module l d'ailleurs
quelconque, les échelles des fonctions f^{^\) et f2{^2) entre
ces limites, en faisant correspondre à a^ et à a^ des points A,
et As quelconques.
Les perpendiculaires élevées àlLetàY en Ai et A2 se coupent
en un point dont la projection sur Z est A3. Nous construisons
alors sur Z, toujours avec le module /, l'échelle de la fonction
76 CHÀPITRB II.
./:i(*s) ^'* faisant correspondre le point A, à la valeur a^ telle
que
et nous la prolongeons jusqu^au point qui est la projection
sur Z du point de rencontre des perpendiculaires élevées à X
et à Y par les points 61^^62 qui répondent aux valeurs limites
bt et b^ des variables a, et cl^.
Remarque, — Rien n^empéchera, le cas échéant, s'il en ré-
sulte une meilleure disposition de Tabaque, de prendre, pour le
support de Tune des échelles, une première droite jusqu'à une
certaine valeur, puis une autre, parallèle à la première, à partir de
cette valeur [voir les fig. ^\ et 142 ).
35. Fractionnement des échelles, — Entre les limites ai et è|
d'une part, a^ et 62 ^^ l'autre, prenons des valeurs intermédiaires
quelconques C| et C2.
Quatre cas peuvent alors se présenter :
I ai est compris entre ai et Ci at entre a^ et €%
II ai » Cl et bi QC] » ai et c%
III ai » ai et Cj oLf » c% et bf
IV ai •* Cl et bi aj » Cj et bt
Nous pouvons dès lors, sur une même feuille de papier, con-
struire, d'après la règle qui a été donnée au numéro précédent, les
abaques correspondant à ces quatre cas, indépendamment les uns
des autres, mais en conservant de l'un à l'autre la même direction
pour les axes.
Si l'on aligne sous une même position de l'index 1| les limites
inférieures ai et Ci des deux tronçons de la graduation (ai), et
sous une même position de l'index I2 les limites inférieures as et
6*2 des deux tronçons de la graduation (^2), il en résulte que les
limites inférieures des quatre tronçons de la graduation (a^) sont
aussi alignées sous une même position de l'index I3 {Jig> 37).
Il faut bien remarquer, d'ailleurs, que chacune des graduations
(aj) des cas 11 et III est formée de parties empruntées aux gra-
duations (as) des cas I et IV, puisque l'ensemble de celles-ci re-
présente la graduation complète allant de (ai, 6|) à (a2, 62)*
Equations a tbois variables, abaques ^
L'easemble de» quatre abaques, ainsi réunis sur le même U-
bleau, équivaut à l'abaque unique construit précédemment, et.
-i.
grâce à ce fractionnement, il occupe une place beaucoup
moindre.
Eo outre, le travail que représente l'établissement de cft
abaque fractionné n'est guère supérieur à celui que comportait
l'abaque unique. En effet, les deux échelles (a,), ou les deux
échelles (ctj) respectivement mises bout à bout reproduiraient les
échelles (a,) et (otj) non fractionnées; de même pour les deu\
échelles (xi) construites pour les cas I et IV. Quant aux deux autres
échelles («s), correspondant aux cas H et III, nous venons de
voir qu'elles sont constituées par des parties empruntées aux deux
précédentes. Une fois celles-ci construites, leur établissement
représente donc un supplément de travail insignifiant, à savoir
celui qu'entraine le report sur un axe d'une partie de graduation
relevée sur un autre axe.
Ici se place, d'ailleurs, une remarque essentielle : il arrive trè^
fréquemment en pratique que les valeurs des deux variables in-
dépendantes a, et Oit, entre leurs valeurs extrêmes a, et b,, a-.
et 6ï, ne s'anocient pas d'une manière quelconque, mais que
78 CHAPITRE II.
leurs variations simultanées, quoique indépendantes, sont de
même sens.
Dans ce cas, très fréquent, je Je répèle, on pourra trouver dans
les intervalles de a^ à b% et de a^ à 62 ^es valeurs moyennes c%
et C2 telles que ai et fx^ leur seront ensemble respectivement su-
périeures ou inférieures. Dès lors, n'ayant jamais à associer une
valeur de ai inférieure à C| à une valeur de a^ supérieure à Cj, et
inversement, les combinaisons II et III ci-dessus ne se produi-
ront jamais et la construction des échelles (a^) correspondantes
devient inutile.
La construction de Tabaque à échelles fractionnées ne repré-
sente alors pas plus de travail que celle de Tabaque à échelles non
fractionnées.
En tout cas, pour éviter qu^il y ait confusion dans la manière
d^associer les divers tronçons d'échelles, on placera à côté de
chacun d'eux certains signes, des chiffres romains par exemple,
se référant aux abaques partiels dans lesquels il intervient, de sorte
qu'on n'aura pour chaque lecture qu'à associer trois tronçons
portant le même chiOre romain.
On pourrait aisément généraliser ce qui précède, et supposer
(|ue l'on fractionne les échelles (ai ) et (aj) respectivement en n%
el /i, tronçons, ce qui conduirait à construire n^ n^ tronçons
d'échelle («3), à moins que la remarque précédente ne s'appli-
quât; mais une telle généralisation, théoriquement sans diffi-
culté, est pratiquement sans intérêt :. il est donc inutile d'y
insister.
II arrivera, au contraire, très fréquemment, qu'il n'y aura lieu
de fractionner que l'une des échelles (a,) et (aj), la seconde, par
exemple.
11 suffit, pour tomber sur ce cas, de supposer dans ce qui pré-
cède C| = 6,.
'i6. Exemples : i" Cinquième type d'abaque de multiplication. —
L'équation de la multiplication étant mise, comme au n° 29, sous la forme
loga, -hlogotj = logaj,
on voit que l'abaque hexagonal correspondant, emprunté à M. Lallemand,
se construira immédiatement suivant le mode indiqué au n** 34, les trois
échelles fonctionnelles étant ici de simples échelles logarithmiques données
EQUATIONS A nota TARIABLKS. ABAQUES A KKTRECROISEHRNT. 79
|iar un ménieétalon. C'est là un cas où se manifeste bien nettement l'avan-
tage sigBalé dans le premier alinéa du n° 32.
Surl'abaque delajï^. 38les^chellea de (ii)et de (1,) à câté desquelles
Fig. 38.
on lit la lettre A ont élé l'une et l'autre fraclionnêes au point 3, et leurs
seconds tronçons B ont été disposés de telle sorte 'que, pour le tronçon de
l'écbelle (a,) correspondant aux tronçons B, les points de division soient
les m£mes que pour le tronçon de cette échelle (aj) correspondant aux
tronçons A. Pour qu'il en soii ainsi, il a suffi, ayant pris le point 1 du
premier tronçon AA de l'échelle (aj), d'en faire le point 10 du deuxième
tronçon BB. Le point g de ce deuxième tronçon s'est dés lora trouvé dé-
terminé, et il a suffi de placer les points 3 des tronçons B de (et]) et
de (il) sur les parallèles aux index I, et Ii menées par ce point g.
Associant ensuite le tronçon A de l'une des échelles avec le tronçon B
de l'autre, on a obtenu, vu l'identité de ces échelles, le même tronçon AB
constitué par la partie 3 à 10 de AA et la partie lo à 3o de BB mises bout
i bout, le point 3 se trouvant sous la position de l'index I,, quand les
index It et fi passeat respectivement par les points 1 et i d'un tronçon A
et d'un tronçon B conjugués.
1* Abaque dei correclioiu dynamiques de niveau. — Les corrections
d'altitude ■^t et de latitude 7)t, exprimées en décimillimètres, qu'il faut
faire subir à une différence brute de niveau d, exprimée en mètres, pour
8o CHAPITRE II.
obtenir ia différence correspondante de niveau dynamique, sont données
par
T^i = — o,ooi9<iH,
T^f = — -AÔ dcosiX,
H étant l'altitude moyenne exprimée en mètres, X la latitude moyenne
exprimée en grades.
Remarquons que, sauf le cas très exceptionnel de régions situées en
contre-bas du niveau de la mer (pour lesquelles H est négatif), la cor-
rection d'altitude 7)i est de signe contraire à celui de la différence de
niveau.
En outre, la correction de latitude t)) doit être prise avec le signe de la
différence de niveau ou le signe contraire suivant que la latitude X est
supérieure ou inférieure à - ou 5o^.
Nous sommes ainsi amenés à négliger les signes des seconds membres,
et, par suite, à prendre la même valeur de r^^ pour deux valeurs de X sup-
plémentaires, ce qui montre qu'il n'y aura lieu de faire varier X qu'entre
o et — •
2
Cela posé, pour traduire ces formules en abaques hexagonaux, il suffira
«le les écrire
logrf-T-logH -^ logo, 0019 = log|Tî, |,
loge? -h log COS2X -t- log26 = log I T^t I-
Pour la première, on aura donc à construire :
Sur l'axe X, l'échelle ;r — /loj;ûf,
•) Y, u ^r^ /(logïl-^ logo, 0019),
» Z, » z -. /log|7), |;
pour ia seconde :
Sur l'axe X, l'échelle x — llo^d^
» Y, » J' = /(logCOS2X f- log26),
» Z, ». z -- /l0g|7), |,
/ étant un module quelconque.
On voit que de l'un à l'autre abaque les échelles portées sur X et sur Z
sont les mêmes. On pourra donc les prendre en commun, et construire
parallèlement l'une à l'autre les deux échelles (H) et (X) portées sur les
axes Y.
En outre, on pourra fractionner réchelle {d) commune au point d = 10,
en faisant coïncider le point 10 du second tronçon avec le point i du pre-
mier, ce qui entraînera de même la coïncidence de tout point 10 s du se-
cond tronçon avec le point a du premier. •
D'ailleurs, les corrections t), etTjj étant proportionnelles à rf, le tronçon
£QI:ATI0.%S a TBOIX TARIABUS. abaques a EMBEOBOISEXE-IT. I
correspondaDt de l'échelle (t„, t;,) s'obtiendra ïiimplcmcnt en multiplia
par to les cotes des points du premier tronçon ( ■ ),
C'est ainsi qu'a été obtenu l'abaque île la Jîg. 3g emprunté ù M. I.all
mand (').
KiB- 39.
(') On reconnaît li une applii
pnndants (d> 31).
(•) Nivellemtnt de haute préc
82 CHAPITRE II.
■ Pour éviter toute confusion, on a souligné les cotes des seconds tron-
çons des échelles (d) et (r^j, r^j).
Le mode d'emploi de l'abaque, moyennant cette distinction des deux
tronçons des échelles (d) et (tji, tjj), se résume donc en ceci :
Le transparent étant orienté, et son index Ij passant par le point
coté d de la première échelle, on le fait glisser dans la direction de
cet index de manière à amener son index Ij à passer successivement
par les points cotés H etX des secondes échelles {^verticales) \ dans ces
deux positions^ l* index I3 donne sur la troisième échelle d'abord r^,,
puis r^j.
On trouvera plus loin (n** 109) une autre application de la méthode des
abaques hexagonaux dans le cas des équations à trois variables.
37. Juxtaposition d* abaques hexagonaux. Abaques à glis-
sement. — Le principe des abaques hexagonaux a été étendu par
M. Lallemand lui-même à des équations contenant un nombre
quelconque de variables, grâce à un artifice qui peut revêtir la
forme analytique que voici :
Prenant un nombre quelconque de fonctions d^une variable,
posons
(I)
(2)
(3)
(4)
• ■ •
Nous pourrons représenter ces diverses équations par des aba-
ques hexagonaux définis par les mêmes axes Ox, Oy et Oz, en
ayant soin d'écarter les unes des autres les échelles parallèles à un
même axe par application de ce qui a été vu au n** 34, c'est-à-dire
en alignant les origines de ces échelles sur une perpendiculaire à
leur direction commune menée par l'origine O.
Nous définirons, d'ailleurs, les échelles des divers abaques par
les formules (où, pour plus de simplicité, nous faisons le module /
égal à 1)
(H) x-^a,,, y = - fz{^z), -5 = <yj,
(III) a? = (14, y^ M^'.)^ ---^«^6,
(IV) ^-cio, r^- /si»:.). - ^ «^5,
/.(«.)
--/2(aj) = <r.i,
/a («s)
--<r3 -^K.
/*(«*)
- dv -~^- «^6,
M^^)
-;-<T5 — ^^6,
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 83
Suivant que n sera pair ou impair, les formules relatives au der-
nier abaque seront
<N — II) a7=<T„, y ^— //l-l(a/l-l), Zr=fJn-\
ou
On voit que les abaques des équations (A*) et (A'-f-i) ont en
commun l'échelle de Oz si k est impair, celle de Ox si A* est pair.
Par conséquent, pour /aire passer le transparent de sa position
sur V abaque de rang (k) à sa position sur r abaque de rang
(Ar-l-i), il suffit^ en maintenant son orientation, de le faire
glisser perpendiculairement à Oz, c'est-à-dire dans la direc-
tion DE l'index I3, SI k EST IMPAIR, perpendiculairement à Ox,
c'est-à-dire dans la direction de l'index I|, si At est pair.
Cela posé, remarquons que les équations (i) à (n — 2), addi-
tionnées ensemble, donnent
/i(ai)-+-/t(«2}-+-----+-/«-i(««-i) = ^n-
Construisons sur l'abaque les échelles (ai), (aa), ..., (oLn-i) à
l'exclusion des échelles (c'a), (^•4), . . ., (o'w-i) et sur l'axe qui por-
terait l'échelle (o*,,), construisons celle de la fonction — /«(a,/),
c'est-à-dire construisons l'échelle ^ = — fn{^n) si n est pair,
l'échelle z = — fn{^n) si n est impair.
Nous aurons ainsi
(E) /i(ai)-H/i(a,)H-...-4-/«_,(art_,)-+-/«(a„) = o,
et nous voyons, d'après ce qui vient d'être dit, que tout système
de valeurs de «i, aj, . .,, a^ satisfaisant à l'équation ( E) sera tel
que, si, après avoir fait passer l'index 1| par le point (a,), on
donne au transparent les glissements alternatifs qui viennent d'être
définis, de manière à prendre successivement avec l'index I2 les
points («2), («3), ..., (a„_i), l'index l| si n est pair, I3 si n est
impair, donnera, dans la dernière position du transparent, la va-
leur de a„ sur l'échelle correspondante.
En résumé, la représentation de l'équation (E) ci-dessus s'ob-
tiendra comme suit {fig* 4o et 4o bis) :
En ayant soin d'aligner les origines des échelles parallèles
à un même axe sur une perpendiculaire élevée enO à cet axe,
S^ CHAPITRE II.
on construit parallèlement àOx l'éclielle de la fonction f,{%i),
parallèlement à Oy celles des fonctions ft{<i'3), ^/a(*a)-
/,(«,). —/j(a,}, ..., i~ i)''f„_,{ai„_,), enfin parallèlement et
Ox si n est pair {fig. ko), à Os si n est impair {fig. 4o bis),
celle de la fonction —fni^n)-
Fig. V-
On trace, en outre, deux flèches F' et F" perpendiculaires
l'une à Oz, l'autre à Ox.
El le mode d'emploi de l'abaque est le suîvanl :
Le transparent étant convenablement orienté, on fait passer
.son index l, par le point (a, ), son index I^ par te point («ï).
puis on le fait glisser alternativement dans le sens des flèches F'
et F", de façon à amener successivement son index ï-i à passer
par les points (aj), («i), («j) Quand cet index Ij passe
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 85
par le point (a;,_i), Vindex^ l| ou I3, perpendiculaire à
^échelle (oin)y rencontre cette échelle en un point dont la cote
est la valeur de aL„ demandée.
Nous rencontrons ainsi un premier exemple de représentalion
d'une classe d'équations à un nombre quelconque de variables.
38. Exemple : Abaque des sinus et des tangentes, — Nous emprun-
terons à M. Lallemand l'exemple suivant :
Soit à représenter les équations
ai sinx] = a4 sinaa,
(Zitangas= oc^tangas,
qui sont d'un usage fréquent dans les applications de la Trigonométrie
plane. Nous les écrirons
logai-h logsinaj — logsina3 — loga^— o,
logai •+■ log tangsj — ^og tangas — loga4= o.
Pour représenter la première, nous n'aurons, d'après ce qui précède,
qu'à construire parallèlement à Ox l'échelle des fonctions log^i et loga^
qui n'en formeront qu'une, parallèlement à Oy celle des fonctions log sînaj
et log sinaa qui se confondront également.
De même pour la seconde équation, en changeant les log sin en log tang.
On pourra, d'ailleurs, faire coïncider les échelles logarithmiques (ai), ou
échelles des longueurs, des deux abaques. On obtient ainsi \^ fig, \\ sur
laquelle Téchelle des tangentes a été fractionnée au point coté 4^*'<
Il n'y a ici à effectuer qu'un seul glissement dans la direction des pa-
rallèles équidistantes tracées sur l'abaque.
Le mode d'emploi sera donc le suivant :
Faire passer les index Ii et Ij du transparent convenablement orienté
respectivement par les points (œi) de V échelle des longueurs et {if) de
Véchelle des sinus {ou des tangentes)^ puis faire glisser ce transparent
dans la direction des parallèles équidistantes jusqu'à ce que son in-
dex I2 passe par le point {1^) de r échelle des longueurs; son index \ y
coupe alors Véchelle des sinus {ou des tangentes) au point coté («4).
Si, après avoir pris l'échelle des sinus dans la première position du
transparent, on prenait, après glissement, l'échelle des tangentes, on au-
rait résolu l'équation
ai sina2= a^ tangaa.
39. Définition de V anamorphose graphique, — Tous les
abaques envisages jusqu'ici dérivaient d'un type unique ainsi
S6
CHAPITRE II.
constitué : un quadrillage coté sur lequel est dessiné un faisceau
de courbes cotées.
Les cotes des verticales du quadrillage se rapportent à une des
variables ai, celles des horizontales à une autre variable aj, enfin
les cotes des courbes à la troisième variable aj, et les valeurs de
ces trois variables se correspondent en vertu de Téquation pro-
posée lorsque cette verticale, cette horizontale et celte courbe se
croisent en un même point.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 87
Les diverses cotes croissant par échelons égaux ^ le quadrillage
pourra être régulier ou irrégulier, c'est-à-dire que les deux s;ys-
tèmes de parallèles qui le constituent pourront être à intervalles
égaux ou inégaux.
L'abaque d'une équation à trois variables, construit avec un qua-
drillage quelconque, pourra toujours être considéré comme trans-
formé de celui que donne la mélhode cartésienne (n" 16), si Ton
fait correspondre à chaque droite du quadrillage régulier que com-
porte celle-ci la droite parallèle de même cote du quadrillage
irrégulier que l'on aura choisi.
Rien d'ailleurs n'est plus facile que de passer de l'abaque car-
tésien à son transformé. Si, enefiet, un point du premier se trouve
à la rencontre de la verticale a, et de l'horizontale a^, son trans-
formé sera également sur le second à la rencontre de la verticale
a, et de l'horizontale ol^* Cette remarque, appliquée aux divers
points d'une courbe tracée sur le premier abaque, permet de con-
struire immédiatement la courbe correspondanle sur le second.
L'anamorphose, telle qu'elle a été ci-dessus envisagée, a pour but
de déterminer ce quadrillage irrégulier de façon que toutes les
courbes données par la méthode ordinaire sur le quadrillage ré-
gulier deviennent des droites.
On vient de voir à quel caractère analytique se reconnaît la pos-
sibilité d'une telle transformation et de quelle façon elle se réalise
pour une équation de forme donnée, mais on peut aussi tenter de
l'effectuer sur un abaque cartésien dont les courbes ont été obte-
nues empiriquement, en transformant l'une d'elles, suivant le
mode indiqué au n'* 15 et voyant, avec le nouveau (|uadrillage ainsi
déGni, ce que deviennent les autres.
Une telle anamorphose est dite graphique, Lalanne en a fait
connaître un exemple remarquable, relatif à Tabaque qui traduit
la loi de mortalité de Demonferrand pour la population fran-
çaise (').
M. Lallemand a utilisé l'anamorphose graphique à un autre
point de vue, en se proposant non pas de substituer des droites à
(') Mémoire sur les Méthodes graphiques <, dans les Notices publiées par !«'
Mioistère des Travaux publics à l'occasion de IP^xposilion de .Melbourne (Iinp.
iNat.; 1880), p. 3;4 à 879.
88 CHAPITRE II.
des courbes, maïs de remplacer des courbes coupant un des sys-
tèmes d'axes du quadrillage sous un angle trop pelit par d'autres
courbes ne présentant pas le même inconvénient par rapport aux
axes du quadrillage transformé.
40. Exemple, — En voici un exemple emprunté à cet auteur :
Ayant à représenter Téquation (')
«8 — «3
supposons que Ton pose d'abord
/ étant un module quelconque, ce qui définit un quadrillage régulier. Nous
aurons alors pour les courbes cotées («3) l'équation
X y -^- /aa
/ ~ y — /ci3
qui représente des hyperboles équilatères passant toutes par le point
(x = — l^y = o) et toutes asymptotes à la verticale x — l {Jig. 4^^)-
L'angle sous lequel chacune de ces hyperboles rencontre les horizontales,
très aigu au voisinage de Oy^ croît rapidement à mesure qu'on s'éloigne
de cet axe pour devenir, à la limite, égal «à - quand x — /. La précision avec
laquelle s'obtiennent les points de rencontre suit une loi inverse.
Pour remédier à cet inconvénient, M. Lallemand a eu recours à une
anamorphose graphique ayant pour effet de substituer à ces hyperboles
des courbes coupant les horizontales dans toute la portion utile du plan
sous des angles différant peu de ^•
4
Cette anamorphose graphique ne porte d'ailleurs que sur les hori-
zontales du quadrillage, les verticales restant invariables.
Ayant pris la courbe du faisceau correspondant à la valeur moyenne de
«3 (ici 23= 5), on lui mène une tangente TT' faisant avec les axes des
angles égaux à -^1 et l'on définit le uiodc de correspondance entre les nou-
4
vellos et les anciennes horizontales ainsi qu'il suit :
Pour une même cote les points de rencontre de la première horizon-
tale avec Vhyperbole 5 et de la seconde horizontale avec la droite TT'
sont sur une même verticale.
(' ) Pour ref)rcsenler celte équation par trois syslènios de lignes droites, il suf-
lirait de poser x — aj, y -- a^
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 89
C'est, on le reconnaît immédiatement, la transformation de l'hyperbole 5
en la droite TT' suivant le mode envisagé au n** Ifi, le transport des
points ayant seulement lieu parallèlement à Oy au lieu de Ox.
Par exemple, les premières horizontales 10, 20, 3o, 40, 5o coupant l'hy-
perbole 5 aux points a, p, y» ^î ^» ^^ mène par ces points des verticales
qui coupent la droite TT' aux points a\ P', y', 0', z'. Les secondes horizon-
tales 10, 20, 3o. 4o, 5o sont celles qui passent par ces points.
l'ig. 4j.
Rien de plus facile, dès lors, que d'obtenir la transformée d'une courbe
de Tabaque primitif. Ayant pris ses points de rencontre avec les diverses
horizontales de cet abaque on les reporte par des verticales sur les hori-
zontales correspondantes du nouvel abaque.
C'est ainsi que sur \^ fig. 4?- les courbes i et 10 en trait gras(*) ont été
déduites des courbes i et 10 en trait fin. Quant à la courbe 5, elle a pour
transformée la droite TT' elle-même. On voit que les angles de ces courbes
ir
avec les horizontales s'écartent peu de -
4
(') Un calcul bien facile montre que ces diverses courhos ont des équations de
même forme que les précédentes. Ce sont donc encore des iiyperboies.
go CHAPITRE II.
IV. — Anamorphose générale.
41 . Principe. — L'idée de ranamorphose, développée dans les
paragraphes précédents, conduit tout naturellement à la générali-
sation que voici :
A chacune des variables ol^ et aa faisons correspondre un sys-
tème de courbes cotées quelconques. Si nous associons les couples
de valeurs de a, et a2 conduisant, en vertu de l'équation proposée,
à une même valeur de as, et que nous prenions les points de ren-
contre des courbes cotées correspondantes, ces points seront dis-
tribués sur une courbe à côté de laquelle nous pourrons inscrire
la valeur de ol^ considérée. En répétant cette opération pour une
série de valeurs de as nous obtiendrons un système de courbes
cotées pour cette variable, et ce système, joint à ceux qui ont été
arbitrairement choisis pour a, et ol^^ constituera un abaque de
l'équation proposée.
En un mot, toute équation à trois variables peut être repré-
sentée au moyen de trois systèmes de courbes cotées dont deux
arbitraires, trois courbes prises respectivement dans chacun
de ces systèmes étant correspondantes lorsqu'elles concourent
en un même point.
On peut se demander s'il y a pratiquement intérêt à envisager
une telle généralisation. Or, on conçoit a priori la possibilité de
représenter uniquement au moyen de droites et de cercles cer-
taines équations auxquelles n'est pas applicable Tanamorphosc
de Lalanne. Cette considération suffit à faire ressortir l'intérêt
qui s'attache au principe général ci-dessus, qui a été rencontré
par M. Massau, ingénieur au corps belge des Ponts et Chaussées (*),
lorsque cet auteur a cherché à généraliser l'anamorphose de La-
lanne en constituant le canevas de l'abaque au moyen non plus
de deux systèmes de droites parallèles, mais de deux systèmes de
droites quelconques, ainsi qu'on le verra plus loin (n" 47).
Avant de donner l'expression mathématique de ce principe gé-
(') Mémoire sur l'intégration graphique et ses applications^ paru dans les
Annales de l'Association des Ingénieurs sortis des Écoles spéciales de Gand
(Liv. III, Ch. III, § 2); i88^
fiQDATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. Ql
néral, nous croyons utile de dire quelques mots des systèmes de
courbes cotées.
42. Systèmes de courbes cotées. — Soit Téquation
où a désigne un paramètre arbitraire, x ei y des coordonnées
ponctuelles quelconques, généralement des coordonnées carté-
siennes.
A chaque valeur de a correspond une courbe, et, lorsqu'on fait
varier ce paramètre de — oo à + oo, on obtient un système sim-
plement infini ou faisceau de courbes.
Supposons que, faisant varier a par échelons égaux entre les li-
mites a et bj nous construisions la partie de chacune des courbes
correspondantes comprise à l'intérieur d'une certaine aire A
en ayant soin d'inscrire à côté de chacune d'elles la valeur corres-
pondante du paramètre a; nous obtenons ainsi un système de
courbes cotées (a) (*).
Toutes ces courbes sont tangentes à une même courbe, leur
enveloppe, dont l'équation est le résultat de l'élimination de a
entre les équations
Mais, outre que la partie de cette enveloppe, qui est tangente
aux courbes tracées, se trouve généralement en dehors de l'aire A,
il faut remarquer que, sauf dans le cas où les courbes cotées sont
des droites, elle n'offre aucune utilité pratique.
Si l'on est conduit à envisager une valeur de a autre que celles
qui ont servi à la construction du système, on doit se figurer
entre les courbes effectivement tracées les plus voisines, celle qui
répondrait à cette valeur de a, en se laissant guider par l'allure
des courtes environnantes. Cette interpolation à vue est, on le
voit, assez délicate et la précision qu'elle peut donner dépend
bien évidemment de l'habitude qu'en peut avoir le lecteur.
(') Rappelons, ainsi que nous l'avons déjà dit au n" 16, que ces courbes ont
également reçu le nom de courbes d'égal élément (Lalanne) et de courbes iso-
plèthes (Vogler et Lalanne). Nous nous en tenons au terme plus simple et plus
expressif de courbes cotées.
92 CHAPITRE II.
Lorsque, par la suile, nous parlerons des courbes cotées d'un
système, on devra entendre par là non seulement celles qui seront
<î(ïectivement tracées sur le tableau, mais encore celles qu'il est
possible de leur adjoindre par une interpolation à vue.
Il convient d'observer que la construction d'un système de
courbes cotées ne comporte pas, en général, à beaucoup près, un
travail équivalent à la somme de ceux qu'exigerait la construction
(les courbes qui le constituent, prises individuellement. Il arrive,
en effet, presque toujours que, une fois l'une de ces courbes
obtenue, le tracé des autres s'en déduit avec une grande facilité.
On peut citer, à ce point de vue, comme particulièrement carac-
téristique, l'exemple des systèmes de courbes qui se rencontrent
plus loin aux n*** 12S et 126.
43. Disposition des cotes d'un système, — On peut placer la cote d*une
courbe d'un système en un point quelconque de cette courbe. II sera même
bon, si le tableau est de quelque étendue, de la répéter de distance en dis-
tance le long de cette courbe, pour que, en partant d'un point quelconque,
l'œil n'ait pas à efTcctuer un trop long parcours avant de rencontrer la cote
cherchée.
Pour faciliter cette recherche, il conviendra aussi d'observer une cer-
taine continuité dans l'inscription des cotes des diverses courbes, c'est-
à-dire de les disposer le long d'une courbe d'allure régulière, d'ailleurs
quelconque. Une bonne disposition consistera à choisir à cet effet une
trajectoire orthogonale du système des courbes cotées, ou du moins une
courbe s'en écartant peu.
On pourra également échelonner les cotes le long d'une trajectoire dont
les arcs, compris entre les diverses courbrs du système, seront tous égaux
entre eux, de telle sorte que, sur celte trajectoire, les cotes seront régu-
lièrement espacées.
On voit d'ailleurs immédiatement que, si les courbes cotées sont consi-
dérées comme les projections des courbes de niveau d'une surface, une
telle trajectoire n'est autre que la projection d'une ligne d'égale pente de
cette surface.
Kn vertu de la remarque qui termine le n" 31, on pourrait, pour trans-
former un abaque à parallèles en un abaque avec transparent à trois in-
«lc\, prendre comme trajecloire des cotes de chacun des systèmes de pa-
rallèles une courbe répondant à la condition ci-dessus. La partie restante
de l'abaque se composerait alors de trois courbes graduées régulièrement.
Mais cela n'a qu'un intérêt purement théorique.
Dans tous les cas, on simplifiera l'inscription des cotes, en même temps
qu'on rendra la lecture plus sure, par l'emploi de traits de force qui serviront
au tracé des courbes prises de lo en lo, par exemple, des traits un peu
ÉQUATIONS A TROIS YARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMEM. qS
moins renforcés étant encore appliqués aux courbes médianes des inior-
valJes laissés entre les premières. C'est là une extension toute naturelle de
la Remarque qui termine le n" 2.
44. Systèmes de droites, du premier degré (').-- Si Téqua-
lion d'une droite contient algébriquement le paramètre a au
degré w, elle définit un système de droites, du /i'*"* degré. De
telles droites admettent en général une enveloppe de la classe w,
puisque, à un couple de valeurs données pour x et j^, correspon-
dent n valeurs de a, ce qui montre que, par tout point, on peul
mener n tangentes, réelles ou imaginaires, à l'enveloppe du sys-
tème.
Les cas les plus intéressants sont ceux iie n-.= \ et /î - - 2, pour
lesquels l'enveloppe se réduit respectivement à un point et à une
conique.
Considérons d'abord un système de droites (a) du premier
degré. Son équation est de la forme
<i) U-r-aV^o,
«II U et V sont des fonctions linéaires eu x et^.
A. a = o et a:==ao correspondent respectivement les droites
U =^ o et V -— o, représentées sur la Jîg, 4»^ pj^r AB et AC.
Toute autre droite (a) ou AM du système passera par le point
de rencontre A de ces deux premières droites.
Si l'on remplace U et V par leurs valeurs développées en .r
(') L'étude des systèmes de droites du premier cl du deuxième degré a élè faite
dans le Mémoire cité de M. Massau, où les résultats rappelés ici sont établis d'une
laçoo uo peu différente.
9^ CHAPITRE II.
et y^ on voit que l'équation (i) renferme, sous forme homogène,
six coefficients. Il faut donc cinq conditions pour définir le sys-
tème. La connaissance du point  équivaut à deux conditions. Il
faudra donc connaître les cotes de trois droites menées par ce
point .pour que la détermination géométrique du système soit
complète.
Coupons ce système par une droite BC quelconque. L'équa-
tion (i), conservant la même forme pour un changement quel-
conque des axes de coordonnées, nous pouvons, sans nuire à la
généralité, supposer que cette droite BC se confond avec Taxe
des X. Alors, pour avoir l'échelle déterminée sur cet axe par le
système (a), il suffira de faire JK = o dans (i), ce qui donne
l'équation d'une échelle linéaire (n® 7).
D'après ce qui a été vu en cet endroit, on peut construire géo-
métriquement une telle échelle lorsqu'on en connaît trois points.
En particulier, on peut se servir des points B (a = o) et C(a =00),
auxquels on adjoindra le point de rencontre M d'une droite quel-
conque (a) du système avec la droite BC.
Rappelons quelle est la construction donnée au n** 7 : si, par le
point M, on mène la parallèle MB' à AC, l'échelle régulière ayant
son point (o) en B' et son point (a) en M, projetée à partir de A
sur BC, donne, sur cette droite, l'échelle demandée. On peut
donc dire que ie faisceau cherché détermine sur toute droite
parallèle à AC une échelle régulière,
45. Systèmes de droites, du second degré. — Un tel système
est défini par une équation de la forme
(i) U-i-aV>+-a«Wr-o,
où U, V, W sont des fonctions linéaires en x et y,
A a = o et a=^oo correspondent respectivement les droites
U = o et W = o, représentées sur h Jig. 44 par AB et AC.
Soit, en outre, BC la droite V :- o.
L'enveloppe du système a pour équation
C'est donc une conique F tangente à AB et à AC en B et en C.
L'équation (1) renferme, sous forme homogène, neuf coeflfi-
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. qS
cients. Il faut donc huit conditions pour définir le s^'Stème. La
connaissance de la conique F équivaut à cinq conditions. Il faudra
donc, si elle est donnée, connaître, en outre, les cotes de trois de
ses tangentes pour que la détermination géométrique du système
soit complète. La conique F sera d'ailleurs définie si on a ses
points de contact avec trois des tangentes cotées données.
Fig. 44. ■
En particulier, lorsque les droites AB, AG et BC ont été con-
struites, on connaît, par le fait, deux tangentes cotées AB(a = o)
et AC(a = oo) avec leurs points de contact B et G. 11 suffit alors
de construire une autre droite quelconque MN de cote a, pour que
le système soit géométriquement défini.
Quatre droites quelconques du système, prises avec leurs cotes,
équivalant à huit conditions, permettront également de construire
le système.
Cette construction repose, dans tous les cas sur le théorème
suivant : F^s points de rencontre, pris avec les cotes correspon-
dantes y de toutes les droites du système avec l'une quelconque
d* entre elles forment une échelle linéaire.
En effet, les points de rencontre des droites du système défini
parFéquation (i) avec la droite dont Féquation est
(2) U-haoVH-aîW=^o
se trouvent sur les droites du système
(3) V-i-(a-T-cto)W = o,
dont Féquation s'obtient par soustraction de (i) et (2), et comme
96 CHAPITRE II.
ce système esl du premier degré, l'échelle qu'il engendre sur la
droite (2) est linéaire. Le point coté a© sur cette échelle est évi-
demment son point de contact avec la conique F.
En particulier, les échelles situées sur AB et sur AC sont
données l'une par
(4) U— o avec V-i-aW = o,
l'autre par
(5) W = o avec U-î-aVr:^o.
Si l'on connaît quatre droites cotées du système, on a, sur cha-
cune d'elles, par sa rencontre avec les trois autres, trois points de
l'échelle linéaire correspondante. On peut donc construire cette
échelle (n" 7). Après en avoir ainsi obtenu deux, il suffit de tirer
des droites entre leurs points de même cote pour avoir le système
demandé.
Revenons au cas où l'on a tracé les droites AB, AC, BC et une
droite MJN de cote quelconque a dans le système.
L'échelle linéaire sur AB est définie par les points B(o), M(a)
et A(oo); celle sur AC par les points A(o), N(a) et C(oo).
Si nous menons par M la parallèle MB' à AC et que nous con-
struisions sur cette droite l'échelle régulière ayant son point (o)
en B' et son point (a) en M, il nous suffira de projeter cette
échelle à partir de C sur AB pour avoir l'échelle située sur cette
droite. De même l'échelle située sur AC s'obtiendra par projection
à partir de B de l'échelle régulière construite sur la parallèle NA'
à BC et SLyanl son point (o) en A' et son point (a) en N.
Le point E où la droite (a) touche son enveloppe F est défini
par l'équation (1) et sa dérivée par rapport à a,
(6) V-+-2aW = o.
Celle dernière équation, multipliée par - et retranchée de (1),
donne
(7) U-^-V^o.
•1
Le point E se trouve donc à Tintersection des droites définies
par (6) et (7). Or, la comparaison de ces équations avec (4) et (5)
montre que la première représente la droite qui joint le point C
ÉQUATIONS A TROIS YARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISE.MKNT. 97
au point coté 2a sur l'échelle de AB, et la seconde la droite qui
joint le point B au point coté - sur Téchelle de AC. De là une
facile consti'uction du point E lorsque ces deux échelles ont été
obtenues.
Remarque. -- Pour qu'une échelle linéaire soit régulière, il
faut que son point coté (oo) soit à l'infini. 11 n'y aura donc, en gé-
néral, qu'une droite d'un système du second degré sur laquelle les
autres détermineront une échelle régulière, à savoir celle qui sera
parallèle à la droite cotée (oo), c'est-à-dire la tangente à la co-
nique r parallèle à AC. Toutefois, si la droite (oo) est tout entière
transportée à l'infini, ce qui a lieu lorsque W se réduit à une
constante, auquel cas la conique F est une parabole, les échelles
de toutes les droites du système sont régulières. La conique F
peut d'ailleurs être une parabole sans que sa tangente cotée (oo)
soit précisément celle qui est située à l'infini.
46. Abaque général à trois systèmes de courbes cotées. —
Considérons les trois systèmes de courbes cotées définis respecti-
vement par les équations
<'«i) F,(a?,7, a,)=o,
(aj) FsCx,^, aj)=:T o,
«atj) F3(a:, ^, a3)=:o.
Si trois courbes prises respectivement dans ces systèmes con-
courent en un même point, leurs cotes sont liées par l'équation
(E) *(ai,aî,a3)=o,
obtenue en éliminante: et y entre les trois équations précédentes,
et cela, bien entendu, quelle que soit l'espèce (cartésiennes, po-
laires, etc..) des coordonnées x et y.
L'ensemble des trois systèmes («4), (a2) et {ol^) constitue donc
un abaque de Féquation (E), dont le mode d'emploi tient dans ce
simple énoncé :
La valeur de la variable prise pour inconnue est donnée
par la cote de la courbe du système correspondant, qui passe
par le point de rencontre des courbes cotées au moyen des va-
M. D'O. 7
93 CHAPITRE 11.
leurs des deux autres variables dans les systèmes correspon-
dants.
On voit que si l'étjuation (E) esl donnée, on pourra choisir
arbitrairement deux des trois équations de courbes cotées, les
deux premières, par exemple, la troisième s'obtenant par l'élimi-
nalion de a, ela^ entre celles-ci et l'équation (E).
JVIais, et c'est là un point essentiel, il faudra à la fois que les
équations (a.,) et (x^) qu'on se sera données et l'équation (fXj),
obtenue comme on vient de le dire, représentent des courbes
réelles.
Lorsque, sous cette condition, on formera les équations (n,),
(ai) et (aj), qui, par élimination de X el y, devront redonner
l'équation (E). on pourra dire que l'on opère la disjonction des
variables.
Il faut, en outre, remarquer qu'en pratique les variables a, et xj
prises comme variables indépendantes auront des limites a, et b,
pour l'une, a^ et b^ pour l'autre. On commencera donc par con-
struire les courbes correspondantes (<i|) el{b,) du premier sys-
tème, (oj) et (ôï) du second (^fig- 4^)- Ces courbes détermi-
neront un quadrilatère curviligne, et il ne sera, bien entendu,
nécessaire de construire les diverses courbes («i), («a) et (a,)
qu'à l'intérieur de ce quadrilatère. Toutefois, si ces courbes sont
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 99
des droites ou des cercles, dont le tracé ne coûte pas plus de
peine quand on Tétend davantage, on pourra, en vue par exemple
d^une plus grande netteté dans l'inscription des cotes, les pro-
longer au delà des limites qui viennent d'être définies.
Remarquons enfin qu'il pourra y avoir Heu de pratiquer l'inter-
polation dont il a été question au n^ 42 pour une, pour deux des
variables, ou même pour les trois à la fois. L'opération mentale,
qui consiste à se figurer, au milieu des courbes effectivement
tracées, les trois courbes correspondant aux deux données et à
Finconnue, exige alors quelque attention et fournit des résultats
dont la précision dépend évidemment de la plus ou moins grande
habitude du lecteur et de la justesse de son coup d'œil.
On voit immédiatement comment les méthodes déjà exposées
résultent du principe général ci-dessus.
Il suffit de prendre pour équations (ai) el (ol^)
pour obtenir comme équation (as)
C'est la méthode cartésienne (n" 16).
Si Téquation (E) est de la forme
on n'a qu'à prendre pour équations (ai ) et (a2)
pour avoir comme équation (ag)
On retrouve ainsi la méthode de V anamorphose (n®2i) telle
qu'elle a été donnée par Lalanne.
Voyons maintenant quelle nouvelle extension de l'anamorphose
peut résulter du principe général qui vient d'être indiqué.
lOO CHAPITRE II.
47. Abaques à trois systèmes de droites entrecroisés, —
L^anamorphose de Lalanne avait pour objet, en substituant à un
quadrillage régulier un quadrillage irrégulier, de transformer un
système de courbes cotées dessiné sur le premier en un système
de droites sur le second.
Supposons maintenant qu^au lieu d^un quadrillage nous con-
struisions un réseau formé de deux systèmes de droites quelconques
et que, dans ces conditions, les courbes cotées correspondant à la
troisième variable soient aussi des droites quelconques.
Si, pour abréger l'écriture, nous écrivons /,-, «p/, ifi au lieu de
/i{oLi)^ cp/(a/), ^i(tt|), pour e=:i, 2, 3, nous voyons que nous
aurons pour les systèmes (ai ), (a2) et (as) les équations
(a,) ^/i-+-J'?i-+-4'i= o,
(aj) a7/,-+-^ç,-ht;^, = o,
(as) a^/3-^^?3-i- 4^3 = 0.
Uélimination de x ei y entre ces trois équations nous donne
Téquation représentée qui peut s'écrire
(E)
/i ?i 'l'i
A ?j '\'t
A ?3 4^3
= o.
Si donc une équation peut être mise sous cette forme, on pourra
immédiatement effectuer la disjonction des variables par les équa-
tions (ai), (a2) et (as) ci-dessus, et, en construisant les trois sys-
tèmes de droites définis respectivement par ces équations, on aura
constitué un abaque à droites entrecroisées pour l'équation (E).
C'est en cela que consiste le principe de l'anamorphose géné-
ralisée, énoncé pour la première fois par M. Massau (*).
Pour reconnaître si ce principe est applicable à une équation
donnée, il faudra d'abord essayer de la mettre sous la forme (E)
ci-dessus. Si l'on n'a pas recours pour cela à une méthode analytique
rigoureuse (^) on se livrera à quelques tâtonnements. Ceux-ci
seront d'ailleurs facilités si l'on a déterminé a priori certains
(') Intégration graphique, Liv. III, Cli. III, g 2.
(-) Voir le n» 151.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. lOI
tjpes d'équations susceptibles de revêtir la forme (E) ci-dessus (').
Il est intéressant à cet égard de s'arrêter au type ci-dessous qui
a été rencontré par M. Massau (^).
48. Type adéquations rentrant dans la classe précédente.
— Ces équations sont celles de la forme
(i) (7Wiai-+-ni)(mia,H-/i,)/,-4-(/?ia,-h7i)(/?,ai-f-7,)?3
H-(riai-+-5, (r,aj-+-5t)<^3=«
ov/^j Ç3 et A3 représentent des fonctions quelconques de a.,.
Puisque nous sommes libres de choisir les équations (a<) et
(«2) (n° 46) prenons celles qui résultent de l'élimination de 0.2
d'une part, de ai de l'autre, entre les équations
(r,a,H-^,)(r,xj-+-5,) ' -^ "(r,a,-l- 5, )(r,aj-i- 5,) '
L'équation (as) sera alors
(a,) ^/3-+-r?»-^-'^3= o.
Formons les équations (a, ) et (a2) ainsi qu'il vient d'être dit.
Par un calcul qui exige quelques écritures mais n'offre aucune
difficulté, puisque chacune des équations (2) est du premier degré
par rapport soit à ai, soit à a^, nous obtenons
lai) ^-^-^ =-^arH — -^ ^-^ Y -\ ^^^=— -±i-i — o,
/Hiai-H/it PiOt-i^qi r^oLi-^ Sx
{%f) ±-x H y H =0.
Ces deux dernières équations définissent des systèmes de droites
du second degré.
L^ équation ( i ) ci-dessus est donc représentable par trois
systèmes de droites dont deux nécessairement du second de-
gré.
Mais il y a plus : Ces deux systèmes du second degré
ctdmettent la même conique enveloppe.
( ' ) Voir plus loin (Ch. VI, II B) rétudc des équations obtenues en supposant
toutes les fonctions /, cp, 4^ linéaires.
(^) Loc, cit. Les démonstrations ici données sont entièrement différentes de
celles de M. Massau.
102 CHAPITRE II.
Pour le démontrer il suffit de faire voir que les droites (ai) et
(aa) coïncident deux à deux, c'est-à-dire que, quel que soit a,, on
peut déterminer aj de façon que les droites (a,) et (a2) coïncident.
La vérification directe de ce fait exigerait des calculs très compli-
qués; elle devient fort aisée grâce à Tartifice suivant :
Rien n'empêche, pour la construction de Tabaque, de substituer
aux variables ai et 7.2 les variables a'^ et a', définies par
Il suffira seulement, lorsqu'on se sera servi d'une valeur soit de
a',, soit de a'j, pour construire une droite, de coter cette droite k
l'aide non pas de cette valeur de a'^ où de a'j, mais de la valeur
correspondante de ai ou de aj.
Un calcul facile montre que
^4l±f =^-,,'.-^y', avec
<
— :
^1^1 —
P\S\
/ijr,
niiSi
(,■.
—
/ii/?i —
miÇi
/i,r, -
-mi Si
\,.
— •'
q^rt-
'PlSt
n^ri-
/WjSj
q\
—
fiiPi
-mtSt
' ^=Pjaj-+-7t avec
Dès lors les équations (a,) et (aj) ci-dessus deviennent
«1 Px^x-^q\
Ces équations représenteront une même droite si Ton peut avoir
a la fois
P'i^'t ^ P'% «î -^ q\ ^ 7î .
p\^\ p\^\-^q\ q\
Or, ces deux égalités se réduisent évidemment à une seule
Il suffira donc que a'^ et a'j satisfassent à cette équation pour
que les droites (a'j) et (a'j) coïncident. Autrement dit :
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQI:ES A ENTRECROISEMENT. I03
Si 0L^ et «2 sont liés par la relation
(3)
les droites (a,)et(a2) coïncident.
Ainsi donc les systèmes (ai) et (ao) seront constitués parles
mêmes droites (tangentes à une certaine conique) affectées de
cotes différentes. Il n'y aura évidemment, pour éviter toute con-
tusion, qu'à distinguer les cotes se référant à Tun ou à l'autre sjs-
lème au moyen d'un signe quelconque (indice, accent, tiret, ...).
V\ arrivera d'ailleurs souvent que la portion utile de chaque sys-
tème ne comprendra pas les mômes droites. On aura des lors
affaire à deux groupes distincts de tangentes à une même conique
el il sera superflu d'affecter leurs cotes de signes particuliers.
49. Transformation ho nio graphique d\in abaque à droites
entrecroisées, — Les lignes, droites ou courbes, qui, par leur
entrecroisement, constituent un abaque, peuvent évidemment être
soumises à une transformation ponctuelle quelconque pounni que
leurs cotes se conservent.
En particulier, la transformation homographique la plus géné-
rale, avec laquelle toute droite donne une droite, sera applicable
à tout abaque à droites entrecroisées, puisque à trois droites con-
courantes du premier abaque correspondront trois droites concou-
rantes du second.
Pour obtenir l'expression analytique de cette transformation, il
suffit de multiplier l'équation mise sous la forme
<E)
par le déterminant
A
?i
^i
A
t -
^2
— (>
A
?3
^3
X
Il V 1
) -
X'
J.' v'
r
u
v'i
cil les lettres X, (jl, v, )/, [jl', ... désignent des nombres quel-
conques, mais tels que D soit différent de zéro.
loi CHAPITRE II.
La règle bien connue de la multiplication des déterminants
montre que Téquation s'écrira alors
Elle sera par suite représentable par les trois systèmes de
droites
(a,) j:-(X/,^K?î — ^4'»)— r(^'/i-^î^'?ï— ^'4'î)^^'/ï— î^'?î— '^'4'« = o^
(di) x{\/i -r- |ji03 — y^i) -^(X'/j— :Ji'oa— v'6,) — X'/j-^ fA'fi— v'4^a = o.
Ainsi les nombres X, [x, . . ., y" étant astreints à la seule condi-
tion que leur déterminant D soit différent de zéro, les trois
dernières équations écrites définissent l^ abaque à droites entre-
croisées le plus général pouvant servir à représenter Inéqua-
tion (E) ci-dessus.
On peut d'ailleurs prendre pour fonctions /"i, o, , . . ., tj/j celles
qui correspondent à un quelconque des abaques à droites entre-
croisées de Téquation proposée. Lors donc qu'on aura réussi à
former Tun de ceux-ci, on aura du même coup obtenu tous les
autres, pouvant s'en déduire homographiquement, avec conser-
vation des mêmes axes de coordonnées.
Exemples : i° La première variante du second type d'abaque de multi-
plication {Jig. 2*5) est constituée par les droites
aix — loy ^ o.
X — «t — o.
loy — a, -- o,
qui conduisent, pour Téquation
de la multiplication, à la forme
ai - lo o
I o — «î
o 10 — a3
— o.
Remplaçons la seconde colonne par la somme des deux premières.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT.
Cela nous donne
lOO
d'où les équations
ai «t — lo o
I I — aj I — o,
o 10 - aj I
X -h y — «j — o,
loj' — aj = o.
q,ui déGnissent précisément la seconde variante (./î^. 'ïibis).
Une simple permutation des colonnes du premier déterminant le trans-
forme en
I — lo o a, I
o - aj I ", — o,
lo — «3 o I
— lOar -r- OLi r- O,
-«Sj-T-I — o,
ioj: — a3j = o,
d'où les équations
qui définissent un abaque du troisième type {Jijfr. ?8 ).
t2** Un abaque de l'équation
/i -^/î = /s
étant constitué par les systèmes de droites dont les équations sont
•^ -/i = o,
OD voit que Téquation peut se mettre sous la forme
I o — /i
o I --/,
! I I -/,
— o.
Multipliant ce déterminant par
!. -•-
O 1
1
o
•A.
V^ o
'A
'À
1
1 o
O I
I06 CHAPITRE II.
nous obtenons, par la règle ci-dessus rappelée,
1 o
I /3
2 À
L /!
•2 2
/.
— O,
qui nous donne les systèmes de droites
— a?-+-7/3 — 2/î — o,
37 -T- ^^ /3 — 2/s = o.
Nous retombons ainsi sur les abaques hexagonaux. Les trois
droites dont les équations sont ici écrites, qui font avec Oxrespec-
7: 71
2 7Î
tivement les angles -» - et -^f sont, en effet, à des distances de
l'origine égales à/1,/2 et/3.
SO. Quadrilatère limite. — On vient de voir comment, lors-
qu'on conserve les mêmes axes de coordonnées, l'application du
principe de l'homographie permet d'engendrer tous les abaques à
droites entrecroisées d'une équation donnée.
On peut, en particulier, se proposer de faire en sorte, par ce
moyen, que le quadrilatère limitant la partie utile d'un tel abaque
coïncide avec un rectangle qu'on se sera donné d'avance.
Ce quadrilatère ABCD est formé par les droites correspondant
aux valeurs limites at et fe^, a^ et b^ des variables considérées
comme indépendantes ai et 7.2 (*).
Pour remplacer ce quadrilatère déjà construit par le rectangle
A'B'C'D' il suffit d'effectuer géométriquement la transformation
homographique de la figure en faisant respectivement corres-
pondre aux points A, B, C, D les points A', B', C, D'. Celte con-
struction peut être réalisée ainsi qu'il suit :
( ' ) Il arrive fréquemment, en pratique, que les valeurs utiles a^ et 63 entre
lesquelles reste comprise la variable a^ tombent entre les valeurs limites théo-
riques définies par les cotes des courbes extrêmes du système passant à Tintérieur
du quadrilatère ABCD.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. IO7
Prenons une droite quelconque MN du premier abaque {Jig- 4^)
et cherchons à obtenir géométriquement sa transformée M'N' sur
le second.
Fi g. /|6.
On sait que la transformation homographique conserve les rap-
ports enharmoniques; on a donc, en se servant de la notation
entre parenthèses pour désigner de tels rapports,
(AMDJ) = (A'M'D'cc).
Par le point D, menons la parallèle DAo à BC et tirons la droite
BM qui coupe DAo au point Mo. Les points A, M, D et J projetés
du point B sur DA© donnent les points Ao, Mq, D, et le point à
rinfini. On a donc
(AMDJ) = (AoMoD«)
et, par suite,
(A'M'D'oo) = (AoMoDoo),
ou
M'A' MoAo
/ r\/
M'D
MoD
Donc, r échelle des points M' est semblable à V échelle obtenue
en projetant de B V échelle des points M sur DAq.
Un résultat analogue pourrait évidemment être établi pour les
trois autres côtés du quadrilatère, ce qui conduit à Ténoncé géné-
ral que voici :
Pour reporter du premier abaque sur le second V échelle E
déterminée par les droites cotées sur Vun des côtés C du qua-
drilatère limitCy il suffît de mener par l'un des sommets S qui
Io8 CHAPITRE II.
limitent le côté C, une parallèle P au côté opposé, et de projeter
du sommet diamétralement opposé à S ^échelle E sur la
droite P. L^ échelle E' à construire sur le côté correspondant
du rectangle limite du second abaque est semblable à V échelle
ainsi obtenue.
En appliquant ce théorème aux quatre côtés du quadrilatère
limite, on reporte toutes les droites qu'il contient à l'intérieur du
rectangle limite qu'on veut lui substituer.
Mais, en général, la question ne se posera pas ainsi. Il s'agira
(le déterminer a priori^ par voie analytique, les coefficients des
systèmes de droites de Tabaque à construire, de façon à réaliser
la condition requise. On procédera dès lors de la manière sui-
vante :
Soient /|, /w^, n^ et f,, m',, n\ les valeurs prises respectivement
par les fonctions y<, çi, <1< pour ai = «i eta<-— 6|. De même
pour a2.
Pour faire en sorte que le quadrilatère limite de l'abaque soit
formé d'une part par les droites
37 r^ O, X =-- hj
de l'autre par les droites
7 = Ot r = ^"»
il faut disposer des paramètres X, [jl, ..., v", de façon que, pour
a, = ai et a, = fei , l'équation (ai ) du n° 49 donne les deux pre-
mières, et que, pour 0L2 - - «2 et aj = 6.,» Péquation (aa) donne les
deux dernières.
Cela conduit aux équations de condition
(•)
(/^)
ri)
(î)
( X/j -f- [JL/Wj -i-V/lî =^0,
/ X/'j -H [jimi — v/ij =-0,
X'/'i - [^'/'ii -- v'/i'i ~ o,
X*/, -I- [i^nii -- v*/ii == o,
X'/j -H ix" nii -+- v^/ij -= o,
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. IO9
De ces huit équations homogènes, il faut tirer des valeurs pro-
portionnelles pour les neuf paramètres X, [jl, . . ., v".
Des groupes (i), (2) et (3), on peut tirer respectivement des
valeurs telles que
X-Hp,
K -Kp,
V — L p.
X'^H'p',
(x'-K'p-,
v'-L'p',
X'-H'p-,
K"- K'p',
v'-L'p',
p, p', p" étant des paramètres encore indéterminés. Portant ces
valeurs dans les équations (4)) on a des équations de la forme
Ap -+- Bp" = o,
d'où Ton tire p et p' en fonction de p". Les neuf paramétres X,
jA, .... v" se trouvent alors exprimés en fonction de p" seulement,
auquel on peut attribuer une valeur quelconque, d'où résulteront
les dimensions de Tabaque.
51. Exemple : Abaque du fruit intérieur des murs de soutènement.
- Soient ABCD (Jig. 47) ^^ section rectangulaire d'un mur de soutène-
Fig. 47.
D N
ment calculé en vue d'une certaine n^sistance, MBCN la section trapt'*-
zoîdale de même hauteur et de même résistance.
Si ToD pose
BM
BA
/ ^^ h
et que Ton représente par p le rapport du poids spécifique de la terre
110 CHAPITRE II.
soutenue à celui de la maçonnerie, ces trois quantités sont liées par Téqua-
lion
(l -:- /)A*- - /(i '^p)h — '-- ^-^ = o,
qui permet de calculer h lorsque l et p sont donnés. Nous allons faire con-
naître l'abaque qui a été proposé par M. Massau (*) pour cette équation.
Remarquons tout d'abord que si nous y regardons l, p et h comme Sj,
aj et «3, cette équation rentre dans le type (i) du n° 48.
Elle est donc représentable par trois systèmes de droites dont les équa-
tions [(«i), (aj) et (aj) du n" 48], obtenues en posant
/(!->-/>) _ (i — /)(i-f-ajp)
""- ^i i ' -^^ 3(1 ^l)
sont ICI
(7) a(/« — l)Jr-^3/(/-^l)7 — /(/— i) = o,
(h) kx-\-y — A*=o,
Ces trois systèmes sont du second degré. Les deux premiers, d'après le
théorème démontré au n** 48, auront pour enveloppe une même conique.
Si, en effet, on écrit les équations (/) et (/?) sous la forme
( p') 2/?2 — p(/\x -i- iy — 3) — ('XX -^3y — i) = o.
on obtient pour les enveloppes correspondantes
(3jK -^ i)*-i- Sx(7,x -4- 'iy — i) = o,
(4x-f- 37— 3)*-h8(9.a7-f-3>^— i) = o,
formes distinctes d'une même équation, savoir :
( /\x -^ ZyY — 8a: -+- 6r -H I = o,
qui représente une parabole tt.
En outre, l'équation (3) du n" 48 montre qu'une droite (/) et une
droite (p) coïncident lorsqu'on a entre leurs cotes la relation
/>(/ -h !) H- I = o.
Mais ici chacune des variables restant, en pratique, comprise entre o
et I, on va voir qu'on se trouve dans le cas signalé plus haut où les groupes
utiles de tangentes à la parabole tt correspondant respectivement à / et à
p sont distincts l'un de l'autre.
( ' ) Loc. cit., n« 298.
Equations a mots variables, abaques a entbkcboisement. i i i
n peut construire chacun des systèmes (/), (p)ei(A).
l'on se reporte à la forme (/') de J'équation de ce
système, ou voit
c'est-à-dire les droites AB cl AC de la Jîff. ij» (' 1. Ces droites touclicnt la
parabole ir en leurs points de r
/^ -
+-^"l = 0
1 EU.
Pour trouver l'échelle des points de rencontre du système (/) avec AB,
nenons, suivant la construction indiquée au n° të, la parallèle OB' à AC,
;t construisons une échelle régulière ayant son point (o) en B' et son point
i) en 0, puisque la droite O2' est ici la droite(i). Divisons, par exemple.
DB' en 10 parties égales. En projetant les points ainsi obtenus à partir de
: sur OB, nous avons les points de rencontre de celte droite rcspecli%e-
nent avec les droites (o, i), (0,2) (o, g)du système (/).
t celle d
Mémoire
<') Celte Tigure, aui nolaiions près, reproduit i
de M- Massau {Jig. t4i) qui, d'après la déclaration même <tc l'auteur, ne doii
être considérée que comme propre à (aire comprendre la construction de l'abaque
qui devrait être établi sous de plus grandes dimensions-
I 12 CHAPITRE II.
Pour achever de déterminer les droites (/), on pourrait prendre réchelle
qu'elles déterminent sur AC en projetant à partir de B, comme cela a
été indiqué au n** 45, une échelle régulière marquée sur Oar, ayant son
point (o) en 0 et son point (i) à la rencontre de Ox et de AC.
L'auteur de Tabaquea préféré, pour plus de précision, prendre Téchelle
qu'elles déterminent sur la droite EH qui fait partie du système comme on
vient de le voir, pour / = — i. Pour obtenir cette échelle, il suffit de mener
par le point E une parallèle EF à la droite AC(/ = oo). L'échelle de EH,
projetée à partir de G sur EF, donnera une échelle régulière. Or les points
(o) ou E et (i) ou H de cette échelle se projettent en E et F. Divisant
donc le seggnent EF en lo parties égales et joignant les points ainsi ob-
tenus au point G par des droites, on obtient sur EH les points (o, i),
(o, 2), . . ., (o, 9) du système (/), qu'il suffit dès lors de joindre aux points
de même cote de l'échelle déjà construite sur OB.
Système {p). — La forme (/?') de l'équation do ce système montre, en
vertu de la Remarque qui termine le n° 43, que les échelles déterminées
par les droites du système sur l'une quelconque d'entre elles sont toutes
régulières.
Or
pour /? = o, on a la droite ix -t- Zy — i — o ou AC,
» ^=r I, 0 x-r-y — I — o ou EH,
»/>—--!, 9 a: — oou Oy^
» /; = > M y -- o o\jL Ox.
Donc, après avoir pris les points de rencontre des deux premières avec
les deux dernières, on n'aura qu'à diviser les segments obtenus sur celles-ci
en lo parties égales et à joindre les points correspondants pour avoir les
droites (o, i), (o, a), .... (o, 9) du système (/?).
Système {h), — L'équation (/<) montre immédiatement que la même re-
marque s'applique au système correspondant. Ici
pour A = o, on a la droite ^ — o ou Oa?,
» A — I , » ^ -^ y — I — o ou EH,
» // - — I , » X — j -t- I — o ou EG.
Donc, on divisant en 10 parties égales le segment de E(i) à G(o), on
obtient des points des droites (o. 1), (0,2), ...,(0,9). Pour achever de
déterminer celles-ci, il suffit de remarquer que la droite (A) coupe Ox au
point X =^ h.
On voit sur la Jig, ffi que les droites (/*), tracées en traits interrompus,
font avec les droites (/?) des angles très petits. Celte disposition est défec-
tueuse et l'on pourrait chercher à y remédier par l'emploi de l'homographie,
mais on verra plus loin (Chap. III, I) qu'il y a avantage à combiner celle-
ci avec un autre genre de transformation. Nous reviendrons donc sur la
question en temps voulu (n° 8i).
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ExNTRECROISESlENT. Il3
52. Abaques à cercles entrecroisés, — Puisque, d'après ce qui
a élé vu au n" 46, on est libre de choisir, pour définir Fabaquc
d'une équation (E) donnée, deux sur trois des équations (ai ), (a2)
et (23)1 on pourra, dans certains cas où l'équation (E) ne rentrera
pas dans le type des équations représentables par trois systèmes
de droites (n" 47), avoir recours à des cercles cotés.
Cherchons Téquation la plus générale représeu table par trois
systèmes de cercles cotés. Il faut, pour cela, éliminer x eiy entre
les équations de trois tels systèmes, supposés rapportés à des axes
rectangulaires, équations qui peuvent s'écrire
(ai)
(«3)
rt, ( ;r« -^ ^ï ; -^ a:/, -h ^ <ï>, -T- <j/i =-= o,
01,02, ^3 étant des constantes qu'on pourrait, dans le cas général,
prendre égales à 1, mais qu'il vaut mieux conserver quelconques
pour être libre, en les annulant, de réduire le système de cercles
correspondant à un système de droites.
Si l'on élimine x^-^y- entre ces trois équations prises deux à
deux, on obtient
/t
i/3
! /a
«j
ai I
«3 I
X
X -~
1/1 «il
X -r-
«1
«J
y
«1
«2
?1
y —
«3 !
1 at
a.
' ?3
1 ?1
«3
a,
y
ai
"1
• = o.
= o,
= o.
Si l'on additionne ces équations après les avoir multipliées res-
pectivement une première fois par '^i, cp2, 'fa, et une seconde par
fi^fttfiïi on obtient les deux suivantes :
/l ?l «1
1
1
«I ?l
/t <?î «t
1
X — «î Çpj
A ?3 «3
1 «3 <?3
f\ ?1 «I
/l «1
ft ?t «t
X —
fi «î
f% ?3 «3
/s «3
î'i
<^3 1
^t
= O,
= O.
M. D'O.
8
I l4 CHAPITRE II.
Si, après avoir posé
D= /î ?2 4^8 •
/s ?s ^'ï
nous convenons de représenter par Dy, D^, D^ ce que devient ce
déterminant lorsqu'on y remplace les //, les ©/ ou les ^j^ipar lésais
nous voyons que les équations précédentes peuvent s'écrire
D^x — Df = o,
D+r
Dç= o.
Portant les valeurs tirées de là dans l'équation (ai), nous avons
a, ( D) -h Dj) -f- D,^,(/, D/ 4- oi Dç -4- tj^i D^) r= o.
O
r
/iD/=/i
?iDç= ?i
i);, D^- ^i
a, (fi <^i
a\f\
?î
'i'I
«2 <?î 'J'î
o
«Pi
4^2
ûfS ?8 'i'S
o
?3
^^
/l «1 <^1
/.
«I?l
^x
/î «J 4^8
—
h
O
^t
/a «3 4^3
/a
O
^^
/l ?l ûi
/i
?1
«1^1
/l ?î «î
= A
?i
o
A ?3 <Ï3
/3
?s
o
o cp,
o Cp3
/s o
/l ?1
h
d'où, en additionnant en colonne,
/, D/ H- fiDç-^ ij^, D^ =
«i/i «i?i «i'Vi
/l ?î 4^2
/s ?3
= ax D.
'l'3
-t.
'1'.
"V. ■
'1'.
o
/i ?i 4^1
i«i/i «î?i «î'Vi
, U ?3 'i's
L'équation ci-dessus devient donc
o (pi
o (pt
/. «
/» «»<P1
/3
4-.
O
O
T» ^34*1
/i ?i 4*1
/î T« 'l't
«3/1 «8^1 «î4'l
ou
«1 ?1 ^1
/l «1 4^1
/i ?i «I
/l ?l ^\
«s ?J ^2
- 1 -
/a «2 'l'i
_i_
/• ?2 «2
X
f\ «p2 '{'2
«3 ?3 ^^
/a <'3 'j's
/s ?3 «3
/s ?3 4^3
= o.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEIENT. Il5
Telle esl, sous forme symétrique, l'équation la plus générale
représentable par trois systèmes de cercles entrecroisés.
Si l'un dés systèmes de cercles se réduit à un système de droites,
il sufKt d'égaler à zéro la constante a correspondante, d'où l'uti-
lité de l'introduction de ces constantes.
Dans le cas, notamment, où deux des systèmes de cercles, les
deux premiers par exemple, deviennent des systèmes de droites ( ' ),
on a, en faisant a^ = «2= o, l'équation
1 A ?i ^1
A ?3 ^^3
et si le troisième système devient à son tour rectiligne, auquel
cas «3= o,
A ?i 't'i
A ?î h ^ "'
A ?3 '^i
ainsi qu'on l'a déjà vu au n° 47.
53. Exemple : Abaque des murs de soutènement pour des terres
profilées suivant leur talus naturel. — On peut faire des hypothèses
particulières sur les systèmes de droites et de cercles constituant Tabaque
considéré, par exemple, dans le cas de deu\ systèmes de droites et d'un
système de cercles, supposer que les cercles sont tangents entre eux en un
même point. Prenant ce point comme otigine et la normale commune
comme axe des ar, on voit que celte hypothèse entraîne 03=<}/3=o et
l'avant-dernière équation du numéro prcccdenl, où l'on peut d'ailleurs
faire a) = i, devient
On peut aussi supposer que toutes les droites du système (ori) passent
par rorigine, ce qui revient à faire çi = — i, <Vi = o,/| représentant alors
le coefficient angulaire de la droite (ai). L'équation précédente devient
alors
<^«('-+-/î)— /3(/I?î-+-/t) = o•
Comme exemple d'application nous prendrons l'équation
A«H- A/>sincpcoscp — ^cos*cp = o,
(M Sur Tapplication de ce mode de représentation aux équations quadratiques,
voir plus loin (Ch. VI, II, C).
Il6 CHAPITRE II.
qui fait connaître le rapport k de la base à la hauteur d'un mur à section
rectangulaire soutenant une terre profilée suivant son angle naturel f , le
rapport du poids spécifîque de cette terre à celui de la maçonnerie étant
égal à />(»).
Remplaçant sin^ et coscp par leurs valeurs en fonction de tango, on met
cette équation sous la forme
/.^ ^V tangy _ p ^ ^
I -+- tang*o 3(i -H tang*<p)
ou
A*(i-f- tang*<p) -4-/>( A- tang<p — - J = o.
On voit, en prenant cp, A: et /? respectivement pour «i, «s et «j, qu'elle
rentre dans le dernier type écrit ci-dessus lorsque l'on fait
/i= tangç,
l étant un module quelconque.
L'équation est donc représcntable par les trois systèmes cotés que défi-
nissent les équations
(<p) artangœ— j^ = o,
(/) - ^^ky-^lk^-o,
(p) x^-^y^ — Ipa: — o.
On retrouve ainsi un abaque auquel nous avions été conduit naguère
par une autre voie (*).
Les droites ((p) sont faciles à construire puisque ce sont précisément les
droites passant par l'origine et faisant l'angle ©avec Ox, Pratiquement il
suffit de faire varier cp de ao" à 5o".
In
De même, les cercles (/?) sont les cercles de rayon —, tangents en O
à Oy. On fera varier/? de 0,4 ù i.
Les droites (A) forment un système du second degré dans lequel la droite
cotée (00) est rejetée à l'infini puisque le coefficient de A* est une constante.
Donc, ainsi qu'on l'a vu (Rem. finale du n" 4^), ces droites déterminent
sur l'une quelconque d'entre elles une échelle régulière.
(') CoLLiGXON, licsistance des matériaux, 3' éd., p. 669.
(-) 0.4, p. 28. La PI. IV Ag celte hrochuro est fautive en ce sens que les
cotes ip) y devraient ôlre doublées.
tQtlATIONS A TROIS VIHIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT.
ChoisissoDS deux d'entre elles, par exemple celles qui corresponder
Jt =; o et i = — -I dont les équations sont
/
Sur ces deux droites les autres donneront des échelles régulières, ce i
permettra de les construire très aisément lorsqu'on aura trace celles
correspondent aux valeurs limites de k résultant de celles qui ont
admises pour ^ et ^ et qui sont A = o, ■* et i' = o , t.
En limitant l'abaque à sa partie utile, et prenant / = lo'", on obtient la
_/î^. jg f '). A litre d'exemple, on voit sur celte figure que, pour ç = 3o%
f =o,;;,on.* = o.î.
^.
X
On peut, comme cela a été indique au bas de la p 55 [note (*)] pour les
abaques à radiantes, se dispenser de tracer les droites (o) en conservant
seulement l'écKelle quelles déterminent <iur te cercle extérieur auquel
OD les a limitées sur la fig. 4g <*)-
54. Emploi des coordonnées polaires. — Nous avons jusqu'ici
supposé que nous faisions usage de coordonnées cartésiennes
rectangulaires, mais il est bien évident que le principe général
énoncé au n" 46 sera également applicable avec un système quel-
(■) La partie utile de l'abaque a Été disposée dans k cadre de la lîKiirc, dcTaçon
que la droite 9 = ao< soit parallèle au bord inrèrieur de ce cadre. L'axe Ox, dont
l'origine est d'ailleurs confondue avec le i>oînt de convergence de» droites (7),
ferait donc un angle de 30> avec ce bord inférieur et en dessous de lui.
(') On trouvera un autre exemple d'abaque à cercles cotes dans un Mémoire
sur tet mina militaires, du capitaine RIcour, inséré dans le Mémorial de l Of-
ficier du GénU (n- %\, ç 3î3i 187Î)
Il8 CHAPITRE II.
conque de coordonnées. On pourra donc, dans certains cas,
recourir à d'autres systèmes, à celui notamment des coordonnées
polaires lorsque Tune des variables entrera dans l'équation sous
forme trigonomélrique.
11 faut bien remarquer que les abaques ainsi obtenus ne seront
pas essentiellement distincts de ceux que l'on définirait en coor-
données cartésiennes, attendu qu'une fois construit l'abaque en
coordonnées polaires, il n'y a qu'à écrire en coordonnées carté-
siennes les équations des lignes cotées qui ont été déterminées pour
retrouver, par élimination dexet y^ l'équation en ai, 7.^ et as d'où
l'on est parti.
Cet emploi de coordonnée's différentes ne peut donc avoir
d'autre objet que de mettre plus aisément en évidence certaines
formes simples des lignes cotées, au moyen desquelles on peut
constituer l'abaque d'une équation donnée.
Pour en donner immédiatement un exemple, reprenons l'équa-
tion du n° 53
A:'-l- kp sinçp coscp — ^cos'o = o.
Si l'on appelle p et u> les coordonnées polaires courantes, il
suffit de jeter les yeux sur l'équation pour remarquer qu'en
posant
(?) w=^<p,
(/?) /?costo = p,
on a
(A) Ar-H-A:psinw — — - — — o,
et ces trois équations définissent précisément en coordonnées
polaires les trois systèmes de lignes cotées obtenus au n® 53.
On peut préciser ce qui précède de la manière suivante :
Soient, conformément à ce qui a été vu au n** 16,
(as) ^t{x, jTy a2) = o,
(«a) FsC^, r)a3) = o
les équations des trois lignes cotées constituant un abaque. Pour
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. I 19
avoir les équations de ces mêmes ligaes en coordonnées polaires,
il suffit, dans les précédentes, de remplacer x et y par p costo et
3 sinco, ce qui donne
(«1)1 Gi(p, 10, a,) = 0,
(atj), G,(p, (D, a,) = o,
(aj)i GaCp, w, a,) — o.
On peut, dès lors, indifféremment éliminer x et y entre les
trois premières équations, ou p et w entre les trois dernières, pour
retrouver Téquation
4>(a,. aj, a,) = o.
représentée par Tabaque.
La même observation s'appliquerait à un système quelconque
de coordonnées ponctuelles. Pour faire la théorie de tel abaque,
tel système de coordonnées sera d'un emploi plus commode el
exigera moins de calculs, mais tout autre système de coordonnées
pourrait être utilisé.
06. Abaques polaires. — Étant bien entendu, d'après ce (|ui
précède, qu'un abaque obtenu à Taide d'un système quelconque
de coordonnées ponctuelles pourrait l'être au moyen de tout
autre, et qu'il n'y a là qu'une question de plus ou moins d<î
commodité, on pourra, comme l'a proposé M. G. Pesci, appeler
abaques polaires ceux qui seront définis en prenant
de même qu'on a appelé plus haut abaques cartésiens ceux qui
ont été définis en prenant
Soit donc une équation
que l'on représente, en posant
(ai) p — /,a,,
(a,) w = /jaj,
llflAPITRE 11.
ce qui donne
Les lignes colëes (ai) et (aj) sont respectivement des cercles
ayant leiir cenlre A l'origine et des droites passant par cette
origine.
Supposons que sur une droite D pivotant sans glisser autour de
celte origine nous portions l'échelle définie par l'équation (a,)
(Ji^- ^'o) et que sur une ligne quelconque, de préférence un
cercle ayant son cenlre à l'origine, nous marquions ses points de
rencontre avec les droites («î), munis des cotes correspondantes.
Dès lors, lorsque nous amènerons la droite D à passer par le
point («a) de la ligne L, celte droile D se confondra avec la
droite («a)- Comme, d'autre part, dans le mouvement de pivote-
ment de cette droite, son point (a,) décrit le cercle (^i), on voit
(|ue ce point (ix, ) sera venu à la renconlie de la droite («j) et du
cercle (a, ), c'est-à-dire au point même par où passe la courbe («t)
dont on doit prendre la cote.
De là ce mode d'emploi de l'abaque : La droite Hélant amenée
à passer par le point (aj) de la /igné L, on lit fa cote a^ de la
courbe sur laquelle tombe le point (a,) de cette droite D.
L'abaque permet évidemment tout aussi bien d'obtenir ot, lors-
<|u'on se donne ag et aj, ou «a lorsqu'on se donne ccj et a.,.
Com
Ktrinplu d'un irl •
? d'abaque, proposé par M. G. Pesct,
tQDATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A EN'
Soit à représenter l'équalion
[uï se rencontre dans un problêriie de Navigaiion (' ). Si l'on pose
équation qui représente une droite coupant 1
de l'origine et faisant
La ligne I, est ici le cercle ABC. La droite pivotante c
CD OP, la graduation des droites issues du point O' de l'i
ÎDScrile à leur rencontre avec un cercle DEF de centre 0.
On a figuré en poinlîllé la position de la droite pivotante
et 31 = ^ ; l'abaque donne a, = -li'.
Remarque. — Il va sans dire que le même artifice sera
(■) ti. PESCt, Sui metodi per cambiare il riteoamenlo , iluns \t Ilivisia
marittima (mars 1897). La formule ici envisagée est lu formule (7} <Jc ce
122 CHAPITRE 11. — ÉQUATIONS A TROIS YARIABLES, ETC.
cable tant que les lignes cotées (cti) et (a^) seront des cercles de centre O
et des droites issues de O, c'est-à-dire lorsque p et w seront pris égaux à
des fonctions quelconques, Tun de «i, l'autre de as,
P=/i(«i),
w--^/i(at).
Les abaques correspondants pourraient être dits à anamorphose
polaire.
fiQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 123
CHAPITRE m.
SUITE DES ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES.
ABAQUES A ALIGNEMENT.
1. — Abaques généraux à points alignés i^ ).
56. Principe des points alignés. — Nous avons déjà exposr
au n'' 30 les raisons pour lesquelles il est désirable, chaque fois
que la chose est possible, de ne faire intervenir comme éléments
cotés, dans la représentation d'une équation, que des points.
(') C'est dans notre Mémoire O.l paru en novembre i884 que le principe de
cette méthode a été donné pour la première fois.
Nous y sommes revenu dans la Note 0. 2 avant de Texposer plus en détail dans
notre brochure 0.4, Ch. IV.
Nous avons à cet endroit donné à la méthode le nom de méthode des points
isopléthes pour rappeler que les systèmes de points qui y interviennent sont cor-
rélatifs des systèmes de droites isopléthes qui figurent sur les abaques construits
par la méthode de Lalanne. Or, nous avons déjà dit (n** 16) pourquoi nous nous
élions décidé à abandonner le terme à'isopléthe pour nous en tenir à celui de
coté. D'autre part, on verra par la suite qu'on peut construire des abaques où
n'interviennent que des points cotés, mais où la relation de position établie entre
ceux-ci est autre que l'alignement. II nous a donc semblé que la meilleure ma-
nière de caractériser la présente méthode consistait à rappeler qu'elle reposait sur
l'emploi de points alignés,
11 n'est pas indispensable, lorsqu'on n'a en vue que les applications les plus
courantes de la méthode, de l'envisager avec toute la généralité que nous lui
donnons ici et qui s'impose évidemment dans un exposé d'ensemble. Le lecteur
sortout désireux de s'initier au côté pratique du sujet pourra se reporter immé-
diatement à la Section II.
Nous ajouterons que la plupart des exemples d'application donnés dans ce
Chapitre sont empruntés soit à notre brochure 0.4, soit aux travaux énumérés
dans notre article 0.24. Depuis l'achèvement du manuscrit de cet Ouvrage, nous
avons eu connaissance d'une intéressante Note de M. Mchmke (Z. S., t. XLIV, p. 5(i ;
1899) où sont signalés d'autres exemples d'application dus à MM. Adicr, Maurer
et à M. Mehmke lui-même.
124 CHAPITRE Iff.
Nous avons vu, en outre, comment l'emploi d'un transparent à
trois index permettait de réaliser ce desideratum en ce qui con-
<;erne les équations représentables par trois systèmes de droites
parallèles (n® 26), c'est-à-dire de celles qui sont de la forme
Nous allons maintenant exposer une autre méthode qui permet
(l'atteindre le même but pour la catégorie beaucoup plus générale
(les équations représentables par trois systèmes de droites quel-
conques, comprenant, par conséquent, les précédentes à titre de
cas particulier, c'est-à-dire de celles qui sont de la forme
f\ ?i '^x
Si ?î ^'î
/s <p3 ^'s
o.
L'idée de principe qui permet, a priori, de se rendre compte
(le la possibilité d'un tel résultat se confond avec celle de la dua-
lilé, fondamentale aujourd'hui dans le domaine de la Géométrie
pure.
On sait qu'on peut, d'une infinité de manières, faire corres-
pondre à une figure composée de droites une figure composée de
points, telle qu'à trois droites concourantes quelconques de la
première figure correspondent trois points en ligne droite, ou trois
|)oints alignés, sur la seconde. Toute transformation jouissant
d'une telle propriété, dont le type est la transformation par po-
laires réciproques, est dite dualistiqne.
Supposons donc que nous appliquions une telle transformation
à un abaque constitué par trois systèmes de droites quelconques,
en conservant, bien entendu, dans le passage d'une figure à
l'autre, la cote de chaque élément.
Nous obtiendrons ainsi un nouveau diagramme {fig' Sa) sur
lequel, à chacune des variables ai, a2 et ag, correspondra un sys-
tème de points cotés distribués sur une courbe, dite leur support,
(|ui sera, dans la transformation effectuée, la corrélative de l'en-
veloppe des droites du système correspondant sur le premier
abaque.
Ces trois systèmes de points cotés constitueront des échelles
curvilignes.
!•>..>
ÊQUATJONS A TROIS VARIABLES. ABAQURS A ALIGNEMENT.
De même que sur le premier abaque, les trois droites cotées au
moyen d'un système de valeurs de a,, a2, ol^ satisfaisant à Téqua-
tion représentée étaient concourantes, ici les trois points corres-
pondants seront alignés.
Fig. 52.
?
De là le mode d'emploi de Tabaque : la droite joignant /rs
points cotés ai et ol^ sur tes deux premières échelles curvilignes
rencontre la troisième échelle au point coté ag.
Pour n'avoir pas à dessiner cette droite, on pourra se servir
d'un transparent à un index ou encore d'un fil fin que l'on tendra
entre les points (ai) et (a2) (*).
57. Emploi des coordonnées parallèles. — Il s'agit mainte-
nant de réaliser sous une forme pratique la transformation dua-
listique dont l'effet vient d'être analysé.
(') Ce dernier procédé, outre l'avantage d'une plus grande rapidilc, offre
celai, plus précieux encore, de ne pas exiger que la feuille sur laquelle l'abaque
est dessiné soit rigoureusement plane, pourvu toutefois qu'elle reste convexe,
comme les feuillets, par exemple, d'un livre ouvert. Si, en effet, on tend
nn fil sur une telle surface, il se dispose suivant une ligne géodésique, trans-
formée d'une ligne droite du plan, et les points qu'il recouvre sont bien des points
ili^nés.
Quant aux variations du papier dont nous avons signalé les conséquences en
ce qui concerne les abaques avec transparent à trois index dans la note (')au
bas de la p. 69, elles n'ont ici aucun inconvénient lorsqu'on suppose, comme à l'en-
droit cité, le papier suffisamment homogène pour que les variations dans chaque
sens soient uniformes, puisque dans ces conditions des points situés sur une droite
quelconque ne cessent, à aucun moment, de se trouver en ligne droite.
126 CHAPITRE III.
Le moyen qui se présente tout naturellement à Tesprit consiste
à regarder les coordonnées courantes dans les équations définis-
sant les divers éléments cotés de Tabaque non plus comme des
coordonnées ponctuelles, mais comme des coordonnées tangen-
tielles donnant pour le point une équation du premier degré.
Parmi de telles coordonnées, celles dont l'emploi, pour ce genre
«l'application, est le plus avantageux sont les coordonnées paral-
lèles Aoni nous allons, en quelques mots, rappeler la définition.
Les coordonnées parallèles (') w et c'. d'une droite sont les dis-
tances AM et BN, prises avec leur signe, des points M et N où
celte droite coupe deux axes parallèles Aw et Bt^, aux origines A
et B respectivement choisies sur ces axes {voir la fig. 60 du
n» 66).
Dans ce système de coordonnées, toute équation du premier
<legré
au H- 6p -+- c = o
défmit un point P qui peut être ainsi déterminé : Prenons pour
origine O le milieu de AB, pour axe Ox la droite OB, pour axe
Oy la parallèle à Aw et Bç' menée par O; si l'on pose OB = 8,
les coordonnées du point P rapporté aux axes qu'on vient de
<léfinir sont
^b — a — c
^ b-^ a -^ a-^ b
Ou peut encore dire que si la parallèle à Aa et Br, menée par
P, coupe AB en C, on a
GA _ 6
^^^ GB a'
Il est, en outre, bien clair que la condition pour que trois points,
donnés par leurs équations, soient en ligne droite, est la même
(') Nous avons étudié en détail re système de coordonnées dans un Mémoire
(A". A., 3« série, t. III, p. jio, 45G, 5i6; 1884 ), Mémoire qui se trouve repro-
duit dans notre brochure : Coordonnées parallèles et axiales (Gauthier-Villars,
i885).
En même temps que notre étude paraissait dans les Nouvelles Annales, M. K.
Schwering publiait une brochure sur le même sujet sous le titre : Théorie und
Anwendung der Liniencoordinaten (Leipzig; i88'|).
Nous sommes revenu à diverses reprises sur ce sujet, notamment dans les
N, A, (3* série, t. VI, p. ^93; t. IX, p. 44^ î t. XI, p. 70).
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 1 27
que celle qui exprime que les trois droites obtenues en remplaçant
u et V par x et y dans ces équations passent par un même point.
Si a, 6, c sont des fonctions d'un paramètre variable 9, l'équa-
tion en u et v du lieu des points correspondants s'obtient en éli-
fflioant 0 entre l'équation de ce point et sa dérivée prise par
rapport à Q.
C'est ici le lieu de répéter ce qui a été dit au n® S4 à propos des
abaques construits en coordonnées ponctuelles : on peut évidem-
ment faire la théorie d'un abaque à points alignés au moyen d'un
système quelconque de coordonnées tangentielles, mais l'emploi
des coordonnées parallèles est préférable en ce sens que, dans la
plupart des cas, il conduit d'une façon plus directe à l'abaque
offrant la meilleure disposition.
On pourrait même, si on le voulait, faire toute la théorie des
abaques à points alignés au moyen des coordonnées ponctuelles
cartésiennes, ainsi que nous le montrerons plus loin. Mais, d'une
pari, la théorie y perdrait en unité, puisque avec la première ma-
nière il n'y a simplement qu'à donner, dans les mêmes équa-
tions, une signification géométrique différente aux coordonnées
courantes; de l'autre, l'emploi des coordonnées tangentielles per-
met, dans les cas usuels, d'opérer sans tâtonnements ce que nous
avons appelé la disjonction des variables (n" 41), quitte à
interpréter ensuite les résultats obtenus dans le système des coor-
données cartésiennes pour la plus grande facilité de la con-
struction.
58. Abaques tangentiels généraux, — Il n'a été question
dans ce qui précède que de la transformation des abaques à droites
entrecroisées en abaques à points alignés. Qu'obtiendrait-ôn en
faisant subir la même transformation à tout autre abaque à entre-
croisement?
Considérons d'abord l'abaque le plus général constitué par trois
systèmes de courbes quelconques (n** W), Chacun de ces systèmes
donnera corrélativement sur le nouvel abaque un autre système de
courbes, mais alors que sur le premier abaque trois courbes cor-
respondantes, prises chacune dans un des systèmes, devaient se
couper en un même point, sur le second, trois courbes corres-
pondantes devront être tangentes à une même droite que (sous
128 CHAPITRE III.
forme de Tindex d'un transparent ou d^un (il tendu) Ton appli-
(|uera sur Tabaque.
Au surplus, toute équation entre trois variables étant susceptible
«l'une représentation ponctuelle comportant deux sj^stèmes de
droites et un système de courbes, savoir celle que donne la mé-
thode cartésienne (n® 16), elle pourra, de même, être représentée
tangentiellement au mojen de deux systèmes de points et d'un
système de courbes. Il suffira, pour cela, si l/équation donnée est
(E) *(3ti,a„aj) = o,
de poser, en appelant /| et /.^ des modules quelconques,
(a,) a = /,a,.
(a,) i; = /ja,,
d'où
Les deux premières équations définissent des échelles régu-
lières sup|)ortées respectivement par Taxe des u et Taxe des Vj la
troisième un système de courbes quelconques. Toute équation à
trois variables pourra donc être ainsi représentée, et le mode
d'emploi de l'abaque sera le suivant :
Lire la cote t.^ de la courbe touchant la droite qui unit les
points cotés respectis^ement a, et a^ sur les deux axes.
La substitution d'un tel abaque à l'abaque ponctuel corres-
pondant ne présenterait quelque avantage que si elle permettait
de remplacer les courbes de cet abaque ponctuel par d'autres
courbes d'un tracé beaucoup plus simple.
Si, par exemple, l'équation est de la forme
il suffira, après avoir pris deux axes parallèles distants de Ik et
ayant leurs origines sur une même perpendiculaire à leur direc-
tion commune, de poser
(«2) V :- i /;,
pour avoir
ÉQUATIONS A TROIS TARIABLES. ABAQCES A ALIGNEMENT.
129
équation d'un cercle (*) de rayon y ayant pour centre le
point
a/3-t- V(f3-\- 1^3— O
OU, en choisissant des axes cartésiens, comme au n° 57,
2 /3-i-?3 /3-^?3
S9. Transformation géométrique (Vun abaque à droites
entrecroisées en un abaque à points alignés. — Avant d'étu-
<lîer la construction directe des abaques à points alignés, faisons
voir comment on peut très aisément, si Ton possède un abaque à
droites entrecroisées, le transformer en un abaque à points
alignés.
Chaque droite PQ {fig* 53) de l'abaque donné peut être définie
par deux de ses points. Prenant les coordonnées x Qiy de chacun
Fig. 53.
P JC
de ces points et les reportant, comme coordonnées u et i^, sur les
axes parallèles du second abaque, on obtient les deux, droites
corrélatives dont le point de rencontre C est le point transformé
de la droite PQ.
De préférence, il conviendra évidemment de prendre pour les
deux, points précédents les points P et Q, où la droite considérée
rencontre les axes O^r et Oy.
Au point P(j: = OP, y == o) correspondra la droite
(•) Voir Coordonnées parallèles et axiales, formule (i^ ), p. 14.
M. d'O. 9
l3o CUAPITILR III.
iui point Q (^ :^ •>, y r OQ) correspondra la droite
A\{H=-o, i-=BN=OQ).
La construction se rcsumera donc en ceci : Porter sur Au
et Bf les segments AM — OP, lîN = OQ, et tirer les droites
AN el BM dont le point de rencontre C est le transformé de la
droite PQ(')-
(' ) Ici SI' jijjcfnt deux remarques importantes : i° Pour que (ce qui est pré~
Au et Bc, il faut qui: ces druius l'Q nient un coefricicnl angulaire négatif; or
□Il peut toujours futre en «nrtc qu'il en soit ainsi en clinisissanl convenablement
\f. sens positif ïur l'un dos axes Ox <iu 0_t'> celui de l'autre élant quelconque^
ï° riCD n'empêche, en passant de IVctielle de Or à celle de Au. et de celle de O^
fi celle de \iv, de changer de module s'il doit eu résulter une meilleure disposi-
tion, ces dr-ux rliangemcnts de module étant d'ailleurs indépendants l'on de
l'autre {voir à ce propos les (ig. 'A cl 5^ bu).
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT.
l3l
Voici un exemple (*) d'une telle transformation bien propre à mettre
en relief les avantages de la méthode des points alignés.
La Jig. 54 représente un fragment d'une Table graphique pour V ar-
pentage des coupeSy dressée par M. Théry, professeur à l'École
forestière.
Pour s'en servir, on prend le point de rencontre de la verticale cotée Œj
et de rhorizontale cotée aj. La cote de l'oblique passant par ce point de
rencontre fait connaître as, et cette cote est précisément égale à celle du
point où l'oblique rencontre l'axe O^.
La transformation qui vient d'être décrite, appliquée à cet abaque,
donne celui de la Jig. 54 bis. Les cotes des points (aj) sont d'ailleurs obte-
Fig. 54 bis.
- - O.Ï«
azo-
o.is
V--
• -^
B.tO-
C.05 -
i
0.U
-aïo
aos
o.on
nues par la remarque que voici : puisque sur le premier abaque une obliqtic
et une horizontale de même cote se coupent sur l'axe Oy^ un point de
réchclle curviligne du second abaque et le point de même cote de l'axe Br
sont alignés avec Torigine A de l'axe Aw.
Il suffît de jeter un coup d'œil sur les deux figures ( ^ ) pour que les a van-
(*) On trouvera un autre exemple d'une telle transformation dans un article
de M. Quiquet : Sur trois modes de réduction graphique des assurances
mixte* aux assurances en cas de décès, paru dans le Ihdietin de i institut des
actuaires français (juillet 1897). Voir aussi ir 87.
(*) Encore convient-il de remarquer que les modules des axes de la /ig. 54
««ont supérieurs à ceux de la Jig. 54 bis. S'ils avaient été les mêmes, la i<rc-
miére de ces figures serait devenue à peu près illisible.
l32 CHAPITRE Ilf.
tages de la seconde par rapport à la première sautent aux yeux, en ce qui
concerne les desiderata formulés au n** 30.
On peut faire, en outre, les deux remarques suivantes :
i"* Sur la Jig, 54 les obliques («3) se distinguent mal des horizontales («s).
On a même dû renoncer à les tracer pour les valeurs de aj inférieures
à 0,04, tandis que sur \^ fig, 54 his les points («3) sont nettement séparés
des points (a^^) et ont pu être marques jusqu'à «3= o.
21° Sur H Jig, 54 l'enveloppe des droites («3) n'apparait pas. Le seul
aspect de la figure ne permettrait même pas d'affirmer si cette enveloppe
se réduit ou non à un point. Sur la fig, 54 bis, au contraire, ainsi que sur
tout abaque à points alignes, la construction même de ces points fait con-
naître le tracé de la courbe qui leur sert de support. On verra par la suite
(n** 87) que cette circonstance est loin d'être négligeable.
60. Construction directe des abaques à points alignés. —
Supposons qu^une équation ait été mise sous la forme
/i ?i ^i
/, <Pî ^t = o.
/a 93 'l'a
D'après ce qui a été vu au n° 57, nous n'aurons, pour obtenir
un abaque à points alignés de cette équation, qu'à prendre les
équations qui définiraient pour elle un abaque à droites entre-
croisées et à y remplacer les coordonnées courantes cartésiennes x
cl y par des coordonnées parallèles u el v.
Nous avons ainsi les équations
(a,) w/i-+- t^<piH-iJ^, r^O,
(«3) W/3-+- ^'Çs-^ ^^3 — o.
Pour construire chacun de ces systèmes de points cotés nous
n'avons qu'à nous rapj)eler que, si nous prenons comme axes car-
tésiens Oo: el Or, la droite joignant les origines A et B des axes
parallèles Ku et Bç' et la parallèle équidistante de ces axes, le
sens positif sur O^ étant celui de A vers B, et si nous prenons
comme unité de longueur la moitié de la longueur AB, le point
a pour coordonnées (n^ 57)
^ = -* - -^- > y-
/i-:-^i -^ //-^?l
ÉQUATIONS A TROIS IfARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l33
Rien d'ailleurs n'oblige à supposer les axes Oj* et Oy rectan-
gulaires, c'est-à-dire la droite AB perpendiculaire à la direction
des axes Au et Bi^; c'est même, en général, le contraire qui aura
lieu.
Si P| et Qi, Pj etQa sont les points correspondant respective-
mentaux valeurs limites at et b^ dq ai, «2 et 62 ^^ ^2^ on tirera
lesdroiles P, P2, P| Q2, PaQi, Qi Q2 qui? sur le support du sys-
tème (aj), détermineront quatre points, dont deux extrêmes et
deux intermédiaires. En aucun cas on n'aura à construire de
points (as) en dehors de ces points extrêmes.
Ici encore la transformation homographique, qui conserve Tali-
gnement des points, pourra être utilisée. Comme au n" 49, on
obtiendra ainsi les trois systèmes de points
/ii)i u{X/i -^ jjiçi -^ v^,) -f- v(\'/i -T- jx'cp, -^- v'ij^i) -h X'/i -+• fx'?i-+- v' ^i = o,
les paramètres X, jjl, ..., v" étant quelconques et astreints à la seule
condition que leur déterminant
X
Drrr
I-^
X' {JL
1 y I-
V
» ^«r
soit différent de zéro.
Les équations (ai )|, (a2)i, («3)1 font alors connaître tous les
abaques à points alignés correspondant à l'équation proposée. On
fixera les valeurs des paramètres X, a, ... , v" en vue d'obtenir la
meilleure disposition de l'abaque. Nous reviendrons plus loin
(n**62) sur ce point.
Remarque. — Il arrivera souvent que, lorsque deux des sys-
^mes de points cotés, (a,) et (a2) par exemple, auront été con-
struits, le troisième (ol^) s'en déduira immédiatement. Cette cir-
constance se produira lorsque, pour chaque valeur attribuée à as,
on poarra sans calcul, ou du moins par un calcul très simple, dé-
terminer deux couples correspondants de valeurs pour a, et a2.
Chacun de ces couples définira une position de l'index que l'on
marquera au crayon. La rencontre des deux droites ainsi tracées
donn^a le point coté au moyen de la valeur de 7.2 considérée.
l3f\ CHAPITRE III.
Si même le support du système (as) est une droite connue
d^avance, une seule position de Tindex, et, par suite, un seul
couple de valeurs de ai eta2, suffira pour obtenir le point coté aj.
61. Emploi des coordonnées cartésiennes, — Les coordonnées
parallèles nous ont permis de faire dériver corrélativcmenl les
abaques à points alignés du même principe que les abaques à
droites entrecroisées; elles nous seront, en outre, d'un grand
secours, pour définir immédiatement les points cotés correspon-
dant aux divers tjpes d'équations se rencontrant fréquemment
dans la pratique (sections II et III). Mais nous devons faire
remarquer que la théorie des abaques à points alignés peut se
faire très simplement en coordonnées cartésiennes.
Il suffit de remarquer, en effet, que l'équation
/.
?i '!'»
/i
?î ti
A
?j -l-j
— o
n'est autre que celle qui exprime l'alignement dés trois points
/et /' étant deux modules quelconques, ou, en coordonnées homo-
gènes.
Tous les abaques qui se déduiront homographiquement de
celui-ci seront dès lors donnés par les formules
>-o/i-^ |^0?|H-Vo<^i _ ^0 /i -^ t^i) ?i -^ Vq ^\
ÊQUAT10?IS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALK.NEMENT. l3r»
le déterminant
Xo {lo ''o I
XI f I '
• 0 1^0 ^'o i
. K {^: vj I
étant supposé différent de zéro.
On voit que l'abaque correspondant à un système de valeurs
de Ao, jAo, . . . , vj sera identique à celui que donnent les formules
(a,),, (312)1, (^3)1 du numéro précédent avec un certain système
de valeurs de A, jx, . . . , V\ lorsque l'on aura
Aq :^= A — A,
Aq -- A ,
Aq = A -7- A,
En particulier, on retrouvera l'abaque donné par les formules
(a,), (aa), (^3) du numéro précédent, en prenant
N = f^'— 1^1
Vu — v'— V,
{^i = /»
Vo -- ''•»
\^l='l^'-^li.
vj _ V -h V.
Ao = — I,
H^) - I.
Vo = 0,
Xq — 0.
I^i =- 0,
'^o »»
X;- I,
rt=i»
v; =^ 0.
62. Transformation Iwmograpliique des abaques à points
alignés. — Quadrangle limite. — La transformation homogra-
phique conservant l'alignement des points peut être d'un grand
secours pour donner à un abaque du genre ici étudié la meilleure
disposition.
En particulier, si l'on considère le quadrangle P| Qj P2Q2 formé
par les points qui correspondent aux valeurs limites a^ et b^y ^o
et 62 des variables a, et a^ prises comme indépendantes, qua-
drangle qui forme le cadre de la partie utile de l'abaque, on peut
le faire coïncider avec un rectangle dont les sommets seront dé-
finis, par exemple, par
i ai) Il — o,
4 Of) l' — O,
{ bi) u = h,
(6j) V = h.
Le problème est analytiquement le même que celui qui a été
Iraité au n*^ 50, et, par suite, les valeurs à adopter pour X, [jl, . . . ,
•/ dans les équations (ai)i, («2)1 et (a3)i du n*" 60 sont celles qui
i36
CnAPITRE III.
sont données par les équations (i) à (4) du n° oO, où l'on n'aura
<{u'à faire h -- k. On trouvera plus loin (n" 84) un eiemple dé-
laillé d'un tel calcul.
Si l'on se propose de substituer à un abaque déjà construit,
dont le quadrangle limite PiQiP^Qa est quelconque, un autre
abaque ayant pour quadrangle limite un rectangle P'iQ'iPiQj
donné {Jig' 55)? il suffira de recourir à la construction géomé-
trique suivante :
Soit M un point quelconque du premier abaque ayant pour
transformé M' sur le second. Tirons les droites P| M et P'^M' qui
coupent P2Q2 et P^Q'a en S et en S'.
Ig. DO.
La conservation des rapports anharmoniques dans la transfor-
mation homographiquc montre que
Si la parallèle au côté P, Qi menée par le sommet P2 coupe la
diagonale P, Q2 a" point r/2 et la droite P« S au point 5, on a
Donc
on
(JP..SQ2) - (y^Visqi).
(ocP'jS'Qii-t.ocPasy,)
P'jS' P. 5
S'Q'j "^ sqt
tQDATlOHS A TROIS VARIABLES. ABAQtES A A^I(;^E]IE^T. li~
De même, si la droite P, ç, est parallèle à l'^Q^,
P; T' _ P^
TQ ■ /?,"
On voit donc qiie la ponctuelle formée par les points du pre-
mier abaque projetés à partir de P,s«r Pi^ï W la ponctuelle
formée par les points du second abaque projetés à partir de
P; sur P^Qi sont semblables.
De même pour les pooctuelles P, ç, et P', Q', .
Mais la transformation homographicgue peut encore cire utilisée
à d'autres points de vue, par exemple, pour remédier au défaut
consistant en ce que les intervalles correspondant à des échelons
égaux se resserrent trop dans une partie d'échelle, alors qu'an
contraire ils se dilatent notahirment dans une autre. Pour définir
la transformation homographique qui convient en pareil cas, le
capitaine Lafay a eu l'idée de recourir à un procédé, en quelque
sorte expérimental, qui mérite d'être signalé (').
Imaginons qu'on ail dessiné sur deux transparents portant cha-
cun un ase, A| ou Aj, deux faisceaux de droites identiques aj'ant
leurs centres C) et C» sur ces axes et déterminant sur chaque pa-
Fig. 56.
rallt^le à ces axes des segments égaux entre eux, puis plaçons ces
transparents sur l'abaque construit en mettant en coïncidence
leurs axes A, ou Aj qui se réduisent alors à un seul A. Eu faisant
varier la position, de la droite A sur le transparent, et celle des
I ' I C'Mt au mo^FD de ce procéda que le capitaine Lafuy a obtenu notamment
n abaque dei formule* de Freine!, Hnnt il est question plus loin (n* 100, i*).
CHAPITBI
cenires C,clCi sur la droite A, on engendre une infinité de réseaux
auxquels on peut supposer l'abaque rapporté, et l'on arrive, par
tiUonneinent, à placer les divisions les plus dilatées de l'échelle
que l'on veut transformer dans les mailles les plus dilatées de ce
réseau, les divisions les plus resserrées dans les mailles les plus
resserrées { /(g-. 56). Si donc, par une transformation homogra-
phiquc rejetant la droite i. à l'infini, on substitue à ce réseau,
forme de deux faisceaux convergents, uu quadrillage régulierformé
par deux systèmes de droites à angle droit {./f^. 56 bis), toutes
les mailles devenant identiques, les parties, qui tout à l'heure
étaient trop dilatées, se seronl contractées, et réciproquement.
Celte idée théorique est ingénieuse, mais il s'agissait de la rendre
pratique; voici comment M. Lafay y est parvenu :
Il a considéré l'abaqcie déjà construit % comme une perspective
de l'ahaque 31' qu'on veut lui substituer, en prenant les points O,
iH Ca comme points principatix de distance. Dans ces conditions,
les faisceaux de centres C, et C^ de la perspective devienneol des
systèmes de droites parallèles inclinées à 45", tes unes dans un
sens, les autres dans l'autre, sur la ligne de terre, ou, ce qui re-
vient au même, sur la ligne A prise comme ligne d'horizon. 11
suffit alors de se donner la ligne de terre A'B' parallèlement à A
ou AB, pour pouvoir effectuer la restitution perspective {Jig. S^),
Si, parC, cl Cï, on mène les droites C|V etCaV à 45° sur C,Ca,
on a le rabattement V du point de vue sur le Tableau. Par suite,
la transformée de toute droite sera parallèle à la droite joignant
le point V au point de rencontre de cette droite et de A. En parti-
culier, aux axes Ox et Oy correspondront les axes O'x' et O'y
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 189
menés respectivement par les points A' et B' parallèlement aux
droites VA et VB.
De même, si la bissectrice 01 de l'angle des axes O^ et Oy
coupe AB en I et A'B' en F, la droite O'I' qui correspond à 01 est
parallèle à VI.
Si l'on rapporte Tabaque 3^ aux axes Ox et Oj% et l'abaque 51'
aux axes O'j?' et Oy , puisque, d'une part, Ox correspond à O'x',
et Oj^ à Oy, que, d'autre part, la droite AB correspond à la
Fig. 57.
droite de l'infini sur O' x'y\ on voit que les formules de transfor-
mation seront
X =
bx -k- ay — ab
y ^
y-y
bx -f- ay — ab
en posant 0A=: a, OB = 6.
Pour déterminer les paramètres X et [x, ou plutôt leur rapport,
il suffit de remarquer que l'équation de la droite OT, qui corres-
pond, ainsi qu'il vient d'être dit, à 01, ou x = JS est
Or, nous venons de voir que O'j;', Oy et OT sont respecli-
l4o CHAPITRE III.
vemenl parallèles à VA, VB et VI. SI donc nous menons par I les
parallèles IL et IM à VB et VA, nous avons
X _ VL
li ^ VM'
En résumé, une fois placés sur Tabaque les points C| et Cj,
d'où se déduit immédiatement V, la transformation voulue est
définie par les formules ci-dessus, lorsqu'on prend deux axes
O'^' et O'y comprenant entre eux un angle égal à AVB et que
Ton fait a := OA, b = OB,l=: 6.VL, a -.= e.VM, 6 étant un mo-
dule dont on dispose en vue de l'échelle qu'on veut adopter.
63. Fractionnement des abaques à points alignés. — Le
dessin d'un abaque à points alignés ne comportant que trois
échelles curvilignes, on pourra sur une même feuille placer côte
à côte plusieurs abaques de cette espèce. De là la possibilité de
fractionner un tel abaque, ses diverses fractions étant groupées
sur un même tableau. Pour nous placer à un point de vue tout
à fait général, supposons l'échelle (a,) fractionnée entre ses
limites rti et bt en /ij tronçons, et l'échelle (a2) fractionnée entre
ses limites rto et 62 en n^ tronçons. Associant chacun des pre-
miers à chacun des seconds, on voit qu'on aura ainsi à construire
/?! AI2 abaques partiels.
Mais, ainsi qu'on l'a déjà remarqué au n® 35, il arrivera sou-
vent en pratique que l'on n'aura pas besoin d'associer toutes les
valeurs de ai comprises entre «j et />| à toutes les valeurs de a2
comprises entre «2 et 62* Cela permettra, dans bien des cas, de
réduire le nombre des abaques partiels à substituer à l'abaque
total qu'on aura fractionné. Si, par exemple, il existe respective-
ment dans les intervalles de «« à 6| et de a^ à 62, des valeurs C|
et C2 telles que les variables a, et «2 soient ensemble supérieures
ou inférieures respectivement à C| et à C2, on n'aura besoin que
d'associer le tronçon de Oi à C| au tronçon de a^ à C2 et le tron-
çon de Ci à bi au tronçon de Cu à ^21 ee qui ne fera que deux au
lieu de quatre abaques partiels à construire à la place de l'abaque
total qui associerait l'intervalle de a\ k bt à 1 intervalle de a2 à 62-
Il arrivera, en outre, que plusieurs des tronçons des échelles
fractionnées seront supcrposables, sinon comme graduation, du
ÉQUATIONS À TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l4l
moins comme support, ce qui introduira encore une simplification
notable dans le dessin.
64. Systèmes algébriques de points cotés. — Avant d'exami-
ner quelques types particuliers d'équations représentables par la
méthode des points alignés, nous dirons quelques mots de la con-
struction de certains systèmes de points cotés qui se renconlrenl
fréquemment dans les applications.
Si l'équation d'un système de points cotés (a), linéaire en //
et <^, est algébrique et de degré n en a, on dit que le système (a)
est algébrique et de degré n. Dans ce cas, le support du sys-
tème est en général une courbe d'ordre n. Puisque, en effet, à
un couple quelconque de valeurs données pour u et v l'équation
fait correspondre, en général, n valeurs pour a, c'est que sur une
droite donnée quelconque, il se trouve n points du système con-
sidéré, ce qui établit la proposition.
Parmi ces systèmes algébriques, les plus intéressants à envisa-
jçer, au point de vue des applications, sont ceux du premier et du
deuxième degré.
Un système (a) du premier degré est défini par une équation
telle que
U4-aV..30,
où U et V sont des fonctions linéaires en u et t'.
Le support de ce système est la droite qui joint les points U = o
et V= o, et puisque la position du point (a) sur celte droite dé-
pend linéairement du paramètre a, on voit que ces points (a^
forment une échelle linéaire. Ainsi donc tout système de points
du premier degré se confond avec une échelle linéaire, et, par
suite, d'après ce qui a été vu au n° 7, un tel système peut être
aisément construit lorsqu'on a déterminé trois de ses points.
Un système du second degré est défini par une équation telle
que
U-+-aV-hanV=o,
oùU, V et W sont encore des fonctions linéaires en u et i^.
Le support de ce système est une conique F dont l'équation en
coordonnées parallèles est
l42 CHAPITRE m.
Mais il sera généralement plus commode de former son équation
cartésienne par l'élimination de a entre les formules donnant les
coordonnées x eiy du point défini par Téquation ci-dessus.
Nous pourrions reprendre corrélativement ici tout ce qui a été
dit à propos des systèmes de droites du deuxième degré (n° 45).
Nous aboutirions ainsi au résultat corrélatif que voici :
Les droites qui joignent tous les points du système à Vun
quelconque d^ entre eux forment un faisceau linéaire.
Un tel faisceau déterminant sur une droite quelconque une
échelle linéaire, on peut dire que les projections de tous les
points du système (a) à partir de l'un d^eux sur une droite
quelconque forment une échelle linéaire,
11 suffira de prendre celte droite parallèle à celle joignant le
centre du faisceau au point coté (ao) pour que cette échelle soit
régulière (* ).
De même aussi que dans le cas d^un système de droites, on
aura (//>. 58)
pour a — o, le point U — o ou M,
pour a — X, le point W — o ou N
Fig. 58.
et le point de rencontre des langentcs en ces points à la conique F
sera
V-^o ou P.
(') II va sans dire, puisqu'on peut prendre une parallèle quelconque à cette
direction, qu'on la choisira dans la pratique, de façon que son module soit exac-
tement égal à l'une des subdivisions de l'étalon régulier dont on dispose, C*est-
à-dire du double décimètre.
fiQUtTIOKS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIG^E]IE.<jT. 1^3
Déterminons, en outre, le point Q correspondant à une valciii-
parlîculière a, et par le point Q menons tes parallèles QH et QS
à MN et NP.
Les droites du faisceau de centre M passant par les points (o),
{a.) et (x) coupent QR en R, en Q et à riiilîni. Donc, la projec-
tion du système faite à partir de M sur QR csi une échelle rv-
gulière ayant Reï Qpoiir points (o) e( (a).
De même, la projection farte sur QS à partir de N est une
4-cheUe régulière ayant S et Q pour points (o) et (r).
63, Syiième particulier du se
le système défini par l'ëquation
ideg,
Les tangentes
La coDiquc r est donc une hyperbole tangcr
pour asymptote.
n B ;i \n et ayant A«
c'est-à-dire le point M| situé sur la parallèle équidistantc ii(
que 0M, = — -■
Si nous projetons les points B, M, et I à partir de It ?
l44 CHAPITRE m.
avons les points O coté (o), Mj coté (i) et I, à rîDfîni, coté (oo), donc une
échelle régulière. Par suite, en portant sur OMi les segments Mim^,
niinii, rni/ns^y ... égaux à OMi, nous aurons les rayons Bmi, Bm^,
B/?iv, . . ., sur lesquels devront se trouver Mj, Mj, M4, .. .*.
Projetons maintenant les points B, Mj et I à partir de I sur AB; cela
nous donne les points H coté (o), O coté (i) et A coté (oc). Prenons le sy-
métrique N de Ml par rapport à O; tirons BN qui coupe Au en G et pro-
jetons réchelle AB à partir de G sur ON. Les points B, 0 et A nous
donnent les points N coté (o), O coté (i) et I,à l'infiiii, coté (»). L'échelle
sera donc régulière et, puisque par construction NO — OMj, le point
coté (2) coïncidera avec Mj, le point coté (3) avec mj, le point coté (4)
avec 7/23, .... Les rayons GMi, Gm«, Cm^ ... nous donneront donc sur
AB les points m,, m'^j m^^. ... A leur tour les rayons unissant ces points
au point I, c'est-à-dire les parallèles aux axes menées par ces points cou-
peront les rayons correspondants Bm^, Bmj, Bm^, ... aux points M], M3,
iMi, . . . qui sont les points cotés (2). (3), (.{ ), . . . dans le système considéré.
La construction est absolument générale : pour avoir le point Ma,
2t flt
coté ( a ), porter sur OMi les sef^ments O ma = - » N /«a-i = - ; tirer la
droite G/n^-i qui coupe AB au point wi; la parallèle aux axes menée
par nx<x coupe le rayon Bni^ au point M^ cherché.
Si on prolonge B/zi^^ jusqu'en sa rencontrera avec Au, et G ma jusqu'en
sa rencontre q-x avec Bt', on voit que
\py_—- •*. O mat -- a
et
B^a" 2Nma_i---:a.
De là une variante de la construction, indiquée sur la fîgure pour a = -.
Nous allons étudier maintenant plus en détail quelques types
d'équations rentrant dans le type général auquel s'applique la
méthode des poinls alignés.
II. — Abaques à trois échelles rectilignes.
A. -- Abaquks a tuois kchelles pauallèles (*).
6G. Type des équations correspondantes, — Ces équations
sont celles de la forme
(E) /,-/,:=/,
(') Tout abaque à poinls alignés comportant trois échelles rectilignes concou-
rantes peut l'Ire ramené à ce type par une transformation bomographiquc rejetant à
finfini le point de concours des trois supports.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l45
[/jetant toujours mis là pour //(a/)], auxquelles est applicable la
inélhode des abaques hexagonaux (n** 32).
Rappelons qu'on y ramène aussi celles de la forme
en les écrivant
log/i-^log/î=log/3-
Pour représenter Téquation (E) ci-dessus par un abaque à points
alignés, posons ( * )
(ai) u = /,/,,
(ai) V = hfi^
ce qui nous donne
l«3;o T ~^ T — J^^
Il «J
équation qui, avec le choix d'axes que nous sommes convenus de
faire (n*» 57), définit le point
L'expression de x ne renfermant que des constantes, on voit que
les points («3) sont distribués sur une parallèle C(v aux axes, dont
le point de rencontre C avec AB {fig* 60) est tel que (n® 57)
^'> gb^-t;-
(') Noos supposons que a^ et a^ sont les variables indépendantes naturelles de
la qaeslion (vo<> le renvoi au bas de la page 3a).
Quoique ce ne soit pas rigoureusement indispensable il est préférable, au point
de Tue de la précision, que l'échelle du résultat (aj) se trouve e/i^re les échelles
des {ionnées («i) et (a,). Elle pourrait d'ailleurs sans cela se trouver fort éloignée
de celle-^i, voire même à l'infini si la condition imposée plus loin à /, et /, con-
duisait à prendre ces modules égaux.
Pour que cette situation relative des échelles soit réalisée, dans tous les cas, il
font, si dans l'équation ( E ) les fonctions /, et f^ sont de signes contraires, ad-
joindre à l'une d'elles le signe — de façon que dans l'équation («3)0 les deux
termes du premier membre soient de même signe.
Par exemple, si l'équation (E) s'écrit
f\ yj — /a»
les fonctions/, et /, étant positives, on pose
V =— l^U
1. D'd). 10
■ 46 CHIPITKB III.
Si donc nous représentons par
l'écliclle de la fonctioa déterinioée s
puisque iv n'est antre chose que j', que
urcet axe, nous voyons,
nous avons
(•«)
h h
En résumé, ayant clioisi arbitrairement les modules U et /», et
en ayant déduit le module h par la formule (2), nons voyons que,
pour construire l'abaque de l'équation (E) ci-dessus, il suffit,
ayant pris sur la droite AB le point C tel que la formule (1)
Pi g. 60.
xoit vérifiée, de mener par les points A, B, C trois axes paral-
lèles Ah, Bc, Civ et de porter sur ces trois axes, à partir de
leurs origines A, B, C, respectivement les échelles définies par
les formules {a,), {^^) et {^^).
Il est d'ailleurs très Facile de donner le principe de celte sorte
d'abaque par un procédé purement élémentaire, équivalant au
fond à l'emploi de coordonnées parallèles, mais ne faisant pas
intervenir explicitement leur notion.
Si l'on coupe les trois axes Am, Bf , Ctv par une transversale
quelconque MN qui les rencontre en M, N, P, on a, par construc-
tion,
PM CA h 7,
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 1^7
Donc le point P est le barycentre des points M et N respec-
tiçement affectés des coefficients ^ e^ y-« Il en résulte que (*)
ou, en vertu de l'égalité (2) supposée vérifiée, que
AM BN _ CP
/i "^ /î "" /3 '
Or, toujours par construction, on a supposé les cotes a^, 0L2 et
aj inscrites aux points M, N et P, telles que
AM = /,/„ BN = /,/,, CP = /,/3.
L^égâlité précédente devient donc
Remarque, — Dans le cas particulier où l'on prend pour les
axes Am etBi^des modules égaux l^ = /2» ^^ formule (i) montre
que Civ se confond avec Oy, et la formule (2) que l'on a /$ ^-: 7 »
ce qui d'ailleurs était évident a priori,
67. Disposition et limitation des échelles, — C'est la libre
disposition que l'on a des modules /| et l^ qui fait toute la souplesse
de la méthode. Rappelons que dans la méthode des abaques hexa-
gonaux (*) ces modules sont nécessairement égaux; il en résulte
(') Rappelons en deux mois le procédé élémentaire qui donne cette formule.
Oo a
MP AC /,
Mais
Donc
ou
PN "
CB
~ l^
MP
AM -
-CP
PN ~
CP-
-BN
AM
-CP
/|
CP-
-BN
~ /î
AM
BN
= CP
(r
(') Rappelons aussi qu^outre le passage des index correspondants parles points
(x, ) et (34), cette méthode exige le maintien de Toricntation du transparent, su-
jétion dont est aiïranchie la présente méthode.
148
CHAPITRE III.
que si, en appelant a^ et b^, as et 62 les limites respectives de ai
et de a2, les différences /< (6^) — /i(ai) et/a(62)— /aC^a) pré-
sentent entre elles un notable écart, les longueurs des échelles
(a^) et {0L2) offrent le même caractère. Avec la méthode actuelle,
rien de pareil,; on est même libre, dans tous les cas, de donner
aux deux échelles la même longueur.
Plaçons-nous d^abord dans ce cas idéal, quittes, dans la pratique,
à nous en écarter plus ou moins pour satisfaire à d'autres conve-
nances.
On peut tout d'abord se donner arbitrairement la longueur L
des échelles qui appartiennent en général à la catégorie des échelles
dites usuelles (n" 5) ou de leurs dérivées (n° 6). Les modules 1%
et I2 sont alors donnés respectivement par
*"/i(6i)-/i(«i)' *-
/.(^)-/.(a.)'
et le module /$ par la formule (2) du n° 66. On peut faire alors
l'analyse des échelles (a,), (aa) et (aj), comme cela a été indiqué
au n*» 2.
Si cette analyse faisait reconnaître que certains intervalles sont
trop petits, il n'y aurait qu'à multiplier les trois modules d'abord
choisis par un même nombre,
Portons alors sur deux axes parallèles les échelles (a^) allant
du point P^ au point Qi, et (aa) allant du point P2 au point Qa
(/^•6.)(').
L'inclinaison de l'axe AB, non tracé, des origines, par rapport
aux axes de coordonnées A m et Br étant quelconque, nous sommes
libres de choisir les points P< et P2 sur une même perpendiculaire
( ' ) Sur cette figure et les suivantes la portion graduée de chaque axe est indi-
quée par un trait gras.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l49
à ces axes. Les longueurs des échelles étant égales, la figure
PfQiQjPj formée par ces échelles est un rectangle. Puisque
rëchelle («3) sera parallèle à celles-ci, le plus petit angle sous
lequel elle sera rencontrée par l'index servant à la lecture sera
ëgal à Tangle Q|P<Q2. Gomme, d'autre part, l'écartement des
axes est quelconque, nous pourrons en disposer de façon à donner
à cet angle telle valeur qu'il nous plaira. Si, par exemple, nous
adoptons la valeur -? nous n'aurons qu'à prendre l'écartement
Pi Pa des axes égal à la longueur P| Qi des échelles. Le quadrangle
limite de l'abaque sera alors constitué par un carré et l'index cou-
pera toujours les supports des échelles sous un angle compris entre
-7 et -•
4 a
Traçons alors la parallèle P3 Q3 aux axes telle que
PiPj l^
T" y
Fi Pi il
et choisissons un couple de valeurs a'^ et a',, des variables ai et cl2j
pour lesquelles la valeur correspondante a, de la variable a3 se
déduise très aisément de l'équation donnée.
Tirant sur la figure la position correspondante R| R2 de l'index
nous obtenons sur P3Q3 le point R3 coté a^. Connaissant ce point
et le module l^ nous pouvons très aisément construire l'échelle de
la fonction /^^ en la limitant d'ailleurs aux droites P| P2 et Q^ Qj.
Tel est le type théoriquement le plus parfait de l'abaque à sup-
ports rectilignes parallèles. On pourra en pratique s'en écarter
plus ou moins.
Il est bien évident, par exemple, que si les valeurs de /| et /a
calculées plus haut ne s'expriment pas par des nombres simples,
on les arrondira pour qu'il en soit ainsi, ce qui introduira une iné-
galité entre les longueurs des échelles; d'autre part les nécessités
du format pourront conduire à réduire l'écartement des axes et,
par suite, à abaisser un peu la limite inférieure 7 qu'on s'était
d'abord imposée pour l'angle de l'index avec les supports.
Il peut arriver d'ailleurs que pratiquement les valeurs limites de
chaque variable a, et CL2 n'aient à être associées qu'à une certaine
partie de l'échelle de l'autre. Dans ce cas l'échelle (as) pourra être
réduite de longueur.
i5o
CBAPITRE III.
Supposons, par exemple, que l'abaque ne soit utilisé que pour
des valeurs de ai et de a2 satisfaisant à une égalité telle que
F(ai,aî)>o.
Considérons toutes les positions limites de Tindex, c'est-à-dire
celles qui joignent les points dont les cotes satisfont à l'équation
F(ai,aj)=o.
Ces positions limites enveloppent une courbe C i^fig* 62 et
62 6{.$) et l'inégalité de condition signifie, selon le cas, que l'index
doit ou être extérieur à cette courbe, ou, au contraire, la rencontrer.
La position extrême de l'index sera l'une des tangentes menées de
Qi et de Qa à la courbe C. Si l'inégalité donnée exprime que
l'index doit être extérieur à la courbe C, l'échelle (aa) ne devra
être construite qu'entre les points P^ et Qj (Jig* 62); si, au con-
Fig. 6a.
ç.
[>
y
ç;
(aj
(a,)
D
X ^
K
(*a)
traire, elle exprime que l'index doit rencontrer la courbe C,
l'échelle (aa) devra être construite entre les points P3 et Q',
{fig* 62 bis),
68. Fractionnement des échelles, — On peut effectuer le frac-
tionnement des échelles comme dans le cas des abaques hexago-
naux. Soient C\ et c^ des valeurs des variables ai et <i^ intermé-
diaires entre leurs limites respectives «i et 6|, «2 et 62*
On pourra fractionner l'abaque en quatre autres ainsi limités :
I «1 entre a\ et ci, aj entre a\ et Cj,
II «1 » Cl et 6|, aj » C2 et 62,
III «1 » ai et Cl, aj » Cj et 6j,
IV ai » Cl et 61, aj » aj et Cj.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l5i
Nous pourrons construire Tabaque I au moyen de trois axes
parallèles (a^), («2), (as), gradués sur leur côté gauche par
exemple {fig' 63), et Tabaque II au moyen des mêmes axes gra-
dués sur leur côté droit, le rapport j- des modules étant, bien
entendu, supposé le même dans les deux. cas.
Fig. 63.
tl
h.
Ci
^2
h.
(D
(n)
(D
m
(1)
(H)
(m)
(ir)
(no
m
(DD
im
(0.3) (0.3), (CXj) (OL,)^
De même pour les abaques III et IV en remarquant que l'on
peut se resservir pour ceux-ci du même axe (a^), mais en l'asso-
ciant avec deux autres nouveaux axes (a2)i et (as)^.
Les chiffres romains inscrits à côté des diverses graduations
indiquent la façon dont elles doivent être associées.
D'ailleurs, suivant une remarque déjà faite au n** 35, et sur
laquelle il convient d'insister, il arrivera souvent qu'il existera
entre a% et 6| d'une part, a^ et b^ de l'autre, des valeurs c% et C2
telles qu'une valeur de ai inférieure à C| n'aura jamais à être
prise avec une valeur de 7.2 supérieure à C2, Qivice versa, ce qui
fait qu'il n'y a lieu de considérer que les combinaisons I et II.
Pour ce qui est du fractionnement en un plus grand nombre
de parties, pratiquement à peu près sans intérêt, il n y aurait qu'à
répéter ici ce qui a été dit à la fin du n° 35.
69. Exemples : i** Sixième type d*abaque de multiplication. — Écri-
vons encore Téquation de la multiplication sous la forme
logati-f-loga,^logas.
La symétrie de cette équation nous montre que nous devons prendre
ici, pour les échelles (ai) et («2)) des modules / égaux. Dès lors, le module
de l'échelle (aj), portée sur la parallèle équidistante des deux axes, sera
égal à - (n** 66, Remarque finale). Pour que cette dernière échelle soit du
i5a
CBàPITRB III.
type usuel, il suffît, si 23 varie de i à 100, comme dans les cas précédents,
<ie prendre (n° 5, 2®)
- = 125""',
1
ou
/ = îSo
mm
Gela donne, pour la longueur L des échelles (^)
= 125"".
Afîn de réduire les dimensions du tableau, nous fractionnerons les
échelles (aj) et (aj) vers le milieu de leur longueur, soit au point coté 9.
et, suivant ce qui a été vu au n** 68, nous porterons les deux fragments de
l'échelle («i) de part et d'autre de l'axe des u {fig. 64), les deux frag-
e-io
'Il -[
2-^
îr=ii'
(IDHÊ:
\-z
:irS
■1-*
«^3
Fig. 64.
m \\
5-
k
ÎHJO
;-2o
-M
-rm
-30
3rH
2-^^20
-W
r40
iiïl)
-S
=-3
3-^
(IIJIL-
E-IO E-10
2-;=
i-b
(H)
i^4 E-
Ê: (10)
4
E-3
ments de l'échelle (aj) de part et d'autre de l'axe des p, ce qui donnera
pour (23) deux fragments de part et d'autre de la parallèle équidistante
des deux premiers.
En outre, le point coté 3 du second fragment des échelles (ai) et («j) a
été disposé de telle sorte que le point coté 10 du second fragment de
l'échelle («s) se trouve en face du point coté i du premier, ce qui fait que
les points cotés 1 et 20, 3 et 3o, ..., et, généralement, «3 et loa» coïn-
cident également.
Enfin, pour associer un nombre du premier fragment de («j) à un
nombre du second fragment de (aj), nous répéterons celui-ci sur un
nouvel axe des p, en portant le fragment correspondant de («3) sur la
parallèle équidistante de ce nouvel axe des v et de l'axe des u.
(*) Ldijîff. 64 est une réduction de l'abaque construit avec ces modules.
ÉQDATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l53
Ce dernier fragment se compose des tronçons de 3 à 9 d'une part, et
de 9 à 3o de Tautre, empruntés aux deux premiers fragments de («3), et
il suffit, pour le disposer, de remarquer que son point 3 doit se trouver
sur la droite qui joint le point i du premier fragment de (a^) au point 3
du troisième fragment de (aj).
Les fragments qui doivent être associés ensemble sont marqués d'un
même chiffre romain.
2** Abaque des moments d'inertie des rectangles (*). — Le moment
d'inertie I d'un rectangle de base b et de hauteur h par rapport à la
parallèle à sa base menée par son centre, est donné par la formule
I = >
12
qui peut s'écrire
log6 -4- 31ogA — log 12 -f- logL
Si Ton veut donner aux échelles de (b) et de {h) la même longueur, il
faut construire les échelles de log 6 et de 3 log A avec les modules / et :r«
ce qui rend ces deux échelles identiques.
La formule (1) du n^ 66 montre alors que Téchelle (I) divise l'intervalle
de l'échelle (6) à l'échelle (A) dans le rapport de 3 à i, et la formule (2)
que le module de cette échelle (I) est égal à 7-
4
Si donc on veut que l'échelle (I) donne le même degré de précision que
l'échelle logarithmique usuelle (n"^ 5, 2°), il faudra prendre
7 :-^I25'»",
4
d'où
/ = 5oo°"".
Et si l'on fait varier b et h de 0,1 à i, la longueur L des échelles sera
égale à 5oo""" (*).
Sur la ^^. 65, cet abaque a été réduit environ au A.
3® Abaque des marches de troupes en colonnes, — Soient V la vitesse
en mètres par minute d'une troupe en marche, T le temps de la marche
( * ) On remarquera sur cet abaque que le sens positif des axes A <^ et B i' a été pris
de haut en bas, contrairement à la convention habiluellc. Celte disposition a été
adoptée par le dessinateur de l'abaque, M. Prévôt, qui l'a systématiquement
appliquée pour tous les exemples analogues, afin de rapprocher cos Tables gra-
phiques des Tables numériques, sur lesquelles le sens croissant va toujours de
haut en bas.
(') Il serait bon, avec ce choix de module, de fractionner les échelles en deux
parties à pea près égales, comme on vient de le faire pour l'abaque de multipli-
cation, afin que le Tableau fût plus maniable.
l54 CHAPITRE III.
en minutes, E l'espace parcouru en hectomètres. On a
(I)
VT
E= — .
lOO
Soient maintenant T' le temps de la marche en heures, E' l'espace f
couru en kilomètres. On a
(•-*)
E' =
6oVr 6VT'
lOOO
lOO
Les formules (i) et (2) sont utiles aux officiers d'Ëtat-Major. M.
Fig. 65.
0.1
0,2--
•O -:
0.3-f
V -.r
O
X
u
•bJ 0.<» '
0.5
0,6 -i-
0.7 rr
0.8 rr
0.9
1
0.000.01
.02
.03
.»»
.05
0.000) -^
.2
M
.%
s
«>
13
«
0,00«
«
_c
0
0.002
UJ
0003
0,00k
o.oos
0,01
0.02 - :
0,03 H :
0,0% -H \
0.0s -^^
0.'
•0.»
1-0.3
0.2
«
o
0.5
-■■-0.6
îLo.i
^1-0.8
j :_
-il-0.»
capitaine Goedseels, professeur à l'École de Guerre de Bruxelles, le
traduites en un abaque (*) de la manière suivante :
(') Bévue de rarmée belge, t. V (mars-avril 1898).
ÉQUATIONS A TROIS TARIÀBLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 1 55
ÉcrivoDS-les
(0 logV-hlogT — a = logE,
(2) logV -f-loger — 2 = logE'.
OccupoDS-nous d'abord de (i'). Pour les besoins de la pratique, il
saffil d'y faire varier V de 72 à loo, T de 6 à 66. Fractionnant cette
seconde échelle au point 24, on aura un premier abaque fragmentaire
avec V variant de 72 à 100, T de 6 à 24, un second avec V de 72 à 100,
T de 24 à 66.
Or, on a
log 100 — log72 = o, 143,
log24 — log6 =0,602,
log66 — log24 = 0,439.
Si donc II est le module de Téchelle (V), lu et l^f ceux des deu\ frag-
ments de Téchelle (T), on devrait avoir, pour que les trois échelles
fussent de même longueur,
o, 143/1 = 0,602/21 = 0,439/îî,
d'où
/ - ^* / - ^*
4,2 3,06
On prendra évidemment ici
Les modules correspondants des fragments de l'échelle (E) seront donc
donnés, d'après la formule (2) du n** 66, par
/si- ^> Izt- -^'
et ces deux fragments de l'échelle (E) diviseront les intervalles compris
entre l'échelle (V) et les deux fragments de l'échelle (T) respectivement
<lans les rapports de 4 et 3 à i.
Pour l'équation (2'), on voit qu'il suffît de reprendre les mêmes
échelles (V) et (E) et de modifier simplement l'échelle (T) en divisant ses
cotes par 6 puisque, pour le même point, on aura
T = 6T'.
Il suffira d'inscrire la graduation (T) sur un côté du support, le côté
<Iroil par exemple, et la graduation (T') sur l'autre, c'est-à-dire le gauche.
C'est ainsi qu'a été obtenu l'abaque du capitaine Goedseels, représente
parlayî^. 66 qui est la réduction à la moitié environ de l'original. Sur
cet original, l'auteur avait pris Ix = i", ce qui donnait pour l'intervalle des
points 100 et 75
i'"(logioo — log75) = o"™,i25.
56
CHAPITRE III.
Il est facile, s'il s*agit de longs parcours, de tenir compte des haltes.
Supposons, par exemple, que la marche s'effectue avec une halte de dur
minutes par heure. Il faudra alors sur l'échelle (T') (celle de gauche),
Fig. 6r>.
TETE V
13. —
•i» .
to,
8 -
9..
a,-
6
7,
6,
66
60
&b
bO
•►S
Zb
S.
30
2S
-«23
60.
S0<
•1^.
«Q-
20-
s—
—
7W
•►,—
20
3 —
1 ^_
*f —
3,—
\b
--.^ -
"* ^
2 —
2»-
%__
10
*f*^
'-,
9
6
7
20.
M>-
10-
(n)
(I)
Cm)
100
to
80
n
avancer de dix minules l'origine de chaque heure, ce qui donne la chif-
fraison affectée de V indice i. Avec une halte de dix minutes par deux
heures, on obtient de même la chiffraison affectée de Yindice 2.
Exemples numériques :
1° Temps mis par une troupe marchant à la vitesse de 8o™, pour par-
courir 37^"*. La position (I) de l'index, marquée en pointillé sur la figure,
donne (chiffraison de gauche)
T r:. 7^41'» (sans haltes),
T — 9** 1 1'° (avec une halte par heure),
T - 8**2i"* (avec une halte par deux heures).
•?/' Profondeur d'une colonne qui s'écoule en 17 minutes à la vitesse
de 9^'". La position (II) de l'index, avec la chiffraison de droite pour T,
donne iG*"",! ou 16 10".
3° Profondeur d'une colonne qui défile en 4 minules à la vitesse de 72".
On applique ici le principe des multiplicateurs correspondants (n** 21) en
IQUATIONS À TROIS VABIAILES. ABAQUES A ALIGNEMENT. ■ lây
multipliant V par lo, ce qui e^ige que la lecture E soit divisée par lo, ou,
ce qui revient au même, faite en décamètres- La position (111) de l'index,
avec la chiffraison de droite pour (T), donne 28'>°>,S ou MS".
Nous avons insisté sur les détails de construction des abaques
de ce genre parce qu'ils sont d'un usage courant dans la pratique.
Ce qui vient d'élre dit suffira, espérons-nous, à éviter tout Làton-
nement dans les applications de la méthode. On en trouvera d'ail-
leurs par la suite d'autres exemples (n°* 71, 90, HO, 411, 112).
70. Composition des échelles. — Nous allons, pour plus de
simplicité, raisonner ici dans le cas de trois échelles, mais il sera
facile de voir que ce qui va être dit s'étendrait immédiatement à
un nombre quelconque d'échelles.
Soient donc trois échelles à supports parallèles \,u,, AiUi,
».
Aj«i (yî^. 67), définies respeclivemeul par les formules
a,= l,/i,
i',= l,A,
u^=l^U
Traçons trois nouvelles échelles A13
lèlesaux premières, telles que
13, AijUij, AgiUsi paral-
A,A„
AiAm
A}A„
A,A„
A,Aj,
l58 CHAPITRE III.
et définies respectivement par les formules
(ûtjs) Wjj— liz/tii
(«si) "31= /ji/ji,
les modules /12, /s s 7 ^si étant liés aux précédents par les formules
I
::^,
I
Tx
-+•
1
r.'
I
lu
—
I
■+-
I
1
Izx
' —
1
II
-h
I
D'après ce qui a été vu au n° 66, les cotes ttia, a23, asi des
points obtenus sur ces échelles en prenant des alignements entre
les points cotés ai, a^, as sur les trois premiers axes, seront
telles que les équations
seront satisfaites.
Mais, en outre, d'après ce qui a été vu au n® 66, les points M| 21
M23 et Mai sont les barycentres des points M|, M2, M3 pris deux
à deux et respectivement affectés des coefficients r' t* T' P**"
«1 h h
suite, les droites Mi^Ms, M23M1 et M3, M, passent par un même
point M|23 qui est le barycentre des trois premiers points. Ce
point M|i3 se trouve donc sur une parallèle aux axes menée par
le barycentre Ai2s des points A,, Ao, A3 respectivement affectés
des coefficients 7-» / ' r ^^ ^ ^^^ distance W|2» du point A123 telle
i\ ff 13
que
"m ^ "2 !i? !fi
lus II /j /j
le module /|23 étant défini par
I I I I
liti II /j /j
y
ÉQUATlOlfS A TROHS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 169
Si donc on porte sur l'axe A|23W|23 l'échelle (a, 23) définie par
la formule
on voit que les valeurs correspondantes de ai, a2, as et ai23 satis-
feront à l'équation
/l -^/l -h/s = /lî3 )
et l'on peut remarquer que si l'on se donne trois des sept variables
^•> *2^ «3» «12, a23, aju, a, 23, il suffit de prendre quatre aligne-
ments pour obtenir les quatre autres.
Tel est le principe de la composition des échelles parallèles
énoncé par le commandant du Génie Bertrand dans le Mémoire
d'où est extraite l'application qui suit.
Il suffit d'écrire a^ au lieu de ai 23 et de poser /i 23 ^= ~^/*j pour
que l'équation précédente prenne la forme
La généralisation évidente dont nous parlions au début de ce
numéro montre qu'on pourra de même obtenir ainsi la représen-
tation des équations de la forme
c'est-à-dire de celles qui ont déjà été envisagées au n** 37.
Dans le cas où l'on n'aurait pas besoin de considérer les équa-
tions obtenues par le groupement des échelles deux à deux, trois
à trois, . . ., il serait inulile*de graduer les échelles résultantes cor-
respondantes.
71. Exemple : Abaque des distributions d'eau. — Cet abaque est
celui à propos duquel le commandant Bertrand (i) s'est trouvé amené à
énoncer le principe ci-dessus. II Ta établi en partant des formules do
M. Flamant.
(') Description et usage d'un abaque destiné à faciliter la solution des pro-
blèmes relatifs à la distribution des eaux {Revue du Génie militaire^ t. VIII,
p. 475; 1894).
Le Mémoire a été tiré sous forme de brochure à part mise en vente à la librairie
Berger-Levrault.
l60 CHAPITRE III.
Soient :
/ la longueur de la conduite,
d son diamètre,
g son débit,
h la perle de charge,
y la pente de la ligne de charge.
p la puissance de la conduite,
r sa résistance,
u la vitesse,
e la variation de prix (^).
Entre les sept premières de ces quantités, on a les équations
(,) l\ogq^ logA --= — logr,
(9.) — logA-f- log/ = — h)gy,
(3) log/-+-^log^^log/>,
(4) ^log(7-logA-i- log/ =^logrf-C,
G étant une constante numérique.
Ces quatre équations permettent de calculer quatre des quantités qui y
entrent en fonction des trois autres. On voit immédiatement qu'on peut ,
appliquer a leur ensemble le principe de la composition des échelles en
prenant
0Li~g, di—hy ^i^f,
aijsr, «is^y, dz\~^Pi
puis
fx^-Ao^q, ft^-^ogh, /jslog/,
/,îi- — logr, /î3 — -logy, /si^logp,
/i«^-^logrf-C.
4
Enfin l'auteur a choisi pour les modules les valeurs
/, = 5^", /j r^ /s = 6*».
L'abaque ainsi obtenu par le commandant Bertrand est celui que repré-
sente la Jîg. 68, avec une réduction d'un peu moins de -•
( ' ) Pour la définition de ces termes divers, je renvoie à la brochure du com-
mandant Bertrand.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l6l
Au diamètre (i et à la résistance r sont respectivement liés la section s
et le débouché o par les formules
s — — — f 0 = /• ^ .
Il sufGra donc, pour avoir ces nouvelles quantités, d'accoler aux échelles
{d) et (r) déjà construites des échelles (5) et (3) établies ainsi qu'il a été
dit au n" il. Ces échelles se trouvent sur la ^ff. 68. On voit, en outre,
que l'échelle du débit a été graduée en double suivant que l'unité admise
est le litre par seconde ou par minute.
On reviendra plus loin (*) sur la construction des deux dernières échelles,
celles de la vitesse u et de la variation de prix e.
Il convient de remarquer, en ce qui concerne l'inscription des gradua-
tions, l'innovation introduite par l'auteur et qui consiste à donner en
toutes lettres l'indication de chaque ordre décimal, ce qui fait qu'il suffit
d'inscrire un seul chiffre en face de chaque point.
B. — Abaques a deux échelles parallèles (-).
72. Type des équations correspondantes . — Le choix des
origines sur les axes Au et Bv étant quelconque, on peut placer
ces origines aux points où ces axes sont rencontrés par le troisième
support. Les points (ai), (a2) et (ol^) ont alors respectivement
pour équations
(«3)0 7- -^-/jT- = O,
«1 <î
/i et I2 étant des modules quelconques, ce qui donne, pour
l'équation représentée,
Prenant toujours la droite AB comme axe des x en plaçant
(') Renvoi du n» 99.
(-) Une transformation homographiquc permet de ramener à ce type tout
abaque à points alignés comportant trois échelles rectilignes quelconques, en
rejetant à l'infini l'un des sommets du triangle formé par les trois supports.
M. D'O. 1 1
' ■ 1 1 f I " I ' I ■ I ' r" ' r ' '
I I I ' I ■ I ■
6 0 I. 9 S
' I ' I
S»J1«UJV0»Q
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•»J^?W
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3 % » s '<*( ' 3 % S
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2 3 ^ 5 C T 8 9
Hectomètres
«auJ9!il!MI
t 1 %»»'»»9r
f
Ois. de mille
••UJ9l||!UJXI(]
69^ 9 « "» C e
,l,l|l.,i,|,»,|.>Ml,.|,P|-V,(,|
9 3 %S9189|
Cent de mille
2 3 % S 9189
Millions
I
•inuiui j«d •aJlllo^svH
9
S 9 1 9
9puooe« jvd «ao)!!
4 6 8 i. 9 9
apuooec jed taJii|iMO
164 CHAPITRE III.
l'origine O au milieu de AB et adoptant le sens OB comme sens
positif y on voit que le point (aj) est défini par
(aj) X — ri—Y "7"'
si l'on pose OB = 0.
En résumé, pour représenter par un abaque à points alignés
l'équation (E) ci-dessus, // suffit^ ayant pris sur Ox les points
A et B symétriques par rapport à O (le point B étant sur la
partie positive de O x), et mené par ces points deux axes paral-
lèles \u et Bp, de porter sur les axes A //, Br e/ Oîc, « partir
de leurs origines \^ Bet O, respectivement les échelles définies
par les formules (oLi)^ (7.2) et (as).
Remarque. — Pour que les échelles des variables (ai) et (aa),
prises comme indépendantes, comprennent l'échelle (as), il faut
que la fonction /s soit constamment positive entre lels limites con-
sidérées. Si elle devenait négative à partir d'une certaine valeur,
on aurait recours à un fractionnement (n** 63) en posant
73. Disposition des échelles {^). — Faisant en sorte, en vertu de la
remarque précédente, que les points («3) soient situés entre les axes Ai*
et Bf, on pourra toujours, comme on l'a vu au n** 67, disposer de l\ et /j
de façon à donner au\ échelles (aj) et (aj), entre les limites adoptées, la
même louj^ueur, les droites Vx P, et Q, Q, qui joij^nent leurs extrémités
ayant (railleurs une inclinaison quelconque par rapport à la direction des
axes A M et Bp, telle cependant, quant à présent, que l'angle PiQîPi soit
inférieur à l'angle PiFjQ2Cy'>. r)9).
Nous sommes libres également de disposer de l'écartement des axes
parallèles. Fourrons-nous encore ici le fixer de manière que l'angle sous
lequel l'index rencontrera le support P3Q3 de l'échelle (aj) ne tombe pas
au-dessous d'une certaine limite?
Si, par le point P|, nous menons des parallèles d'une part Pi 5^1 au
(') La discussion mathématique de la meilleure disposition à donner à un tel
abaque, développée dans ce numéro, n'est évidemment pas indispensable à Tappli-
cation de la méthode; elle est intéressante toutefois en ce sens qu'elle fait con-
nattre une disposition limite permettant de tirer de la méthode les plus grands
avantages. En pratique, on ne s'y astreindra pas toujours, se contentant d'une
sorte de tiUonnemont; mais nous avons tenu, dans les applications subséquentes,
à nous y conformer rigoureusement de façon à fournir de véritables modèles
théoriques.
tQUlTIO^B A TROIS VIRIIBLES. ABAQUES A ALIG.NEHENT. 1 6^
support PiQ), de l'autre aux diverses positions de l'index, nous voyons
Q]P,Qi de l'angle que l'index fait a
angle varie, en effet, de QjPtQi ou
k'ec les supports parallèles. Ce dernier
PiQiPj à P,PiQ, en passant par -,
et nous venons de supposer par hypothèse P,QiPi< PiP.Qi- Toute 1»
question revient donc à fiser la position relative des échelles, de façon ii
rendre l'angle QtPiJt te plus grand possible.
Si d'abord, en conservant l'inclinaison de la droite Qi Qi, nous changeons
l'écartement des axes, toutes les largeurs devront être roodirices propor-
tionnellement. Le problème peut donc s'énoncer ainsi : Parmi tous Us
couples de points Qj et y, pris sur la droite Q[ Qi et tels que le rapport
je ■L toit constant, quel est celui qui est vu du poîn
grand angle ?
Soit (_fig. 70) q't, Q', l'un quelconque de ces couples de points. Pour<
obtenir un autre quelconque 7Î, Qî, nous n'avons, après avoir joint les
points q'j et Q', à un point quelconque S* de Q, P|, qu'à mener par P| des
parallèles P,?;, P,Q; aux droites S'^-;, S'Q',. Il suit de là que l'angle
l66 CHAPITRE III.
SOUS lequel le segment qlQl est vu du point Pi est égalàTangle ^', S'Q',.
C'est donc ce dernier qu'il s'agit de rendre maximum. Il le sera lorsque
le cercle circonscrit au triangle ç^'jS'Qj, cercle qui passe par les points
fixes y 2 et Qj, sera de rayon minimum, et cette circonstance se pro-
duira lorsque ce cercle sera tangent à la droite PiQi. Soit alors S son
point de contact. L'angle maximum est donc égal à q'^ SQ, et les points
f/ii Q2 correspondants s'obtiennent en menant par le point Pi les paral-
■/ '' tvv lèles PiQi et PiQi à S^'j et à SQ^. Le problème est ainsi résolu. On
peut en mettre le résultat sous forme analytique.
En effet, de ce que
Q^'=-Qi^',xQiQi,
il résulte, par proportionnalité, que
QiPi =QigîXQ,Q,;
nu, si l'on représente par k le rapport constant ^ > que
' AQiP, =QiQ, ,
ou encore, si l'on appelle L la longueur PiQi des échelles parallèles, D la
distance QiQi,
(I) D=. L\/k. '
Alors
^ D L
Appelons a^ et 63 les valeurs de la variable aj correspondant aux
points P3 et Q3 (/i/^. Cg). Nous avons, en vertu de la formule (2) du
n° 57, et en nous reportant à l'équation («3)9 du n° 72,
d'où
Pi P-i __ /i/3(Wl Q1Q3 _ ^^A(h,)
P3P»"" h ' Q3Q2" u '
£1^3 ^ fiAJa,) QiQz ^ /i/»(63^
PiPî fiAiot) -+- /i' QiQi iiA^b,) -^ /,*
et, par soustraction.
/^- Q1Q2 lliA{<h)-^fi\[liA{b,)-^l,]
ou
/ ., > ,. _ [/,A(^n)-^-/,1[/,.A(<',) + M
Si la valeur de la fonction A est infinie pour Tune des limites, 6, par
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQCES A ALIGNEMENT.
exemple, on a
.67
(^')
ji =
Il n'y a plus qu*à porter cette valeur de k dans la formule (1).
L'écartement qui vient d'être déterminé, en vue de rendre maximum
l'angle ^iPiQi, est indépendant de l'angle que QiQi fait avec Q|Pi. Si
Ton fait varier cet angle, les points ^j et Qj parcourent les cercles décrits
de Qi comme centre avec les rayons
Qi^î = -^' QiQi = L/Z,
va:
et, puisque le point Pj se trouve entre ces deux cercles, l'angle gtPiQt
augmente au fur et à mesure que QiQî se rapproche de QiPf (^^. /i)*
Fig. 71.
Mais on ne saurait faire croître cet angle indéfiniment, parce que
l'angle PiPjQt devenant, contrairement à l'hypothèse faite jusqu'ici, plus
petit que PiQiPs) décroîtrait indéfiniment.
Arrôtons-nous dans la position pour laquelle les angles PiQîPî
cl Pi Pî Qi sont égaux. Le triangle P| Qj 72 est alors isoscèle, et le point Qj
se trouve sur le cercle décrit de Pi comme centre avec l'écartement D,
calculé par la formule (i) pour rayon.
D'autre part, les triangles PiQi7t et PiQiQî ayant un angle commun Qi
compris entre côtés proportionnels, car
QiQî
Qi Pi
QiPi
QiÇ'i
= A-
sont semblables, et le triangle QiF^j^j est lui-même isoscèle.
En résumé, ayant fait choix des modules li et /j, de façon que les
deux échelles (aj) et (aj) aient une même longueur L, et ayant cal-
culé k par la formule (?.), on prend pour point Qj l'un des points
de rencontre des cercles décrits de Pi et Qi comme centres avec le
rayon L/^. Le support de V échelle («3) est alors une droite antipa-
rallèle de PjQi et PîQj par rapport à PiPj et QiQj.
l68 CHAPITRE III.
Il va sans dire, encore une fois, que la disposition des échelles qui vient
d't^tre étudiée, théoriquement la meilleure, ne s'impose pas rigoureuse-
ment dans la pratique, et qu'il suffira, pour les applications, de choisir
une disposition qui n'en soit pas trop éloignée.
On pourra notamment substituer aux valeurs de /i, de /j et de k rigou-
reusement calculées des valeurs arrondies qui n'en dilTèrent pas beaucoup.
Remarque. — Si les points P3 et Q3 coïncident respectivement avec les
points Pi et Qj, on a A' = 1, et les triangles PiQiQî, PiQiPt sont équi-
latéraux. Mais le minimum de l'angle de l'index et du support PaQs
descend ici nécessairement à zéro.
74. Exemples : i** Septième type d* abaque de multiplication ('). —
Écrivons l'équation de la multiplication
sous la forme
I a* __
Elle sera dés lors représentable (n° 72) par les systèmes de points cotes
/,
(a,) "=-7-'
(22) t; = /jai.
(as) .3^ = 0
/i-t-/,a3
Convenons de faire varier ai et aj de i à 10. Puisque les segments
portés sur Aw et Bp sont de sens contraires, et que u décroît lorsque «i
augmente, le sens de la graduation sera le même sur les axes parallèles.
Prenons dès lors
ai = 10, ^1 = 1,
«j = 10, ^2=1,
ce qui nous donne
«3 = 100, 63 = 11
et, en outre
Mài) — ft{ai) = — I -H 10 = 9.
î/échelle (a,) étant régulière, prenons pour cette échelle la graduation
du décimèlre, c'est-à-dire
d'où
(*) Corrélatif du troisième type (n-27).
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT.
Pour que Féchelle (ai) ait môme longueur, il faut donc que
169
d'où
10 * •' '
/, = 10*".
La formule (2) du n^ 73 donne alors
( — -h l)(lO-4- l)
\io / II
k=:
■" " ' ' ' m ^ JLJL £t • • •
9
et
.o(.— i-)
\ 100/
^k= i , I .
La formule (i) du même numéro donne donc à son tour
D = lo'^".
Nous prendrons
II est dès lors facile de construire le parallélogramme PiQiQiPs
ijig^ 7^ ) ( * ), dont les côtés Pi Pj et Qi Q, sont égaux à 1 0"°, les côtés Pi Qj
ctP,Q,à9«».
Fig. 72.
(» ) L^/ig. 7a est une réduction de Tabaque tel qu'il a [été construit et qu'il se
irouTe décrit dans le texte.
17^ CHAPITRE III.
Pour construire le support PsQade l'échelle (as), il sufCt de se rappeler
que ce support se confond avec l'axe AB des origines.
Or, le point Pi coté lo a pour coordonnée m,
w= — = = r",
lo lo
et le point Qj cote i a pour coordonnée c,
i; = /, = |C"».
Il suffit donc de prolonger PiQi de !'='" du côté de Pi, et P2Qîde i*^
du côté de Qj pour avoir les points A et B, et, par suite, la droite AB
ou P5Q,.
La graduation (a^) est immédiatement obtenue, puisque c'est celle même
d'un décimètre.
Pour obtenir l'échelle (ai), remarquons : i" qu'elle est linéaire; 1^ que
nous en connaissons trois points, Qi(i), P|(io) et A (00). Donc, suivant ce
qui a été vu au n® 7, si nous portons surQiQj une échelle régulière
auxiliaire (P), ayant son point i au point Qi, et si la droite, joignant le
point 10 de ( p) au point Pi, coupe en S la parallèle à Qi Qj, menée par A,
les droites, joignant ce point S aux divers points de (p), donnent
sur PiQi les points de même cote de («i).
En prenant pour (p) une graduation de décimètre ayant son point i
en Qi, on obtient ainsi le centre de rayonnement Si, qui a servi à obtenir
les points de (ai) cotés de 10 à 5.
Prenant maintenant pour (P) une échelle régulière pour laquelle le
module est égal à 2*", 5, on voit que le point 5 de cette échelle tombe au
point Qj. Il suffit donc de joindre le point Qj au point 5 de (ai), déjà
obtenu, pour avoir le centre de rayonnement Sj correspondant. Ce centre
a donné les points de (ai) cotés de 5 à 3.
Si, enfin, on prend pour l'échelle (P) le module égal à 5*", son point 3
tombe au point Qi. Donc la droite qui joint ce point Qs au point 3 de (ai),
déjà obtenu, donne le centre de rayonnement S3. Celui-ci a servi à déter-
miner les points de (ai) cotés de 3 à i.
Il faut remarquer d'ailleurs que les trois échelles (P) dont il vient d'être
question se superposent, à la graduation près, et sont données toutes trois
par simple application d'un décimètre le long de QiQi-
Quant à l'échelle (as) elle s'obtiendra, par application de la Remarque
qui termine le n** 60, de la manière suivante :
Les droites joignant le point i de (ai), c'est-à-dire le point Qi, aux
divers points de (aj), passent par les points de (aj), de même cote que ces
derniers. Ainsi ont été obtenus les points de (as) cotés de i à 10.
Les droites joignant le point 1 de (ai) aux divers points de (a^) passent
par les points de (aj) de cote double. Ainsi ont été obtenus les points
de (aj) cotés de 10 à 20.
>.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. I7I
Les droites joignant le point 10 de («i), c'est-à-dire le point Pj, aii\
divers points de («i), passent par les points de (23) de cote décuple. Ainsi
ODt été obtenus les points de (aj) cotés de 20 à 100.
a* Huitième type d'abaque de multiplication (*). — Ce nouveau
type s^obtient en prenant, dans l'équation
ai «2 = «3,
pour l'application du procédé indiqué au n'* 72, aj et «3 comme variables
indépendantes, au lieu de ai et a^; mais, afin de n'avoir pas à changer les
indices dans les formules données à cet endroit, nous écrirons l'équation
de la multiplication sous la forme
ou
ai = 0.
Les formules de la représentation seront donc ici
(«t) M = /,ai,
(«a) V =— liOLi,
( a, ) X = 0 -.
Faisons varier ai de i à 10, aj de i à 100. Ici, les graduations (ai) et (aj)
étant de sens contraires, on prendra
ai = i, ^>i=io,
aj = 100, ^j = I,
ce qui donne
as = 100, ^3 = 0,1
et, en outre,
/i(^i)— /i(«i)^ 10— ï =9î
/î(^î)— /î(ûr2} = — 1 -^100 = 99.
Donc, pour que les deux échelles aient la même longueur L, il faut que
L = 9^1 = 99^2-
Prenons
f cm ,
1 — I ,1 .
Alors
li-.o'"',i
et
Lr.9-,9.
(») Corrélatif du second type (n" 23, r).
170 CHAPITRE m.
Pour construire le support PsQade l'échelle (as), il suffit de se rappeler
que ce support se confond avec l'axe AB des origines.
Or, le point Pi coté 10 a pour coordonnée m,
a = — = = !«"»
10 10
et le point Qj coté i a pour coordonnée v^
V = If = i
cm
fcm
cm
cm
Il suffit donc de prolonger PiQi de i*"* du côté de Pt, et PjQî de i
du côté de Qj pour avoir les points A et B, et, par suite, la droite AB
ou PjQ,.
La graduation (ai) est immédiatement obtenue, puisque c'est celle même
d'un décimètre.
Pour obtenir l'échelle (ai), remarquons : i** qu'elle est linéaire; 2* que
nous en connaissons trois points, Qi(i), P|(io) et A (00). Donc, suivant ce
qui a été vu au n* 7, si nous portons surQiQ, une échelle régulière
auxiliaire (P), ayant son point i au point Qi, et si la droite, joignant le
point 10 de (p) au point Pi, coupe en S la parallèle à QiQs, menée par A,
les droites, joignant ce point S aux divers points de (p), donnent
sur PiQi les points de même cote de («i).
En prenant pour (^) une graduation de décimètre ayant son point i
en Qi, on obtient ainsi le centre de rayonnement Si, qui a servi à obtenir
les points de (qti) cotés de 10 à 5.
F*renant maintenant pour (p) une échelle régulière pour laquelle le
module est égal à ?/",5, on voit que le point 5 de cette échelle tombe au
point Qj. Il suffit donc de joindre le point Qj au point 5 de (cti), déjà
obtenu, pour avoir le centre de rayonnement Sj correspondant. Ce centre
a donné les points de(ai) cotes de 5 à 3.
Si, enfin, on prend pour l'échelle (p) le module égal à 5'=", son point 3
tombe au point Qj. Donc la droite qui joint ce point Qj au point 3 de («i ),
déjà obtenu, donne le centre de rayonnement S3. Celui-ci a servi à déter-
miner les points de (ai) cotés de 3 à i.
Il faut remarquer d'ailleurs que les trois échelles (P) dont il vient d'être
question se superposent, à la graduation près, et sont données toutes trois
par simple application d'un décimètre le long de Q1Q2.
Quant à l'échelle (ol^) elle s'obtiendra, par application de la Remarque
qui termine le n" 60, de la manière suivante :
Les droites joignant le point i de («i), c'est-à-dire le point Qi, aux
divers points de («j), passent par les points de (as), de môme cote que ces
derniers. Ainsi ont été obtenus les points de (aj) cotés de i à 10.
Les droites joignant le point 1 de (ai) aux divers points de (aj) passent
par les points de (aj) de cote double. Ainsi ont été obtenus les points
de («3) cotés de 10 à 20.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. I71
Les droites joignant le point 10 de (aj), c'est-à-dire le point P5, aux
divers points de («i), passent par les points de («3) de cote décuple. Ainsi
ont été obtenus les points de (aj) cotés de 9.0 à 100.
T.* Huitième type d^abaque de multiplication (*). — Ce nouveau
type s'obtient en prenant, dans Tcquation
pour l'application du procédé indiqué au n" 72, «t et 0L3 comme variables
indépendantes, au lieu de ai et a^; mais, afin de n'avoir pas à changer les
indices dans les formules données à cet endroit, nous écrirons l'équation
de la multiplication sous la forme
«1 3t3 — «î
on
tti = 0.
Les formules de la représentation seront donc ici
i^i) M = /iai,
(3tj) V =— /jaa,
Faisons varier ai de i à 10, aj de i à 100. Ici, les graduations (ai) et (22)
étant de sens contraires, on prendra
ai = 1, ^1 = 10,
aj = 100, ^2=1,
ce qui donne
«3 = 100, h:i = 0,1
et, en outre,
/i(6i)— /i^«t)^ 10— I ^9,
/i(bi)—/i{aij = -' I -^- 100 = 99-
Donc, pour que les deux échelles aient la même longueur L, il faut que
L = 9^ = 99 ^2-
Prenons
Alors
et
1^-9'^'", 9.
(•) Corrélatif du second type (n" 23, i').
i
172
CHAPITRE III.
La formule (x) du n** 73 donne maintenant
(0,011' -4- G, l) Cil -H O, l) III
A =
= — = 1,12
99
et
0,1 1(10 — 0,01)
^/ï = i,oC.'
Par suite, la formule (1) du môme numéro donne
D = 1,06 xo'^", 9 = 10'^», 494.
Nous prendrons
D = lo*''", 5.
Il est dès lors facile de construire le parallélogramme PiQiPsQi dont
les côtes PiPî et QtQi sont égaux à io*",5, les côtés PiQt et PîQî
à 9''",9(yî^.73)(').
Kig. y'^.
B ^
Le point Pi, coté i, a pour coordonnée f/,
et le point Qj, coté i, a pour coordonnée c,
i'= /j= o'^'^ji.
Cela permet de marquer les origines A et B sur les axes, et, par suite,
dr tracer la droite AB ou P3Q3.
Les graduations (ai) et{a2) s'obtiennent immédiatement, puisque ce sont
<les échelles régulières de modules m™™ et i""".
(') Mémo remarque que pour \'d /ig. 72 (p. 1G9).
fiQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 1 yS
Une fois les échelles («i) et (aj) construites, l'échelle (aa) s'en dcduit
immédiatement par application de la Remarque qui termine le n** 60.
L.es points (aj) de o,i à lo s'obtiennent sur P3Q3 au moyen des droites
qui joignent les points (ai), de cote décuple, au point (cti) coté 10, c'est-
à-dire au point Qi, les points («3) de 10 à 5o au moyen des droites qui joignent
les points (as) de cote double au point (at) coté 'Xy les points (a^) de 5o à
100 au moyen des droites qui joignent les points (aj ) de même cote au point
(S|)coté I, c'est-à-dire au point Pi.
3* Abaque de la correction barométrique, — La correction e, expri-
mée en millimètres, qu'il faut retrancher d'une hauteur barométrique />,
lue en millimètres de mercure, pour la ramener à zéro, la température
étant de /** G., est donnée par la formule
s -= 0,00016/?/,
que nous écrirons
e
0,00016/) =0,
pour que le dernier type d'abaque de multiplication qui vient d'être ex<i-
miné lui soit immédiatement applicable.
Posons donc
M = /, X 0,000l6/>,
i^ = — /i e
et admettons comme limites (*)
pour/?: ai = 5oo, />, = 800,
pour e: aj=r5, /^^rrro,
ce qui donne pour t
a3 = 62,5, ^.i = o
et, en outre,
/t(bi) — /i(«i) = 0,00016 X 3oo = 0,048,
. /.{6«)-/i(«0=5.
Si donc L est la longueur commune des échelles nous devrons avoir
o,oi8/i = 5/2= L.
Prenons
/___ < cm
Alors
ccm
et
L = 5'"^.
Comme ici la fonction /s (aj) est - qui pour la limite ^3=0 devient in-
(') Annuaire du Bureau des Longitudes [jour i8yy, p. 211
1^4 CHAPITRE III.
iinie, il faut, pour avoir A', appliquer la formule (2') du n* 73. D*ailleurs,
puisque
7 "~ ê
on a, pour les valeurs limites s = 5, /> = 5oo,
-, I o. non 16 X 5oo ^
/3(«3)=-j = 3 =0,016.
Par suite, la formule (9/) en question donne
. 5xo,oir> 8 ^
A- = ; - -T- 1 = - = 2,G()66.
0,048 S
iVoii
el
Nous prendrons
D = 5'='°x i,G3 = 8^"',i5.
D = S'""».
Construisons donc le parallélogramme P| Qi QjPj (/ig- 74) { 0 ayant pour
côtés 5 et 8'™.
0 J2s.o
tftf^ p,
L'cchello (£)est immédiatement construite puisque, vu le choix de /j,
égal à 1"", clic se confond avec une échelle de décimètre.
L'échelle (p) est une échelle régulière dans laquelle les points Pi et Qi
sont cotes respectivement 5oo et 800; elle est donc aisée à construire, el
l'on peut aussi facilement marquer son origine, point coté o, qui, jointe
à l'origine Qj de l'échelle (s), donne le support P3Q1 de la troisième
échelle (0-
Le point coté o de celte dernière échelle se confond avec le point Qj
puisque / = o doit donner e — o quelle que soit la pression />, et son point
(') Mùme remarque que pour Va fi^. 72 (p. i6()).
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 176
coté 00 se trouverait sur Pi Qi, puisque de môme / = 00 donne e = ». On
peut remarquer maintenant qu'on a, pour ainsi dire sans calcul,
t = So" avec p = 5oo, e = 4-
Donc, joignant par une droite le point (p) cote 5oo, ou P|, au point (e)
colé 4» on obtient sur PsQi le point (t) coté 5o.
L'échelle (/) est linéaire; on en connaît trois points (^ = o), {t = co) et
(^ = 5o); il est donc facile de la construire, ainsi qu'il a été vu au n° 7,
en se servant de l'échelle (t) dont les cotes seraient décuplées. Tirant la
droite qui joint le point coté 5o de cette nouvelle échelle, c'est-à-dire le
point Pj au point (t) coté 5o, qui vient d'être obtenu, on a, sur PiQi, le
centre de rayonnement. Projetant à partir de ce centre les points (e)
sur PiQi, en décuplant leurs cotes, on obtient les points (t).
C. — Abaques a échelles non parallèles (*).
73. Échelles concourantes, — 11 est bon toutefois de remar-
quer qu'il peut, dans certains cas, y avoir avantage à recourir à
d'autres dispositions, homographiquement équivalentes aux pré-
cédentes, mais dont la théorie peut se faire directement par une
voie tout élémentaire.
Voyons, par exemple, quel genre d'équation on peut représen-
ter par Talignement de trois points A, B, C, respectivement pris
sur des échelles (a,), («2), (aj) portées par deux axes Ox et Oy
et la bissectrice O5 de leur angle (Jifr* 7»^)-
(') Pour le cas de trois cchelics linéaires on trouvera plus loin (Ch. VI, II, B)
une théorie détaillée des équations correspondantes.
176 CHAPITRE III.
L'équation de la droite AB rapportée aux axes Ox et Oy est,
en appelant /, et /a les modules des échelles (a,) et (ota),
T y
-+- ~-7r = I.
Les coordonnées du point C, en appelant /j le module de
Téchelle (2^3), w l'angle des axes, sont
2 cos —
et comme ce point se trouve sur la droite AB^ on a
.^ \lxfx Itjt)
Si donc ou prend
il vient
•>. cos —
h = Ui ^3 = ?-^ cos - 9
•1
I 1 __ I
Telle est la forme de Téqualion représentée. Il suffit de poser
i;^'" z^'f'' i^*?"
pour retomber sur le type d'équation du n" 66, ce qui devait être,
puisque les dispositions d^abaque correspondantes sont trans-
formées homographiques l'une de Fautre.
On peut d'ailleurs ramener d'une infinité de manières à la forme
actuelle toute équation de la forme
En effet, après avoir multiplié les deux membres de celle-ci
par A' et leur avoir ajouté 2/1, on peut l'écrire
// -h Âçpi -h h -h k^i= îh ■+- A-©j
ou
I
I
1-
/i-hk^i /j-T-X:cpj 2/1 -h ko^
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT.
Donc, en posant
77
on est ramené à la forme ci-dessus.
Cela permet, lorsque, entre les limites considérées, les fonc-
tions cpi, cpa et (fz varient de o à oo, de substituer à Tabaque de di-
mensions infinies que donnerait Temploi d'échelles parallèles un
abaque de dimensions finies.
76. Exemples, — i° Si nous prenons
fi(^i) = 0Li (e = i,2,3),
nous obtenons ainsi une représentation fort simple de Téquation
I I __ I
«1 aj as
qui se rencontre fréquemment, notamment en Physique dans la théorie
des miroirs et lentilles sphériques. C'est aussi Téquation qui lie les mo-
dules de trois échelles à supports parallèles (n° 66).
2ir
Si Ton prend w = — i/lg. 76), on a
2C0S - = 2 COS -x =1,
1 3
Fig. 76.
Ainsi donc, si Von coupe par une transversale quelconque trois
échelles régulières (aj), (aj), (aa) de même module portées sur les
côtés d'un angle de 120** et sur sa bissectrice {le point coté o de
M. D'O. 12
.78
CHAPITRE III.
chacune de ces échelles se trouvant au sommet de l'angle)^ on a, entre
les cotes des trois points alignés, la relation
1
I
«j
Avec cette disposition des axes la transversale les coupe en général sous
TT
des angles trop petits. II est préférable de prendre ta = --• Dans ce cas
•2C0S— = acos- = 1^3.
1 6
D'ailleurs, quel que soit l'angle a>, la graduation de la bissectrice
s'obtient, en projetant celle de l'un des côtés de l'angle parallèlement à
l'autre.
A titre de curiosité on peut se rendre compte de la façon dont cette
disposition d'abaque peut se déduire de celle que nous avait, au début,
donné l'emploi des coordonnées parallèles (n** 66).
Pour plus de simplicité nous prendrons le cas où eu = -^'- La marche
serait la même dans le cas général.
Les formules définissant le premier abaque montrent que l'équation peut
se mettre sous la forme
/i o — I I
o /, —I I =0.
A U — » i
Mulliplions-la par le déterminant
v/j -Va
Cela nous donne
— 2
— '\
-8/3.
/3/2-t-2 — /3/,-+-2
'}.
2
d on les équations
••- o,
M (2
a (2
/,/3)H-i'(2--/,v/3)-Vt
U-^V~ >,/j
o,
o.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT.
qui définissent respectivement les points
'79
X =
/. v/3
x-=
'X
X = o.
Ces points reproduisent la seconde disposition de l'abaque lorsqu'on
fait coïncider la bissectrice de l'angle des supports, qui font entre eu\
Tanglc -^f avec O^.
2** Soit encore Téquation
sinai sina2= sinas
qui se rencontre dans la théorie de la polarisation elliptique. Écrivons-la
log sinoti -+■ log sins] == log sinss.
Lorsqu'un angle varie de o" à 90° son logsin varie de — 00 à o. Nous
«sommes ici dans le cas d'appliquer la remarque qui termine le n^' 75.
Ecrivons donc cette équation
1 I I
I "^ I ~" I '
h — /i logsin ai h — Xlogsina2 2/1 — Xlogsinaj
Posant, en appelant /un module quelconque,
/ /
X =
h — /•• log sinai
r =
h — k log sinaj
nous aurons sur Ox et Oy deux échelles (si) et (aj) pareilles.
l8o CHAPITRE III.
Pour avoir l'échelle (as) il sufût de remarquer que pour ai = 90®, Téqua-
tion donne «3= a». Cela montre que l'échelle (aj) s'obtient en projetant,
à partir du point (ai) coté 90", l'échelle (aj) sur la bissectrice de xOy.
Avec les données numériques a: 0^ = 60", / = 6*", A = i, A: = 10, l'abaque
obtenu est celui de la Jig, 77, réduction de celui qui a été construit par le
capitaine d'Artillerie Lafay en vue de ses recherches sur la polarisation
elliptique (*).
77. Echelles non concourantes, — Soient, main tenant, trois ^
échelles (a,), (a2), (as) portées par trois droites non concou-
rantes, c'est-à-dire formant un triangle V^TW {/ig. 78). Voyons
Fig. 78.
quel est le type d'équation représenté par l'alignement de trois
points pris respectivement sur chacune de ces échelles.
Le théorème des transversales donne
AV.BW.CU
AW.BU.GV
ou
AV BW _ CV
aW BU ~ eu'
Puisque la position de chaque point sur l'échelle correspon-
dante dépend de sa cote, on peut poser
On voit ainsi que l'équation représentée est
On retombe ainsi sur la forme du n® 72, ce qui devait être.
(') Journal de Physique, 3* série, t. IV, p. 178; 1895.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l8l
puisque les dispositions d^abaque correspondantes sont transfor-
mées homographiques Tune de Tautre.
En réduisant les fonctions //(oci) simplement à ûc/, on aurait un
abaque de multiplication transformé liomographique du huitième
tjpe ci-dessus (n° 74, 2°). Il est très digne de remarque que ce
type d'abaque a été proposé jadis par Mobius (*).
Si la fonction /j varie de o à i , le point G se déplace à partir
de V jusqu'à l'infini sur le prolongement du côté UV. Un artifice
bien simple permet de ramener à distance finie la position limite
du point G. Il suffit, en effet, d'écrire l'équation
et de poser
"" âW ^•^*' "" "BV = ^•^*' CU = '^ '^'
h étant une constante quelconque inférieure à i.
C'est d'après ce principe qu'a été construit par le capitaine Lafay, tou-
Fig. 79-
'0 /
\
JO^
T 10
•0 v^
\^
•0 T^
nT wo
'0 f^
•V 20
^-X.
"^ \0
f
V »
»
(0.3)
30 M) M 60 10 MM*
•^-^ ^1 1 I i I I I I I I I I I I I I I
jours en vue des recherches physiques dont il a été question plus haut,
Tabaque de Téquation
tangai tangas= sinocs
(') WerkCy t. IV, p. 620. C'est à robligcancc de M. Mchmke que nous devons
cette indication.
l82 CHAPITRE III.
<Iont la fif;, 79 est une réduction. Pour cet abaque la constante h a
5
él<^ prise égale à -.
b
III. — Abaques à échelles curvilignes.
A. — Abaques a deux échelles rectilignes parallèles
ET UWE échelle CURVILIGNE.
78. Type des équations correspondantes, — Ces équations
sont celles de la forme
où ^3, CD3 et dij ne sont pas à la fois linéaires, sans quoi Ton serait
ramené au cas précédent.
Il suffit, pour les représenter, de poser
(xs) ^ — Il fil
ce qui donne
(«3)0 7-/3-^- 7-<P3H-4'3 = 0
Les points définis par cette équation sont distribués sur une
certaine courbe dont Téquation en u ti v s'obtiendrait en élimi-
nant as entre l'équation (a3)o et sa dérivée prise par rapport à aj ;
mais il est tout aussi facile de former l'équation cartésienne de ce
support. En effet, en appelant toujours 0 la demi-distance des
origines A et B, on a
(«3) x — ti-j-^ -r^9 y=i f-y*
et l'équation cartésienne du support de (ol^) s'obtient par l'élimi-
nation de as entre ces deux dernières équations.
On n'aura d'ailleurs généralement pas besoin de connaître la
nature géométrique de ce support curviligne, chaque point (as)
étant construit individuellement. On aura souvent avantage à
effectuer cette construction suivant le mode signalé dans la Re-
marque du n° 60 en se servant des échelles (a,) et (a2) préalable-
ment construites.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l83
Il sera toujours bon de faire en sorte que les points (as) se
trouvent entre les axes parallèles, ce qui exige que dans Téqua-
tion(aj)o les coefficients de w et ç' soient de même signe.
Si cette circonstance ne subsistait pas dans tout Tintervalle con-
sidéré on aurait recours à un fractionnement avec changement de
signe sur l'un des axes. On en trouvera plus loin un exemple
(n«83).
L'élude de la variation de l'angle sous lequel l'index rencontre
Téchelle (aj) ne saurait se faire avec la même simplicité que dans
le cas où le support de cette échelle élait rectiligne (n** 73).
Mais il arrive souvent dans les applications que l'arc de courbe
sur lequel est distribuée l'échelle (as) diffère peu de sa corde. On
peut alors appliquer la règle donnée à l'endroit cité comme si le
support curviligne se confondait avec cette corde.
79. Premier exemple : Abaque de l'équation du second degré (').
— La présente méthode est de celles dont les applications sont le plus
fréquentes dans la pratique. Nous croyons donc utile de nous étendre avec
quelque détail sur plusieurs de celles-ci.
Soit, en premier lieu, l'équation du second degré
Pour obtenir son abaque, posons
(/>) u = lxp,
(9) i^ = liq,
ce qui donne pour (z)
^^)o liliZ^-h liZU-h liV = o
0°) en appelant toujours 2Z la distance AB des origines,
iz\ ^ :? Ix — ljZ —lil^z^
' 07 = 0- — . j y= . j-^'
*l —r* l^Z '1 H~ l^Z
Les échelles (/>) et (q) étant régulières, il n'y a pas lieu de s'y arrêter.
Pour l'échelle (z), remarquons d'abord que, d'après l'expression de ar,
celte échelle projetée sur AB parallèlement aux axes Ai^ et Bp donne une
(') C'est précisément à l'occasioa de celte application et de la suivante (équation
Irinome du troisième degré) que nous avons, dans notre Mémoire O.l, fait con-
naître le principe de la méthode des points alignés.
l84 CHAPITRE III.
échelle linéaire ayant son point coté o en B et son point coté oo en A. Il
est très facile de construire celte échelle soit comme transformée d'une
échelle régulière (n** 7), soit comme dérivée d'un étalon segmentaire, si
l'on a pris pour AB la longueur de cet étalon {Remarque finale du n* 7).
Si d'ailleurs /f = /j, cette échelle se confond avec l'étalon segmentaire
même.
Pour achever de déterminer les points (z)y il suffit de remarquer que,
pour V = o, l'équation (^)o donne
w = — /,;?,
ce qui montre que la droite joignant le point B au point («) coupe
l'axe Xu au point de r échelle (p) dont la cote est égale à^ — -J^
Donc, en coupant le faisceau des droites qui unissent le point B aux
points (p) par les parallèles aux axes menées par les points de l'échelle
linéaire construite sur AB, on obtient l'échelle curviligne {z) (^), dont le
support est une hyperbole facile à déterminer.
Transportons, en effet, l'origine des axes cartésiens du milieu O de AB
au point B. Les coordonnées du point (z) deviennent
— 9. L ÙZ — /i /• 5*
Elles montrent immédiatement : i** qu'à l'origine B la tangente est l'axe
des x, c'est-à-dire AB; 2° que l'axe Att(a: = — S) est asymptote, pour
>3 = 00.
II suffit d'ailleurs de construire la portion de l'hyperbole correspondant
aux valeurs positives de z, et qui est tout entière comprise entre les axes
A M et Bt». Cela revient à ne construire l'abaque que pour les racines posi-
tives de l'équation (K). Ses racines négatives sont données, en valeur ab-
solue, par les racines positives de la transformée en — z qui se déduit de
la précédente par le simple changement de p en — />.
On n'a d'ailleurs besoin le plus souvent, dans les applications, que des
racines positives.
En prenant /, = /, ^ 6"", 5, on obtient ainsi la courbe Cj dela^î^. 8o(*).
(') On a déjà indiqué, au n» 65, une construction de cette échelle {fig- 59),
dans le cas où /, — l^.
(2) Les relations fondamentales entre les racines z^ et z^ de Téquatioa et ses
coefficients p et 7, savoir
montrent que l'abaque constitué par les axes A m et B t^ et la courbe Cj peut servir
d'abaque d'addition et de multiplication, la droite joignant les points cotés -z, et
Z2 de la courbe Cj coupant l'axe \u au point coté p et l'axe Bv au point coté g.
De môme, la droite, joignant le point {z) coté z^ au point (/>) coté —as,, passe
par le point {q) cote z].
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT.
85
80. Cas particuliers divers, — Pour les applications où interviennent
des équations du second degré, ou dispose de l\ et de /], de façon à donner
aux échelles parallèles, entre leurs limites respectives^ des longueurs égales
ou à peu près.
Fig. 80.
-: 4
"î 2
-. 1
•AQ^
e
-1
-2
-3
-5
-e
-7
-«
-9
-10
1" Épaisseur des lentilles plan-convexes. — Soit, par exemple,
réquation
^ =e{iK — c)
4
ou
e*— iKe H r = o,
4
qui lie Tépaisseur e, le rayon de courbure R et le diamètre d d'une len-
tille plan-convexe.
L'abaque correspondant, pour ef, variant de ao'^'^à 100'°°, et R de 100
mm
i86
CBAPIIHE ni.
à Soo"". a été constrait n ) en posant
« — «!,-'
4
i -— 2R/,
avec /j = o"". I. /j — o*", 5.
La y?^. 8i donne une réduction de cet abaque. On voit qu*ici la portion
Fig. 8i.
(') A la demande de M. Carpcntier, le constructeur bien connu d'instrument
de précision.
fiQUATïONS A TROIS VARUBLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 187
Utile de l'hyperbole se confond très sensiblement avec sa. corde, et, par
suite, qu'en se servant de celle-ci au lieu de la courbe entre les droites
joignant les points limites des échelles parallèles, on pourrait, en vue do
la meilleure disposition de l'abaque, appliquer ce qui a été dit à propos
des abaques constitués par trois échelles rectilignes dont deu\ parallèles
(n°73).
2* Volume du ballast. — Le demi-profil du ballast d'une voie de chc-
min de fer est un trapèze-rectangle ayant un côté incliné à |. Si donc h
est la largeur en plate-forme de ce demi-profil, h la hauteur du ballast,
le volume par mètre courant, abstraction faite des traverses, est donné
par
Ici, l'inconnue étant toujours V, on fait en sorte que l'échelle corres-
pondante soit située entre les deux autres. Il suffit, pour cela, de poser
u= lib, V = /jV.
\a^ fig, 82 donne une réduction de l'abaque qui a été ainsi établi pour
le service de la construction de la Compagnie des Chemins de fer do
l'Ouest avec
/, = 25"», /s =16'
ïcm
On voit qu'ici encore la portion utile de l'hyperbole portant la gra-
duation (A) se confond très sensiblement avec sa corde.
Pour tenir compte des traverses, il suffit de retrancher de la lecture V
une constante t représentant le volume occupé par les traverses sur un
mètre courant. On peut éviter cette soustraction en dessinant sur le trans-
parent qui porte l'index, un demi-cercle de rayon l%t ayant son centre G
surPindex (i). Appliquant alors le transparent sur l'abaque, de façon que
le point O se trouve sur l'axe des p et la demi-circonférence (/) du côté
des V décroissants par rapport à O, on voit que le volume V demandé
sera donné par la cote du point de l'échelle (V) qui se trouvera sous le
cercle (t).
On peut même tracer ainsi plusieurs cercles (0 correspondant aux di-
vers types de traverses employés.
Sur \di Jig, 82, la position de Tindex marquée en pointillé montre que.
pour b = 3", 4, h = o^jSo, on a V= i"«,8.
81. Second exemple : Abaque de V équation trinôme du troisième
degré (*). — Reprenons maintenant l'équation trinôme du troisième
degré déjà envisagée au n** 23 (2"), soit
(E) -s'h-/?^ -+- <7 = o.
(') Uq tel artifice avait été déjà employé par M. Lallemand pour un autre
abaque (d« 137).
(') Voir le renvoi, p. i83.
i88
Posons
CHAPITRE III.
U = lipy
3?2.
3.3--
3> - -^
3.5--
(6) +
3.6
3.7
3.8
3.9
*.0
Fig. Sa.
ir*!.
I.î^r
l.Srr
l>-:r
1,5-;:
i.e-:;-
i.T-ir
(V) ^r
'>^'
US-rr-*-^
-c.
2.0^:
2.1--
2.2 -:r
2.3-:?-
2>r-
2.S-:r
2.6rr
?.7-i:.
0.*
0.
Il vient alors, pour (z),
( - }o
/i /2 -3^ -f- /a ^ w -l- ^1 1^ = o,
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT.
OU, en appelant toujours 20 la distance AB des origines,
189
(^)
a? = 0
y
Les échelles (p) et (q) ci-dessus sont les mêmes que celles de l'abaque
de l'équation du second degré (n° 79). Pour la troisième, l'expression de cv
est aussi la même que dans le cas du second degré. Autrement dit, la pro-
jection de Téchelle (z) faite sur l'axe AB parallèlement à Ai^ et Bp set la
même.
Nous avons vu au numéro précédent comment on pouvait construire
cette échelle projetée.
Nous allons maintenant faire voir comment, pour une valeur quelconque
de z, on peut passer du point M projeté sur AB au point /> correspondant
de Tcchelle curviligne (z) {Jlff, 83). Rendons-nous compte pour cela de
la nature du support Z de cette échelle.
Aoo
L*équation en a et p de la courbe Z, obtenue en exprimant que l'équa-
tion (z)o a une racine double (n** 57), est
4/| w'-H 27/5^*= o.
C'est donc une courbe de la troisième classe. D'ailleurs les expres-
sions (z) de X et y montrent que la courbe Z, unicursale, est également
da troisième ordre. C'est donc ce que Salmon a appelé une cubique cus-
pidale (^), c'est-à-dire une cubique unicursale douée d'un point d'inflexion
et d'un point de rebroussement. Il est d'ailleurs très facile de vérifier que
le point d'inflexion se confond avec le point B où la tangente est AB et
O Courbes planes, traduction Chemin, p. 186.
190 CHAPITRE III.
le point de rebroussement avec le point situé à l'infini sur la partie néga-
tive de Taxe A. a, cet axe constituant lui-même la tangente en ce point.
Si, en effet, on transporte Torigine du milieu O de AB au point B, les
coordonnées du point M coté z deviennent
^ /i-+- ItZ ^ /,H- l^z
Elles montrent que, à l'origine B, la tangente est Bâ?, puisque, pour x
tendant vers o, lim — = o.
En outre, y^ négatif pour z très petit et positif, devient positif pour z
très petit et négatif, d'où résulte que la courbe est située de part et
d'autre de sa tangente en B, c'est-à-dire que ce point B est un point
d'inflexion.
Pour 5 = Lh X, a? = — 20, ^ = — x>, ce qui montre que Taxe A a est
une a<îymptote de rebroussement pour la branche de courbe située du
côté des/ négatifs.
Les tangentes au point d'inflexion B et au point de rebroussement R«
se coupant au point A, le théorème général sur la constructioïk point par
point des cubiques cuspidales que nous avons fait connaître (*) montre
<]nc :
Si Von joint le point A au point de rencontre K de la droite BP et
de la symétrique de PM par rapport à Oy^ la droite AK et Vor^
donnée PM se coupent sur une droite fixe issue de B.
La vérification de ce théorème est d'ailleurs bien aisée avec le dernier
choix d'axes de coordonnées qui vient d'être fait, c'est-à-dire avec Tori-
«^ine au point B.
Les coordonnées du point K, immédiatement déduites de celles de P,
sont, en effet,
— 'lU^ ~nz^
ll-h liZ '^ lx-\- liZ
ce qui donne pour équation de la droite AK
i^l%y = — /f -s(ar-|- 28).
La première des formules {z)' qui donne Vx du point H peut s'écrire
IxX — — liZ{x -\- 1^),
{^) N. A., 3' série, t. XI, p. 386, el t. XII, p. 345. Dans la première de ces deux
Notes, p. 388, 2* ligne, au lieu de « par le point T », il faut « par le point I ».
La démonstration ne laissait d'ailleurs aucun doute au sujet de cette faute d'im-
pression.
Un autre théorème donné dans cette mème-Notc (p. 391) montre {fig. 83) que
si la parallèle à BP menée par A coupe PM en N, il suffit de prolonger AN
de la moitié NT de sa longueur pour obtenir la tangente PT à la courbe Z
en P.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A AUGNEXENT. IQI
Divisant membre à membre les deu\ dernières égalités, on a
équation qui montre que le lieu du point II est la droite BH coupant
l'axe ku (x — — 28) au point C défini par
n
En amenant le point P au point S sur Oy^ on voit que BC passe parce
point. Ayant donc marqué sur Ai^ le point G ainsi défini, on obtiendra le
point P coté z, connaissant sa projection M sur AB de la façon suivante :
On mène par M la parallèle MP aux axes qui coupe BC en H, e/,
*«/• la droite AH, on prend le symétrique K du point H par rapport
(m point de rencontre I avec Oy, La droite BK coupe MH au point P
cherché.
Hemarquons d'ailleurs, comme dans le cas du second degré, que les
racines négatives de l'équation (E) pouvant être obtenues, en valeur
absolue, comme racines positives de la transformée en — ;;, qui se déduit
<l€ l'équation donnée par le simple changement de ^ en — </, il n'y a lieu
*'e considérer que les valeurs positives de -s, auxquelles correspondent
des points situés entre les axes A a et B y.
l^'ailleurs les équations du troisième degré qui se rencontrent dans les
applications n'ont généralement qu'une racine positive, et c'est la seule
*^<*nt on ait besoin.
Rappelons, en outre, que, si Zq est une racine de l'équation
^^9 est une racine de l'équation
^^ qui permet d'étendre l'usage de l'abaque au delà des limites de ses
^'chelles.
Soit, par exemple, l'équation
z^ — '2105 — 9000 = o,
^'ii se rencontre dans le Mémoire de M. Gorrieri cité ci-après. Remar-
<luant que cette équation peut s'écrire
— 1 — 3
-5' — 10x2, 15 — 10x9 = 0,
'*n tend l'index entre le point (/?) coté — 2,1 et le point {q) coté — 9, ce
I^JÎ donne le point {z) coté 2,4^. On a donc
z — 24,2.
192 CHAPITRE III.
82. Cas particuliers divers. — La répartition des tôles de semelles
dans les grandes poutres de pont, en vue d'assurer un travail à peu près
constant du métal dans toute l'étendue de la poutre, exige, pour être
opérée avec exactitude, la résolution d'équations trinômes du troisième
degré.
Dans son Traité de la stabilité des constructions (*), M. J. Pillet
applique à cet usage l'abaque qui vient d'être décrit avec les données parti-
culières que voici :
L'équation étant écrite
-3' — pz — ç = o,
Tabaque est fractionné pour la valeur çr = o, 1.
La première partie de l'abaque est définie par
la seconde par
u^p>< So*"" (de o à 0,45),
(; = ^ X 200*^" ( de o à o, i) ;
u =p X 5o*" (de o à o,45),
ç =z q X 20^ (de o à 1,1 5).
On voit que les deux échelles (p) coïncident. Quant à la première
échelle (^), elle coïncide avec la seconde lorsqu'on décuple ses cotes. On
peut donc se contenter de marquer Tune des deux. Les deux échelles (z)
correspondantes sont portées par deux arcs de courbe distincts.
L'auteur a d'ailleurs soin de faire observer que l'usage de l'abaque
s'étend au delà des limites de ses échelles, grâce à l'emploi des multiplica-
teurs correspondants rappelé ci-dessus.
De même le calcul de la hauteur des poutres dans les travées associées
dépend d'équations trinômes du troisième degré de la forme
, X M _
où X représente la composante normale de la résultante de toutes les
forces qui précèdent la section considérée, M le moment de cette résul-
tante par rapport au centre de gravité de cette section, R la limite de la
charge permanente par unité de surface, a et a' des coefGcients qui
dépendent de la forme de la section.
Pour les diverses formes usuelles de section (bois et fer), M. D. Gor-
rieri a fait l'application du type d'abaque ci-dessus à l'équation cubique
X
correspondante (*), en prenant comme variables indépendantes/? = — ^,
(') Paris, 1895. {Voir p. 194 de cet Ouvrage.)
(2) Calcolo dellc sezioni resistenti per le travi assoggettate etc, {Bullettino
del CoUegio degli Jngegneri ed Architetti in Bologna; 1896).
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. IqS
M , I • . • I • X M
q = -7^ pour les poutres en bois a section rectangulaire,/; ~ k' 7 ~ "o
pour les divers types usuels de poutres en fer, distingués chacun par des
valeurs particulières attribuées à a et a'.
Les onze abaques ainsi construits sont tous fractionnés en trois pour
rëchelle (/?).
Il ny a pas lieu ici de faire varier z d'une manière continue : il suffit de
marquer les points correspondant aux valeurs de z qui se rencontrent
«lans les types de fers du commerce, et de prendre, pour chaque couple
de valeurs de/> et de ç, la cote du point (;;) situé immédiatement au-
dessus de la position de l'index joignant les points (/?) et (^). C'est d'ail-
leurs ce que Tauteur a eu soin de faire.
83. Troisième exemple : Abaque de l' équation lie Kepler (*). —
L'équation de Kepler qui lie à l'anomalie moyenne \l l'anomalie excen-
trique a d'une planète circulant dans une orbite d'excentricité e est
a — e sina — ^,
OL et \L étant exprimées en parties du rayon. Ces variables prennent donc
toutes les valeurs de o à ar = 6,2832. Quant à la variabfe e, elle reste
comprise entre o et 0,4*
Remarquons en outre que les anomalies a et jjl sont ensemble inférieures
ou supérieures à lu.
Pour représenter l'équation posons
< jjl) u ^ /, fX,
(e) V - lie.
Il vient dès lors pour (a)
(a)o /,MH- /, sinat^ — /i/^a = o
ou
^/, sina — /i liliT.
/i sina -4-/* " /|Sina-f-/2
Remarquons que tant que a est inférieure à ir, or est, en valeur absolue,
inférieur à o, demi-distance des origines, c'est-à-dire que le point (a)
correspondant est entre les axes Xu et ]^v.
Pour a supérieure à t:, ce point serait en dehors des axes. Fractionnons
donc l'abaque à partir de cette valeur de a, ou, puisque nous venons de
remarquer que a et fx sont ensemble inférieures ou supérieures à t:, à
D 0.11.
'>
M. D'O. '-^
\
194 CHAPITRE III.
partir de [Ji = it, pour changer le sens croissant des fx sur Au. Gela
revient, en désignant par a' et jjl' des valeurs de a et [x supérieures à tz,
à prendre pour [i'
(fx') w = /,(2ir-ix'),
en conservant l'équation (e).
Il vient alors pour (a') ^
(ol')o — fiti-h liSinoi'v -+■ /j/j(2 7: — a') = o
ou
, ,, ^/,sina'-h/, — /,/,(9-r — a')
( « ) .r = 0 7 — ; — ; j- , y = — j — -. — -, -,
^ ^ /isina— /î •^ /iSina'— /,
On voit immédiatement que le point (a') coïncide avec le point (a),
dont la cote est liée à la sienne par la relation
a — 27: — a'.
Il suffit donc de construire les points (a) pour a < ir et d'inscrire à
côté de chacun d'eux la cote itz — a, en outre de la cote a, pour avoir du
même coup les points (a'). On pourra d'ailleurs, pour plus de commodité,
inscrire ces cotes en degrés.
Pour que l'échelle ((jl) (qui, comme on vient de voir, revient sur elle-
même à partir du point coté iz) et l'échelle (e) eussent même longueur, il
faudrait avoir
TT /j = Oj4 /s
ou
3,1410/1 — o,î/î,
d'où
/î=7,85/,.
On aurait donc des échelles sensiblement de même longueur en pre-
nant /, = 8/i. Sur l'abaque de la Jig, S\ empruntée au Mémoire O.ll,
on a pris /j = 10 /j, ce qui donne les formules
(il) W = /, |JL,
(c) i'^io/ie,
, . ^ sina — 10 10/1 a
(a) X = 0 ~. - y y — -.
sina -h 10 *' sin a -1- 10
Pour obtenir le degré de précision requis par l'Astronomie moderne, il
faudrait évidemment adopter une valeur de Ix qui rendrait l'emploi de
l'abaque peu pratique.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT.
jgj
Urk st l>aque construit avec /| = 5o"™, ce qui lui donne un e hauteur de '20
)umîit aisément l'approximation du demi-degré (*).
Sur celui de la /iff. 84, on a pris /j = 10™".
Fig. 84.
cm
dL »
■•.1
Cet exemple particulier va encore nous permettre de faire voir comment
on peut, avec une écheUe curviligne, déterminer l'écartemenl des axes en
vue de rendre aussi grand que possible le minimum de l'angle de l'index
avec les échelles.
Il suffit de jeter les yeux sur la /l^. 84 pour voir que ce minimum est
donné par l'angle de la droite qui joint le point (fx) coté o au point (e)
coté 0,4, avec la tangente à la courbe qui porte l'échelle (a) au point
coté 0.
Pour calculer cet angle, transportons l'origine en ce dernier point.
Les coordonnées du point (a) deviennent alors, si l'on pose /i= kli,
•20 sinot
X =
d'où
sma
J'
y =
y. — ^^'^
X 28 sina
sina
V
Le coefficient angulaire m\ de la tangente à l'origine, limite de ^ lorsque
a tend vers zéro est donc donné par
X
nti = -
o , 5 kli
a
(') Un tel abaque peut encore rendre des services aux astronomes en leur
fournissant pour rapplication des méthodes d'approximation usitées pour la
résolution de l'équation de Kepler, telles que celle de Gauss (Baillaud, Cours
d'AstronomiCf t. II, p. g^)» une valeur très sensiblement approchée qui dis-
pense de tout tâtonnement.
196 CHAPITRE III.
Celui de la droite qui joint la nouvelle origine au point (e) coté 0,4»
dont les coordonnées sont
X — 20, y ~ o,4^^i<
est donné par
mj — — ^ — — - -^ — .
xù 0
La tangente z de l'angle que font ces deux droites est, par suite, donnée
par
0 o,3A7,o
o.ïkUl 0» o,iA:W}
I -4- - ■ ^-— -
0*
Cherchons le maximum de t.
l/cquation ci-dessus peut s'écrire
TO* - o,3A7|0 -î- 0,1 A*t/} = o.
Pour que ses racines o soient réelles, il faut que
o,«9X*/î — o,4A-«':«/î^o
ou
40
Le maximum de t. indépendant de A, ce qui est digne de remarque, est
donc donné par
valeur qui correspond à un angle de 25"'2-2'3o'. Pour cette valeur de •:,
on a
-— — '— - — o,3i6aVi.
IN
0
I/ccarlement -xo des axes devra donc^ dans cette hypothèse, être pris
égal ù o,63-2A:/i.
La disposition des échelles étant ainsi arrêtée, nous allons indiquer
comment une construction très simple permet de déduire l'échelle cur\i-
ligne (a) de l'échelle rectiligne(jji), elle-même très aisée à obtenir, puisque
c'est une échelle régulière.
Supposons d'abord pour cela que nous ayons inscrit (au crayon, dr
façon à pouvoir les faire disparaître) les cotes des points (fx) en degrés.
Si nous prenons comme axes de coordonnées BA {x jposilifs) et Br
(y positifs), les coordonnées du point P coté a (Jiff, 85) sont
2ô/j ^l'î^
jT =■ — > y ~ • - •
/iSina-r-/x *^ /|Sina-:-/j
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUBS A ALIGNEMENT. 197
La droite BP a donc pour équation
V /i»
ar ~" 28
et, par suite, le point M(j? = •>.8), pour ordonnée
c'est-à-dire que le point M est celui dont la cote, sur l'échelle (fx), est
égale à celle du point P.
En d'autres termes :
JJéchelle curviligne {ol) projetée à partir du point B sur Au donne
précisément l'échelle ((a), les cotes étant conservées de l'une à l'autre.
F'ig. 85.
M'
Ap;
»l^
hàr^^^---^,.^^
M
A^
A 9
Il suffit donc, pour avoir l'échelle (a), de connaître sa projection faite
sur AB parallèlement k Au, Cette projection est donnée par l'expression
de X ci-dessus
28/,
X
/i sina -+- /,
Pour construire l'échelle ainsi obtenue, il suffit de poser
sina = tj
ce qui, moyennant l'usage d'une table des sinus naturels, ramène cette
construction à celle de l'échelle linéaire
X =
28/,
ht-\-U
Cette dernière exige simplement la détermination directe de trois points
(n»7).
Or on a immédiatement
pour a = 0,
^ = 0,
a: = 28 (point A),
7C
» a = - ,
2
t-l,
28/,
X — -, r'
7C
" ""6'
t-l,
•2
X = 7 ,- •
Ces trois points permettent de construire l'échelle demandée dont on
igS CHAPITRE III.
n'a d'ailleurs besoin qu'entre ^ = o et / = i, et que nous désignerons par
(t)j bien qu'elle soit cotée au moyen des valeurs de a.
Il faut remarquer, en outre, que pour deux valeurs supplémentaires de
a, on a sur AB le même point Q.
Finalement, la construction de l'échelle X se réduit à ceci :
La parallèle aux axes menée par le point Q de l'échelle {t) coté
a coupe les droites qui unissent le point B aux points de l'échelle
(|i) cotés a et T. — a, en des points qui sont les points cotés a et t: — a
de r échelle (a).
B. — Abaques a trois échelles curvilignes.
84. Second abaque du fruit intérieur des murs de soutènement, —
Tout ce qui a été dit des abaques à trois systèmes de droites quelconques
(n** 47 et suiv.) peut être transporté corrélativement du domaine ponctuel
déûni par les coordonnées cartésiennes au domaine tangentiel défini par
les coordonnées parallèles.
Un exemple suffira pour le bien faire comprendre.
Reprenons Téquation du n** Si
/ /\j.« // Ni. (i — /)(i-h 20)
(i-+-/)/i«— /(i4- p)h — ' '\^ ^ =0,
relative au calcul du fruit intérieur des murs de soutènement.
Nous aurons sa représentation au moyen de points alignés en changeant
simplement x et y en u tl v dans les équations (/), (/?), {h) du n® 51, ce
qui donne
(/) 2(/2— i)m-^3/(/-4-i)v — /(/ — i) = o,
(/?) 2(2/? H- |)W-^ 3(/? -T- l)y — (/? -f- l)(2/? -h l) = O,
{h) hu-\-v — A« = o.
Ce sont trois systèmes du second degré, et les deux premiers ont pour
support une même conique, de même que les systèmes de droites dont ils
sont les corrélatifs avaient pour enveloppe une même conique. Les cotes
l et p d'un même point de cette conique, considéré successivement comme
appartenant à l'un puis à l'autre, sont d'ailleurs liées par l'équation
/?(/-f- 1) -+- I = o.
Si l'on construit les trois systèmes ci-dessus, on obtient la disposition
représentée par la fi^, 86, corrélative de celle que montre la yî^, 47.
Nous avons, à la fin du n'^ 51, fait ressortir le» défauts de cette dernière.
Ceux qu'offre la disposition de la Jîg^. 86 ne sont pas moins sensibles. On
voit, en effet, que les droites joignant deux à deux les divers points des
échelles (/>) et (/), prises dans leurs parties utiles, coupent cette dernière
sous un angle très petit. Pour remédier à ce défaut, nous allons appliquer
• ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. I99
ici la transformalion homographique exposée au n*^ 60, qui renvoie pour
les formules au n° 49.
Fig. 86.
Faisant varier / et /> de ^ à i, proposons-nous de faire en sorte que le
quadrangle limite formé par les points
soit le rectangle des points
1='-,
p = y
I
u = o,
M = I,
V — I
V = O,
Tunité de longueur étant d'ailleurs prise égale au demi-écartement des
axes.
Nous référant aux notations du n° 49, posons
G(/>) =-■ X/î-+- fX?î-+- v4/,,
et de même avec les accents prime et seconde. Les fonctions //, (p/, ^i
étant ici
* /î=4/>-H2, 9j=3/>~3, t|;, = — 2/?»— 3/? — I,
A=h, <P8=I» 4^3 = — A»,
QOO CHAPITRE III.
nous avons
H(/) ca -3iJL — v)/î-f-(i[x-+-v)/ — aX,
G{p) — -iv/?» -(4X H-3fx — 3v)/?-t-*2X-h3ui— V,
K(// ) - — V A» -u X /j -H jji,
et les équations des points (/), (/?), (/*) s'écrivent
(/), H(l)u -4- U'(/)v -+- H'(/) =o,
(/>)i 0(y?)M-G'(/>)t'--G*(/>) =o,
(/i), K(h)u ^K'{/i)v-^K'{h) =0.
Les conditions imposées au quadrangle limite donnent donc les relations
(I) H'(i)--ro, (-Jt) H'(i) = o,
Ci) G(i)-^o. (6» G'(i)^G'(i) = o,
(7, o(i)-.o, (8) ^'(.;) = ^-"
Les équations (3) et (7) développées sont
d'où
(9)
X-
JL —
V
r-r
«,
8X
91^
6v
0,
X
3
-- 9.
.
V
1
Les équations (1) vX ('\ ) sont
II' — o,
6 X' — 9 jji' — v' — o,
d'où
"\ / / I
(10)
I o ()
ïiCs équations ( -i ) et ( 8 ) sont
|i' - o,
SX" -qu"— Gv'rr o,
d'où
Knfin les équations ( p et (G) sont
6X — Q»i - V -<- OX" - () 'jl" - v' — o,
r^ a' - v' - X' - ijl" — v'^o
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 9.01
OU, en tirant les X et les [jl en fonction des v des équations (9), (lo) et (ii),
d'où
lOV-h V = o,
iov'-u3v''=o,
v' v'
Prenons
— I — 3 10
V — — '2, v' = — G, v" = 9.0.
Les équations (9), (10), (11) nous donnent alors
Xr^ — r», X' = — I, X''=i5,
Portant ces valeurs dans les expressions des II, G et K écrites plus
haut, nous avons
H'(/) -2(/-l)(2/-l),
H'(/) =io(/-i)(/-f-3),
G{p) =2(/? — I)(2/? — I),
G'(p) =9.(2/? -h 0(3/> -+-•>.),
G'ip) = -— 10(2/? — l)(2/? -h I),
K(/i) -2(A-i)(A — 2),
K'(^) ^ h(6h — i).
K'ifi) -r_5^(4A-3),
d'où enfin, pour les équations des systèmes (/), (p) et (A),
(/), (/-+-2)(/-^3)a-f-(/ — 0(2/ — i)p-+-.')(/--i)(/-4-3) = o,
(Ph (/> — 0(2/ï — l)W-f-(2/>-^l)(3/?-h2)P— '5(2/? — l)(2/>-4-l) = 0,
(A), 2(A — i)(A — 2)M-hA(6/i — 1)4^ — 5A(4A — 3) = o.
Voyons comment on peut construire ces divers systèmes qui constituent
des échelles curvilignes (Jiff^ 87).
Échelle (/). — On a immédiatement les points cotés i et o,5, qui sont,
d*après la détermination même qui vient d'être faite,
(1) w = o, c'est-à-dire 37 = — i, y t= o,
(o,5) . «=1, » 37= — i, y = i;
puis les points cotés — 2 et — 3 :
i — 1) ^= Il c'est-à-dire ar— i, y= 1,
( — 3 ) V ^o, » X — i^ y — o;
202
CHAPITRE m.
enfin le point coté oc
(oc) W -f- 2i> -r- 5 = o,
G est-a-dirc j? = -,
5
y- 3
L*échellc curviligne (/), projetée successivement de chaque point ( — a )
et ( — 3) sur une parallèle à la droite joignant ce point au point («),
Kig. 87.
0,5-
0,6-
0.H
U)
o.eH
0;9-
a re-
donne une échelle régulière, et, comme on connaît les points (i) et (o,5)
de ces échelles régulières, la construction en est des plus aisées.
Échelle (/?). — Les quatre points (/) cotés (i), (o,5), ( — a) et ( — 3)
sont les points (/>) cotés ( — o,5), ( — T )' ('^ ^' (^>5)» ^" vertu de ]
marque faite au début de ce numéro, qui se vérifie d'ailleurs sur Téqua-
tion {p)t'
Quant au point (oc), il est ici
I ^
u -\- Sv — 10 = o, c'est-à-dire a? = -> y = -.
La construction sera la même que pour l'échelle (/), les centres de
rayonnement étant ici
(-0,5) [ou (/ = !)], et (-'0 [ou(/ = o,5)].
Echelle (h). — Pour l'échelle (/i), on a tout de suite les points
(I)
(■>)
(o)
(D
(00)
(; = I, c'est-à-dire
II c = 25, »
U = o, M
iii-h'iiv = Oy
u-T-'iv — 10 = o,
X — ly
r= I.
X = I,
25
ar — I,
r = o,
8
i3
r = o,
I
5
a: — -
>' = r
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 2o3
Oji voit que les points (h) cotés o, i et oo coïncident respectivement
avec les points (/>) cotés > i et oc.
D'ailleurs, l'équation donnée montre que, quel que soit A, pour /= i,
€-»n a
p — %h — I.
Oonc les droites joignant le point (/), coté i aux divers points (/t),
passent par les points (/>) cotés ih — i, ce qui simplifîe grandement la
construction de l'échelle (A), puisque, à une simple modification des cotes
près, l'un des faisceaux qui ont servi à obtenir l'échelle (/?) sert également
pour l'échelle (A).
rv. — Application de la méthode des points alignés
à la représentation de lois empiriques.
80. Abaque de la vitesse d'un train remorqué par une loco-
motive de type connu, — Lorsque trois variables sont liées
entre elles par une loi qui n'est connue qu'empiriquement, on
peut toujours, comme nous l'avons vu, en faire la représentation
au moyen d'un abaque cartésien (n®16). La méthode des points
alignés exigeant que l'équation représentée offre certains carac-
tères fonctionnels, très généraux, il est vrai, on est en droit de se
demander si elle pourra également se prêter à la représentation de
lois empiriques à trois variables.
La meilleure façon de répondre à la question est de donner
quelques exemples d'une telle représentation.
£n premier lieu, il se peut que Tempirisme de la loi n'intervienne que
dans la détermination d'une fonction de Tune des variables, liée aux autres
variables par une formule mathématiquement déterminée.
C'est le cals pour une formule, traduite en abaque à points alignés, par
M. M. Beghin, ingénieur de la C* des chemins de fer départementaux (').
Soient :
M et R^ le poids et la résistance par tonne de la machine;
T et Rf les inômes quantités pour le train remorqué;
r la rampe diî la voie en millimétrés,
E l'effort de lia machine.
V) A. P. cl, livraison d'octobre 1H93, p. .j'|8.
ao4 CHAPITRE III.
On a, entre ces quantités, la relation
E= M(R;„-4-r)-4-T(R,-<-r).
Pour une machine donnée, M est une constante; quant à E, Rm et R/,
ce sont des fonctions empiriques de la vitesse V. L'équation ci-dessus lie
donc en réalité les trois variables r, T et V.
Remarquons qu'elle peut s'écrire
E — M(R,„ - R,) = (T -f. M) (R, -h r).
Si l'on pose
E-M(R,„-R,)-F(V),
R/-*(V),
T-f-M = P,
P étant le poids total du train, qui peut être pris comme variable indé-
pendante au lieu de T, elle devient
F(V; = P[*(V)-^/']
ou
/• p— -^*(Vj = o.
Sous cette forme, et regardant les variables r, P et V comme «i, «$
et Œj, on voit immédiatement qu'elle rentre dans le type du n** 78. Il suffit
donc, pour la représenter, de poser
( /' ) // = /, r,
ce qui donne
(V) /jM -h /jFCNOi' H- /,/,*(¥) = o.
Les échelles (r) et ( P), respectivement portées par les ax3s A a et Bc,
sont faciles à construire. L'échelle curviligne (V) peut également cire
ronstruile lorsqu'on connaît empiriquement F(V) et *( V), clesl-à-dire un
tableau, sous forme numérique ou sous forme graphique (p*** 9 ou 12),
dos valeurs de ces fonctions correspondant à diverses valeilirs de V. Au
surplus, si les vitesses extrêmes entre lesquelles on applique la formule
ne sont pas très éloignées, la fonction 4>( V) varie peu dans 1 intervalle, et
(*n représentant par k sa valeur sensiblement constante
les points (V) sont distribués sur la droite, dont les coord
Icles sont
u -~ /ik, V — o.
on voit que
)nnées parai-
Mais M. Beghin a fait la remarque que, à défaut même de la détermi-
nation empirique des fonctions F et *, l'échelle (V) pouvait être con-
struite lorsqu'on disposait d'un tableau d'essais. En effet, prenant des
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT.
20.J
couples de valeurs de r et de P correspondant à une même vitesse V, on
n'a qu'à unir par des droites Jes points cotés,- au moyen de ces valeurs sur
s-
00
00
te
l-
S-
l
5-
s
i
I-
s
5-
3
1
S
I
i
I
s
t
9
cr
k
e
«r»
é ^
B
9
-B
E J
les échelles (/•) et (P). Ces droites devront passer par le point cote au
moyen de la valeur de V considérée. Cette façon de procéder est confornir
âla Remarque faile à la fin du n'' 60. Elle a en outre, ici, l'avantage de per-
2o6 CHAPITRE III.
mettre de rectifier des erreurs d'expérience, attendu que toutes les droites
répondant au cas où V a la valeur donnée doivent passer par un même
point.
La fig, 88 reproduit Tabaque de M. Beghin, construit avec les modules
/j = 1 1™, /, = /i"", pour la machine de 25 tonnes des chemins de fer corses.
La position de l'index tracée en pointillé, correspond à l'exemple numé-
rique /• = 10°*", T =^ 70''' ou P = 95^, pour lequel on a V = 32^".
86. Abaques du tir de siège. — Dans l'exemple précédent, il s'agissait
<rune équation ayant mathématiquement la forme requise pour l'applica-
tion de la méthode des points alignés, mais dans laquelle l'une des variables
entrait sous des signes fonctionnels qui n'étaient définis qu'empiriquement,
n arrivera plus souvent que la loi unissant trois variables ne se présentera
pas sous la forme d'une équation remplissant une telle condition, mais
que, au degré d'approximation requis par la pratique, on pourra l'y
amener. Voici un exemple remarquable de ce cas, que nous empruntons à
un intéressant travail du lieutenant d'artillerie Lafay (<) (aujourd'hui ca-
pitaine).
La charge C d'un canon dépend de la vitesse initiale V qu'on veut im-
primer au projectile, et celle-ci est fonction de la portée P et de ce que
les artilleurs appellent Vangle tabulaire 4>.
Il s'agit donc, pour déterminer la charge G ou, ce qui revient au même,
la vitesse V, de construire un abaque donnant V lorsque P et 4» sont
connus.
Ayant remarqué que, pour de petites valeurs de 4>, la relation qui unit
ces quantités peut prendre la forme
sin2cï>-./(V)F(P),
où y et F sont des fonctions connues empiriquement, on est conduit, pour
chercher à étendre celte formule, à de plus grandes valeurs de 4>, après
avoir gradué les axes cartésiens Ox et Oy suivant les lois
a-=:/F(P),
^ — / sin 'A<ï>,
à marquer sur le quadrillage ainsi obtenu les points correspondant à des
<:ouples de valeurs de P et de * donnant, d'après l'expérience, une même
valeur de V et à unir, pour chaque valeur de V, ces divers points par une
ligne {fig. 89).
Cette ligne passe par l'origine et reste d'abord presque confondue avec
sa tangente en ce point, ce qui explique que, pour les petites valeurs de 4>,
(') lievue d'Artillerie, octobre 1H95.
Le colonel Lan{,'ensliolil, de rartillerie russe, a étendu aux mortiers de côte le
travail que le lieutenant Lafay avait réalise pour noire canon de i55 long.
I
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT.
207
ia formule ci-dessus est sensiblement exacte. Mais elle ne tarde pas à s'en
écarter. Pourtant, si Ton ne considère que sa portion MN correspondant
aux valeurs pratiques de la portée ( 2000 1 P i^ ^ooo pour le mortier, par
exemple), on reconnaît que Tare ainsi limité diffère peu d'une droite qui,
prolongée de part et d'autre, est dessinée en trait mixte sur la figure.
Fig. 89.
On peut, avec une approximation suffisante, substituer, entre les limites
considérées, cette droite, à la courbe donnée par l'expérience, et cela pour
toutes les valeurs pratiques de V. L'abaque défini en coordonnées carté-
siennes peut, des lors, être transformé en un abaque à points alip^nés
rn«59).
C'est ainsi qu'a été obtenu Tabaque dressé par M. Lafay, dont \di/ig. 90
est une réduction.
A l'échelle de l'angle tabulaire a été accolée celle de la hausse corres-
pondante, à l'échelle de la \itessc initiale celle de la charge pratique.
Nous nous sommes borné, pour les besoins de notre exposé, à extraire
du travail très intéressant de M. Lafay l'exemple précédent, mais ce sa-
vant officier a^ traité de même les divers calculs que soulève le tir «le»*
pièces de siège et a réuni tous les abaques correspondants sur une même
planche de 34*"™ sur 38*", des lettres de référence indiquant la façon dont
les diverses échelles doivent être associées.
Cette possibilité de réunir les divers abaques dans les limites d'un cadre
«Hroit, par juxtaposition de leurs échelles respectives, est un avantage sé-
rieux à Tactif des méthodes qui n'utilisent que des systèmes de points
cotés.
87. Abaque des consommations i/téorlques d'une machine à vapeur.
— Voici enfin un cas bien remarquable, traité par M. Râteau, ingénieur au
Corps des Mines (*), où, comme on va voir, l'emploi de la méthode des
points alignés a permis non seulement de représenter une relation empi-
(' ) Annales des Mines, février iS()-.
1^
Sil
- ' il
«
fiQDATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNBMBHT.
rique unissant irois variables, mais encore de mettre en évidence
: loi
physique qui n'avait pas été soupçonnée jusque-là.
Li consommation théorique K dune machine à vapeur dépend des pres-
sions P (amont) et p (aval) entre lesquelles elle fonctionne. K s'exprime
d'ailleurs en kilogrammes par cheval-heure, P et /> en kilogrammes par
centimètre carré.
Kig. gi.
l'encellenle idée de construire les
quadrillage logarithmique (')dé-
(') Les exemples analogues sont tellement frëque
ne saurait d'une manrùre générale trop recommande
aux physiciens. Il existe d'ailleu
drille logaritbmiquement, ainsi
Nous tenons, à ce propos, à rapporter que le profcssi
LS dans la pratique qu'on
ce mode de représentation
: commerce, du papier qua-
n- 28(noic(i)delap.63).
rC.-V. Boys, dont, en mai
■Sg6, nous visitions le laboratoire du Collcge de Science à Londres, r
avoir systématiquement recours à ce mode de représenUlioo qui, dans un grand
DOinbre de cas, lui avait éié du plus utile secours.
M. D'O. 'i
210 CHAPITRE III. •
fini par
et il a ainsi constaté, au degré d'approximation permis par Texpérience,
que ces lignes (K) se confondaient avec des droites (/ig. 91). C'était un
premier point déjà intéressant; il en résultait que l'équation unissant les
variables K,/? et P est de la forme
/(K)log/? -+- c?(K) log P 4- i^K) = o.
Mais lorsqu'on jette les yeux sur la Ji^, 91, il ne parait guère facile de
reconnaître si les droites obtenues sont ou non concourantes, vu que leur
point de concours, s'il existe, se trouve fort éloigné des limites du dessin.
Afin d'en décider M. Râteau a eu recours à la transformation de cet
abaque à droites entrecroisées en un abaque à points alignés, suivant le
mode indiqué au n* 59 (*), ce qui lui a donné \^ Jig, 9a.
On voit ainsi que les points cotés (K) viennent, dans les limites au
moins de l'expérience, se disposer en ligne droite, d'où l'on doit conclure
que les fonctions/, çp et <}/, précédemment laissées arbitraires, sont linéaires
par rapport à une même fonction y de K. On a donc
f = a -i-by.
^--a'-hb'y,
et l'équation encore inconnue que représente l'abaque doit être de la forme
(a -h by^) log/?-h(a' -h i'/JlogP -i- a" -{- b" y = o.
Pour avoir la représentation de cette équation en points alignés, en
plaçant les points (K) entre les a\os parallèles A a et Bi^, on pose
// — / ^^?iPi ^ = — ^ log P,
/ étant un module quelconque, ce qui donne
{a-hby)u — {a' ^ b' y) v -^ l {a" -^ b" yj = 0.
L'ordonnée du point que définit cette équation est
-l{a''-ï-b''y)
-^ ~ (a — a') H- ( b —ly)yj
et, par suite, la formule qui définit réchcllc (K) sur son support,
-r(a-^b"y)
w = —
{(i — a' ) -\- {b — b' )y
( ') Il faut observer qu'on est ici dans un cas où s'appli(|uc la première remarque
de la note au bas de la p. i3o. C'est pourquoi les sens croissants des échelles (P)
et {])) sur \^ fig. <)J se trouvent inverses l'un de l'autre.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 211
/' étant le module dont la projection sur la direction des axes Xu et Bv
est égale à /.
o
r
o
gUiQ jvd toujui«j6o|i>| u8 cf9n\o9<\w |«Av uoia*»dj
I I I I I [ I I I I
o
I I I I [ I I I r j 1 1 ir| I I I I > I » I I I I I I I [
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'f UJQ jed s9ijuujej6o||)| uo^ an|08q« -tuouicp uoibsaj^j
■ ' ■
a
Pour analyser cette graduation, remarquons que, dans le cas théorique
où les pressions d'amont et d'aval seraient égales, la consommation
K se'rait infinie, quelle que fût cette commune valeur P de la pression. Or,
212 CHAPITRE III.
toutes les droites unissant deux à deux les points (/>) et (P) de même
cote passent, d'après les formules qui définissent ces mêmes échelles, par
le point
u -h V = Oy
c*est'à-dire par le milieu de la distance des origines non marquées A et B.
Prenant donc le point de rencontre d'une quelconque de ces droites avec
le support du système (K), on a le point E coté ».
Si maintenant en chaque point de l'échelle (K) on élève une perpendi-
culaire proportionnelle à sa cote, on obtient la courbe représentative de
la fonction définie par cette échelle (n* 3). Or cette courbe, qui a néces-
sairement pour asymptote la perpendiculaire élevée en E au support EF
de l'échelle, semble au premier coup d'œil se confondre avec une hyper-
bole équilatère. Admettant cette hypothèse, on peut, au moyen de théo-
rèmes connus sur l'hyperbole équilatère, en faire la vérification gra-
phique (*); elle se trouve ainsi justifiée.
Il en résulte que la formule définissant l'échelle (K) est de la forme
a
ce qui aura lieu, en vertu de la formule écrite plus haut, si
b' = o,
et
L'équation prend donc la forme
{a-^bK) log/? -h (a' -h b'K) log P -+- a" = o,
et comme, ainsi que nous venons de le voir, /> = P doit toujours donner
K = 00, il faut, en outre, que
6 4- 6' = o.
Gomme d'ailleurs b et b' ne sauraient être nuls, car K disparaîtrait de
l'équation, iious pourrons poser 6 = i, et nous voyons finalement que
l'équation cherchée est de la forme
(a -h K) log/? -h (a' — K) log P -f- a' = o.
(') Soient, par exemple, M et N deux points quelconques de l'hyperbole.
Menons par chacun de ces points des parallèles aux directions asymptotiques ;
nous formons ainsi un rectangle dont la seconde diagonale coupe l'asymplote
connue au centre O de la courbe. Cela' posé, si une droite quelconque menée
par O coupe en I et en J les parallèles aux asymptotes menées par l'un des
points M ou N, le quatrième sommet du rectangle, dont les trois premiers sont M
ou N, I et J, appartient à la courbe. On trouve ainsi que si, pour construire l'hy-
perbole, on a porté perpendiculairement à EF les ordonnées ^ =r XK, la seconde
asymptote est définie par y = o^f\\, •
EQUATIONS À TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 2l3
Portant dans cette équation des systèmes de valeurs de K, /? et P donnés
par l'abaque, et traitant les équations linéaires en a, a\ a ainsi obtenues
par la méthode des moindres carrés, on trouve
a = — 0,85, a' =--0,07, a' = 6,95.
L'équation cherchée est donc, si l'on change tous les signes,
(0,85 — K) log/> -4- (K -f- 0,07 ) log P — 6,95 = o,
d'où
6,95 —0,92 log P
K = o,85
log P — log/?
Telle est l'eupression mathématique de la loi suivant laquelle K dépend
de P et /?.
Elle cadre remarquablement avec les données de l'expérience, comme
M. Râteau le fait voir dans son Mémoire (*).
Le point sur lequel nous- insisterons ici, c'est l'importance qu'a présen-
tée, pour la recherche qui vient d'être résumée, l'emploi de la méthode
des points alignés. C'est elle, en effet, qui, en permettant de reconnaître
que les éléments cotés (K) formaient une série linéaire, et en ramenant
l'analyse de la graduation correspondante à celle d'une simple échelle rec-
liligne, a rendu possible la détermination complète de l'équation qui tra-
duit analytiquement la loi suivant laquelle K dépend de P et p.
V. — Abaques dérivés des abaques à points alignés.
A. — Abaques a double alignement (-).
88. Principe général, — Supposons que les variables a, ai et
12 d'une part, a, as et a4 de l'autre soient liées par des équations
(*) On doit encore à M. Râteau l'idée d'un ingénieux dispositif qui permettrait
de réaliser mécaniquement l'abaque à points alignés ci-dessus (A. F. A. S.; con-
grès de Pau; 1892). Supposons une masse gazeuse, de pression /?, emprisonnée
sous une cloche flottante. Les variations de p entraîneront des variations de
niveau de la cloche, et l'on conçoit que Ton pourra déterminer le profil de celle-ci
de façon que ces variations de niveau soient proportionnelles à celles de log/?.
Les extrémités de deux tiges verticales fixées respectivement sur deux telles
cloches donneront ainsi, par leurs déplacements, les variations de log/? et de
logP, et pourront, par suite, servir à marquer, sur les échelles parallèles de la
fig, 93, les points cotés (/?) et (P). Si donc un fil est constamment tendu (grâce,
par exemple, à deux petites poulies et deux contrepoids égaux) entre les extré-
mités de ces tiges, il coïncidera à chaque instant avec la position de l'index qui,
par sa rencontre avec l'échelle intermédiaire, fait connaître la valeur de K.
(') Désignés dans notre Note O. 30 sous le nom à^abaques à pivotement.
ai4
telles que
(E)
(E')
CHAPITRE III.
/(«) ?(«) 4^(*)
/i(ai) ?i(ai) 4^i(ai)
/î(aj) ?î(aj) ^t(^t)
fia) (p(a) 4.(a)
/3(aa) ?a(aî) ^aCa»)
/*(«*) ?*(«*) ^^(a*)
= o,
= o.
Chacune d^elles sera représentable par un abaque à points ali-
gnés, et Ton voit, puisque les fonctions y, ^, ^ sont les mêmes
dans les deux équations, que leur échelle curviligne (a) sera la
même. Par suite, les deux abaques pourront être construits avec
cette échelle en commun {Jlg» qS).
Fig. 93.
(a,)
Si Ton se donne les valeurs de trois des variables ai, a2, aj, a,,
les équations (E) et (E') permettent de calculer celle de la qua-
trième, en plus de celle de a.
Sur Tabaquc la droite passant par les points cotés a, et a2 et la
droite passant par les points cotes ol^ et a4 se coupent au point
coté a.
Or il peut arriver qu'une équation entre quatre variables ai , a-j,
ag, aj résulte de l'élimination d'une variable auxiliaire a entre
deux équations telles que (E) et (E').
Le diagramme qui vient d'être construit fournira donc dans ce
cas une représentation de l'équation considérée.
Son mode d'emploi, pour obtenir a,, par exemple, connaissant
a,, ao cl «3, se réduira a ceci :
Faire passer l'index par les points cotés ai et a2, puis le
faire pivoter autour du point oîi il rencontre V échelle (a)
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT.
2l5
jusqu'à ce qiCil passe par le point coté cl^. Il coupe alors la
dernière échelle au point coté du.
Comme, en général, on n'aura pas besoin de connaître la valeur
correspondante de la variable auxiliaire a, on pourra se dispenser
de marquer la graduation relative à cette variable; il suffira de
tracer son support qui sera dit la ligne des pivots. Si pourtant on
veut, dans chaque cas, repérer la position du pivot, on n^aura
qu'à marquer sur cette ligne une graduation absolument quel-
conque.
L'abaque ainsi constitué par Taccolement de deux abaques à
points alignés ayant une échelle commune sera dit, pour rappeler
son mode d'emploi, un abaque à double alignement.
On peut, dans le cas le plus général, former le type des équations ainsi
représentables.
Remarquant que l'une des fonctions/, cp, i}^, la dernière, par exemple,
peut toujours être remplacée par l'unité, et posant, pour abréger l'écriture
a,- bi \
ajbj i
= [aibj],
nous voyons que les équations (E) et (E') peuvent s'écrire
/(a)[?l4'2]-^?(«)[^l/i]-+-[/l?2]^"0»
De là, en posant encore pour abréger,
[aibj] [Cidj]
= [aibj,Ckdi],
nous tirons
?(«) =
Donc, si G et r sont les fonctions inverses respectivement de/ et de <p,
le résultat de l'élimination de oc sera
(I)
La forme de cette équation est, comme on voit, assez compliquée; mais
il n'y avait qu'un intérêt purement théorique à faire voir la façon dont elle
pouvait être obtenue.
2l6
CHAPITRE 111.
En pratique, on n^aura guère à appliquer la méthode que dans
le cas où l'échelle auxiliaire (a) sera une échelle régulière,
c'est-à-dire où, dans les équations (E) et (E'), la fonction y(a) se
réduira à a, la fonction 9 à i et la fonction ^ à o. Ces équations
s'écrivent alors
a
1
(
0
/.
?l ^'I
= 0,
/.
<pi h
«
a
I 0
/a
?3 'i'S
-0,
/*
?v '!'*
et l'élimination de a, faite immédialeinent, donne
(a)
1
>3 '
—
3 A
V A
89. Echelles rectilignes et parallèles, — Dans ce cas l'équa-
tion donnée est de la forme
(E) f,^f, = f,^f^.
On la décompose immédiatement en
et
(E') /3-/v=«.
On peut construire les abaques de ces deux dernières équations,
dont Taccolement par l'échelle (a) produira Tabaque à pivotement
demandé, par l'un ou par Tautre des procédés suivants qui, bien
entendu, ne sont pas théoriquement distincts, mais qui, en pra-
tique, présentent une différence sur laquelle on insistera plus
loin.
Premier procédé, — Pour représenter Téquation (E') on peut
poser
(a,) u^r=l^f^^
(a) u— — /a.
Il vient alors pour a2, en vertu de ce qui a été vu au n® 66,
(«î) "2 = — ^s/j,
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 217
avec
(I)
I I 1
It l l\
Taxe A2 U2 {fig* 94) étant d'ailleurs tel que
AsA
7'
00, si Ton lient compte de (i), que (*)
A,A^ /.
A, A /, '
Représentant par x^ et X2 les distances des axes A| Ux et A2«2
(a.)
à l'axe Aw des pivots, on peut écrire
^ — Ll
De même l'équation (E") sera représentée par
'^a — '3/3»
l ayant la même valeur que ci-dessus, et
(*0 Uk = — hA,
(!) On Toit que, dans ce cas particulier, on retombe sur le principe de la com-
position des échelles (n« 70).
CHAPITRE ]
m.
I
I
7
-1-
I
—
h
h
•
2l8
avec
(3)
et
(4)
On obtient ainsi la disposition de \'^jig. 94 (*).
Les cinq modules /, /|, Li^ /a, /i ne sont astreints à vérifier que
les égalités (i) et (3). On pourra donc chercher à les déterminer
en vue de la meilleure disposition de Tabaque.
Comme on connaît les limites (*) entre lesquelles, pratique-
ment, reste comprise chaque variable, on peut calculer les diffé-
rences 8|, 82, 83, 84 entre les valeurs extrêmes des fonctions y,, ^"2?
/s) /••
Si, dès lors, on veut faire en sorte que les échelles (ai) et («2)
d'une part, (as) et (a4) de l'autre aient même longueur, on po-
sera
/j 81 = /jÔj,
Ces deux équations jointes à (1) et (3) permettent d'exprimer
quatre des modules en fonction du cinquième, / par exemple. On
trouve ainsi
ô| — Oj Oj — do
l\ - l — ^: > «2 = < — sr
Ôi Ô2
«3 — l ^ î l^-=z l ^^
O3 Ô4
Les quatre échelles seront de même longueur si /, 8«=:/3S3,
c'est-«i-dire
«X "N Ji N
Oi — O2 — O3 — Ô^.
( ' ) On peut, sur celte figure, placer les systèmes (a,), (oij) d'une part, («3), (014)
de l'autre, de côtés dilTcrenls par rapport à Taxe ku des pivots, afin de la rendre
plus claire. Mais rien n'empêche évidemment, pour réduire la largeur de l'abaque,
de placer les deux couples de systèmes associés d'un môme côté de l'axe Aa.
(-) Théoriquement, les valeurs limites de trois des variables prises comme in-
dépendantes entraînent celles de la quatrième; mais, en pratique, celle-ci reste
généralement comprise entre des valeurs plus resserrées que ces limites théo-
riques, et qui résultent des données fournies par l'expérience.
ÉQUATIONS A TROIS VARCABLES. ABAQUES A ALIG!iEME>T. 219
Il ne resle plus qu'à choisir le module / pour que les diverses
graduatioDS donnent le degré d^approximalion exigé.
Second procédé, — On pose
(»i)
(«»)
enfin
(a)
avec
(3)
«3
/l/l,
U — loL,
I
I
I
u
Dans ce cas, l'axe des pivots est si lue à la fois enlrc les échelles
(ai) et (aj) et entre les échelles (ag) et (aj) {Jig- 90), les dislances
Fig. 95.
s f
Ot
(ou)
(ot.)
(aj)
P3
-Ȃj
p*
_ . _ — . 1
» ■ -
p.
f
>
(a,)
Xi^X'ij ^3, iP4 de cet axe aux supports parallèles de ces échelles
étant telles que
(6)
Xi
"Il
.ri
^4
Si l'on veut ici que les échelles (ai) et (ao) d'une pari, (as) el
(a^) de i'aulre soient de même longueur, il faut avoir, en appelant
toujours 0|, O2, Og, Si les différences enlre les valeurs extrêmes
des fonctions /i, /a, /a, /*,
/i^i — /1O2, /a 83 = /^Oi,
220 CHAPITRE III.
ce qui donne
'I = « > > *J=« s 9
Oi 0,
«î = * > 9 l^^= l 5 •
Les quatre échelles seront de même longueur si /^Si = /s S), ou
■N <N "N ^
Oï -4- Oj = ôs -H O4.
Dans ce cas, comme dans le précédent, si l^ = /$ et l^z= l^^ on
peut faire coïncider les supports des échelles (cl^) et (aj) d'une
part,(a2) et (a^) de l'autre. Il suffit, pour cela, de placer les deux
graduations d'un même support de part et d'autre de ce support,
en adoptant le même côté pour celles qui doivent être associées
par le moyen de l'index.
Comparaison des deux procédés. — Le premier procédé pré-
sente l'avantage (surtout lorsque les deux couples d'échelles asso-
ciées sont d'un même côté de Taxe des pivots) que les deux points
dont il faut prendre l'alignement avec Tindex sont, pour chacune
des deux positions de celui-ci, du même côté du pivot. Lorsque
cette condition est remplie, on peut se servir pour l'index d'un fil
tendu que Ton fixe sur le pivot. Si elle ne l'est pas, comme dans
le second procédé, on ne peut plus fixer le fil sur le pivot, et, pour
repérer la position du pivot, il convient de munir l'axe sur lequel
il se trouve d'une graduation d'ailleurs absolument quelconque.
En revanche, ce second procédé a l'avantage de limiter la longueur
de la portion utile de Taxe des pivots à celle de la plus grande lon-
gueur des échelles parallèles {Jig* 90), tandis que, dans le
premier cas, elle la dépassait sensiblement, à moins que l'on
ne diminuât beaucoup la longueur des échelles P3Q3 et P4Q4
{fg- 94)-
Cette seconde considération remportera généralement sur la
première. Toutefois, il jaura des cas où, pratiquement, les points
extrêmes des échelles P2Q2, PjiQ* n'auront pas à être associés
respectivement à toute la partie utile des échelles P<Q«, P3Q3, en
sorte que la longueur de la portion utile PQ de Taxe des pivots se
trouvera réduite.
Manière d^ effectuer la construction, — Quel que soit le pro-
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 221
cédé emplo^^é, on effecluera la construction de la même manière,
une fois qu'on aura arrêté les valeurs des modules /i, /a, /a, l^»
On commencera par tracer Taxe des pivots, puis les supports,
en observant, pour leurs écartements par rapport à cet axe, les
relations (2) et (3) dans un cas, (6) dans Tautre.
Cela fait, on construira, tout à fait indépendamment les unes
des autres, et seulement en vue de la meilleure disposition à ob-
tenir trois des échelles, (a<), (a2) et (as) par exemple, réduites à
leurs portions utiles PiQ^ P2Q2» PsQa-
Pour fixer la position de la quatrième échelle sur son support,
il suffit de fixer celle d'un de ses points. Or il sera toujours facile,
par une particularisation convenable, d'obtenir un système de
valeurs de a®, a", aj et aj satisfaisant à l'équation. Dès lors, la
droite, joignant les points cotés a^ et a", coupera l'axe des pivots
en un point, et la droite unissant ce point au point coté 7.\ coupera
le support de la quatrième échelle au point où devra se trouver
la cote aj. Ce point suffira pour déterminer la position de cette
dernière échelle.
90. Exemples. — Nous allons donner des exemples de l'un et
de l'autre procédé :
I® Abaque des poutres uniformément chargées. — Si une poutre à
section rectangulaire de largeur b et de hauteur h supporte une charge
uniformément répartie q par mètre courant sur une portée /?. on a, entre
ces quantités, la relation
k étant la limite de travail admise pour le bois par unité de surface (par
eiiemple 60*^ par centimètre carré). D'ailleurs la valeur commune des deux
membres de cette égalité est le moment de flexion de la section la plus
fatiguée.
Posant
nous pouvons écrire cette équation
log<7 -\- alog/? = iog^ -+- 1 log/t 4- logXi.
Prenant donc
/i = log^, /î='2log/?, /a^Iog^, /4=^•2log/^ — logXi,
222 CHAPITRE III.
nous aurons, par application du premier procédé, l'abaque à double ali-
gnement correspondant, en posant
(q) Ui= /ilog^,
(p) Wî = — /î^log/?,
(b) "3= ^jlogô,
(h) "i = — hi'i^o^h -h logA-,),
avec
La yiff. 96 donne la réduction au tiers de l'abaque construit d'après ce •
procédé par M. J. Mandl, lieutenant du Génie dans l'armée autrichienne (»),
avec les modules
/, = 7-,5, /•-4'^",7^, /3=ia'"w, /4=6'=^35.
Les échelles graduées sont alors définies par
(7) "i^ 7"">5 xlogy,
(p) Wî-^ — 9"".44xlog;>,
(b) W3^ i2'''",7xlog6,
(/ï) Mv - — 12*'", 7 X Iog6 —6,35 X logAri.
Si Ton se reporte à la manière d'effectuer la construction indiquée à la
fin du n** 89, on verra qu'il est inutile de calculer le terme constant du
second membre de cette dernière formule.
M. Mandl a complété cet abaque (*), par un dispositif ingénieux qui
permet de déterminer b et h en vue de rendre la section de la poutre
semblable à un rectangle donné. Posons
•*-x
(•) Mittheilungen ûber Gegenstânde der Artill.-u.~Genie-Wesens, 1893. La
disposition de la /îg. 96 suppose le sens positif pris du haut vers le bas.
(-) Sur l'axe des pivots, l'auteur, d'après la remarque faite plus haut, aurait
pu inscrire les valeurs du moment de flexion. Il a préféré, avec juste raison, in-
scrire les numéros d'échantillon des fers du commerce, de type courant en son
pays, (jui donnent ce moment de flexion. La graduation de gauche se rapporte à
des fors à double T, celle de droite à des fers à U. L'index tendu entre le point
cote <7 cl le point coté p venant rencontrer l'axe des pivots en un point, il suffit,
sur chaque f^raduation, de prendre le numéro inscrit au-dessus de ce point pour
savoir quel est le type de fer correspondant à adopter. Pour l'exemple numérique
indiqué en pointillé {p — \"',C)o, ^y=:oS:'i1), on a le choix entre le fer à double T
n" 10 et le fer ù U n" 30. Les fabricants de poulres en fer devraient joindre un
abaque de ce genre à leur album d'échantillons pour tous les types de sections.
Fig. 96.
II
c
S
9
O
o
E
C
«
a.
c
c
S
N ■ •
P-':
X
.10 /H'
.9
.8
.7
.«
.5
-L3
JL2
.1
0.9
0.6
0.7
0.6
__0.S
0.%
E
c
«
nir
L.
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«
E.
3
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M.
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32.
28d
30
28 J
26.
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11.
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^ 22.
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N
15
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10 _
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C
«
u
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--10
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«
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35JL
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15- L
10- _
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ft.A^UJ-.g
3
«
k
--15
-120
-L25
jLSO
..100
.8
-6
224 CHAPITRE III.
Nous avons alors
log6 — logA = logX.
Or, si nous faisons un changement d'origine sur l'axe A^Uv» et si nous
remettons /j à la place de 12'"*, 7, nous pouvons écrire les formules défi-
nissant les échelles (6) et (h),
1/3= /jlog6,
1/4 = — /alog/i.
Nous voyons donc que, pour les couples de valeurs satisfaisant à la re-
lation ci-dessus, nous aurons
Mj-^- M4= /s logX.
Cette équation définit un point (X) situé sur la parallèle équidistante
des axes As «s et A4U4. Donc, />owr que la section ait la similitude dé-
finie par une certaine valeur de X, il suffira que Vindex passe par le
point (X) correspondant.
Ayant tracé la parallèle équidistante des supports des échelles (6) et
(A), il n'y a qu'à joindre par une droite les points cotés 60 et A01 ^els que
pour avoir sur cette parallèle le point (X) correspondant. C'est ainsi, par
exemple, que les droites joignant le point (^i) coté 20 aux points (b) cotés i5
3
et 20 donnent les points A et B correspondant respectivement à X = 7 et
X = i.
Les lignes pointillées de la fig. 92 montrent les positions de l'index pour
Texemplc numérique p = 4'"î6o, q = o\ 4i-
3
Pour X = - , on a 6 = i7'^'", h = 23'^'",
4
» X = I , û 6 = /* = 2 1
cm
•2" Abaque de rêcoulenient des gaz par des tuyaux, — M. F. Gaud a
reconnu que récoulement des gaz dans les tuyaux obéissait à l'équation (^)
^D5=i655AQ«,
où
h représente la perte de charge kilométrique exprimée en millimètres
d'eau;
D le diamètre du tuyau en cenlim(Hrc?;
A le poids du mètre cube de gaz en kilogrammes;
Q le débit horaire en mètres cubes.
(') Bull. ojf. de la Soc. tcchn. de iAcctyUne, r année, p. i3«5; 1898.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 225
PraUquement, d'ailleurs,
h reste compris entre o,i et 3oo,
D » 0,5 et 25,
A » o,o8 et 3,
Q M o,oo5 et loo.
ÉcrivoDS d'abord Téquation ci-dessus sous la forme
log^ H- 5 logD = logA -^ 2logQ H- logi655.
D'après la remarque faite plus haut, il n'y a pas lieu, pour la construc-
tion des échelles, de tenir compte de la constante.
Nous poserons donc, suivant le second procédé,
(h) a, = /, logA,
(D) W2=/, DlogD,
(A) M3=/3l0gA,
(Q) i/,-/4 2logQ.
Nous avons d'ailleurs
Oi= logSoo — Iogo,i =3,47,
02= 5(log25 — logo,5) =8,i9,
83= log3 — logo,o8 —1,57,
O4 = 2(log 100 — logOjOOj) = 8,60.
Par suite.
0,4- 02~ 11,96,
83 -H 0^= »«,i7-
Ces deux quantités étant peu différentes Tune de l'autre, les longueurs
des échelles, supposées égales pour chaque couple, n'auront elles-mêmes,
entre elles, qu'une petite dilTérence.
L'égalité rigoureuse pour chaque couple exigerait que l'on eût, d'une
part,
•~ 3~F ' ^~ 8"i<r '
de l'autre,
I O I "^ loi''
i,:)7 8, h
Ces divers rapports sont voisins des suivants :
2 :}
M. d'O. 1 5
226 CHAPITRE III.
qui satisfont, en outre, rigoureusement aux égalités nécessaires
I _ I I _ I I
Si on les adopte, on obtient les longueurs d échelles voulues pour le
«r3
-I
300
r200
rlOO
-50
rO.5
h 0.3
-0i2
-0.1
r20
10
-5
L(h)
-2
-l
-0.5
-0.2
^W
F«g- 97-
'■»■•-.
25-,
20-^
100^
—
so-
lo-^
s ~
(Q) ]
0.5-
ao5^
OtOl-
aoos -
lO-T
s-
4-:
(b)
3-
2-
0.5
degré d'approxiinalioii qu'exige la pratique en prenant
(\ \ > ù
/ = •>.()'"'",
fl — 70 , {2 -^ 10 , «3—1 ^o , /; — 9.4
mm
tQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEXENT. 227
Les échelles sont dès lors définies par
(h) i/,= 7o"""log/i,
(D) i/jr^ i4o«»"logD,
(A) M3— i'2o""" logA,
(Q) wv= 48™"logQ,
et leurs longueurs sont données, au millimètre près, par
Li= 7o""(log3oo — logo,i) =238*
L, = i4o"""(Iog25 —logo, 5) =238'
L3 = i2o"""(log3 —logo, 08) = 192'
L4= 48'"'"(Iogioo — Iogo,oo'))= 2o6'
(mm
(mm
.mm
Lmm
On voit qu'elles diffèrent peu les unes des autres.
Les distances a?i, arj, 3:3, r^ de ces échelles à l'axe des supports devront
être telles que
Xx '»
3Cz
Xi 2
X;
Pour que l'index rencontre les axes sous des angles qui restent sensible-
ment compris entre 4^** et 90", il faut que les écartements des échelles {h)
et (D) d'une part, (A) et (Q) de l'autre, diffèrent peu de la longueur des
échelles. On atteint ce résultat en prenant
371= i3*™, a:j=5*"",2, 373= i:>*™, 37^ = 3*'".
C'est avec ces données qu'a été construit l'abaque dont la Jlg. 97 est une
réduction.
Les deux positions de l'index marquées en pointillé sur la figure mon-
trent que pour h = 2,3, D = 4,6, A = i ,5, on a Q = i,25.
91. Échelles reclilignes non parallèles. Abaque du nivel-
lement barométrique, — Les équations qui viennent d'être
représentées, à titre d'exemples, sont de la forme
Il a suffi de prendre les logarithmes des deux membres pour
leur donner la forme voulue, mais elles peuvent, sans subir cette
transformation, être traduites en abaques à pivotement. Si, en
effet, on appelle a la valeur commune des deux membres de celte
équation, on peut représenter les équations
/i/t = ^.
228 CHAPITRE III.
en posant d'une part
de l'autre
u = /a,
u = ioL,
«3= Ufiy
et faisant coïncider les échelles (a).
En voici un exemple emprunté à l'excellent Traité de Topographie de
M. Prévôt (ï).
La diiïérence de niveau Z, en mètres, entre deux stations voisines,
est donnée approximativement par la formule
Z = 16000 I H -, r>
L 1000 J A 4- h
où h et t désignent la hauteur barométrique exprimée en millimètres et la
température à la station supérieure, h' et t' les mêmes quantités à la sta-
tion inférieure.
Posant
on peut écrire cette formule
Z _ 8000-4- 32 0
s 'X
t
Appelant a la valeur commune des deux membres de cette équation,
quantité qui représente la différence de niveau correspondant à une diffé-
(') La Topographie appliquée aux Travaux publics (Ouvrage faisant partie
de la Bibliothèque du Conducteur des Travaux publics; Dunod, éditeur;
1K98). L'abaque ici reproduit figure sur la Planche jointe au Tome \.
M. Prévôt a également construit, pour la détermination du poids des cordes
filées employées dans les instruments de musique un remarquable abaque à
double alignement rentrant dans le type du n" 02, mais s'appliquant à une
équation plus compliquée. M. Gustave Lyon, Directeur de la maison Pleyel-
WoIfT, qui a fait constamment usage de cet abaque au cours des éludes qui l'ont
conduit à Tinvention de la harpe chromatique, a, dans une conférence faite le
i\ février 1H97 devant le Groupe parisien des Polytechniciens, déclaré que Pabaquc
de M. Prévôt lui a fait gagner les on/.e douzièmes du temps qu'il eiU dû, s'il en
avait été privé, consarrcr au calcul numériciue.
Nous citerons encore un abaque de ce genre construit par M. G. Pesci pour le
jaugeage des tonneaux (G. C. ; t. \\\V; 18)9).
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT.
rcnce de pression de i"", nous poserons, comme il vient d'être dit,
(a) M=/a,
(z) ui = /jZ,
(6) «3= /3(8ooo-i-32e).
Les échelles (e) et (^i) seront alors défînies respectivement par
liiu — /M| = o,
ou, en désignant par 81 la demi-distance des origines A et Ai,
229
(0
et
^ l -^ Lt
^ = ^' i-Tl
l^\iu— luz = o,
ou, en désignant par 03 la demi-distance des origines A et A3,
^=03 , — j-^
Fig. 98.
c
0
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-9"" S
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L
Lie
a;
\a fig, 98 reproduit l'abaque ainsi conuruit par M. Prévôt : i** avec les
q3o chapitre 111.
I mm
modules /= lo™", /i=o"",i, /8= -; — 't ^i" avec les mêmes modules / et /j
€l le module /i= o""°,5.
Les deux abaques ainsi obtenus ne diffèrent que par leurs graduations (Z)
et (e). Les deu\ graduations distinctes relatiyes à un même axe sont
placées de part et d'autre de cet axe, ce qui, en l'espèce, est d'autant plus
commode que les points de division sont les mêmes d'une graduation à
l'autre et que seules les chifTraisons difTèrent, l'une étant quintuple de
l'autre.
Pour qu'il n'y ait aucune hésitation dans la façon de lire ces graduations,
celles qui doivent être associées dans la seconde position de l'index ont
été munies de chiffres soulignés.
Les deux positions de l'index, tracées en pointillé sur la figure, se rap-
portent à l'exemple numérique pour lequel on a
// ^ 7>.2'"™,6, /i' = 698'"'",3, /~i5%2, /'=l2^
iVoii
e = 24""",3, fx = 7io'"'",4, 0=i3",6.
L'abaque, pris avec ses graduations soulignées, donne
Z = 288".
On aurait pu, pour la disposition des échelles de chacun des deux
abaques juxtaposés, appliquer ici ce qui a été dit au n° 73.
92. Echelles curvilignes, — Parmi les équations rentrant
dans le type général (2) du n" 88, celles qui se rencontrent le plus
souvent sont de la forme
Désignant par a la valeur commune des deux membres de cette
équation, on aura à représenter simultanément les équations
Pour la première, on pose
<a) u — Irt,
(«1) v=—I^fu
ce qui donne pour le5 points (a2)
{a,)o iiU-hl/^ç = lli^i
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 23 1
OU
f^our la seconde,
(at> u — loL,
Ce qui donne pour les points (a4)
Ou
Il est, bien entendu, nécessaire de faire coïncider les échelles (a)
des deux abaques, dont la graduation n'aura d'ailleurs pas à être
marquée, et dont le support constituera l'axe des pivots.
Quant aux échelles (a,) et («3), on pourra leur donner le même
support en prenant le môme axe des v dans les deux cas. Les gra-
duations correspondantes n'auront alors qu'à être portées de part
et d'autre de cet axe.
93. Exemple : Abaque de V écoulement de Veau dans les canaux
découverts. — La formule donnée par M. Bazin (*) est la suivante :
,-i- ^
OÙ U désigne la vitesse moyenne en mètres, R le rayon moyen en mètres,
1 la pente, y un coefficient numérique qui dépend delà nature de la paroi.
Elle peut s'écrire
Sous cette forme, on voit qu'elle rentre dans le type (E) ci-dessus lors-
qu'on prend
«i^T, aj=R, ^3=^1, «4=^
et
/3^87/r, A=g' ?4 = o.
(') O. 30.
CUAPITBE lir.
Il eo résulte que les quatre échelles seront définies, <
) été vu au n° 93, par les formules suivantes :
(ï)
(R)
(i)
(U)
Les échelles (y), (I) ei (U) sont rectilignes. L'échelle (R) a pour sup
port la courbe dont l'équation, obtenue par étiminaiion de R entre te^^
formules (R), est
La construction de cette ellipse est bien simple. Considérons i^ff- 99)
Vig. 99.
rcle qui, rapporté à Oar
a pour équation
à la perpendiculaire Oy élevée en O à ci
il le cercle décrit sur A,B comme diamètre. Pour une même abscisse x,
a entre l'ordonnée^' du cercle et l'ordonnée^ de l'ellipse la relation
,,/«!
,>nr,
Donc, réduisant l'ordonnée PM' du cercle dans le rapport -
donne PM', on n'a qu'à faire tourner celle-ci en PM de façon à la rendre
parallèle à 0^ pour avoir le point correspondant M de l'ellipse.
Les expressions (R) et (U) de a^ montrent en outre que les cotes R et V
des points M et Psont liées par la relation
ÉQUATIONS A TROIS TARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT.
233
T/abaque, dont la fig. loo est une réduction, a été construit avec les
nodules
/ = S"", Ix = Sa"", /j = 8""",
la demi-distance des origines A et B étant
8 = 4o""'.
En outre, Téchelle (U) étant d'abord supposée s'étendre de A (coteoo)
Fig. loo.
Ua
à B (cote o), on a, pour une raison donnée dans la Remarque qui ter-
mine le n** 73, pris Taxe AB des origines incliné à 6o° sur la direction des
axes Au et Bp.
L'échelle (y) est alors donnée par
C'est une échelle régulière facile à construire (* ). Elle a été portée sur le
cAté gauche de l'axe Bp.
(') Les seules valeurs de y à considérer sont, d'après M. Bazin :
o,o6. — Parois très unies (ciment, bois raboté, etc.)*
o,i6. — Parois unies (planches, briques, pierre de taille, etc.)*
0,46. — Parois en maçonnerie de moellons.
o,85. — Parois de nature mixte (terres très régulières, pcrrés, etc.).
i,3o. — Parois en terre dans des conditions ordinaires.
1,75. — Parois en terre d'une résistance exceptionnelle (galets, herbes, etc.).
234 CHAPITBE III.
L'échelle (I), portée sur le côté droit, de I = o,oooi à r=o,oi, ^=
défînie par
i> = -- V^r.7i5""».
L'échelle (U), portée par l'axe AB des origines, est définie par
C'est une échelle segmcniaire (n"5, 3"), bien facile à construire soit a *
moyen d'un étalon segmentaire, soit par transformation d'une échel^^
régulière (n""?), puisqu'on en connaît immédiatement trois points qui socm ^
le point A coté oo, le point B coté o, et le milieu de AB coté i. Il suff^ ^
d'ailleurs de prendre les valeurs de r entre o, i et 5.
Pour ce qui est de l'échelle (R), on commencera par tracer l'ellipse qu ^
lui sert de support en remarquant qu'ici le rapport de réduction qu ^
entre dans les formules (2) est
y/8^x^32 _ i
2 X 40 ~ 5
Une fois ce support construit, on a immédiatement l'échelle (R) en
remarquant que, d'après la formule (3), qui donne ici
on a la projection de l'échelle (R) sur AB, faite parallèlement à Au et B(^,
en divisant par 4 les cotes de l'échelle (U).
Il suffit de prendre les valeurs de R entre o, 2 et 5.
C'est ici l'axe Xu qui sert d'axe des pivots. Pour savoir quelle est sa
longueur utile, il suffit d'associer la plus grande valeur de y (Y = ï>7^)
à la plus petite de R (R = 0,2). On trouve ainsi un peu moins de 8*", 8.
Les positions de l'index tracées en pointillé sur la Jig-, 100 correspondent
à l'exemple numérique y = i ,3, R = 1,6, I =o,ooa, pour lequel l'abaque
donne U = 2"", 4. ^
B. — Abaques a transversales diverses.
94. Abaques à transversale circulaire, — Si l'on analyse le
mode d'emploi des abaques à points alignés, on reconnaît qu'il
consiste essentiellement en ceci : deux points cotés déterminant
la position d^une transversale rectiligne (l'index) tracée sur
un transparent, si cette transversale passe par un troisième
point coté, il existe entre les cotes des trois points une équation
dont on a ainsi un mode de représentation.
L'idée se présente dès lors de remplacer la transversale recti-
Qe par une transversale quelconque, telle que sa position soit
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 235
complètement définie par deux points cotés. Cette idée se rencontre
dans un Mémoire de M. le capitaine Goedseels (*), professeur à
rÉcole de Guerre de Bruxelles, dont nous allons résumer la sub-
staDce.
La seule courbe, invariable déforme, qui partage avec la ligne
droite la propriété d'être déterminée de position par deux points,
esl un cercle de rayon constant. De même, en effet, qu'une
droite définie par deux points peut glisser sur elle-même en fai-
sant naître une translation, un cercle de rayon donné, défini par
deux points, peut glisser sur lui-même, en faisant naître une ro-
tation. Le type d'abaque correspondant est donné par \difig. loi .
Fig. ICI.
La considération des transversales circulaires ne présente guère
qoun intérêt théorique. Nous nous y arrêterons toutefois un in-
stant pour faire voir que le calcul que nous avons développé au
D'^ 82 permet de mettre sous forme symétrique (^)le type géné-
f^l d'équation ainsi représentable.
L'équation du cercle de rayon R servant de transversale, rap-
porté à deux axes rectangulaires fixes, mais d'ailleurs quelconques,
du plan est
5cl 7i étant les coordonnées variables de son centre. Exprimant
(') Le» procédés pour simplifier les calculs ramenés à l'emploi de deux
transçersales gui se rencontrent au sein d'une graduation. Bruxelles, 1898.
(') Ce type d'équation n'est pas, dans le Mémoire de M. Goedseels, donné sous
forme symétrique.
236
CHAPITRE III.
que ce cercle passe par les trois points cotés («i), (a2), (
dont les coordonnées sont définies respectivement par
(«i)
^=//» y = ?i (*= ï»a» 3),
on a les trois équations
jî+TT)»— 2//{- 2cp/r, -+- /?+©?— R«=o (i= f,2, 3,).
Le problème qui consiste à éliminer Ç et tj entre ces trois éq
lions est algébriquement le même que celui qui a été réso
au n^ 52, lorsqu'on remplace
ai par i,
— lOl,
Nous pouvons donc écrire immédiatement le résultat. Conve-
nant d'abord, pour simplifier l'écriture, de poser d'une manière
générale
at b\ C\
a, bi Cl =!a/^iC/|,
«s ^3 Cz
et remarquant que
I ai /;-f-(p/-R« 1 = 1 I «/ /* + ?? .
X
»
y
»
fi
»
?/
M
d/y
»
nous avons pour l'équation cherchée
I « ?/ /? -1- ?' I + 1 /,• I //+<?' I
+ 41// ?,- I 1(1// ?/ /?-(-?? I-R'l// ?/
Si l'on pose
//' + ??--=<!'/.
M) =
on voit qu'avec la notation abrégée du n° 52 l'équation précédente
peut s'écrire
D)-hD|-f-4D^(D— R«D^) = o.
En particulier, si les points (ai ) et (ag) sont distribués sur Ox,
les points (as) sur O^, celte équation, toutes réductions faites.
fiQUATIONS A TROIS YARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 287
prend la forme simple
95. Abaques à transversale quelconque et repère. Abaques
àéquerre. — Si la transversale e.st autre qu'une droite ou un
cercle (*), il faut trois (2), au lieu de deux, conditions pour dé-
finir sa position par rapport à l'abaque : aussi ne suffîra-t-il plus
de la faire passer par deux points cotés et faudra-t-il lui imposer,
eaoQire, une condition simple quelconque. Celle qui se présente
tout naturellement à l'esprit consiste à mettre en coïncidence avec
l'un de ces deux points cotés, un point marqué sur la transversale
et que nous appellerons son repère.
En faisant varier la nature de celte transversale et la position du
repère, on peut engendrer des modes de représentation en nombre
pour ainsi dire indéfini, s'appliquant à des équations de types di-
vers. Il s'en faut pourtant que toutes ces sortes d'abaques soient
d'un grand intérêt pratique. Ceux qui. à ce point de vue, présen-
teront le plus d'importance, seront, cela va de soi, ceux pour les-
quels la transversale sera de nature simple.
On peut, par exemple, supposer que celle-ci se réduise à un
système de deux droites, plus particulièrement à deux droites rec-
tangulaires ('), le repère étant le point de rencontre de ces deux
droites. On obtient ainsi le type d'abaque représenté par la
fig' 102 et que M. Goedseels a appelé abaque à équerre.
Il est très facile de former le type général d'équation corres-
pondant. Les trois systèmes de points cotrs étant, en efTel, défi-
Dïspar les formules
^ =//' r = ?*• (**= ^ ^» ^)»
(') Rigoureusement il faudrait dire un système de trois droites parallèles ou
QC trois cercles concentriques, comme on le verra plus loin (n" li5, Beni. I).
(') Pour s*en rendre compte, il êuffit de rapporter cette transversale mobile cl
•ûTariable de forme à deux axes rectangulaires qui lui soient invariablement liés.
S* position se trouve alors définie par celle de ces axes; or cela exige trois con-
sistions, deux d'entre elles définissant, par exemple, la position de l'origine et la
^'oisiéme l'orientation des axes.
(') Ces deux droites rectangulaires pourront être soit dessinées sur un trans-
P^cni, soit constituées par les bords d'une équerre, comme c'est le cas pour le
ProGlomèlre Siégler (nMl3).
238 CHAPITRE III.
on a, en écrivant la condition de perpendicularîté des droit;. ^
O'X' et O'Y' dont l'ensemble constitue la transversale,
(?1— ?2)(?l-?3)+(/l— /î)(/|— /s) = 0.
Si les points (ai) sont distribués sur l'axe Oy, les points (aj) ^i
(aj) sur Taxe O^, on a/i ^ o, ^2^ o, çj^ o, et l'équation se ré-
duit à
Un abaque de ce genre se rencontre dans le profilomèire de
M. Siégler dont il sera question plus loin (n® 113).
96. Abaques à trans^^ersalc quelconque pour équations à
quatre variables, — La fixation sur l'abaque de la position
d'une transversale quelconque, invariable de forme bien entendu,
exigeant trois conditions simples, nous avons dû, pour utiliser une
telle transversale dans la représentation d'une équation à trois va-
riables, lui imposer une condition venant s'ajouter à l'obligation de
passer par deux points cotés. Nous pourrons donc, au lieu de cette
condition supplémentaire réalisée ci-dessus au mojen du repère,
lui imposer l'obligation de passer par un troisième point coté et
nous aurons ainsi un mode de représenlation applicable à des
équations à quatre variables. Ce genre d'abaque est également
proposé par M. Goedseels dans le travail déjà cité.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 289
Reprenons, par exemple, l'équerre du numéro précédent; elle
nous donnera le type d'abaque ainsi défini :
On applique, sur ^abaque portant les quatre échelles cur-
vilignes («i), (aa), (as), (a4), une équerre dont on fait passer
l^un des côtés par les points cotés ai et 0L2 et l'autre côté par
le point coté OL^. Ce second côté coupe alors la quatrième échelle
O.U point coté a,.
Comme précédemment la forme d'équation correspondante
s'obtient immédiatement en écrivant la condition de perpendicu-
larité des deux axes constituant la transversale, ce qui donne
(?1 — ?2)(?3— ?4) + (/l— /2)(/3 — /4)=0.
Exemple : Abaque des levers tachéométriques. — C'est à M. Gocdseels
que nous empruntons cet exemple.
Soient h la lecture stadimétrique, i la distance zénithale, a Tazimut
donnés pour un point par le tachéomètre, X, Y, Z les coordonnées rectan-
gulaires de ce point. On a, en représentant par C une constante instru-
mentale,
(i) X = /f(G sint-h cost) sin/cosa,
(2) Y — A(G sini H- cosf) sint sina,
(3) Z = //(G sin £ -f- cost)cosf,
ou, en supprimant le terme h cos'/, généralement négligeable,
(3') Z = -Gsin9.t.
On voit que les formules (i), (2) et (3') se ramènent à une seule équation
(E) ^ «4 = a2(Gsina3 H- cosas) sinaj cosai,
grâce aux identifications
(1)1 OLxT=a, aj — A, «3—^, «4 — X,
(2)1 ai-^^ — r/, OLii^h, «3--^, a; — Y,
(3)i ai -:= 2t, a«— -> a3Ei3-, ol.-^L,
2 2 2
Bornons-nous donc à représenter l'équation (E). Or elle peut s'écrire.
^1 Pf q étant trois paramètres arbitraires dont on disposera par la suite,
(— ^cosa,) /?(sin«a3-4- gsinaacosasj -+- (— -^jir- 'j^)^ ""
'2!\0
CHAPITRE III.
Sous cette forme, elle rentre immédiatement dans le type général ci-dessi
grâce aux identifications
^O,
-:. 'l^PS
«î
^i^— q cos»!
?i = o,
-o,
ç>, =-=/? (sin*aj -I- ^sinascoszsj
«4
//l i^
T y
riL -= o.
Les points («i) et (aj) sont donc distribués sur 0^, de part et d*auti
Fij;. io3.
If
■Î-H-
I
>, j I, I. 1 L
±
I . ' . 1
^
A rn
J,
—^
(3ti ) -
ga-
s^
T — Tr^'-I — T 1 1 M ' 'r ' 'I
' ' ' J^ '
(le l'origine, lc< points (a*) et (a^) sur la partie positive de Ox; oii dis-
ÉQUATIO:«iS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 24 1
i nouera d*ailleurs ces derniers les uns des autres en plaçant les gradua-
tons correspondantes de part et d'autre de 0.r.
Pour un tachéomètre dont la constante G est égale à 100, ce qui est le
2 as ordinaire, et en donnant au\ paramètres m, /?, q les valeurs
'"=■'• ''=^5' 'i'=^'
. Goedseels a obtenu Tabaque dont la fig, io3 est la réduction à la
oitié.
Les graduations angulaires y sont faites en grades (').
Prenons l'exemple numérique pour lequel les données sont
h = 1,54, a = 70^ t = 93S
<l'où l'on déduit immédiatement
- = 0,77, a = 3o*, ?. 1=01/1",
ce dernier angle, pour être compris entre o et 2ir — 4oo*, ayant été aug-
menté de ai:.
Les trois positions de l'équerre, dont la première seule a été marquée
en pointillé sur la figure, donnent successivement :
Pour a, = 70, aj = i,54, ag = gS,
X = a^ rr. 66'" ;
Pour ai — 3o, «j = r, 54, ^3 — 93,
Y =av^i34"';
Pour ai = 3 14, ^i = 0,77, as = 100,
Z = av = 8"».
97. Abaques à parallèles mobiles. — La position du Irans-
parenty lorsqu'une droite qui y est tracée est amenée à passer par
deux points cotés, n'est déterminée, avons-nous vu, qu'à une
translation près; mais il est des lignes dont cette translation ne
fait pas varier la position : ce sont les droites parallèles à la pre-
mière. De là l'idée d'un autre mode de représentation appli-
(') Suivant le conseil donné par le colonel Goulier, pour la graduation des
mires, les chilTraisons de (a,) et de {a^) ont été inscrites de façon que le sens
croissant de la graduation soit dirigé vers la droite du chiffre lu normalement. Ce
conseil n'a pas été suivi en ce qui concerne la chiiïraison de (ot})? parce que,
l'abaque étant tenu comme l'indique la figure, les chiffres seraient lus à l'envers.
M. dO. 16
242
CHAPITRE III.
cable à des (^nations à quatre variables, qui a été proposé p.
M. M. Begbin (' ).
Sur l^ abaque portant quatre échelles curvilignes (a,), (a^
(a,) et (a,), on applique un transparent portant des lign ^
parallèles équidistantes (Jig- io4), de façon que l'une d'elle'
Ajj, passe par les points cotés ai et ol^. Celle, A', qui passe alo^
Fig. loî.
par le point coté as (-), rencontre alors la quatrième échelle
en un point dont la cote est a,.
Il suffit d'exprimer le parallélisme des droites définies, d'une
part par les points (a,) et (a^), de l'autre par les points (aj»)
et (as), pour avoir la forme de l'équation représentée
(/î --/l ) ( ?3 — ?0 — ( ?î — ?1 ) (/s —A ) "-= «»
•
/s et '^4 désignant des fonctions quelconques de a,. Ce type est le
même que celui du numéro précédent, ce qui était évident a
priori.
Si l'on fait a^iziai, on tombe sur un mode de représentation
d'une équation à trois variables dans lequel, à la variable ai cor-
respondent deux éclielles curvilignes (a,) et (a,)'.
(') G. C. t. WII, p. i-j'i (iSq:)).
(-) Celte parallèle A' peut n'être pas une de celles qui sont effectivement tra-
cées sur le transparent, mais être interpolée visuellement entre celles-ci. Lorsqut*
les parallèles é({uidistantes sont suffisamment rapprochées, une telle opération
comporte une {grande précision.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 2^3
Oomme c'est la première fois que s'offre à nous un exemple de
ce genre, nous insisterons sur la remarque que voici :
Lorsqu*à une même variable correspondent plusieurs sys-
^^mes gradués sur un abaque, cette variable, prise pour in-
^dnnue^ ne peut, en général, être obtenue au moyen de Va-
^€zque que par tâtonnements.
Dans l'exemple qui nous occupe, on voit que, pour avoir ai
«orsque 7.2 et as sont donnés, il faut, ayant fait passer la droite A^
par le point coté aj, faire tourner le transparent autour de ce
point, jusqu'à ce que la cote du point où AJ^ coupe l'échelle (a,) et
la cote du point où la parallèle à A'^, passant par le point coté as
(parallèle qui varie à chaque instant sur le transparent), coupe
l'échelle (ai)', soient égales entre elles.
L'emploi d'un tel abaque ne sera donc avantageux qu'autant
que l'on n'aura jamais à prendre la variable ai pour inconnue. Il
faut observer d'ailleurs que, dans la plupart des formules usitées
en pratique^ î^ y ^ une ou plusieurs variables, souvent même
toutes les variables, moins une, pour lesquelles cette condition
a lieu (').
Quel sera, d'autre part, le bénéfice que l'on pourra avoir à
retirer d'une méthode de ce genre? Celui,, dans certains cas, de
substituer à un abaque comportant des lignes cotées un autre
abaque sur lequel ne figurent que des points cotés, dont la supé-
riorité, tant au point de vue de la facilité du dessin que de la com-
modité et de la précision de la lecture, a déjà été signalée (n° 30).
98. Exemple (*) : Second abaque des murs de soutènement pour des
terres profilées suivant leur talus naturel. — Reprenons l'équation du
n* 53
9
k^ -f- kp sinç coscp — ~r cos'ç = o.
Nous avons vu qu'elle est représentable au moyen d'un système de cercles
les de droites; en revanche, elle ne l'est pas au moyen
et de deux systèmes de droites; en
(1) Cette remarque a déjà été formulée, sous une forme un peu différente, dans
le renvoi au bas de la page 32.
(') La modification du profilomctre Siégler, que nous avions proposée naguère
(A. P. C, avril i883, p.403), est un premier exemple d'application de ce procédé.
244 CHAPITRE III.
de trois systèmes de droites entrecroisés, ni non plus, corrélativem
par points alignés.
La méthode des parallèles mobiles permet néanmoins, comme
va voir, de représenter cette équation uniquement au moyen de s
tèmes de points cotés; c'est même à l'occasion de cette application
iM. Beghin a fait connaître le principe de la méthode.
L'équation peut s'écrire, X, {x, v étant des paramètres actuellement in
terminés,
H^ ^'' f • ^ / » vcotçpN
sin<pcos^ [i ' \ -i /
Elle rentre alors dans le type général ci-dessus, moyennant les identi
cations (' )
/ ^ -
2fX
sin2cp
tn m — = f\
''^ sincpcoscp
f 1 — "»
o; -0,
A ^ = o,
?t -- X/>,
/3-vA,
73.. --.A».
?), (?i), (j»)et(A-)
seront
dès lors définies
X = -.—?—- ,
sin2^
y
= o,
vcottp
X - - .
y
r=0,
X o,
y
r-. X/),
:r — V A-,
y
(•f)
(p)
a)
Les deux premières auront pour support l'axe Oj*, de part et d'autre
duquel elles seront marquées, la troisième Taxe 0^, la quatrième la para-
bole dont l'équation est
Ix^
y ~ —
Si l'on prend X r-. S^^y [i r= a*^"", v = 6*"', ou a
/cm
X = -r — >
sin2(p
(?)
y^o,
(?')
X — ?/"'.C0tQp,
y-=o.
(/')
X • O,
y /^.s^"*.
(/)
X r^ A'.G'^'",
j^-A».2r«'.
C) On peut ici, bien évidemment, faire correspondre deux échelles à la va-
riable cp, allendu que cet angle, qui représente rinclinaison naturelle des terres
employées, sur l'horizon, n'a, en aucun cas, à être pris comme inconnue.
fiQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 2^5
r*our les mêmes limites des variables qu'au n° 53, et en prenant les
axes Ox et Oy inclinés à 45* Tun sur l'autre, on obtient l'abaque de
Kig. io5.
la fig. io5. On a, sur cette figure, tracé en pointillé les positions des
parallèles correspondant à l'exemple numérique du n° 53, savoir :
tp = 3o*, p = 0,75.
L'abaque donne bien encore
k — 0,3.
2^6 CHAPITRE lY.
CHAPITRE IV.
SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS (•)•
APPLICATION GÉNÉRALE AU CALCUL DES PROFILS
DE REMBLAI ET DE DÉBLAI.
I. — Généralités.
99. Abaques indépendants, accouplés ou superposés. — On
rencontre dans quelques applications des systèmes d^équatioiis de
la forme
F(ai,a,,a,) = 0,
*(ai,aï»3t4) =0.
On peut, en utilisant les méthodes exposées dans les deux Cha-
pitres précédents, construire un abaque pour chacune de ces
équations. Ces abaques indépendants permettent de calculer les
valeurs des deux dernières variables lorsqu'on se donne soit ai
et 7.2J soit Tune de celles-ci avec a3 ou aj.
Supposons, par exemple, qu'on se donne ai et as. L'abaque de
F fait alors connaître a-j, puis, au moyen de ai et aa, l'abaque de
<[> fait connaître a^.
Mais, si l'on se donne ol^ et a,, les abaques construits ne per-
mettent d'obtenir a, et a^ que par tâtonnements. On procéderait
ainsi : Prenant arbitrairement une même valeur de ai sur les deux
abaques, on verrait, en la joignant respectivement aux valeurs de
ag et a., données, les valeurs de ol^ qu'elle déterminerait, et l'on
ferait varier cette valeur commune de ai jusqu'à ce que les deux
valeurs obtenues pour aa devinssent égales.
(') On trouvera ail Chapitre suivant (n" 139) uu autre exemple d'abaque pour
iin système de deux équations.
SVSTËHES DE DEUX EQUATIONS. 2^J
Un tel procédé laisseraiL à désirer sous le rapport de la rapidité
et de la précision, \fais il faut bien dire que, lorsque, en pratique,
des équations se présentent sous la forme ci-dessus, ce sont les
variables aj et ce, qui y sont génératenicnt prises pour inconnues.
Puisque le choix est libre de deux sur trois des systèmes cotés
constituant l'abaque d'une équation (n" 46), On peut toujours ad-
mettre pour chacune des équations précédentes un système com-
mun répondant à une des variables communes, a, par exemple,
«t, en particulier, un s^'stème de droites parallèles. Dans ces con-
ditions, on peut dessiner les deux abaques l'un à côté de l'aulrt:
en superposant leurs sj'stèmes de parallèles (a,), tout en déga-
geant l'une de l'autre les parties utiles des autres systèmes cotés
de chacun d'eux. On obtient ainsi un diagramme dont la disposi-
tion est celle de la^ï"'. io6, et l'on dit que les deux abaques sont
accouplés par la variable a, .
La remarque qui vient d'être faite à propos des abaques indé-
pendants s'applique encore aux abaques accouplés. Ils ne peuvent
donner a, et ^i, lorsqu'on connaît a, et x,, que par tâtonnements.
Mais, puisque, comme nous venons de le voir, nous disposons
librement de deux des systèmes cotés de chaque abaque, adoptons
maintenant pour l'un et pour l'autre les mêmes systèmes (cl,) et
(xi). Nous pourrons alors tracer sur le même tableau le système
(a,) et le système (a,) qui, joints aux deux premiers, constituent
l'un l'abaque de F, l'autre l'abaque de 4'. Dans ce cas, le dia-
gramme obtenu présente la disposition de la Jlg. lo-, et nous
disons que les deux abaques sont superposés.
Ici, les courbes cotées qui correspondent ù des valeurs de »t,
«ii*j.'**CO''*"'w«"""'*^'^''^""î'^^*<'^""o^*'^^^ équations don-
^4^^ <:HAPIThe IV.
nées, passent par un même point. Il est, par suUe, iadifférenl=r^
qu'on so donne les valeurs de tel on tel couple d'entre elles. Le^^-
courhcs cotées au moyen des valeurs des variables données s^s-
coiipenl en un point par où passent deux courbes prises respecli —
vemenl dans les deux autres systèmes et dont les cotes sont le&
valeurs des inconnues.
Fig. .07.
La superposition des deux abaques étant, comme on vient de le
voir, toujours chose possible, il semble, « priori, qu'on ne doivf
pas hésiter à y recourir dans tous les cas. Il est cependant une-
considération qui peut y faire renoncer : il se peut, en elTel, qur
chacun des deux abaques F' cl <[> soit individuellement susceptible
d'unamorphiise avec des choix dilTércnls pour les systèmes (a,)
et (xi); dans ce cas, la bien phis grande simplicité de la con-
struction pourra faire renoncer aux avantages de la supcrpo-
/iemarque I. — Si les équations F et 4> sont de la forme
/{<•„=<,)-/,(>.>■
les courbes cotées (xj) et (a,) sont géométriquement les mémr
et ne dilTèronl que par leurs graduations. Le diagramme forn
par les abaques superposés se réduit donc ;'i un ensemble de Irt
systèmes de courbes lOLées, dont l'un pourvu de deux graduatioi
l'une pour aj, l'autre pour «i-
SYSTÈMES DE DEtX ÉQUATIONS. 249
11 va sans dire que, dans ce cas, il ne peiil être question de
l^T^endre ol^ et cl^ comme données indépendantes. La connaissance
^e Tune d'elles entraîne celle de Tautre et laisse le système des
"Valeurs de ai et a2 indéterminé.
Remarque II. — Si les équations sont telles qu'il puisse y
«xvoir superposition, et que les quatre systèmes de lignes cotées
^ie soient composés que de droites, on substituera à celles-ci,
Cïn vertu du principe du n° S6, et par l'emploi des coordonnées
parallèles (n" 57), de simples points cotés.
Dès lors, la droite joignant les points correspondant à deux des
variables coupera les deux dernières échelles en des points dont
les cotes seront les valeurs correspondantes des deux autres
variables (*).
100. Exemples (*). — i" Abaque des triangles sphériques rectangles.
Point à la mer. — La resolution du triangle sphérique ABC, rectangle
en A, peut, dans cinq cas sur six, se réduire à l'emploi des deux seules
équations
(i) cos»! cosaj — cosas,
(2) cotai sinaj — cola^.
Les cinq éléments à considérer dans le triangle sont, en effet, l'hypoté
nuse a, les côtés de l'angle droit b et c, et les angles droits B et G, d'où
les six cas de résolution :
Données. Inconnues.
I*' cas a, b; c, B, C;
2* cas bf c; a, B, C;
3* cas «î B; 6, c, G;
4* cas 6, B; a, c, G;
5* cas ^, G; a, c, B;
6* cas B, G; «, 6, c.
(*) Indépendamment de l'application de ce genre d'abaque, développée dans
les n** 110 et 111, nous citerons encore les échelles (a) et (e) de l'abaque du
commandant Bertrand (n*> 71), chacune d'elles jointe aux échelles (g), {d) et
(y) constituant un abaque du type visé dans la Remarque II ci-dessus, et un
abaque construit par M. Dariès pour la formule de M. Maurice Lévy, relative à
récoulement de l'eau dans les conduites {Nouv. Ann. de la Construction^ 5* sé-
rie, t. IV, col. ii3; 1897).
(^) L'abaque des corrections dynamiques de niveau ( n" 36, 2") peut être cilé
comme un exemple d'abaques superposés, les deux abaques en lesquels il se dé-
compose ayant en commun les éléments cotés {d) et (t, ).
on a
ai=c, a^sB,
»
«v-C,
u
ai=-:a, av.= B,
II
a* -C.
II
a, - 6, at=c,
II
a*-C,
■•
«»=-«, »,= c,
»•
«v- C,
u
a,. -a, «issc,
u
24—3.
2D0 CHAPITRE IT.
Voici comment les équations (1) et (a) permettent de résoudre les cioq
premiers cas (*) :
i'^ cas : Pour aj==a, a|=^6,
u* r^5 ; » ai =^ b, ajr-^ c,
a,-3 c, OLib,
V Cfis : •• a3r-=flr, av:~ B,
» ai^"C, ajf-ft.
i' oa* ; » ai F b^ a^ =^ B,
ï'^ Crt5 ; » aj r= 6, a^ =~ C,
a,F--^>, a,= c,
11 suffit donc de superposer les abaques des équations (i) et (!i) pour
pouvoir résoudre à vue, au moyen de Tabaquc à quatre systèmes de lignes
cotées ainsi obtenu, les cinq cas indiqués ci-dessus.
Kn prenant tout simplement pour lignes cotées (ai) et (a,)
( ai ) j* — /ai,
( aj ) j^ = /a*,
ce qui donne
.7* V
(a,) cosy siuy - cosa,.
X Y
(Xi) nu y sin •--- — cola;,
on obtient Tabaquc do la Jifi^. 108, construit par MM. Favé et Rollet de
risl(\ ingénieurs hydro«:raphes, en vue de l'application suivante (*) :
Dans la détermination du point à la mer par la hauteur des astres, on a
à résoudre le triangle pcMe-zénilh-aslre V7»E (Ji^. 109), connaissant la dis-
lance polaire PE — 0, la colatitude PZ = X et l'angle horaire ZPE = iH.
Il s'agit d'ublenir la distance zénithale ZE — 5 et Tazimut BZE = A, ou
>ou su|)plément PZE (').
On peut, pour elToeiuer celte résolution, appliquer le procédé de
Towson, qui a déjà donné lieu au\ tables de Lord Kelvin (Sir William
Tliom>on) et qui consiste à mener par le point E le grand cercle EB nor-
mal au méridien PZ.
I ' • On trouvera plus loin ( n"* \'1\) un abaque pernietlaDt de résoudre tous les
ras possibles relatifs aux triangles sphériques.
(-) Annales hydrographiques., i\)>..
(') C'est cet angle que, dans leur Mémoire, MM. Favé et Rollet de PIslc re-
présentent par \z.
SÏSTbXES DE DEUX ÉQUATIONS- 35l
n»-it triangle rectangle PBE nous pouvons, connaissant à et Ai, cqI.
PB == m el BE = n. C'est ici le troisième cas de résolution, et, en
1
.0
=-*^^
:^^^^^
i
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5 86
î-
1
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1
=+-
f--M^
t
:
,1,.:-
ht^T-
-^P
^
i
reportant au tableau ci-Ucssus, nous voyons qu'il suffit de prendre
que l'abaque donne
•loi CHAPITRE IV.
Nous connaissons alors, dans le triangle rectangle ZBE,
BE = n et ZB -^ m — X,
et nous devons calculer z et A. C'est ici le deuxième cas de résolution
Fig. iot>.
et le même tableau nous montre que pour
«ï -- /i, aj— m — X,
Tabaquc donne
«3-^ ;:,
a; - A.
lin résumr, rem])loi <le Tabaque pour obtenir z et A, connaissant o, M et
X, «iera le suivant :
Ayant pris le point de rencontre des courbes «3=:: o et «4= M, on
descend sur l<i verticale de ce points au point dont la distance au
premier y comptée sur cette verticale, est égale à X. Les deux courbes
passant par ce nouveau point donnent a^^rr. z et a^ — A.
Kn prenant sur les axes Ox cl Oy des échelles de 9.""" pour io\ et, tra-
çant les courbes de 10' en lo', on obtient facilement l'approximation de la
minute qui suffit pour les besoins delà navigation. \^î\ Jig. 110 reproduit,
à grandeur d'exécution, un fragmentde 10" carrés de l'abaque de MM. Pavé
et Rollct de l'isle. L'interpolation parallèlement aux axes s*opère au
moyen d'un transparent sur lequel un carré de 1° de côté est subdivisé en
carrés de 10' de côté.
Pour les différciits usages auxquels cet abaque peut se prêter pour les
besoins de la navigation, nous renvoyons au Mémoire des auteurs où la
(jucstion est traitée dans les plus grands détails.
SYSTËHER DE DEUX EQUATIO.NS. ioi^
a° Abaque des formules de Fresnel pour la réjlexion vitrée ('). —
Ces formules dtfinissent les racines A ei k des coeffirienls de réilexion h*
t A' de la manière suivante :
(I) Cooatruit par le tapiiainc Lafa; [Journal de Physique théorique et
appliquée, î* série, t. VIll, p. 96; 1899).
0.04
CHAPITRE IV.
Pour construire Tabaque de ce système de deux équations, le capitai
Lafay les a d'abord mises sous la forme
o
d')
— COS* I I
(n*— 1) I
m'
-o,
O
1
(■>.')
O — cos* i I I
m)
I
-o.
Suivant ce qui a été vu au n* 61, ces équations expriment respecLî
vcment ralTgnement des points
(a: — o, la: = /, , \i — h/
(jrz-. -/'cos»i\ } ^r:=/'(n«— i), iy — o,
et
1 X =-. Il
a: — o, i X — in^j
y - — i'cos^iy \ y — l\n> — i), f j^ = o.
-(f^)^
Le premier abaque se composera donc des trois systèmes rectilignes de
Fig. III.
ly
l'Ois
_t 0
Cch«IU commune à A^ «t ^
points (e), in) et {h)\ le second, des systèmes rectilignes (i) et (A* iden-
SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS.
200
.1
I
«les aux systèmes (i) et (h) du précédent et avec lesquels, par consé-
<:Dt, on pourra les faire coïncider, et du système curviligne (n)i dont le
pport est une parabole.
i
i
!
I.
-i
_. j<
--!
-5
»-!
.1
«-
^
-S
1 •»
î
L*abaque de Tensemble des deux équations comprendra donc une échelle
rectiligne (i) portée sur Oy, une échelle rectiligne, à la fois (h) et (X)^
portée sur Ox, une échelle rectiligne (n), portée sur une parallèle à Oj\
256 CHAPITRE IV.
pour le calcul de h, et une échelle curviligne (/i)i, pour le calcul de k (*).
En prenant /' — 2/, M. Lafay a obtenu un abaque dont la disposition est
représentée par \dL fig. m. Sur cette figure où les points (o,5), (i), (i,5)
et (-2) de l'échelle curviligne ont été marqués, on peut voir que les divi-
sions de cette échelle, très serrées aux environs du point (o, 5), s'espacent
beaucoup entre (1,')) et ('i). M. Lafay lui a dés lors appliqué le procédé
de transformation homographiquc décrit au n° 62 (fig* 36, 56 bis et 57),
et dont il est lui-même l'auteur. La droite A choisie comme devant titre
rejelée à l'infini est tracée sur la yî^. ni.
Les formules de transformation obtenues comme il a été dit à la fin du
n° 64 sont ici
lox -\- Zy — 3o \ox -h 3^ — 3o
L'abaque transformé est représenté par W/ig. 112.
Comme les valeurs de h^ et de k^ ne sont pas moins utiles à connaître
que celles de h el de X-, on a accolé à l'échelle de {h) et {k) celle de (/i*)
et (A-2).
Par exemple, pour i — 36**, n = 1,68, l'index, mené par le point i = 36**,
et successivement par les points /i = i,68 de chacune des échelles (/i),
donne
A* — o,io3 et A**— 0,034.
II. — Calcul des profils de remblai et de déblai (*).
101. Généralités. — Les équations qui s'oflVent dans le calcul
des profils de remblai et de déblai rentrent dans les types
(^) [/i(ai)J"'»f/2(a,)]"''-/4(aO.
Pour représenter la première de ces équations par trois systèmes
recti lignes, on posera, en représentant par U, V et W trois fonc-
tions linéaires quelconques en x ely (3), soit
^^) /i~Y» •^*"'tJ' /5=Y'
( ') Cet abaque à (|ualrc échelles semble, au premier abord, appartenir à la ca-
tégorie des aba(iues superposés (n" 99); il n'en est rien. Kn réalité, il s'agit ici
«le deux abaques accow/?/e.v par l'échelle {i), attendu que la seconde échelle
commune se rapporlr, pour l'un et pour l'aulrc des deux abaques réunis, à des
variables différenlcs h et k.
C') 0.19.
("^) Il va sans dire que ces fouctions linéaires doivent être telles que leurs quo-
tients deux à deux ne se réduisent pas à des constantes.
SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS.
267
soit
(4)
/i =
U
._ V u
Afin d'employer pour le second abaque au moins un système de
lignes cotées commun avec le précédent, nous écrirons l'équa-
tion (2) ci-dessus sous la forme
m.
(^')
/i(«i)r/î(«i)]'"'=[/4(a4)]"".
Nous voyons alors qu'il suflit, pour que le second ne se compose
que de lignes droites et soit accouplé au premier par la variable
ai, de poser, en appelant T une nouvelle fonction linéaire, soit
(5)
' T
soit
(6)
J 1 ~ x'
Cela fait donc, dans Thypothèse de l'accouplement par la va-
riable ai , quatre variantes de la solution qui peuvent être résumées
dans le tableau ci-dessous :
rM
4*
variante, variante, variante, variante.
i*' abaque ....
V'
2' abaque { /7" =
m,
m,
I
/-.=
U
V
w
w
u
u'
V'
V'
u
V
w
w
V'
u
V
u
w
V
w
u
w
u
V'
T
T
V'
f )
u
V'
V
w
u
u
V'
T'
u
t
Si l'on voulait que les abaques fussent superposés, il faudrait,
clans le groupe (3) ou le groupe (4), prendre les deux premières
M. D'O. 17
258 CHAPITRE IV.
équations, ce qui donnerait, pour le système (^4), soit
/^ ^ ■ - V'^ — ' ^""'^ -^^ ^ T^^; '
et Tune ou Taulre de ces fonctions rationnelles ne sauraient se
réduire à des fonctions linéaires que pour m^ = m2, auquel cas on
retomberait sur la circonstance examinée dans la Remarque 1
du n" 99.
Donc, la superposition entraîne dans ce cas la nécessité
d'admettre un système de lignes cotées non droites, ce qui met
obstacle à l'application du principe des points alignés.
Mais l'anamorphose logarithmique (n® 28) permet de tourner la
difficulté. 11 suffit, en effet, d'écrire les équations précédentes
sous la forme
log/,--log/|r=log/3
et
pour qu'en posant
m, log/i -t- /w, log/j = log/iy
log/i=M,
log/,-N,
log/3-M-+-N,
M et N étant deux fonctions linéaires quelconques en x et y, on
ail deux abaques supcrposablcs, puisque les lignes cotées (ai) et
(a2) y sont les mêmes, et, de plus, uniquement composés de
droites, ce qui permet de les transformer en abaques à points ali-
gnés.
I^es principes qui viennent d'être exposés contiennent la théorie
de tous les abaques qui ont été et pourraient encore être proposés
pour le calcul des profils de remblai et de déblai. Nous allons nous
étendre sur ce sujet non seulement en raison de l'intérêt intrin-
sèque qu'il présente pour les ingénieurs, mais encore parce que
c'est précisément à son occasion que sont nées la plupart des mé-
thodes d'où est sorti le germe de la Nomographie. On va voir avec
quelle simplicité la synthèse réalisée dans ce corps de doctrine
permet de retrouver les multiples solutions du problème, dues à
diflerenls auteurs, et d'en faire une comparaison critique.
SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS. 269
102. Rappel des formules. Distinction des cas, — Représen-
tons par
z la cote du sol naturel, prise avec son signe, par rapport à la
plate-forme (remblai, signe — ; déblai, signe H-);
ô la déclivité transversale (tangente de l'angle sur l'horizon) du
sol naturel, prise avec le signe -+- ou avec le signe — , suivant
que, à partir de l'axe, le sol est en rampe ou en pente ;
b la demi-largeur de la plate-forme ;
V cette demi-largeur augmentée de la largeur du fossé;
bf la distance à l'axe de l'arête inférieure et intérieure du fossé;
/ le talus des remblais ;
£' le talus des déblais ;
h la profondeur du fossé ;
F l'aire de la section du fossé;
o son périmètre (somme de la largeur au plafond et de la longueur
des deux talus);
R l'aire du remblai ;
D l'aire du déblai ;
€ l'emprise ;
/ la longueur du talus.
Posons, en outre,
bt = a,
b't'=a\
bu
= c,
b'^t'
v/i-T-i«=x, /h-/'î=t',
2
6t = P,
- F = c',
6'x'-<p = P',
et considérons les quantités e, À, t, s', )/, ff', v définies par les for-
mules
(■2)
(3)
<4)
a — z
' = 7^1)'
X -+- p a — z
ff H- C =
T =
i{t-\ 6)'
z*
(0'
(3')
x' "" /'— 0'
{a'^zy
2(^—6;
I h I désignant la valeur absolue de Q.
26o
CHAPITRE lY.
Remarquons d'ailleurs que les formules (i) et (3) d'une part,
(i') et (3') de l'autre nous donnent encore
(3 bis)
t(a — z)
an- c = — 1
7 -h c = '
•2
Tous les cas à considérer sont alors au nombre de six, pour
lesquels les demi-proGls ont été représentés sur \difig> 1 13, et les
Fig. II 3.
VI
résultats relatifs à ces six cas peuvent se résumer dans le tableau
ci-dessous (*) :
I. (- <o, z-^f^-^h <o) :
e = e, / = X, R — a, D — o;
e = £, / = X, R — <T -4- Y> D = y;
(') Nous renvoyons pour les dcmonslrations ù notre Mémoire 0.19 d'où est
extraite la matière de la présente section.
SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS. 26 1
III. (5>o, ^-f-6B>o) :
c = £', / = X', R = o, D = (i';
IV. (z <o, ^-4-66>o) :
«
V. (-S < o, 5 -4- 66 < o, 5 -4- ^>'e -h /i > o) :
VI. (^ > o» 5 -H 66 < o, ^ -f- 6'6 -4- A > o) :
e = e', / = X', R=<n-Y, D = ^'-f- cr-f- y-
La distinclion des six cas prend une forme plus, frappante, grâce
à la représentation graphique suivante, proposée par Lalanne.
Les seuls éléments variables d'un profil à l'autre sont la cote z
et la déclivité 0 du sol. Si ces deux quantités sont prises comme
coordonnées rectangulaires d'un point, ce point définit complè-
tement le demi-profil correspondant.
Si nous faisons varier z de — loà -|- lo etOde — o,25à 4-0,25,
le point figuratif de chaque demi-profil se trouve à l'intérieur du
rectangle BCEF {/ig^ ii4) construit avec un module de 5o"™
pour l'axe des x et de 5™"* pour l'axe des y.
Si Ton se reporte au tableau ci-dessus, on voit que les limites
correspondant aux diverses conditions qui servent à distinguer
les cas sont données par les droites ( * )
z = o (AD),
5 + 66 = 0 (HG),
5_k6'6-4-A = o (Kl).
Il en résulte que chacun des six cas est caractérisé par la
position du point figuratif à l'intérieur de l'un des polygones sui-
vants :
I DJIFE
II DJK
III OABGH
IV GAG
V OGIJ
VI OHKJ
(') Pour la construction de ces droites sur \di fig. ii4» on a pris 6 = 5",
b" = 5",5, h = o",5, données qui se rapportent au profil type adopté plus loin.
369
CBAPITIB ir.
Ayant, par ce mojen graphique, tlélermiaé le cas auquel,
rapporte un dcmi-proGl donne, on voit que 1» marche à sixk. <
pour le calcul est donnée par le tableau ci-dessus.
Supposons, par exemple, que l'on se trouve dans le cas IV. On
calculera e' par la formule (i'). À' par (a'), assoit par (3'), soîl
par {3'bis), t' étant maintenant connu, et -[' par (4)- Les quantités
cherchées, qui sont, dans tous les cas, e, /, R et D, auront alors
les valeurs données par la quatrième ligne du tableau ci-dessus.
103. Abaques d'entrée et de renvoi. — La solution nomo-
SYSTÈMES DB DEUX ÉQUATIONS. 203
graphique du problème se réduîl donc à la mise en abaque des
formules faisant connaître e, X, <t, e', Vj ^ et y.
Observons tout d'abord que si Ton rapproche les formules (i)
et (a) donnant e et X en fonction de z et 9, on voit que la
Remarque I du n° 99 leur est applicable, c'est-à-dire que l'abaque
faisant connaître e en fonction de ^ et 6 fera également connaître X
moyennant une seconde graduation inscrite à côté des lignes (s).
Même remarque en ce qui concerne les formules (i') et (a'), ce
qui nous permet, dans l'exposé qui suit, de négliger les formules
( 2) et (2'), étant entendu que, une fois les éléments cotés (e) ou (s')
construits, ils recevront une seconde graduation appropriée à ).
ou V, graduation qui se déduit d'ailleurs de la précédente par la
formule
A — SX — P
ou
Considérons alors le système des équations (1) et (3) faisant
dépendre e et <j de ^ et 0. Nous pourrons toujours, par un pro-
cédé quelconque, construire sur une même feuille pour ces
équations des abaques indépendants, accouplés ou superposés
(n** 99), dont l'ensemble constituera ce que nous appellerons
V abaque du remblai ou abaque R.
Au lieu du système des équations (i) et (3), nous pourrions
tout aussi bien considérer celui des équations (i) et (3 bis) qui lui
est équivalent, et nous aurions ainsi un abaque "Rbis,
De même, le système des équations (1') et (3'), ou (i') et Ci' bis),
donnerait Vabaque du déblai D ou D bis.
Enfîn l'équation (4) peut se traduire en un abaque dit du
terme complémentaire ou C.
(iCS divers abaques étant ainsi défînis, il suffit de jeter les yeux
sur le tableau du numéro précédent pour être conduit à la règle
qui suit :
On lit, dans chaque cas, -sur un premier abaque y dit rf^Ew-
xRÉE, l* emprise, la longueur du talus et une portion d^aire de
même désignation (R ouH) que C abaque considéré, La por-
tion restante de cette aire se lit sur un ou deux autres abaques,
dits de RENVOI. Cette portion restante est précisément égale à
l^ aire de désignation contraire à celle de C abaque d'entrée.
264 CHAPITRE IV.
Voici d'ailleurs, pour les divers cas, le tableau des abaqis.
d'entrée et de renvoi :
Abaque Abaque
Cas. d'entrée. de renvoi.
1 R néant
Il R C
lîl D néant
IV D C
V D R
VI D R et C
II faut remarquer d'ailleurs, comme le montre clairement lae^
y?^. 1 14, que les cas I et III, pour lesquels la lecture sur Tabaque
d'entrée suffit, sont de beaucoup les plus fréquents.
Nous sommes donc amenés finalement à construire trois abaques
dits de remblai (R ou R 6/5), de déblai (D ou D 6w), et du
terme compU mental re (C).
Pour ce dernier, nous n'avons ici rien de particulier à dire,
l'équation (4) étant d'un type dont nous nous sommes déjà
occupés à plusieurs reprises (n"* 26, 28, 66).
D'autre part, ce que nous dirons de l'abaque du remblai s*éten-
dra immédiatement à celui du déblai, attendu que d'un cas à
l'autre les équations représentées sont à très peu de choses près
les mêmes. Cela va nous permettre, dans la revue que nous allons
passer des divers types d'abaques qui ont été proposés, de nous
borner à ceux du remblai.
lOi. Différents types d'abaques. — Reprenons les équa-
tions (i) et (3) dont la représentation simultanée constitue
l'abaque R, savoir :
/ a — z
(i) 7 -r- c = - . , -r-'
lillcs se rattachent immédiatement aux équations du n" 101 si
Ton fait les identifications
ai - z^ «2 " f^ «3 î» 3t4 -7 j;
fi-a-z, fi = -;7jj' /a £, /4-2(ff4-c);
S¥STÈMES DE DEUX ÉQUATIONS. 205
Oq voit donc, en premier lieu, ainsi que cela a été démontré
sfcxi n° 101, qu'elles ne sauraient, écrites sous cette forme, donner
l£eu, en raison de l'inégalité de mi et ma, à des abaques super-
osés sans qu^on y admette un système de lignes cotées non
roi tes.
On sera donc conduit à les représenter au moyen d'abaques accou-
"plés. D'après ce qui a été vu au n** 101, V accouplement par la
r^ariable z pourra se faire suivant Tune des quatre variantes
i**" abaque
1* abaque.
1" var.
2« var.
S* var.
4* var
a — ;; —
U
U
V'
U
V'
U
V'
I
w
u'
w
V
w'
V
w'
e =
w
V'
w
u
w'
u
a — z =
u
V'
u
u
V'
u
v
1
T
Û'
V
T
V
v/^-+-6
t'
2((J -h C) —
T
V*
U
T'
T
u
T'
T, U, V, W étant des fonctions linéaires en x eiy. Nous repré-
senterons l'abaque résultant de cet accouplement par R;;.
Si l'on voulait faire V accouplement par la variable 6, ce qui
donnerait lieu à un abaque Re, il n'y aurait, pour conserver les
notations du n** 101, qu'à permuter ci-dessus les indices i et 2, ce
qui conduirait, dans le tableau précédent, à remplacer les pre-
miers membres par les suivants :
I*"" abaque...
Rô
2* abaque.. .
t-^6
(a-zy,
2(J-HC).
266 CHAPITRE IT.
De même, l'abaque R bis correspondant au système des équa —
lions (i) et (3 bis)^ qui sont
(i) f-he= — -»
(3 bis) d -f- c —
e
(a — z)z
donne un abaque Rt'', avec accouplement par la variable z^ dont*
les quatre variantes sont données par le tableau ci-dessus, où Tonj
remplace les premiers membres par
a — 5,
i**" abaque... { -»
R?^*
2* abaque. . .
£
a — Zy
e
— *
2
et un abaque Rg , défini de même par
I*' abaque... '
1 et — <C|
t-^- 0;
ff
9/ abaque... ' -^
'a — 5
I
3 -+- C
Pour avoir des abaques superposés nous devrons, comme on
l'a vu au n® 101, recourir à une anamorphose logarithmique en
écrivant les équations (i) et (3) sous la forme
log(a -z) — log( / -^ 0) = loge,
2log(a — z) — log(/ -i- 0) = log(T -+- c) -+- log2,
et posant
log(a —;;):.-- M,
log(/-^e) = N,
SYSTÈMES DE DEIX ÉQUATIONS. 267
d'où
loge = M — N, log(cn-c) -f-loga = 2M — N.
Ces quatre dernières équations, où M et N sont des fonctions
linéaires en x et jk^ définissent les quatre systèmes de droites (>s),
^0), (s) et(o") de Tabaque à superposition. En y remplaçant x et y
par les coordonnées parallèles u et ç^, on substitue à ces quatre
systèmes de droites quatre systèmes de points.
Pour les raisons déjà dites (n** 56), c'est ce dernier type d'a-
baque qu'on devra préférer. Aussi nous y arrêterons-nous davan-
tage (n®* HO, m et H2). D'ailleurs, en outre des avantages
signalés à l'endroit cité, l'emploi des points alignés offre encore
ici, comme on le verra plus loin, celui de permettre de compléter
l'abaque par un dispositif fort simple grâce auquel, au moment
même de la lecture, on est fixé sur le cas dans lequel on se trouve
sans avoir à recourir à la /ig. ii4, et l'on connaît, s'il y a lieu,
les abaques de renvoi correspondants.
Nous allons toutefois montrer comment les autres abaques qui
ont été proposés pour le même objet rentrent dans les types géné-
raux qui viennent d'être décrits.
iOS. Abaques superposés à graduations algébriques. — Ce
sont ceux qui sont obtenus sans anamorphose logarithmique.
Nous venons de voir qu'ils ne sont susceptibles de superposition
qu'autant qu'on y admet un système de lignes cotées non droites.
Il est très remarquable que le premier en date des abaques de cu-
bature, celui de Davaine (*), appartienne précisément à ce type-
là. Il est constitué par les systèmes de lignes cotées {^)
(z) a — z = Xj
(6) ;_^e = -,
y
xy
(<J) (T-f- c = --,
2
(*) Mémoires de la Société des Sciences de Lille, i845.
(') Ici, comme dans toute la suite de ce Chapitre* on a, pour simplifier l'écri-
ture, fait abstraction des modules. II suffît, dés lors, de considérer, dans les équa-
tions des diverses lignes cotées, x et y comme les rapports respectifs de l'ab-
scisse et de l'ordonnée aux modules correspondants.
a68 CBAPITHE IV.
ce qui donne hjlg. 1 15 {')où les arcs de courbes appartiennenl
à des hjperboles ayant Ox el Oy pour asymptotes-
Suivant la remarque faite au début du n° 103, il suffit de mu-
lir les droites (s) d'une seconde graduation définie par
pour avoir les valeurs correspondantes de ).. Cette observation
serait à répéter pour tous les abaques suivants.
106. Abaques accouplés ('). — Nous n'avons pas, parmi les
abaques counus, rencontré un seul exemple d'abaque du tjpeB:
Type Ro- — Si, dans la première variante de ce type, on prend
U -- I , V - X, W -- ^, T ~ a^,
(') Celle (ieufi-S a
nqucl
c doit Hm considârtic que c
(') Parmi les abaques donnés en exemples dans ce paragraphe, les abaques
SwitLonski et Paulin sont les seuls sur lesquels l'accouplement tel qu'il rient
rl'élrc diillni ail cLi! réalisé par leurs auteurs. Pour tous tes autres, les deux
abaques ont clé construits séparénienl.
STSTËHES DE DEUX ÉQUATIONS.
a obtieot les droites cotées
qui déânissent uq abaque de M. Massau ('). Les axes des x des
deux abaques étant mis en coïncideuce el les axes des y dans le
prolongement l'un de l'autre, on obtient la disposition de la
fig. I i6.
Deux autres abaques du même auteur dérivent de la quatrième
(') Ann. de l'Astoc. des lngénieur$ $orlU des Écoles spéciales de Cand
(iH8l) : Hémoire sur l'Intégration graphique (Lii. III; n" 302 et 2121).
'iJO CHAPITRE IT.
variante du ijrpe Rg avec les parLÎcularisatîons
et
U-
Type Rî". — Si, daos la troisième variante de ce type, on
prend
1 obtient les droites cotées
STSTËHES DE DEUX ÉQUATIONS. 37 1
|w définisseal encore un abaque de M. Massau (>), représenu^
>«r \&Jig. 11-,
Si l'on porte les mêmes valeurs particulières de U, V. W et T
tans la deuxième variaote, ou si l'on faft dans la quatrième,
U=*, V=^, W = i, T = i,
QQ obtient encore deux abaques proposés par le même auteur.
Sur l'abaque de \ifig. 1 17 (comme d'ailJeurs sur tous ceux où
interviennent des radiantes) on peut, suivant la remarque faite
au n° 55, effacer les droites issues de l'origine, pourvu qu'on les
remplace par une droite pivotante autour de ce point, en conser-
vant un point de chacune d'elles muni de sa cote.
Dans ces conditions, rien n'empêche de replier la partie infé-
rieure de la Jig. 1 17 sur la partie supérieure, ce qui donne lu
fig. 118. Tel est l'abaque qui a été proposé par M. Switkowski(^).
Kig. 118.
rn fv, ■ iW-fî
~t^-
i
3^r-
-L
nr-^-^
On voit que le mode d'emploi de cet abaque est le suivant :
La droite pivotante étant amenée à passer par le point 0
coupe ta verticale z en un point dont l'horizontale donne e,
sur l'échelle de gauche, et X. La droite pivotante étant alors
amenée à passer par le point e de l'échelle de droite coupe la
même verticale z en un point dont l'horizontale donne a.
On a indiqué au pointillé sur la fig. 1 18 les deux positions de
la droite pivotante pour s ^ — 2,5, 0 — — o, i ,
Type Rj". - Avec
U -I, \.^x, yN=y--a, Tr-^ + c.
la deuxième variante donne
On obtient ainsi l'abaque construit par iM. Paulin {■) {fig. 119)-
^i
#î^
S|J:
SÏSTËaES DE DEUI ëquatious.
3,3
la quatrième variante donne de même
C'est l'abaque qui a été proposé par M. Lanave ( ' (Jîg. i ao).
(<) Itevue pratique des Travaux publia, juillet iSgi, p. ij3.
M. D'O.
37^ CHAPITRE lY.
107. Abaques indépendants. — On peut enfin renoncer à
accoupler les abaques en vue de la réalisation d'un autre deside-
ratum .
Nous allons en iodtcguer un exemple dû à M. Rouît ( ' ), où l'on
s'est proposé de séparer dans chacune des quantités à calculer li
partie qui varie avec ia largeur de la plate-forme de celle qui eo
est indépendante, de façon que le même abaque puisse servir si,
le long d'un même tracé, la largeur de la plate-forme prend suc-
cessivement plusieurs valeurs.
Fifi. ,1..
..,.■-?■:..,.
y
(E,l
3 t S
M 1 1 1 M {'•
" Il
MJJM IL
ni L
^
1 !■■;, ! n : 1
-^
y-.
■"-
-.:-m
w
i .( ;J, » -l,.t
"iî'-
La formule (i) (n'IOS), oîi l'on remplace a par sa valeur, peut
s'écrire
Construisons à part les abaques des formules
Il suffit pour cela de prendre pour la première les droites cotées
pour la seconde
(I) Mémoire »utographiii; Bordeaux, 1877. Ce procédé est reproduit dins II
Statique graphique de Fa varo- Terrier, t, II, Calcul graphique, p. 378. M. Rouit
indique plusieurs variaiites de son abaque. Nous noua contentons ici d'ea rcpro-
SYfiTfcXKS DE DEUX tQCAJtOKS. 3^5
On peut construire ces deux abaques sur la même feuille, les
droites (ei) et (S) de l'un coïncidant avec les droites (sg) et (0)
de l'autre. On obtient ainsi la ^^. 121.
Pour se servir de l'abaque, on prend les points de rencontre
de l'horizontale (0) avec les droites (b) et (s). Les cotes des ver-
ticales passant par ces points sont e, et e^. Il reste ensuite à faire
la différence algébrique
t = i, — s,.
De même, la formule (3 bis) (n° 102), où l'on remplace a et c
par leurs valeurs, peut s'écrire
-6)-
Construisons à part les abaques des formules
0,= — (t_A), ei a,= — .
Il suffit pour cela de prendre pour la première les droites cotées
(,.) x=<»„ (0 ^ = t, (6) r=^{y-b),
pour la seconde
(I,) 3: = »,, (t) y = i, (s) x= -j-.
On construira encore ici les deux abaques sur la même feuille
Fig. lia.
-»û-?-^*-a-y-i«_-a.
-"-"■"-f-? "l •? "l •'-^
'1 • 1 rènb 1 1 1 11 [
""J^ 1 ■■(-,
1
t ^--^''i^y'
"^ ■^
'
i: :^''"s?^
■^
^ j-'Z^
^
-<i ^., 't
^^^■.^^ i
^ V \ \
iM
•■ -i., '^ '
4
en remarquant que les droites (v|) et{e) de l'un coïncident avec
Jes droites (at) et (s) de l'autre. On obtient ainsi la_^^. 12a.
276 CHAPITRE lY.
L'horizontale (e) coupe les droites (6) et (;;) en des points doDt
les verticales ont pour cotes o-| et ors. Il reste ensuite à faire la dif-
férence algébrique
J = »! — ffj.
Remarque, — Si la largeur de la plate-forme ne reste pas la
même tout le long d*un tracé, elle n'y prend, en tout cas, qu'un
très petit nombre de valeurs différentes. Aussi Téconomie de
temps résultant de ce qu'on n'a à construire qu'une seule paire
d*abaques pour ces diverses valeurs nous semble-t-elle plus que
compensée par la nécessité de compléter, dans tous les cas, chaque
lecture par une opération arithmétique, fût-ce une simple addi-
tion.
Si Ton préférait construire séparément les abaques correspoo-
(lant aux diverses valeurs de la largeur de la plate-forme, de façon
à éviter cette addition complémentaire, il suffirait de modifieras
abaques précédents de la façon suivante :
Sur le premier abaque, le segment de Thorizontaîe (0), compris
entre la droite {z) et la droite (6), est égal à e. Donc,/>oar une
valeur fixe de b, la parallèle à la droite (6) menée par le pointde
rencontre delà droite (5) et de l'horizontale (0) est une droite (s).
On obtient ainsi un abaque constitué par les droites cotées
(w) x = zy\ (0) 7=-^-^-q' (e) bty=x-^z.
De même, sur le second abaque, le segment de l'horizontale (s),
compris entre la droite (5) et la droite (6), est égal à o*. Donc,
pour une valeur fixe de b, la parallèle à la droite (6) menée par
le point de rencontre de la droite {z) et de l'horizontale (e) est
une droite (7). On obtient ainsi un abaque constitué par les droites
cotées
(z) x~-y, (e) y = %y (a) —-^-^x-^-fs-^-—^
Pour déduire directement ces deux derniers abaques des équa-
tions (i) et (3 bis) il suffit de poser pour le premier
y y
S¥STÈMES DE DEUX ÉQUATIONS. 277
pour le second,
ay — iT ay — 2x
a — s = '- f fj-{-c='-^ 9 e = J'.
108. Abaques superposés à graduations logarithmiques. —
Nous avons vu au n® 104 que, pour avoir des abaques superposés
uniquement composés de lignes droites, il suffisait de construire
les droites cotées définies par les équations
log(a — «) = M,
log(^-4-e) = N,
loge — M — N,
log(ff-4- c)-h log2 = 2M — N,
OÙ M et N sont des fonctions linéaires en x eiy,
Lalanne, à qui est dû cet artifice, a fait connaître en i843 un
premier abaque (*) qui se déduit des formules précédentes
lorsqu'on y fait
Il a ensuite proposé un second abaque, d'une meilleure dispo-
sition, obtenu en prenant
2 -^
Les droites cotées de cet abaque ont alors pour équations
(3) 2log(a — z) = X -\-jr,
(6) \og{t-^^)=jr,
(s) 2loge = a7— ^,
(9) log(cn- c)-+-log2 = a:,
ce qui donne la disposition représentée par \^fig. i iS.
( ') ^. P. C, I*' scm. 1846. En réalité, les premiers abaques de Lalanne n*étaicDt
pas à superposition. Us ne donnaient que 9 en fonction de z et de 6. Ce n'est
qu'après la publication faite par Davaine de son abaque (n*> 109) où la superpo-
sition se rencontre pour la première fois, que Lalanne eut à son tour recours à
cet artifice, qu'il combina avec son ingénieuse idée de l'anamorphose logarith-
mique.
378 CBIPITRE IV,
En appliquant à CCI abaque l'artifice du transparent mobile
(n" 31), qu'il a précisément imaginé à cette occasion, M. Blum a
Fig. iiî.
obtenu l'abaque représenté par la fig. \i^ sur laquelle on a
marqué en pointillé, pour une position quelconque du transpa-
rent, les index Z, T, Ë, 5 correspondant respectivement aux
cchellc.(.-), (;),(<),(<').
Il va sans dire, comme on Ta déjà remarqué plusieurs fois, que
STSTÈMBS DB DEUX ÉQUATIONS. 279
la graduation (e) est doublée par la graduation (X), en sorte que
l'index E fait encore connaître cette dernière quantité.
109. Abaques hexagonaux, — Reprenons les équations (i)
et (3 bis) mises sous la forme logarithmique
log£ = log(a — z) — log(< -4- 0),
et
Iog((j-f-c) H- log-2 = 2log(a — z) — log(^ -h 6).
Chacune d'elles pourra être représentée par un abaque hexago-
nal, car elle est de la forme requise à cet effet (n° 32). Ils pour-
ront, comme les abaques ci-dessus, avoir en commun l'échelle (6),
mais non l'échelle (5), attendu que, les diverses échelles devant
être construites avec le même module, l'échelle (s) du second
abaque dérivera d'un étalon logarithmique (n° 6), double de celui
de l'échelle {z) du premier.
Les deux abaques ne pourront donc qu'être accouplés par la
variable 8. L'abaque ainsi obtenu est représenté par \di fig. i25.
Son mode d'emploi est le suivant :
Le transparent étant convenablement orienté, on fait
passer V index T par le point 8 et V index Z par le point z de
/'échelle {z) pour s. On lit alors sous V index E les valeurs de
£ et de X. On fait ensuite glisser V index T sur lui-même pour
amener V index Z dans la position!] ^ où il passe par le point z
de /'échelle (s) pour o-. On lit alors la valeur dessous V index E
venu en E'.
Ce dédoublement de la lecture constitue à ce dernier abaque,
par rapport au précédent, un désavantage que ne compense pas la
plus grande facilité de construction des échelles.
M. Lallemand, à qui est dû le principe de construction de cet
abaque, ne s'est occupé que du calcul de o- en fonction de z et
de 6. Il ne pouvait, par suite, être frappé de l'inconvénient que
nous venons de signaler, et qui résulte de la nécessité du calcul
simultané de z et de s.
Nous indiquerons enfin un artifice auquel M. Lallemand avait
eu recours pour tenir compte, sur l'abaque faisant connaître c,
9-So
CHAPITIB IV.
du terme complémentaire. Cet artifice pourrait d'ailleurs être
utilisé avec les types d'abaques précédents.
Fig. ia5.
(G)
»0.
: ?*
A tin couple de valeurs de z et 0 correspond sur le plan de
Tabaque une position du centre du transparent. Ce point peut
êlre dit le transformé du point qui, rapporté aux axes de la
JifT' 1 i4> 8^ pour coordonnées ces valeurs de ;; et 6. On peut ainsi
définir sur le plan de Tabaque la ligne transformée d'une ligne
tracée sur le plan de \difig, ii4 et notamment les transformées
(les lignes qui limitent les régions correspondant aux divers cas
(lu calcul des profils. On obtient ainsi, sur Tabaque même, la
rt'gion à l'intérieur de laquelle se trouve le centre du transpa-
rent, lorsqu'il y a lieu d'ajouter le terme complémentaire y, et l'on
peut, dans celte région, faire la représentation de ce terme com-
plémentaire en prenant pour (c) et (0) les systèmes de parallèles
engendrés par les axes du transparent.
STSTÈMBS DK DEUX ÉQUATIONS. 28 f
On obtient ainsi pour y un sj^stème de courbes cotées (*)
{fig. 126).
Dès lors, si le centre du transparent tombe sur la courbe (y), il
faut, à la lecture o- faite sous l'index E, ajouter la lecture y. Ce
Fig. 126.
système de courbes (y) a reçu de M. Lallemand le nom di échelle
cen traie additionnelle .
L'idée est assurément ingénieuse, mais il vaut mieux, en pra-
tique, tout en figurant les limites de la région pour laquelle doit
s'ajouter le terme additionnel, se servir d'un abaque de ce terme
construit à part. Cette construction n'a besoin, en effet, d'être
faîte qu'une fois pour toutes, puisque le terme complémentaire
ne dépend d'aucune donnée spéciale au profil type considéré; elle
ne comporte, en outre, que des droites parallèles, ce qui permet
de recourir encore à l'usage du transparent. Dans le cas contraire.
(') Cette façon de représenter y est une application immédiate du procédé
indiqué au n<* 18 {fig. ao), combiné avec une anamorphose.
a8a CHAPITRE IV.
les courbes (y), d'une construction assez longue, varient pour
chaque abaque particulier.
HO. A bague R à points alignés. — : Nous allons, au sujet des
abaques à points alignés, entrer dans de plus grands détails pour
les raisons données à la fin du n^ 104.
D'après ce qui a été vu à cet endroit, on définira l'abaque à
points alignés, pour le remblai ou abaque R, en reprenant les
équations du n" 108 et y remplaçant M et N par des fonctions
linéaires des coordonnées parallèles u et v.
Nous prendrons (*)
M = M, N = — V,
L'abaque sera alors constitué par les systèmes de points cotés (^)
(>)
log(a — 3) = u,
(9)
\og(t-h^)--v,
(e) et (X)
loge = log(X -4-P) — logT = u-i-v,
(»)
log(ij -1- c) -t- loga = 1U-+- V.
Les deux premières équations définissent des échelles logarith-
miques portées par les axes Au et Bç^; les autres, des échelles
logarithmiques portées par des axes parallèles à Xu et B^, le pre-
mier, Ct), mené par le milieu C de AB, le second, DÇ, mené par
le point D au tiers de AB à partir du point A {/ig* 127).
L'axe Ct) portera deux graduations, Tune définie par
l'autre par
( ' ) Nous posons V = — i», et non V = i^, pour que tous les points cotés corres-
pondant aux quantités à déterminer soient entre les axes sur lesquels sont pris
les points cotés correspondant aux quantités données, ce qui permet d'opérer
avec plus de précision que s'ils étaient en dehors de ces axes. Cet artifice est
indiqué dans la note au bas de la page i/|5.
(^) Même observation que celle qui est contenue dans la note (^) de la page 267,
en ce qui concerne les modules des axes A a ct liv, modules que Ton prend
d'ailleurs égaux entre eux en vue de rendre plus approché le tracé indiqué pour
la figuration graphique des cas, tant dans ce numéro que dans le suivant.
SYSTÈMES DB DEUX ÉQUATIONS. ^83
en représentant par S(e) et oÇk) les distances comptées à partir
(le C.
Fig. 127.
ZfLW/
De même, la graduation de l'axe DÇ sera donnée par
l0g(g-f-c)-Hl0g2
{7} — .
Limitation des échelles, — Si l'on se reporte au tableau du
n** 103, on voit que l'abaque R sert comme abaque d'entrée dans
les cas I et II, et comme abaque de renvoi dans les cas V et VI.
Si l'on se reporte ensuite au n° 102 et à \dLjig. 1 14) on voit que
l'on aura à se servir de cet abaque pour des valeurs de 0 quelconques
comprises entre les limites que l'on s'est assignées (ici — o,25 et
0,25), et pour des valeurs de z comprises entre la limite infé-
rieure — 20 et la valeur de z correspondant au point H, c'est-à-dire
o,256.
Soient
BT,= — log(/-o,25),
AZ| =log(a -f-2o),
BTj = — log(^-f-o,25), BTo = — log/,
AZj = log(a — 0,256), AZo=loga.
L'échelle de 6, dont le zéro sera au point To, sera limitée au
segment TiT2. L'échelle de z, dont le zéro sera au point Zo, sera
limitée au segment Z| Z,.
2S4 CHAPITRE IV.
Il sera bon d'ailleurs, sur l'échelle TiTj, d'écrire à côté des
deux parties correspondantes : terrain en pente (partie où 6 est
négatif); terrain en ram/>e (partie oiiOest positif). De même sur
Téchelle Z, Z2 : cote en remblai {ipAriie où z est négatif); cote en
déblai (pdLTiie où z est positif).
Puisque la droite joignant les points 2 et 0 correspondant aux
données est toujours comprise entre TiZi etT^Zj, il est inutile
de prolonger les graduations des axes CT^ et D2^ au delà de ces
droites.
L'axe D!^ des surfaces servant lorsque l'abaque est pris comme
abaque de renvoi, la graduation devra s'étendre depuis S|
sur T| Z| jusqu'à S2 sur T2Z2 ; son zéro est Sq.
L'axe Ctj, ne servant que lorsque l'abaque est pris comme
abaque d'entrée, portera pour e et pour X des graduations allant
du point E| ou L| sur T|Z| à un point qui sera déterminé plus
loin.
Il faut remarquer que la droite TqZo qui joint les zéros des
graduations de 6 et ^ coupe l'échelle de e au point coté 6, les
échelles de X et de o- en leurs points zéros.
Figuration des divers cas, — L'abaque sert pour l'entrée
(n" 103) dans les cas I et II, c'est-à-dire (n° 102) lorsque, z étant
(|uelconque,
z H- 6'ô -+-/*< O.
Clierchons l'interprétation géométrique de cette condition (*).
Si nous associons à chaque valeur de Q la valeur de z telle que
nous obtenons les positions limites de l'index. L'enveloppe de ces
positions limites est une certaine courbe dont il serait facile de
former Téqualion en u et v; mais cela est inutile. Pour la très
faible amplitude de variation de 6 (de — o,25 à o,25), on vérifie
graphiquement (^) que toutes ces positions limites passent très
( ' ) C'est là une application de ce qui a été dit à la fin du n" 07, page i5o.
(-) On pourrait se livrer à ce sujet à des calculs qui constitueraient un exer
cice d'application des coordonnées parallèles, mais qui seraient sans intérél
pratique, la vérification graphique étant parfaitement suffisante, étant donné le
l)ut qu'on se propose.
SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS. 285
sensiblement par un même point. Nous pouvons prendre pour ce
point l'intersection M des deux positions extrêmes T| P| et T2 Po,
données par
6 — — o,25, 3 = o,256* — h
et
6 = 0,25, 5= — o,256* — h.
Dès lors, la seconde condition pour que Tabaque serve pour
l'entrée montre que l'index doit passer au-dessus du point M.
Par le point M, menons en trait gras une parallèle aux axes dans
le sens négatif. Si l'index coupe cette droite, c'est qu'il passe au-
dessous du point M; par suite, l'abaque ne s'applique pas pour
l'entrée.
Pour cette raison, nous appellerons ce trait gras une barre-
d'arrêt, et nous dirons :
U abaque sert pour Ventrée (cas 1 et H) si t' index ne ren-
contre pas la barre d^ arrêt. On voit ainsi que l'échelle de e et X
doit être arrêtée à la droite T2P2-
Dans le cas II, c'est-à-dire lorsque 2 > o, il faut recourir
comme abaque de renvoi à celui du terme complémentaire. Or,
si ^ >> o, l'index passe au-dessous de Zo; et, comme il passe au-
dessus de M, il coupe nécessairement la droite MZq, que nous
tracerons en pointillé et que nous appellerons une barre de ren-
voi. Nous pouvons donc dire que, lorsque l'index rencontre la
barre de renvoi, il faut recourir à r abaque complémentaire.
Mode d'emploi de Vabaque, — Rapprochant ces remarques
de la règle générale donnée pour la lecture au n° 103, nous obtenons
cette règle très simple :
Si U index rencontre la barre d^ arrêt (trait gras), laisser
Vabaque et se transporter sur celui du déblai.
Si V index ne rencontre pas la barre d'arrêt, faire immé-
diatement la lecture de V emprise et de la longueur du talus.
Pour la surface du remblai : si V index ne rencontre pas la
barre de renvoi, faire simplement la lecture sur Vabaque; si
V index rencontre la barre de renvoi, ajouter à cette lecture la
lecture correspondante sur Vabaque dont le nom [terme com-
plémentaire) est inscrit à côté de cette barre de renvoi.
Le terme additionnel fait lui-même connaître la surface du
déblai.
286
CHAPITRE IT.
m. A baque D à points alignés, — Nous prendrons les mêmes
fonctions M et N que dans le cas du remblai. L'abaque sera, dès
lors, constitué par les systèmes de points cotés :
f=)
log(a'-t-;5) = u,
(«)
l0g(«'-e)=: — P,
(s')et(V)
logê'= log(X'-t- P') - l0gT'= U-^-V,
('')
log(ï'-t-c')H-log3 = 2M -t-P
A la valeur des constantes près, la graduation des axes Ai/, B(^,
Ciri, D!^, sera donc la même que dans le cas précédent {fig» 128).
En outre, le sens suivant lequel croîtront 5 et 8 sera renversé (*).
Limitation des échelles. — Si l'on se reporte au tableau du
n** 103, on voit que Tabaque de déblai sert comme abaque d'entrée
dans les cas III, IV, V, VI.
Si Ton se reporte ensuite au n** 102 et à \dijig, ii4î on voit
que Ton aura à se servir de cet abaque pour des valeurs de 0 quel-
conques comprises entre les limites que l'on s'est assignées (ici
— o , 25 et o , 25) et pour des valeurs de z comprises entre la limite
(') Il est bon, pour que ce sens reste le même lorsqu'on passe de l'un des
abaques à l'autre, de retourner le second bout pour bout, lorsqu'on le dispose à
côté du premier; c'est ce qui a été fait sur la Planche ci-jointe.
SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS. 287
supérieure 20 et la valeur de z correspondant au point I, c'est-
à-dire — (o,256"-f- h).
Soient
BT; =-log(^'-+.o,25), BT;=~Iog(/'-o,25), BTo=-log^',
AZ; = log(a'- 0,256'— A), AZ; = log(a'-i- 20), AZ^ = loga'.
L'échelle de 8, dont le zéro sera au point T^, sera limitée au
segment T', T'^. L'échelle de z, dont le zéro sera au point ZJ,, sera
limitée au segment Z\ Z'^.
Ici, comme dans le cas du remblai, on aura soin d'écrire à côté
des échelles correspondantes : terrain en pente, terrain en
rampe, d'une part, cote en remblai, cote en déblai, de l'autre.
Puisque l'index reste toujours au-dessous de la droite T^Z^, il
est inutile de prolonger les graduations des axes Cy) et D JJ vers le
haut au delà de cette droite.
Nous verrons plus loin comment ces graduations seront arrêtées
vers le bas.
Il faut remarquer que la droite TJ^ZJ^, qui joint les zéros des
graduations de 0 et de z, coupe l'échelle de e' au point coté b',
celle de X' au point coté cp, et celle de o- au point coté F(n° 102).
Figuration des divers cas, — L'abaque sert pour l'entrée
(n*» 103) dans les cas III, IV, V et VI, c'est-à-dire (n*» 102) lorsque,
z étant quelconque,
;5 H-^'ô 4-// > o.
L'interprétation géométrique de cette condition est la même
que dans le cas du remblai. Elle conduit encore à la considération
du point M donné par l'intersection des droites
T, P;(e = -o,25; z = 0,150"— h)
et
TiZ;(e = o,25; z = 0,250"— h).
Il semble, au premier abord, qu'ici le sens de la barre d'arrêt
doive être changé, mais il n'en est rien, car, ainsi que nous
venons de le voir, le sens de la croissance pour 0 et z est lui-même
changé (*).
(') Ne pas perdre de vue que, sur la Planche, le second abaque a été retourné
bout pour bout pour que le sens des graduations soit le même que sur le pre-
mier.
288 CHAPITRE IV.
Ainsi, V abaque sert comme abaque d'entrée si l'index ne
rencontre pas la barre d'arrêt.
Il s'agit mainlenant de caractériser les cas IV, V et VI, où
Tabaqne d'entrée doit être complété par certains abaques de
renvoi.
Ces cas sont séparés les uns des autres sur la Jig. 1 14 parles
droites AD, ou ^ =: o, à laquelle correspond sur Tabaque le poiol
ZJ,, et HG, ou
Exactement de la même manière qu^on Ta fait pour le point H,
à propos de Tabaque du remblai, on peut, vu la petite amplitude
de la variation de 0, faire correspondre à cette équation le point
N défini par les droites
TiZi(6 = o; ;:=o)
et
T',Q,(e = — o,2J; z=o,i5b);
et, suivant que z -r bh est ;> o ou <C o, l'index passe au-dessus
ou au-dessous de N.
Dès lors, les conditions résumées au n® 102 se traduisent
ainsi :
Pour le cas IV, l'index passe au-dessous de 'L\ et au-dessus de
N; donc, // coupe la droite NZJ,, qui est dès lors une barre de
renvoi au terme complémentaire (n** 103).
Pour le cas V, Tindex passe au-dessous de Z|, et au-dessous de
N; comme il passe au-dessus de M (sans quoi il couperait la barre
d'arrêt), il coupe la droite MN, qui est dès lors une barre de
renvoi au remblai (ibirl.).
Pour le cas VJ, l'index passe au-dessus de ZJ, et au-dessous de
N; // coupe donc à la fois les droites NZ (qui renvoie déjà au
terme complémentaire pour le cas IV) et MN (qui renvoie déjà au
remblai pour le cas V). Or, précisément, il j a, dans ce cas (ibid,),
renvoi à la fois au terme complémentaire et au remblai. Il suffit
donc de maintenir, pour ce dernier cas, aux droites NZ'^ et MN la
signification qu'on leur a donnée comme barres de renvoi pour les
cas précédents.
Mode d^emploi, — Finalement, le mode d'emploi de l'abaque
SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS. 289
sera exactement le même que celui énoncé pour Tabaque de rem-
blai, à la fin du n° 31, à cette différence près qu'ici V index peut
rencontrer à la fois deux barres de renvoi, et que, dans ce cas y
le terme additionnel à ajouter à la lecture faite directement
sur Vabaque, pour la surface du déblai, se compose de la
somme des lectures correspondantes sur les deux abaques aux-
quels renvoient ces barres.
Ce terme additionnel fait, d^ ailleurs, connaître la surface
du remblai,
112. Abaque C à points alignés, — L'équation qui donne ce
terme complémentaire étant de la forme (4) (n° 102), il suffit de
prendre les points cotés définis par
— loge = V,
On obtient ainsi un abaque très facile à construire, tittendu
que, si le point y, situé sur l'axe Cy) équidistant de Aw et Bi^ (C
étant le milieu de AB), est à la distance S(y) du point C, on a
* 2
On doit, avons-nous vu au n® 102, entrer dans cet abaque avec
la valeur absolue de 0; il n'y a donc pas lieu de s'inquiéter du
signe de Q.
De même, z n'entrant dans l'expression de y que par son carré,
il n'y a lieu de s'occuper que de sa valeur absolue.
Limitation des échelles, — L'abaque du terme complémen-
taire s'applique dans les cas II, IV et VI (n** 103), c'est-à-dire,
puisqu'il ne s'agit ici que des valeurs absolues de 0 et s, pour 0
compris entre o et o , 25 et z compris entre o et o , 25 6.
Remarquons que pour 8 = o ou pour 5 = o on a des points à
l'infini sur Bi' ou Aw. Il suffira de faire varier 6 de o,oi à o,25,
et ^ de o, I à o,256.
La limitation de ces deux échelles entraîne celle de l'échelle
centrale sur laquelle se lira y. Cette échelle doit, en effet, s'arrêter
à la droite qui joint le point extrême de l'échelle de 6 (o,oi) au
M. d'O. 19
290 CHAPITRE lY.
point de Téchelle de z défini par la plus haute valeur correspon-
dante de z, prise en valeur absolue
0,01 b'-\- h.
Les fig. 129, 129 bis et 129 ter gravées sur la Planche ci-
jointe représentent les trois abaques, dressés d'après la méthode
qui vient d'être indiquée, avec les données particulières :
6 = 5", ô'=6",5o, 6'=5'",5o, A=o»,5o,
t = - = o,ôG, /'= I,
d'où Ton déduit
F = o'»^5, <p = i",9i.
Le mode d'emploi de ce triple abaque peut se résumer de la
manière suivante :
Pour faire la lecture on tend une droite, dite index, entre la
cote, lue sur Taxe de gauche , et la déclivité, lue sur Taxe de
droite. On fait la lecture de chaque axe au point où il est ren-
contré par l'index en se conformant à la règle suivante :
On entre dans V abaque, R ou D, sur lequel l'index ne ren-
contre pas la barre d'arrêt, et on lit immédiatement l'emprise
et le talus.
Si Vindex ne rencontre aucune barre de renvoi, on lit, en
outre, immédiatement la surface, et celle-ci est de même dési-
gnation, R ou D, que V abaque dans lequel on se trouve.
Si l'index rencontre une ou plusieurs barres de renvoi, on
se reporte aux abaques indiqués par le mot écrit à côté de
chacune de ces barres (*). La somme des lectures faites sur
l'abaque d^entrée et sur les abaques de renvoi donne la sur-
face de même désignation que l'abaque d'entrée. La somme
des lectures faites sur les abaques de renvoi donne la surface
de désignation contraire.
Remarque. — 11 n'a été question jusqu'ici que du calcul d'un
demi-profil. Pour passer de la première moitié à la seconde d'un
(') Le tableau du n" 103 montre qu'il n'y a pas de renvoi dans les cas I et III,
m
■de beaucoup les plus fréquents, et qu'il n'y a de double renvoi que dans le cas VI,
rfl'un intérêt purement théorique, comme le cas V.
SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS. 29 1
profil donné, si l'on suppose uniforme la déclivité transversale du
terrain, il n'y a, en conservant la même valeur pour Zj qu'à chan-
ger 9 en — 6.
H3. Abaque à équerre, — L'équation (3) du n** 102 peut
s'écrire
(a — zy = 2(^H-e)(j-+-c).
Sous cette forme, on voit qu'elle rentre dans le type indiqué à
la fin du n** 95, et, par suite, qu'elle peut être représentée au
moyen d'un abaque à équerre.
Fig. i3o.
f-HH-\
II suffira de porter sur l'axe des x {/îg» i3o) les échelles
X =— 2((J-h c)/i,
et sur l'axe des y l'échelle
/i, /2, 1% étant des modules liés par la relation t\ = /, /j-
Plaçant alors le sommet O' de l'équerre au point coté z et fai-
sant passer le côté O' Y' par le point coté 6, on lit à la rencontre
du côté O'X' et de la troisième échelle la valeur de o-.
Tel est le principe de l'instrument construit par M. Siégler sous
le nom Ae projilomètre (* ).
(») A. P, C, p. 98; 1881, I" semestre.
292 CHAPITRE lY.
Pour le calcul de s, et, par suite, de X obtenu, comme nous
Tavons vu, en accolant une seconde graduation à celle de e, Fau-
teur a eu recours à Tingénieux dispositif que voici :
Fixons à l'équerre un axe NP parallèle à Oy et portons sur cet
axe l'échelle
le module /.| étant tel que, si d est la distance du point O' au point
N, on ait
La similitude des triangles NPO' et 00' M donne
ou, en vertu de l'égalité précédente,
a — z
e =
t-^O'
qui est bien la formule (i) du n° 102. /
Ce mode de représentation graphique de l'équation liant e à
cl 0 ne rentre dans aucun des tjpes d'abaques envisagés jusqu'ici.
On verra plus loin (n° 149) comment il dérive de la théorie
générale englobant tous les types possibles d'abaques.
114. Abaque tangentieL — Le procédé suivant, dû à M. Wil-
lolte (*), peut être rattaché au principe général du n® 58 dans le
cas, envisagé page 128, où à deux des variables (ici 5 et 0) corres-
pondent de simples points cotés, un de ces systèmes de points,
(6), étant d'ailleurs rejeté à l'infini.
Soit ZOAB le gabarit d'un demi-profil de remblai {Jig» i3i).
Pour achever de définir un tel demi-profil, il resterait à tracer la
ligne du terrain naturel.
Si l'on considère toutes les positions de cette ligne pour les-
quelles Taire o- du demi-profil conserve une certaine valeur con-
stante, ces positions ont pour enveloppe une certaine courbe qui
pourra être cotée au moyen de la valeur choisie pour o-,
(') i4. P. C, p. 3o3, 2« sem.; 1880.
SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS. SqJ
Il est très facile de déterminer la nature de cette enveloppe. A
l'aire de chaque demi-profil considéré on peut, en effet, ajouter
une constante, savoir l'aire du triangle que le prolongement
de AB ferait avec les droites OA et OZ. L'enveloppe est donc une
Fig. i3i.
Z'
courbe dont la tangente forme avec les droites OZ et AB, prolon-
î^ées jusqu'en leur point de rencontre, un triangle d'aire constante ;
c'est, par suite, comme on sait, une hyperbole ayant OZ et AB
pour asymptotes.
Si, pour un certain nombre de valeurs de <r (* ) comprises entre
les limites pratiques de cette quantité, on construit la portion
utile des hyperboles correspondantes, on obtient le système des
enveloppes (o-).
De même, toutes les positions de la ligne du terrain naturel
correspondant à une même valeur de e ou de X passent nécessai-
(') On peut choisir soit des valeurs de c croissant par échelons égaux, comme
on Ta fait pour les abaques précédents, soit les valeurs correspondant aux hyper-
boles qui, entre les limites assignées, ont leurs sommets (situés sur la bissectrice
de l'angle de OZ et de AB) séparés par des intervalles égaux, ce qui donne pour
i;es sommets une graduation isograde (n* 8). Ce second choix, proposé par
M. Willotte, donne un dessin plus satisfaisant. Le calcul des cotes se fait d'ail-
leurs très rapidement, puisque leurs différences secondes sont constantes.
294 CHAPITRE lY. — STSTÈMBS DE DECX ÉQCAT105S.
rement par un même point de la ligne ÂB, qui pourra être coté à
Taide de cette valeur de e ou de X. On obtient ainsi sur la ligne AB
à la fois une échelle (e) et une échelle (X).
Cette seconde partie de Tabaque rentre dans la simple applica-
tion du principe des points alignés, lorsque Tun des trois sys-
tèmes de points, ici (6), est rejeté à Tinfini.
Si dès lors on applique sur le tableau ainsi formé un demi-
profil dont trois des côtés s^appliquent sur OZ, OA et AB, le
quatrième, c^est-à-dire la ligne du terrain naturel, sera tangent à
une courbe (t) dont la cote fera connaître l'aire du demi-profil,
et passera par un point de la droite AB, dont les cotes e et X don-
neront la largeur d'emprise et la longueur du talus. Tel est le
procédé de M. Willotte, qui suppose, comme On voit, les divers
demi-profils dessinés sur un transparent pour être successivement
appliqués sur le diagramme. Afin de rattacher complètement ce
procédé aux abaques, il suffit de substituer au dessin des demi-
profils le dispositif qui consiste : i^ à graduer OZ suivant les
valeurs de z prises à partir du point O ; 2° à recourir à l'emploi
d'un transparent portant un axe O'Z' qu'on fera glisser le long
de OZ et un système de droites issues de O' et cotées au moyen
des valeurs de leur déclivité prise par rapport à la direction per-
pendiculaire à O'Z'.
Il suffira, pour faire la lecture relative à un demi-profil donné,
d'appliquer le transparent sur le tableau précédemment défini,
de façon que, Taxe O'Z' étant en coïncidence avec OZ, l'origine O'
se trouve sur le point de OZ coté z, La droite (6) du transparent
sera alors tangente à la courbe (o*) et passera par le point (s)
ou (X), dont les cotes sont les valeurs demandées pour les élé-
ments correspondants.
Il sera question plus loin (n° 133) d'un dernier procédé pour
le calcul des profils de remblai et de déblai, dû à M. Toulon.
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 296
CHAPITRE V.
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES (M-
I. — Éléments à plusieurs cotes.
A. — Droites a deux cotes.
115. Définition des éléments à deux cotes. Points condensés.
Echelles binaires, — Si nous considérons sur un plan deux sys-
tèmes de courbes cotées (a) et (P), dont Tensemble constitue ce
qu'on appelle un réseau, chaque point du plan pourra être affecté
des cotes des deux courbes, prises l'une dans chaque système, qui
s'y rencontrent. On définit ainsi un point à deux cotes (a, P).
C'est, on le voit, l'idée même qui conduit à la notion des coor-
données curvilignes dans le plan.
A travers le réseau de points à deux cotes qui vient d'être
défini, traçons un système simplement infini de lignes C. Chaque
point d'une de ces lignes, considéré comme appartenant au réseau,
sera muni de deux cotes, et l'ensemble (a, P) de ces deux cotes
pourra être affecté à la ligne sur laquelle le point aura été pris, et
qui sera dite, dès lors, une ligne à deux cotes (a, P).
D'après cette définition, la ligne C possédera une infinité de
couples de cotes, mais, lorsqu'une des deux cotes sera donnée,
l'autre en résultera.
En effet, se donner l'une des cotes, c'est se donner une courbe,
prise dans l'un des systèmes du réseau, sur laquelle devra se
C) Rappelons que par généralisation de plusieurs des méthodes indiquées pour
les équations à trois variables, nous avons déjà obtenu divers modes de repré-
sentation applicables à des équations à plus de trois variables, notamment aux
n- 37 et 70, et dans le § V du Chap. III.
trouver le point pris sur ta ligne C; ce point est donc déle^
miné ( < ), et la seconde cote est alors celle de la courbe du secood
sj'stème du réseau passant en ce point. Va fig. i3ï fournît la
Fig. i3i>.
représentation schématique d'un sj'Stème de ligoes C à deux cotes
De celte notion de lignes à deux cotes va maintenant découler
celle d'une nouvelle espèce de points à deux cotes. Coupons, en
effet, les lignes C par une ligne L quelconque. Le point de ren-
contre de chaque ligne C avec la ligne L pourra être affecté de
tous les couples de cotes afférani, en vertu de la définition précé-
dente, à la ligne C considérée, et, de même que précédemment,
la connaissance d'une des cotes d'un lel point entrainera, par
l'intermédiaire de la ligne C correspondante, celle de l'autre.
Chaque point de la ligne L pourra donc être considéré comme
provenant de la superposition d'une inOnilé de points a deux
cotes, comme si le réseau de ces points était venu, en quelque
sorte, se condenser sur cette ligne. Pour cette raison, nous appel-
lerons les points à deux cotes de cette espèce des points con-
<lensés.
Parmi les systèmes de lignes à deux cotes qui se rencontrent le
plus fréquemment dans les applications, il convient de distinguer
il part les svslLnies de droites parallèles. Considérons un lel sys-
(') H pt.urrail y i,
1rs cas ilR la praiiqut
supposerons toii-
fiQUtTIOKB A PLUS DE TROIS VARIABLES. 397
tème (A) i^fig- i33) et rapporlons-!e à deux axes rectangulaires,
l'un Ox perpendiculaire, l'autre O^ parallèle à sa direction.
Rapportées à ces deux axes, les courbes (a) et (p) du réseau
ont des équations telles que
(a) ?(^,r. P) = o,
et l'équation de la droite ^ passant par le point de rencontre de
ces courbes, obtenue par élimination de_j' entre (i) et {i)^ sera
(î) :r = ^(a, 3).
Ainsi le système (A) donne sur Ox les valeurs de la fonction
■^{a, p). Pour cette raison, l'ensemble qui vi,ent d'être défini
peut être dit Véchelle binaire de la /onction -{/(a, P) le hnf^
de Ox, suivant la terminologie de M. Lallemand { < ).
Réciproquement, étant donnée la fonction ^(a, ^), on peut se
proposer de construire pour elle une écbelle binaire. 1! suflira
pour cela de se donner une des deux premières équations, (i)
par exemple. L'étjuation (a) résultera alors de l'élimination de x
entre (i) et (3).
On reconnaît là un cas particulier du principe du n" 46.
Il va sans dire que, dans chaque cas particulier, la fonction •}/
(< ) M. Lallemand qui, dans son Mémoire autographié 9ur le» abaques liciago-
niDi, semble avoir, pour la première fois, fait un usage systématiiiuc des éclielles
binaires, déclare, dans la Note pri^liminaire de ce Mémoire (p. 7). être redevable
de leur idùc premirre â M. Prévôt, ch«t de bureau au Service du Nivclicnicnt
giinéral de la France,
298 CHAPITRE V.
étant donnée, on choisira l'équation (i) en vue de la plus grande
simplicité de construction possible. On s'attachera notamment,
chaque fois que faire se pourra, à n'avoir à tracer que des droites.
Si, par exemple, la fonction ^(a, P) est de la forme
on prendra pour équation (3)
(•3i) ^ = /[U(a)V,(P)-f.V,(p)],
/ étant un module quelconque, puis pour équation (i)
(II) ^ = /'U(a),
/' étant un autre module, parce qu'alors l'équation (2) sera
(|ui représente des droites.
Remarque /. — Les parallèles A pourront, dans tous les cas,
être tracées équidislantes, mais on pourra aussi se dispenser de
les tracer en les remplaçant, ainsi que cela a déjà été vu au n** 13,
par un index mobile maintenu dans une direction parallèle à la
leur. Dans ce cas, c'est Tensemblc des courbes (a) et (P) qui sera
dit réchelle binaire de la fonction i^ (a, jâ) le long de Ox,
Remarque II. — On peut, pour la plus grande commodité du
dessin, déplacer comme on veut l'échelle binaire dans la direc-
tion des droites A puisque, dans un tel déplacement, les points
du réseau qui sont primitivement sur une certaine droite A, ne
cessent pas de s'y trouver.
Remarque III. — L'échelle binaire (a, |â) étant accolée à
TaxeO^, les points de cet axe peuvent être considérés comme des
points condensés à deux cotes a et p, les couples de cotes de cha-
cun d'eux étant ceux afférents à la parallèle à O^ passant en ce
point.
IIG. Fractionnement des échelles binaires. — Le plus sou-
vent l'échelle binaire de la l'onction 'i'(a, J3) accolée à Ox,
sera consiituée par des parallèles à cet axe, cotées au mo^en des
valeurs de a,
(>) y=l-^
et par les courbes (P) dont l'équation est
Supposons que tes nécessités de l'application pratique que l'on
a en vue exigent que ces courbes soient construites jusqu'à la pa-
rallèle PQ à Oj: (Jtg. i34) correspondant à la valeur limite de a
Fi,. .Î4.
(cote du point B).
Puisqu'on est libre de déplacer une échelle binaire dans le sens
perpendiculaire à 0:r (liem. II du numéro précédent) on pourra,
par exemple, en coupant l'échelle le long de l'horizontale du point A,
milieu de OB, amener la partie supérieure de l'échelle à se super-
poser, par une translation parallèle à Oy, à la partie inférieure.
Dans ce déplacement la portion du système (p) comprise à l'inté-
rieur de MNPQ vient en M'N'P'Q' et les horizontales comprises
entre A et fi viennent coïncider respectivement avec celles qui
se trouvent entre O et A, Seulement, comme elles conservent
leurs cotes, chacune des horizontales de O à A présentera, sur
l'échelle binaire déGnitive, deux cotes distinctes, l'une se référant
aux points situés à l'intérieur de ORMN, l'autre aux points situés
à l'intérieur de M'N'FQ'.
L'exemple donné plus loin (n° H8, a") éclaircira ce point. C'est
3oO CniPITRE V.
d'ailleurs à cet exemple, dû à M. Chancel, que nous avons em-
prunté le principe qui vient d'être exposé.
H7, Échelles binaires accolées. — En reprenant chacun des
types d'abaques étudiés dans les Chapitres précédents et y rem-
plaçant les éiémenls, points ou lignes, à une cote qui y inter-
viennent par des éléments de même nature mais à deux cotes, on
obtient de nouveaux types d'abaques sur lesquels le nombre des
variables est doublé.
Par exemple, les abaques à échelles accolées (n" 9), lorsqu'on
y remplace les échelles simples par des échelles binaires, four-
nissent le type représenté par la fig. i35 où les deux échelles bi-
Fig. i35.
y^
^
\
\
V
T
/-
\,
\
\
\
\
-
-^
^
.
N
\
\
1
\
V
,
^
'
\
\
\
\
\,
\
<
^
\
\
\
\
\
s
\
-~
~
^
■\
\
s
\
\-
\
\
\
\
"^
<^
k
X
^
\
\j
^
\
\
-^
^
^
\
\
\
\
-
X
-)
—
-
\]
\
\
y
^
TT— ï
_
\,
b
Ï
naires, accolées par l'axe Oy, ont été écartées l'une de l'autre dans
le sens perpendiculaire à cet axe (').
On voit immédiatement que le même type d'abaque serait
l'emploi J'crlidlrs bhiiiircs accolera m vue il'aiiplicatîuns particulières. Cet emp!
se trouve indiqué, snus sa fiirme gtni-ralc, cNins le travail de U. Lallemand i
les abaques lieiagunaiix cii'i crt aulcur le jirésente comme dérivant de ce qv
iippcllc le principe de l'Ali ni ination grapliique et qui consiste i relier de<
abaques à truia variables par un système commun de courbes cotées.
■tans la déclaration déjà i-il«c (note an lias de hi p. :>97) de la Note priéliii
naire de son Miîmnire, il fait savoir que tVst M. Itcnard, agent du Service i
Nivellement t
I de
, qui
suggéré t'idde. Celle-c
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3oi
obtenu en partant de celui des abaques cartésiens à trois variables
(n** 16) et y munissant les parallèles à O^ de deux cotes au lieu
d'une par l'adjonction du réseau (a2, ^2)»
L'échelle binaire de gauche donnant
et celle de droite
on voit que Téquation représentée est de la forme
Le mode d'emploi d'un tel abaque est fort simple. Si, par
exemple, connaissant a^ ^1 et a2 on veut avoir ^29 on n'a qu'à
suivre l'horizontale passant par le point de rencontre de la verti-
cale a^ et delà courbe ^1 jusqu'à la verticale a2. La courbe passant
par ce nouveau point a pour cote ^2*
On obtient encore le même type d'abaque en remplaçant, dans
un abaque cartésien tel que ceux définis au n°16, une des échelles
simples portées sur O^ et Oy par une échelle binaire, ou, plus
généralement, par une échelle à points condensés.
Si l'on effectue ce remplacement pour les deux axes on a l'abaque
d'une équation à cinq variables (*).
On peut enfin introduire une sixième variable en munissant les
courbes de l'abaque d'un réseau de doubles cotes, ainsi qu'on l'a
expliqué au n^ 113. Si ces courbes sont des droites parallèles on
tombe sur un type d'abaque examiné plus loin (n° 119).
Exemple : Abaque de la prime des porte-mires du Nivellement géné-
ral. — hdi fig, i36 reproduit l'abaque qui sert, au Service du Nivellement
général de la France, à calculer la prime P d'un porte-mire en fonction
du nombre total de nivelées N, de la longueur totale nivelée L, et du
nombre de jours ouvrables co.(*). Cet abaque est du type cartésien à anamor-
d'ailleurs été antérieurement émise, et sous une forme plus générale, par M. Mas-
sau dans son Mémoire déjà plusieurs fois ci lé Sur l'intégration graphique
(Liv. III, Chap. III, § I, n- 183).
(') L'abaque des machines à fraiser que M. F.-J. Vaes a fait connaître en
iSg^^ dans le XVIII* Jaarverslag van de JVederlandiche Vereeniging van Werk-
tuig-en Scheepsbouwkundigen^ appartient à cette catégorie, les axes O^ et Oy
étant munis Tun et l'autre d'échelles à points condensés.
(^) Comme chaque opération comprend un aller et un retour, la prime s'ap-
plique, en réalité, à 3N nivelées réparties sur la longueur 2L; elle comporte, en
outre, le piquetage effectué par la brigade.
pour N et u, l'autre pour L et u). Les fonctions représentées le long de ci
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3o3
axes par ces échelles sont le nombre moyen journalier de nivelées n et la
longueur moyenne journalière /, dont les valeurs sont inscrites à côté des
a\es correspondants. Enfin la longueur moyenne d'une nivelée v, qui ré-
sulte de / et n^ donne lieu sur l'abaque à des droites cotées.
On voit sur la figure des traits interrompus qui correspondent à l'exemple
numérique
L = 46'"", N = 32T, (i> = ii,
pour lequel l'abaque donne
P = 7', 5o, / = 4""", 20, /i = 29, t' = 1 45™.
On peut présenter le principe des échelles binaires accolées
sous une forme plus générale. Supposons que l'équation à quatre
variables
F(oti,Pi,a„p,) = o
provienne de l'élimination de la variable y entre les deux équations
*(aiipi,ï) = o,
Ces deux équations seront représentables, indépendamment l'une
de l'autre, par des abaques cartésiens, avec ou sans anamorphose,
constitués chacun au moyen d'un système de lignes (j3) tracé sur
un quadrillage (a, y) que définiront une échelle (a) portée sur Ox
et une échelle (y) portée sur Oy. On pourra d'ailleurs toujours
adopter une même échelle (y) sur les deux abaques. Il suffira dès
lors de les accoler par leur axe Oy pour éliminer graphique-
ment la variable y et avoir, par suite, la représentation, par
deux échelles binaires accolées (ai, ^i) et (a^, ^2)7 de l'équation à
quatre variables ci-dessus.
Il y aura même des cas où il sera avantageux, en regardant, dans
ce qui précède, ai et cl^ comme une seule variable a, d'appliquer
ce mode de représentation à une équation à trois variables a, ^^
et ^21 en particulier lorsqu'il en résultera la possibilité de n'avoir
à tracer que des droites.
Lorsqu'il s'agira ainsi d'une équation à trois variables, on
pourra adopter, pour les deux abaques partiels (oc;^i,y) et
3o4 CHAPITRE y.
(a, ^2, y), non seulement la même échelle (y), mais encore la
même échelle (a), ce qui permettra de superposer ces deux abaques
partiels (n'^OO). Dans ce cas, il sera inutile de tracer les parallèles
(y) à Oxj puisque les points (a, y) des deux abaques seront en
coïncidence. L'abaque résultant ne se composera dès lors plus que
des parallèles (a) à Oy el des deux systèmes de lignes (^i) et (^2)?
qui, par leur entrecroisement, représenteront l'équation en a, ^1
el ^2 donnée, et l'on voit que la transformation reviendra, dans
ce cas, à l'application, sous une forme spéciale, du principe de
l'anamorphose générale (*) (n**41), l'introduction de la variable y
n'ayant servi qu'à effectuer la disjonction des variables.
118. Exemples : 1° Abaque des annuités, — Si Ton représente par
A le montant d'un emprunt,
n la durée en années de Tamortissement,
f le taux de l'intérêt,
(t le montant de l'annuité,
on a
a _ ïoo
A ~
I —
V 100/
Cette équation est représentable par l'accolement, le long de Oj; pùc
exemple, de deux échelles binaires donnant Tune
A '
et constituée par les droites cotées
(a) y= al\
(A) y = PLxl\
(') Celte idée de principe a été présentée sous forme géométrique et très heu-
reusement utilisée par M. Duplaix, dans un intéressant travail dont nous avons
eu connaissance en cours d'impression du présent Ouvrage, et qui est intitulé :
Abaques des efforts tranchants et des moments de flexion développés dans
les poutres à une travée par les surcharges du Règlement du 29 août 1891
pour les ponts métalliques (Paris, Carré et Naud; 1899).
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3o5
l'aulrc
loo
.r — — - - -
I
100/
et constituée par les lijjjiie«5 cotées
X
1 00 / I t
)
100 ;
/, /' et r étant des modules quelconques.
L'abaque ainsi obtenu ('), qui a été construit par .M. Prévôt, est repré-
senté par \a Ji^. iSy.
Le mode d'emploi est rappelé par le croquis placé dans l'angle supérieur
de droite.
I^a formule de la première échelle binaire
^ 7
a
montre que les abscisses font connaître dans chaque cas l'annuité <fi — -
A
pour un emprunt de i franc. La graduation correspondante a été inscrite
à la partie inférieure de l'abaque.
•>." Abaque de la formule de jauge de r Union des Yaclits français.
— Cette formule est
iJo
où T représente le tonnage de course,
p le périmètre,
L la longueur à la flottaison,
x la surface de voilure.
Elle peut s'écrire
On voit dès lors qu*elle pourra être représentée par l'accolemcnt le long
(•) Pour donner le dc^ré d'appnixinialioii requis par les calculs do baoqur,
cet abaque devrait cire construit sous des dimoiisioiis qui rendraient son rniph»!
impraticable. Tel quel il permet d'obtenir un résultat approché pouvant ètie
utile lorsqu'on veut se faire une première i<lée d'une opération projetée.
M. d'O. îo
de lir .los éiiheW.-i biliaire!^ .lélini
/ étant un moiliili: quulconqui
hp-tL
K'Tilc pai' /' ,-1 /' d'auiri's moH.ilcp,
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS YARIABLES. 807
tuée par les droites cotées
(T) y^Tl\ (s) r = ^-^^-
la seconde par
(L) y = t'L, (/.) ,oî=f^-Ç.
Ce dernier système de droites cotées du second degré rentre dans un
type étudié à part (n° 45).
L'abaque correspondant, construit par M. Chanccl (*) avec les modules
et que reproduit la Jiff. i38, présente plusieurs particularités intéres-
santes.
I** Les deux échelles binaires ont été accolées de façon que le point o
de l'échelle (T) corresponde au point 16 de l'échelle (L).
En outre, les droites parallèles à Ox correspondantes n'ont été tracées
qu'à des intervalles assez grands pour ne pas embrouiller la figure. Aux.
parallèles non tracées, on a substitué, ainsi que cela a été indiqué d'une
manière générale au n° 14, un transparent portant d'une part des paral-
lèles que l'on fait glisser sur celles de l'abaque, de l'autre un a\e perpen-
diculaire à leur direction et portant les graduations (T) et (L).
L'emploi de Tabaque peut alors s'énoncer ainsi : le bord inférieur du
transparent étant appliqué sur le bord inférieur du cadre ^ on fait
glisser ce transparent jusqu'à ce que le point coté L de son échelle
mobile se trouve sur la droite cotée p. La cote du point de l'échelle
mobile qui se trouve alors sur la droite cotée s fait connaître le ton-
nasse T.
Sur la fiff. i38, on a dessiné la position de l'ccliellc mobile pour
l'exemple numérique
L = i2™,8o, ;> = i3™,8o, s = 110""^
Cette position est définie par la condition que le point L — 12,8 se trouve
sur la droite p = i3,8. On voit que la droite s = 210, qui appartient au
faisceau (s) inférieur, passe alors par le point
T = i4,4,
dont la cote est la valeur du tonnage cherché.
7? La valeur du périmètre p variant dans le même sens que la lon-
gueur L, on a limité chaque droite (p) à la portion qui correspond aux
(') Étude et graphique de la formule de jauge de l'Union des Yachts
français. Grenoble; 189'!.
vuleurs de I. qui peuvent lui être jointes. C'est lu ce qui produit ces »
de gradins qu'on observe sjr \a /g. i38.
Vrliollr liLiuiir.>(,v,T) a. :■[>■■ fr«r .iiri; (il" ) U!) à U li-rnc T = >(>.
rroiid,' ^ii,n'u■ il II "\ilOnic (.tl l'-Miil remoiilri- à hi ligne T = o, Si don."
il iillniii' il iiii l'iiiiir d'iini; li^'nf (xl. ]H'is il.iiis le faisceau su|H'rirur,
iii..ni»l.. T pMSsani i-ti rr [.i.ini a |,„Mr <nu- hi vnl.-ur di! T, I».- <iir
ii;II.- <!,• .liDirr. ^,„-„ir/il,-r Je Kl.
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 809
4* La forme de Téquation représentée montre qu'on peut appliquer le
principe des multiplicateurs correspondants (n° 21) en posant
L'=(jlL, p'=lJ-p, 5'=V«5, T'=|lîvT.
Voici un exemple numérique emprunte à l'auteur :
Les données sont
L = 7"', 62, /> = 7^", 43, 5 = 85™''.
Pour avoir des nombres rentrant dans les limites de la graduation, pre-
nons les multiplicateurs
Nous avons ainsi
L'=i5,'24> /''=i4j8G, 5'= 340.
L'horizontale V = i5,'24 rencontre la droite />'= i4,86 en un point dont
la verticale coupe la droite s' = 34o du faisceau supérieur sur l'horizon-
tale T'= 8,3. On doit donc prendre, d'après ce qui vient d'être vu (3°),
T'=24,3.
Donc
24 H
T= -^- =3,04.
>** Abaque pour la résolution des triangles rectilignes dont un
angle au moins figure parmi les éléments connus. — Si ai, aj, as
représentent les angles d'un triangle quelconque, Yi» ïî» ïï '^^ côtés
opposés, on peut résoudre tous les cas pour lesquels un angle figure
parmi les éléments connus au moyen de la formule facile à démontrer
tang —
ta
-4' -(-ï)] '"■''•
dans laquelle on prendra toujours pour ys le plus grand des côtés donnés,
lorsqu'on lui adjoint
(•2) «1-4- «S-l- «3= TT.
Les quatre cas à considérer peuvent se résumer ainsi :
Données. Inconnues.
Premier cas a, B, C A, 6, c
Deuxième cas 6, B, C A, <^ï, c
Troisième cas «, 6, C A, B, c
Quatrième cas a, 6, A B, G, c
Il)
»
Yî-c.
.2)
m
«s -A,
(I)
i>
Tj=«»
(')
»
Y3- c.
<•)
u
a,= A,
(2)
»
«3=B,
(I)
»
Ys = c.
(')
»
a,= C,
(a)
»
«3 -B,
(0
»
Yt^c.
3lO CHAPITRE V.
Les formules précédentes permetient de les résoudre, grâce aux identi-
fications suivantes :
Premier cas : Pour a|==B, aji-C, (2) donne aj=A,
)) a,~B, a, = C, Y3^«, (0 » ïs^*»
» a,= C, a,=^ B, Yj^«»
Deuxième cas : Pour «i^ B, «j^ C,
» «1^^ C, at=B, Yî= ^»
Troisième cas : Pour «iet^C, yj^^^» Ys^^»
» «i^c, «î^A,
» «i^B, «j^ A, Yj^«.
Quatrième cas : Pour «j^^ A, yj — ^» Vs^^ ^»
n a, = A, a,= G, Y3=^i
L'abaque à échelles accolées construit pour l'équation (i) ci-dessus par
M. Lallcmand est représenté par \a/i^, iSg.
En vue d'une plus grande netteté, cet abaque a subi une anamorphose
graphique (n* 39). L'exemple du n° 40 n'est autre d'ailleurs que la con-
struction de l'échelle supérieure de cet abaque.
Ici les deux échelles accolées sont placées l'une au-dessus de l'autre, la
première étant constituée par les horizontales (yi) et les courbes (ys)» la
seconde par les horizontales (ai) et les courbes (aj). De l'une à l'autre, les
points se correspondent sur les verticales.
Quant à l'abaque de l'équation (a), il a été superposé à l'échelle infé-
rieure. II a suffi, comme cela a été expliqué au n°4i, de joindre entre euv
les j)oints du réseau formé par les courbes (aj) et (aj) pour lesquels la
somme oLi-h aj était égale au supplément d'une certaine valeur de aj pour
avoir la courbe «3 correspondante et obtenir ainsi le système («3).
Comme exemple numérique, plaçons-nous dans le troisième cas en nous
donnant
a = 70"», b = 43"", C = 60".
Pour rester dans les limites de nos graduations, nous diviserons par
10 la longueur de chaque côté. Dès lors, l'horizontale y» = 7 et la
courbe Y3=4,^ de l'échelle supérieure se coupant en un point, suivons
la verticale de ce point jusqu'à l'horizontale ai = 60* de l'échelle infé-
rieure. F*ar le point ainsi obtenu passent les courbes «2= 82* et 03= 38*;
donc
A = 89.' et B = 38^
Puis, si du point de rencontre de l'horizontale «1=38° et de la
courbe 0.2 = 82", nous remontons par une verticale à l'échelle supé-
rieure, nous obtenons sur l'horizontale Yî = 7 "" point par lequel passe
la courbe y3=6jî; donc
c = or".
Hy, .iOaquci ln-xiisonaiix à èdteUes binaires. ~ Kii rcm-
plui;anl une, deux ou Irois écliellcs smi|ilcs d'un abaque hexa-
•;t>nal (n" 32) par des échelles binaires accolées aii\ axes corres-
liondaiils, ainsi que M . Prévol en a eu l'idée ( ' ), on introduit une.
deii\ uu trois uouvelli^s variables.
i/d /i^'. 1^(1 iiidiqiii' la dispusitioii générale d'uti abaque bcxa-
lal à trois éciielle» binaires, c'est-à-dire à six variables. Le l\\H-
l'équalioii coires|)ondante est, d'après ce qui a été vu au n" 32,
Jii dispose à volonté des trois échelles accolées respcctive-
ni aux trois axes de l'abnqiie hexagonal, jtourvH qtie trois
nls (a,. |i.)- ("lii'iï). i":!. 1%) P'is dans chacune de ces
lie solution particulière de l'éqtia-
lultanémcnt sous les trois index du
l'<
écliellcs et correspondant i
; tro
transpai
;nt.
l'abaque, si, par cxeniplc, on prend ^^ pour
inconnue, est Ir >uivaiil : ttuiiT i/es iiit/<f.r du transparent con-
<.i-iiiibk'iiii'iit oricnU' passant l'un par le point (a,, p,), l'aiitrr
P'ir Ir point [t.. ''j..), le troisiènir index coupe la courbe a, de
ÉQUATIOx>S A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3l3
l^ échelle binaire correspondante en un point j et la cote de la
courbe ^3 passant en ce point est ta valeur demandée.
On pourra, dans certains cas, se servir de celle méthode en
faisant entrer une même variable dans deux groupes binaires
difierents, ce qui serait le cas, par exemple, si, dans l'équation
ci-dessus, on remplaçait ^:, par [î,. Il convient toutefois de remar-
quer que, dans ce cas, la variable figurant dans deux groupes
binaires ne saurait être prise pour inconnue. Pour qiC une va-
riable intervenant dans un abaque puisse y être prise comme
inconnue y il est évident j en effet, quil ne doit lui correspondre
sur cet abaque qu'un seul système d^ éléments cotés.
Exemples : \° Premier abaque des intérêts composés (*). — La for-
mule des intérêts composés est
A — a(i-i- r)'»,
dans laquelle
a désigne le capital placé ;
/• le taux;
n le nombre d'années du placement;
A le capital produit.
Il suffit de l'écrire sous la forme
logA = loga -i- n log(i 4- /*)
pour voir qu'elle rentre dans le type ci-dessus lorsqu'on prend le long de
deux des axes des échelles logarithmiques ordinaires pour A et a, et le
long du troisième une échelle binaire pour l'ensemble de n et de /*.
Si / est le module des échelles logarithmiques (A) et (a), Téchclle
binaire {n,r) sera définie par
X — In log(i -h r),
l'axe des x étant supposé coïncider avec l'axe correspondant de l'abaque
hexagonal. On constituera donc celte échelle au moyen de deux systèmes
de droites cotées
y = nog(i^-r),
l'x = Iny.
L'abaque correspondant, pour lequel, sur la y/^.^. i4i, on a pris
/.-. r^. 2 XI'",
( ' ) On trouvera plus loin (n*122), un abaque plus simple pour la même formule.
3lit CHAPITRE ï.
e*l ilù à M. l'nî^nt. Il pri'^li: à une remarque înlé
îîraii.lo -inipli lient ion Je 'joii?tiui-ri..n et qui peut trouver son applic.
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3l5
dans des cas analogues. Elle consiste en ce que, dans le champ de varia-
lion très limité de la variable /', les accroissements de log(i-hr) sont
sensiblement proportionnels à ceux de r.
Calculons, par exemple, au milieu de cet intervalle, logi,o4, en admet-
tant cette proportionnalité. Nous aurons
log 1 ,04 — log 1 ,025 _ 1 ,04 — I ,oîfc5
l0gl,06 — l0gl,0'2J 1,06 — l ,0'l'j
d'où
logi ,04 = logi ,025 -f- - - (log 1 ,06 — log I ,o25; — 0,0169739.
La véritable valeur de logi,o4 est
log 1 ,04 = 0,0170335.
L'erreur commise est donc
e = — 0,0000594
ou sensiblement
e = — 0,00006.
Avec la valeur de /' admise sur la Jig. i4i, cela donne pour l'écart
entre la position de la droite r = o,o4, obtenue par cette interpolation
proportionnelle, et sa position rigoureuse la valeur
^ X o*", 00006 = o*". 000 04 ,
soit j^j de millimètre, écart qui peut être négligé sans inconvénient.
La position des index du transparent, marquée en pointillé sur la
/ig". i32, correspond à l'exemple numérique a = 20000^'', T — 0,04,
n =: i5**, pour lequel l'abaque donne A — Sôooo'*" (*).
2° Abaque de la poussée des terres. — M. Boussinesq a donné, pour
le calcul de la poussée des terres sur un mur vertical de soutènement, la
formule suivante :
_ ^H'*'"'S'(j-|)cosQ-2)
cos[ç,-(|-l)J
dans laquelle
«p désigne l'angle de frottement des terres sur elles-mêmes;
©1 l'angle de frottement des terres sur la maçonnerie;
m le poids en tonnes du mètre cube de terre;
H la hauteur en mètres du mur;
P la poussée en tonnes par mètre carré.
( ' ) On peut faire à propos de cet abaque la même observation que celle qui u
éié présentée au sujet de Tabaque des annuitcs (note au bas de la page 3o5).
ÉQUATIOiNS A PLUS DE TROIS VARIABLES. SlJ
Pour traduire cette formule en abaque hexagonal, il n'y a qu'à la mettrez
sous la forme
logP — logm-r- 2 logll -h 2 log tangf -■ — - j
--logcos(^-^' — 2j _|og2-logcoslcp, — (^~ - ^jj.
Le terme du premier membre donne pour P une échelle logarithmiqu»'
simple, les deux, premiers termes du second membre donnent une échelle
binaire pour l'ensemble (tii, H), et le reste du second membre une échelle
binaire pour l'ensemble (0,01).
L'abaque correspondant, construit par M. Renard, et sur lequel l'échelh*
de la poussée P a été fractionnée au point P = 5 pour que l'abaque tienne
dans un cadre plus restreint, est reproduit sur \d^ fig. x^i.
La position des index du transparent, marquée en pointillé, correspond
à l'exemple numérique
pour lequel l'abaque donne P = 5''', 87.
120. Abaques à glissement. — L'emploi des échelles binaires
peut aussi se combiner avec le principe des abaques hexagonaux
à glissement dont il a été question au n" 37.
On aura ainsi la représentation d'nne équation de la forme
Exemple : Abaque de l'erreur de réfraction dans le nivellement
géométrique. — Si l'on représente par
B la pression barométrique:
D la différence brute de niveau prise en valeur absolue;
L la longueur de la nivelée;
/] la température de l'air à la hauteur de la lunette;
/j et t\ ses températures aux points où la ligne de "xiséc rencontre les
deux mires d'arrière et d'avant,
et si l'on pose, en outre,
0= — .j- - ,
l'erreur de réfraction z est donnée par la formule
, ^ _ ojll^oo.o^ B L. , ,. ro,:i3/.3-llog(-.»
"' ^"" 7(i D(i-4-o,oo366Ô)»^^ "'I , i-ho
3l8 CHAPITRE V.
0 étant défini par l'équation
, . 1 loK(i_±J_) _ t
' ' logô-6)-T'
En outre, e est ou non de même signe que la différence de niveau D
qui, sur l'abaque, ne sera prise, comme on vient de le dire, qa'en valeur
T -4- t'
absolue, suivant que le quotient — ^-^ est négatif ou positif.
Posant
o.ooioH
7ti
= /•, o,oo366
<;l remarquant qu'en vertu de (2) 0 est une fonction de x et t', on voit
que la formule (i) peut s'écrire
ou encore
loge — log^ = logB - logD -r- .1 logL — il log(i -4- aO"!
-4- log(': -4- x') -+- logo^ô),
0 dépendant de x et de x' en vertu de Téquation (2).
Sous cette dernière forme, on voit qu'elle est susceptible d'être repré-
sentée par un abaque hexagonal à glissement du type de la fig, 4o(n*37),
comprenant une échelle simple (ô) et trois échelles binaires (B, D), (L, 6)
et (x, x').
L'échelle (s) et l'une dos échelles biniiires, (L, 0) par exemple, seront
accolées à Taxe Ox de la Jig. 40, les deux autres échelles à l'axe O^, et le
glissenienl aura lieu normalement à l'axe O- (*).
Si nous représentons par Oi-rj^'i, O^x^y^^ Os^^a^a les systèmes d'axes
rectangulaires auxquels sont rapportées respectivement ces trois échelles
binaires, elles seront définies par
(l^i) ^r,- /(logH-logD),
(Kj) .''2-- f 'i ['<»?ï^ •«?(» -HaO)],
( Ivj ) iTa " / I log ( X - - x' ) -h log cp ( 0 )] ,
où / est le module commun aux trois axes.
Pour les deux premières, nous prendrons, en appelant /[, /j, /j trois
nouveaux modules, les systèmes de droites cotées
(H) ri- ^1 log H,
(D) l^ry: .îy,-lt,\o^D,
(') Pour passer do la disposition i\v la Jig. 4^ à celle de la fîg. i43, il faut,
avec un tel choix d'axes, supposer que l'on fasse tourner la première de 120" dans
le sens rétrograde.
ËQLATIO^S A PLIS DE TROCS VARIABLES.
3,9
(tj
J'ï-Mogd+CLtl),
a.)
l,r.^- î//,logL-- t/j;.
Pour
1")
a troisième, no
is prendrons d'abord le svsle
n.c
Qua»
au système (■:'
, on serait d'abord tenté, pou
Fig. .43. .
'le
tenir l'équation des courbes qui le compf>;cnt, en éliminant d et t entn^
lej équations (t), (l!:,)ct (';) ci-dcs^us. Malheureusement, cette élimina-
tion est impossible. On peut toutefois tirer t de la dernière de ces équa-
020 CHAPITRE V.
lions pour en porter la valeur dans les deux autres, ce qui donne
/ ,' iop:(i — o)
:r, r-: /
[log (:g --:').- log 0(8)].
Dos lors les coordonnées de chaque point de la courbe •:' se trouvent
exprimées en fonctions du paramètre 0, il est possible, en faisant varier ce
paramètre, de construire la courbe point par point.
L'abaque correspondant, représenté sur la Jtj^. i43, est dû à M. Lalle-
niand.
Son mode d'emploi, d'après ce qui a été vu au n" 37, se réduit à ceci :
ayant tr abord fait passer les index I| et l^ du transparent respec-
tii'enient par tes points (L, 0) et (B, D), on fait glisser ce transparent
dans la direction de r index I3 jusqu'à ce que V index l^ passe par le
point (Tjt'). IJ index Ii coupe alors réchelle {t) en un point dont la
cote est V erreur demandée,
I*ar exemple, pour
15 - o'",;!'), D - — .>'%•;►>., L --= ijo*", 0 ^ i\{\, -. r-. o^75, t' = o",3),
l'abaque donne
T H- t'
«♦l, comme ici le rapport -—1-1"" ^'^^ négatif, il faut prendre
£ - - o'"'",r).
15. - l*OK\'IS A DEUX COTKS ( ' ).
121. Painls alignés à deux cotes. — Un système de points à
deux cotes peut être défiiii par les coordonnées de chacun de ses
(') Ce sonl If's points qui étaienl désijçnés dans notre brochure 0,4 sous
\c iu>ni i\Q points doublement isoplèthes. Devant nécessairement nous restreindre
ici à lin nombre assez limité d'applications, nous signalerons, en outre, comme
particulièrement inlcressanlcs cellos, relatives à divers problèmes de l'art naval,
qui sont dues à M. G. l'esci, professeur à rVcadémie navale de Livourne, et dont
voici la liste :
Sulla rostruzione dclla cur%'a di ricerca ( /iiiista marittima, décembre
1H9G):
Sui metodi per cambiare il rilevamento {Ibid., mars 1897;;
Sut caicolo délie distanze in mare ( ïbid., jiiilicl iSf)-;);
Quarto contributo alla cinematica navale {Ibid., mars 1.S98):
ékkbaco per il calcolo délia latitudine {/bùL, octobre 1S9S).
iloas citerons également notre Note 0.15.
Ji. R. Mehmke nous a signalé un graphique de récoulement de l'eau dans les
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 321
poinls, fonctions des deux cotes a, et p,,
Pour obtenir les équations des deux sjst<>mes de courbes
cotées (ai) et (^i) constituant le réseau, il n'y a qu'à éliminer
successivement chacun des deux paramètres entre les équations
précédentes, ce qui donne
On peut aussi définir le système (a|,p,) par l'équation en
coordonnées parallèles de chacun de ses points
Si l'on prend, ainsi qu'au n" 60, comme origine O le milieu de
la dislance AB des origines des axes A m et B(>, comme axe Oy la
parallèle à ces axes menée par O, comme axe Ox la droite OB, et
si l'on pose 0B= o, les coordonnées cartésiennes du point défini
par l'équation ci-dessus sont
?!(«!, ?i)-H/i(ai, pi)'
^~ ç),(a„p,)-h/,(at„p,)'
et l'élimination successive de ^i et de ai entre ces deux dernières
équations donne les équations cartésiennes des systèmes (ai) et
(^i) constituant par leur ensemble le réseau (ai, p| ).
Un système de points à deux cotes étant ainsi défini, il n'y a
qu'à reprendre tout ce qui a été dit dans les n°* 60 et suivants, en
substituant à un, à deux, ou aux trois systèmes de points à une
cote, des systèmes de points à deux cotes, pour avoir des abaques à
points alignés représentant des équations à quatre, cinq ou six
variables.
Si l'on se reporte au n® 60, on voit donc que l'équation la plus
canauY et rivières, publié en 1869 par MM. E. Ganguillet eX W.-R. Kulter
{Zeitschrift des OEstr. Ing. und Arch. Vereins, t. XXI, p. 5o), que ses auteurs
ont obtenu par un procédé géométrique direct, mais qui peut être considéré
comme une application du principe général étudié ici.
M. d'O. 21
CHAPITIE T.
• • • ^ %
;ib> par un abaque à trois svstemes de poiol»
\
-^.'x/ .■'>,-*t: j !j disposition indiquée parla fit^, i4f
caj>
• - ■ ■»
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" »;rf/r, on /ail panne r
7"7r/ rfr5 liirnes a, f(
: ' îVj' coupe alors la
' » ; f» ." r ■.
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•••m; ;i.ir linipc^cra-
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I f
TT Tii» : . ••iif'i • "î-' i i v. ; ■••: î'-- .
1 «
•il -^ Tirn: tirf
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. SsS
(n** 96) qui fournissent alors la représentation d'équations à huit
variables (*).
Parmi les abaques à points alignés comportant des points à deux
cotes, ceux qui, de beaucoup, se rencontrent le plus fréquemment
dans la pratique, sont constitués au moyen d'un seul système de
cette sorte et de deux systèmes de points à une seule cote, distri-
bués sur deux axes parallèles. Ils généralisent par conséquent les
abaques envisagés aux §§ II (A et B) et III (A) du Chapitre III, et,
*en ce qui concerne leur disposition, on n'aura qu'à se reportera
ce qui a été dit là.
Les équations représentables par des abaques de ce type sont
celles de la forme
^ E) /i(ai)/3(a3, p3) ^-/i(«2) ?3(«3, h) -+" 'M^^y h) = ».
Pour obtenir Tabaque correspondant, il suffit, en représentant
par /| et I2 deux modules quelconques, de poser
(ai) M=-- /, /i(ai),
L'équation du point (aa, ^3) est alors
et ses coordonnées cartésiennes par rapport aux axes ci-dessus défi-
(*) Dans son Mémoire sur les abaques à transversales quelconques cité plus
haut (n*94), M. Goedseels a même poussé la généralisation plus loin. Puisque trois
points déterminent la position d'une transversale /| de forme donnée, en prenant
chacun de ces points muni de deux cotes, on voit que l'on fait dépendre la posi-
tion de la transversale de 6 variables. Une autre transversale Z, pourra de même
dépendre de 6 variables. Le point de rencontre (/^ t^) de ces deux transversales
dépendra donc de 11 variables. On pourra de même définir les points (/,, t^)
et (/j, ^e)* ^^^ trois points permettront à leur tour de définir la position d'une
transversale t^ qui dépendra dès lors de 36 variables. Si cette transversale t^ passe
par un point à deux cotes, il en résultera la représentation d'une équation i
i)8 variables. Mais cette transversale t^ pourra à son tour être combinée d'une
manière analogue avec d'autres transversales correspondant elles-mêmes à plu-
sieurs variables. De là le moyen, théoriquement au moins, d'étendre indéfiniment
le nombre des variables. On verra d'ailleurs plus loin (Chap. VI, § I) que ce
mode d'extension rentre dans la théorie générale.
32^ CHAPITIE Y.
nhf si ToD représente toujours par o la moitié de la longueur AB,
1 ' ''/l?»(a»rpj)-r-/î/j(aj, ?J»'
(T)
L^élimînation successive de p^ et de 23 entre ces deux équations
donne les équations des deux sj-stèmes de lignes du réseau
Remarque. — II se peut que les points à deux cotes, entre les-
quels on prend des alignements, se réduisent à des points con-
densés (n" 115). Soit, par exemple, une équation de la forme
La méthode qui vient d'être exposée conduit, pour la repré-
senter, à poser
u -= /i/i(ai.?i >.
ce qui donne
On voit que, bien que dépendant de deux paramètres, les points
ri g. 145.
(<x,.,3 .>
(■^t, fl.)
<a3. i*^j)
(ai, j3|) sont tous dislribucs sur Taxe A//, c'est-à-dire, d'après la
terminologie du u" 115, condensés sur Aw. De même les points
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 325
(^îj P2) sont condensés sur Bv, et les points (as, ^3), condensés
sur une parallèle aux deux premiers axes.
Ces points condensés peuvent être définis respectivement sur
ces trois axes au mojen d'échelles binaires qui leur sont accolées
(n** 115, liem. 111). On obtient dès lors un abaque du type repré-
senté par la y? o^. 145.
Si, notamment, nous reprenons Téquation du premier exemple d'appli>
cation donné au n^ 119, nous voyons qu'en posant
H = /ilogA, t>=--/,Ioga,
nous obtenons
/jM-H /|P = nlog(i -♦- /•),
équation qui représente le point
.It— U ^, nlog(i4-r)
11 suffît dès lors d'accoler à la parallèle aux axes, définie par la valeur
de rr, Técheile binaire que définit l'expression de j^, pour avoir sur cette
parallèle les points condensés (n, r).
On peut, dans ce cas particulier, éviter l'emploi des points condensés et
rentrer dans l'application pure et simple de la méthode générale, comme
on va le voir dans le numéro suivant.
122. Premier exemple : Second abaque des intérêts composés. —
Reprenons la formule des intérêts composés, mise sous forme logarith-
mique (no 119, I**),
log A = loga -f- n log(i ■+- r).
Nous pouvons ici prendre comme éléments cotés {a) et (n)
(a) ' u = Il loga,
(n) ç =z l^n.
Gela nous donne, pour l'ensemble des variables A et r, les points à deux
cotes définis par l'équation
ifU-^ Il log(i -i- /•)p— /i/flogA = o,
ou, en vertu des formules (y) du numéro précédent,
{ r) X = Ô 7—! — -. r , *
/ilog(i-hr)H- /,
, . /j/tlogA
/|log(i-+-r )-!-/,
La première de c
cotés (r) qui sonr.
i contenant que r définît les élémeois
it, des droites parallèles aux axes A»
■3 -■
8.
ô 1
\
. J
Taux (r)
et Bt>; puis, l'ëlimination de r entre ces deux équations donne, pour le'
éléments (A), l'équation
(A) iSy--l,(è--x)\oe\,
droites qui pa?scnt toutes par l'orijçine Ti(T = S, y — o) de l'ane Bp, ei
qui coupent l'axe A ii(x ^ — S) aux points définis par
qui se confondent avec les points (n). Celte circonstance permet d'é'
le trar^é des droites (A). En elTet, il suffit, pour avoir une telle droiu
joindre le point li (qui n'est autre que le point n — o) au poini
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 827
t'échelie (a) coté A. On peut, d'ailleurs, pour réaliser cette droite, se
servir de Tindex lui-même. L'emploi de Tabaque devient alors analogue à
celui des abaques à double alignement (Gh. III, § V, A). Il peut s'énoncer
ainsi :
On fait d* abord passer Vindex par le point coté a sur l'échelle du
capital et le point coté n sur l'échelle du temps, puis on lé /ait pivoter
autour du point oà il rencontre la verticale cotée r, de façon à
l'amener à passer par le point /i = o. // coupe alors l'échelle du
capital au point coté A.
Sur l'abaque représenté par \^ fig. 146, on a pris /s= 0,04/1 ^^ façou
à donner à l'échelle du temps (/i) la même longueur qu'à l'échelle du
capital (a) et (A), avec les limites adoptées.
Les deux positions de l'index marquées en pointillé sur la figure corres-
pondent à l'exemple numérique déjà envisagé au n** 119 (1**), savoir
a — 20000^"", /i — i5', r — 4 **/<>,
pour lequel l'abaque donne
A ~ 36ooo'^
123. Deuxième exemple : Abaque de la distance sphérique (*). — La
distance sphérique ^ de deux points en fonction de leurs latitudes X et X'
et de la différence L de leurs longitudes peut s'écrire, ainsi que l'a remar-
qué M. Collignon,
2 cos<p = (i -H cosL) cos(X - X') — (i — cosL) cos(X -4- X').^
Sous cette forme, elle rentre dans le type (E) du numéro précédent.
Adoptant ici pour 0, l\ et l^ une valeur / unique (ce qui a l'avantage de
nous donner pour quadrangle limite de l'abaque un carré), nous poserons,
en vertu des formules (ai) et (oej) du numéro précédent (*),
a — — /cos(X -4- X'),
V — /cos(X ■- X'),
ce qui nous donne, pour équation du système (L, cp),
u{\ — cosL) -- 1^(1-1- cosL) — 2 cosçp = o.
Les coordonnées cartésiennes du point correspondant, données par les
(') O. 4, p. 84- M. Collignoo a, depuis lors, utilisé cet abaque dans sa Note sur
la détermination de l* heure du passage du Soleil dans un plan vertical
(7. JF. P., 1* série, 4* cahier, p. ia3; 1898).
(') Voir la remarque contenue dans la note au bas de la page x45.
GHAPITBB V.
o précédent, sont ici
-■ la
Ici, point d'élimination à faire, puisque chacune
n'entre que dans une des équations. Ces équations
les lignes cotées (L) et (f) qui sont des parallèles 8
L'abaque correspondant obtenu en prenant / = 4"
Jig- M7
KiK- li-.-
des variables L et ^
donnent directement
t^
1 1 1
B
£
i
1
a»
^
ï__
r
*
"TTTTTl'
^
:i:
r
~
-
:
:
::;
■
'
. . . _
.-
"
„
1
4
■
i
=E
-
I
=
r
-
=
E
E
z
= 1
s
UiLLLL
i5
E =
^
=
i
E
^
i
=
=
-=m
La graduation des horizontales (9) se confond d'ailleurs, si on l'inscrit
tur le bord droit de labaque, avec l'échelle (i - 1').
La position de l'index, marquée en poiniillé sur la Rgure, correspond à
'exemple numëriquc suivant, qui fait connaître, sur la mappemonde, lu
listance sphérîque de Paris à Hanoï :
ir
L'abaque dont
On peut re
r-^ 23" 40', L^ 116".
t abaque permet de résoudre t
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 829
sphérique dont on connaît soit trois éléments de même espèce^ soit
trois éléments consécutifs.
Si, en effet, on connaît les trois côtés a, 6, c, on voit qu'en prenant
successivement
on a L : A,
L -B,
^ -- a.
\7=b,
X'
-Cy
© = 6,
X L^ C,
X'.:
- a,
Ç-^C,
X -^ a,
X'
-6,
» L ^^ c.
Si Ton connaît les trois angles, le cas se ramène au précédent par la
considération du triangle supplémentaire.
Si l'on connaît deux côtés a et 6 et Tangle compris G, en faisant
X =^ a, X'r^ 6, L - G,
on a
<p 1= c.
Connaissant dès lors a, 6, c, on est ramené pour le calcul de A et B au
cas ci-dessus.
La considération du triangle supplémentaire permet de traiter de même
le cas où les données comprennent un côté et les deu\ angles adjacents.
L'abaque ci-dessus est intéressant en raison de Textréme simplicité de
sa construction et de la diversité de ses usages. On va voir maintenant
qu'en sacrifiant un peu de cette simplicité on peut construire un abaque
permettant la résolution des triangles sphériques dans tous les cas pos-
sibles.
124. Troisième exemple : Abaque général de la Trigonométrie
sphérique (*). — Les six cas de résolution des triangles sphériques
peuvent, par la considération du triangle supplémentaire, se ramener à
trois, savoir ceux où deux au moins des côtés figurent parmi les données,
et la résolution de ces trois cas peut être effectuée par l'emploi de la seule
formule
(i) cosflci = cosasCOS^j-T- sinaj sin^acossc],
dans laquelle on remplace les variables oti, aji ^i, Pa par l'un des systèmes
de valeurs
(A)
«j^a,
a, -. A,
a,- 6,
h -■ c^
(B)
a|-= b.
a, B,
a, = c,
Pa-^a,
(C)
a,i.. c.
«î =c,
«a a,
Pa b.
V) OAZ.
33o
CHAPITRE Y.
Avec ces diiïérents états des variables qui y figurent, nous donnerons à
la formule (i) la désignation de formule (A), (B) ou (G).
Voici, dès lors, comment s'eiïectuera la résolution dans les trois cas
auxquels on est ramené :
Cas.
DoDQées.
a, b, c
II
a, b^ A
\\\
b, c, A
)
Résolution.
t
la formule (A) donne A,
i>
(B)
» B,
ù
(G)
. C.
1»
(A)
» c,
w
(B)
» B,
M
(G)
. C,
»
(A)
» «.
»
(B)
» B.
U
(G)
U C.
On voit ainsi que toute la résolution des triangles sphériques pouri'a
s'effectuer au moyen du seul abaque de l'équation (i) qui rentre bien dans
le type (E) du n* 121.
Prenant sur les axes Am et Bp des modules égaux à / et représentant
toujours par 8 la demi-longueur AB, nous voyons que les formules («i).
(as) et (y) du n*" 121 définissant l'abaque seront ici
(T)
a — /cosai,
V - — /cosas,
^ sinaj sinBs — i
X = ù —. : — 7T y
sinaj sinPs-f- i
, cosajCosB,
•^ sinat sinps-»- i
La symétrie de ces deux dernières équations en aj et Pj montre qu'ici
les lignes (as) et les lignes (^3) sont les mêmes. C'est donc cet unique
système de lignes qui, en se recoupant lui-même, constitue le réseau
(a3,Ps).
Les équations (y) étant du premier degré en sin^j et cospj, l'élimination
de p3 n'offre aucune difficulté. On trouve
(«a)
sm*a3 /*cos*a3
D'après ce qui vient d'être dit, l'équation ( ^3) est la même avec le simple
changement de as en p3.
Appelons U et U', V et V les extrémités des échelles (ai) et («j)
Equations i plus ue trois va r («blés.
(Jig. 148) (' ), extrémités qui sont données respectivement, pour .
égaux respectivement à 0° ei à 1800, par
Si l'on cberche les équations des tangentes à l'ellipse «i parallèles â O^,
vn trouve bien aisément
sont les droites IJV et U'V. On tro
s de l'origine 0 sont les droites
; également que les iangenre>^
(') Sur \ajig. ifS, le sens positif de Au et Gv, et, i
été exception neltement pris de haut en bai.
332 CHAPITRE V.
c'est-à-dire les droites UV et U'V. En résume, si Ton appelle X« le point
situé à rinfini sur OA, on voit que le système (a^) est constitué par les
ellipses inscrites dans le quadrilatère OUX.U'.
On vérifie, en outre, que le pôle de l'axe W par rapport à toutes ces
ellipses est l'origine B de l'axe VV (*).
Une fois les axes UU' et VV gradués pour les variables ai et «s, il est
très facile de construire la portion utile de chaque ellipse «3. En effet,
cette ellipse coupe Taxe AB, ou Ox, au point défini par Tabscisse
^ I — sina,
x = — 0 — — . y
1 -h smaj
point qui se trouve sur la droite joignant le point \(^x = ^^y — l) au
point de l'échelle UU' coté «3-4- 90', dont les coordonnées sont
a; — — 0, j — /cos(a3H- 90°) ~ — /sinas.
Elle coupe Taxe UU'(x = — 8) aux points de l'échelle correspondante
cotés tfs et r8o° — as, et, d'après ce qui vient d'être vu, les tangentes en ces
points passent au point B. On se trouve ainsi amené à construire une
ellipse connaissant deux points, les tangentes en ces points et la tangente
parallèle à la corde qui les joint, construction facile à effectuer (*).
Remarquons que les ellipses cotées d^ et 180® — «3 coïncident dans toute
leur étendue. Il suffit donc, pour avoir le système (as) tout entier, de
faire varier «3 de 0° à 90*.
Cette coïncidence deux à deux des ellipses (913) entraînerait une ambi-
guïté dans la lecture si Ton n'avait soin de faire la remarque suivante :
Si l'on se reporte aux formules (y) ci-dessus, on voit que y est positif
ou négatif suivant que a^ et ^3 sont ou non pris du même côté par rapport
à 90".
Donc, sioLi et ^3 sont à la fois supérieurs ou inférieurs à 90®, le point
de rencontre des ellipses correspondantes se trouve au-dessous de OK.
Si le contraire a lieu, le point de rencontre des ellipses se trouve au-
dessus, en vertu de la note au bas de la page 33i.
Enfin, une autre ambiguïté apparente se produit lorsque a3= ps ou
lorsque «3-+- ^3=1 80", parce qu'alors les deux ellipses dont il s'agit de
prendre le point de rencontre coïncident dans toute leur étendue; mais ce
(') Si l'on fait une transformation par polaires réciproques relativement à un
cercle de centre B, on voit qu'on obtient un système de coniques concentriques
circonscrites au rectangle formé par les points transformés des droites UV,
U'V, U'V, UV. Le centre commun de ces coniques est le point transformé de la
droite UU'.
(^) Nous avons, pour cette construction, indiqué un procédé (celui qui a
effectivement servi pour la /ig. i^B) dans les A^. A. (3* série, t. XII, p. 35o),
procédé qui se trouve reproduit dans notre Cours de Géométrie descriptive,
p. 177
ÉQUATIONS À PLUS DE TROIS VARIABLES. 333
point de rencontre occupe alors une position limite qui est le point de
contact de i^elllpse considérée avec la droite UV si 7.3= ^3, avec la
droite U' V si a8-+- ^3 = I8o^
Le point (23, ^3) est ainsi défini sans ambiguïté dans tous les cas, et It'
mode d'emploi de Tabaque résulte simplement de l'alignement de ce point
avec les points ai et at}.
125. Quatrième exemple : Abaque de Inéquation complète du troi-
sième degré, — Pour représenter Téquation
z^-^ nz^-^ pz A- q — o,
qui rentre évidemment dans le type (E)du n° 121, il suffit, en appelant
/i et /] deu\ modules quelconques, de poser
(p) u^-lxp,
(q) v-l^q^
équations qui définissent deux échelles régulières portées sur Au et B^'.
Le point (/i, z) est alors défini, en vertu des formules (y) du n* 121, par
{z) 37=0,-
(Y) y = ~
It-r-liZ
/l/,(^» -4-715»)
If^llZ
La première de ces équations ne contenant que z définit les éléments
cotés relativement à cette variable, qui sont, comme on voit, des paral-
lèles aux axes coordonnés \u et Bv, déterminant, sur Taxe AB des
origines, une échelle linéaire (n** 7) qui, dans le cas où /i = /j, devient une
échelle segmentaire (n° 5, 3®).
Quant aux courbes (/i), qui sont des cubiques cuspidales, on pourrait
aisément former leur équation en éliminant z entre les équations (z) et
(y); mais cela est inutile.
Lorsqu'on a construit Tune d'entre elles, par exemple la courbe n = o,
qui est précisément celle dont nous nous sommes occupé en détail au
n** 81, les autres s'en déduisent très aisément. Si, en effet, jr^ et yn sont
respectivement les ordonnées des courbes cotées o et n, pour une même
valeur de z, on a
et, puisque la fraction qui multiplie n est une constante pour une même
valeur de 2, on voit que les courbes (n) déterminent sur la droite z une
ItliZ*
échelle régulière dont le module est égal à -. -, — et le sens crois-
sant opposé à celui des échelles (p) et (q).
334 CHAPITRE V.
C'est en se fondant sur cette remarque et en prenant
/.= /.= -
i|u'on a construit Tabaque de la fig. 149, dont l'emploi se réduit à ceci :
faire passer V index par les points cotés p et q et lire les cotes z des
verticales passant par les points où cet index rencontre la courbe
i'otée n.
On s'est d'ailleurs, en vertu d'une remarque déjà faite à propos de l'équa-
tion trinôme (n** 81), borné à y^nvisager des valeurs positives de z, les
valeurs absolues des racines négatives de l'équation étant données par les
racines positives de la transformée en — z, c'est-à-dire de l'équation défi-
nie par les coefficients — n^ p et — q.
Les équations du troisième degré qui se rencontrent dans la pratique
n'ont d'ailleurs, en général, qu'une racine positive, el c'est la seule qu'on
ait besoin de calculer.
Les positions de l'index marquées en pointillé sur la figure se rapportent
<)u\ équations
z^t- '>.z — 6 — 0
il
pour lesquelles Tabaque donne respectivement ^ = i ,{6 et z = i ,G.
Remarquons, en outre, qu'ici s'applique le principe des multiplicateurs
correspondants (n** 21) lorsqu'on prend
z'=\z, //'--X/i, p'zrz^ip^ q'' \^q.
En voici des exemples pris dans la pratique :
i" Voûte en dôme» — Bossut, dans ses /Recherches sur r équilibre des
routes {Mémoires de r Académie des Sciences, p. 56G; 1774)» est amené,
il propos d'une voûte en domc particulière, à résoudre l'équation
/'H 9G^«-: 7Jti,87y^ - 7826, oji = o.
Kn prenant X =-- --, on a l'équation
' 10 *
/3-f 9, <•>/'«-, 7,21/'— 7,8-2 - o.
L'abaque donne pour celle dernière
t' =^ 0,09.
Par suite
t :r. 5^9.
a" Remous d'une ris^ière. — Le remous z d'une rivière à son passage
■ass,'!i.':,vjuv
336 CHAPITRE V.
SOUS un pont est donné par l'équation
c3-+-(2H-A)w«^-H(H — 2A)5-+-B-AH«=o,
où
L désignant la largeur de la rivière en amont du pont,
/ sa largeur totale sous les arches du pont,
H la profondeur moyenne en amont,
Q le débit de la rivière,
U le coeffîcient de contraction.
Avec les données suivantes, qui sont celles relevées par d'Aubuisson
dans son expérience sur la Veser, savoir
L = i8o",7i, /rrgô^ia, H --5", 37, Q = i45o-% U=o,9,
on a l'équation
s'-f- 10,2-3*4- 23,5 5 — II, 04 = o.
Prenant ici X = -> on a Téquation
5'»-r-5,i5'*4-5,93'-i,38 =0,
pour laquelle Tabaque donne
5'= 0,19,
et, par suite,
5 = o™,38 (»).
126. Cinquième exemple. Abaque de l'équation du quatrième
degré. — Soit l'équation du quatrième degré
z^ -~ mz^-\- nz^-^ pz -Jr q =0.
Lorsqu'on pose
z — mz\ n ~ m^n'j p — m»/?', q = m^q\
elle devient (*)
5'^-r- 5'3-i- /l'y» -+-/)'5'-4- q'= o.
Sous celte forme, il suffit, pour la représenter, de poser
(p) u = /,/>',
(') L'expérience de dWubuisson a donné z = o",382.
{') Il y a lieu ici de faire une double observation :
lo Pour le cas où m serait négatif, il y aurait lieu de construire un second
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 337
ce qui donne pour les points (n', z')
<^> •^= TT^n!;^'
On voit que loutcc qui a été dit à propos de la construction dei'abaque
précédent peut être répété ici. On obtient seulement comme courbes (n)
iles quartiques au lieu de cubiques. Mais, une fois tracée la courbe /i = o,
les autres s'en déduisent exactement de même qu'au numéro précédent,
la relation
subsistant encore. Si donc on construit ce nouvel abaque avec les mêmes
modules que le précédent, on voit que les échelles régulières déterminées
sur les diverses verticales (z) par les courbes (n) sont les mêmes dans
Tun et l'autre cas. C'est ainsi qu'a été obtenu l'abaque de la Jig'. i5o (*).
Pour déduire les coefficients n\ p\ q' des coefficients m, n, jo, q et
passer ensuite des racines z aux racines z^ on voit qu'il suffit de construire
Tabaque de l'équation
a = m^OL
pour I = I, 2, 3, 4-
Cet abaque rentre lui-même dans le type ici étudié. Il suffit, en eiïet,
d'écrire l'équation précédente sous la forme
loga = loga'-+- * log/n,
abaque, analogue à celui qui va être décrit, et correspondant à Téquation
Cet abaque servirait notamment à obtenir les valeurs absolues des racines néga-
tives des équations pour lesquelles le coefficient m est positif.
2" Pour le cas où m = o, on pourrait construire aussi l'abaque de l'équation
5*-i- n5--i-/?5 -4- 7 = o,
mais la résolution d'une telle équation se ramène immédiatement à Templui dr.
Tabaque décrit ci-dessus, au moyen de la transformation z'=. zûii,
(*) La simple inspection de la figure montre que la portion tracée des courbes
(/i) comprise entre les axes n'est jamais coupée par une droite en plus de trois
points, c'est-à-dire qu'aucune des équations représentées n'a plus de trois racines
positives, ce qui est évident a priori, attendu que, le coefficient de z^ dans ces
équations étant égal à i, la somme des racines est égale à — i, ce qui exige que
l'une au moins d'entre elles soit négative.
M. d'O. 22
ÉQUATIONS A PLUS D£ TROIS YARIABLES. SSg
pour voir qu'elle est représentable au moyen des deux systèmes de points
à une cote
(a) 'M = /iloga,
{m) V = — /j logm,
et le système de points à deux cotes
Itu-h II iv — Il II loga' = o,
ou
X = ô-j— : p,
iii-i- 1%
Prenons /i= If Les échelles (a) et (m) sont alors des échelles loga-
rithmiques de même module portées en sens contraires sur Au et Bp. Les
lignes (î) sont des parallèles à ces axes déânies par
(*) X=ù-:— — >
c'est-à-dire déterminant sur AB une échelle segmentaire, et les lignes (s'),
dont l'équation s'obtient par l'élimination de i entre les expressions ci-
dessus de X ely, sont définies par
(a') lay = li\og7,'{^ ^x).
Ce sont des droites et l'on voit, en faisant x = ù et x = — o, que la
droite cotée a' joint l'origine B de l'axe B(^ au point coté a de l'échelle
portée sur Xu.
Cet abaque, où il suffit de donner à i les valeurs i, 2, 3, 4» est donc très
simple à construire (^^. i5i). Au lieu d'inscrire à côté des verticales les
valeurs de 1, on y a- inscrit la désignation des variables correspondantes.
En outre, on a, à côté de l'échelle de gauche, inscrit les désignations des
diverses variables auxquelles se rapporte cette échelle, c'est-à-dire qui ont
été représentées en bloc par la variable a dont on s'est servi pour la con-
struction ( *).
Le procédé à suivre pour la résolution d'une équation du quatrième
degré est alors le suivant : Faisant passer l'index, sur l'abaque de la
fig, i5i , par le point m de V échelle de droite^ on le fait pivoter autour
de ce point pour prendre successivement les points n, p, q de V échelle de
(*) Au lieu de construire les radiantes qui figurent sur cet abaque auxiliaire,
on peut recourir à uo pivotement de l'index, comme pour l'abaque des intérêts
composés {fig. i38). Pour avoir /i', par exemple, ayant fait passer l'index par
les points m et n, on le fait pivoter autour de son point de rencontre avec la
verticale (a') jusqu'à ce qu'il passe par le point z de l'échelle (m). Il donne
alors la valeur de n' sur l'échelle (n).
34o GHIPITBB V.
gauche. Cet divertes positions de l'index coupent reipeetivemeni les
êekellei {n'),(p') et{q') en det points dont les cotes font connaître n\
p', q'. Celles-ci, transportée* lur l'abaque de la fig. i5o, font coa-
itattre les racine* s'. En/aiiant pauer alors sur la fig. i5i l'index,
(r)
(n) (pHt)
10-
(î) []
s-
(n) ']
■ 5-:
2-
,-
J
-001
-aooi
0,001
-ILIWOS
: H
par lea points de l'échelle (i'
obtient les i
pivotant toujours autour du point
cotés au moyen des valeurs de ces
demandées sur l'échelle de gauche.
Soil, par exemple, à résoudre l'équaLion
Les trois traits mixtes {!), (Il) et (III) qui sont marqués sur la
Jig. i5i monlrent que, si l'on réduit le coeflîcieDt du second terme i
l'unité, les trois autres coefficients di:vieuncnl respectivement, en valeur
*> f
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 0.| I
absolue, 4) ^ et 5. On a donc à résoudre, au moyen de l'abaque de la
yî^. i5o, Féquation
Le trait mixte marqué sur cette fîgure et qui unit les points p — >,
q = — 5, coupe la courbe /i = 4 tout près de la verticale ^ = o,8, mais un
peu en avant. Nous aurons donc pour cette dernière équation
'5'=o,79.
Le trait pointillé (IV) de la /ig. i5i montre que la valeur correspon-
dante de z est
z — 2,37, ^
comme d'ailleurs, dans ce cas particulier, on le vérifie immédiatement par
le calcul.
On pourrait construire des abaques analogues pour l'équation du cin-
quième degré puisque, comme Ton sait, une telle équation peut toujours,
par une transformation appropriée, être mise, suivant le cas, sous Tune
des formes
z^-^ nz*-h pz '- q — o,
Z*-h z* -h nZ^-^- pZ -h q rn o^
z» — z*-h nz^-^pz -h q =0.
127. Droites à doubles enveloppes, — Les équations apparte-
nant au tjpe (E) du n° 121, c'est-à-diie
auquel se réfèrent les divers exemples précédents, peuvent être
effectivement représentées suivant le mode corrélatif dérivant de
remploi de la méthode cartésienne, ainsi que la remarque nous
en a été faite par le P. Poulain (*).
Si nous posons (^), en effet,
(') Dans une Lettre en date du 16 octobre 1^91.
(^) On aperçoit immédiatement la généralisation suivante : si l'équation
donnée était de la forme
on poserait encore
ce qui déterminerait le point à deux cotes (spa,) par un réseau dont les deux
systèmes constituants seraient définis par l'élimination successive de x, et de a,
entre les expressions de x et de y.
nous définissons un point à deux cotes, aci et et), qui doit se
trouver sur la droite
droite que nous pouvons appeler A et dont, pour plus de simpli-
cité, nous représenterons i'équalion ci-dessus par
(a') i(»„ ?,) = <••
Si l'on donne à a* une valeur conslanle. cette droite a une
enveloppe C^,, dont l'équation s'obtient par l'élimination de ^i
entre l'équation (2') et sa dérivée prise par rapport à p» ou
(3) ip,(a„p,) = o.
On peut ainsi construire les enveloppes £,, correspondant aux
diverses valeurs de oti.
De même, l'élimination de iX| entre l'équation (a') et
(■() i;,("i,pi) = o
permettrait de construire les enveloppes C^, correspondant aux
diverses valeurs de p,.
On voit, dès lors, que l'équation (E) ci-dessus exprime simple-
ment qu'«/ie tangente commune aux courbes C^, et C^^passe
par te point (a,, aj).
Fig. i5i.
L'abaque comprendra {/ig. TÔa) : 1° le réseau des parallèles
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 343
aux axes, défini par les formules (i) et servant à déterminer les
points (ai, a2); 2° le système des enveloppes Cg^^; 3° celui des
enveloppes <î^p^.
Si, par exemple, a,, a^, a.^ étant données, on veut avoir ^3? on
fait passer par le point (a,, aa) un index, posé sur l'abaque,
que l'on amène à être tangenU à l'enveloppe d^g^, et on lit la
cote de V enveloppe C^^ qui se trouve en contact avec cet index.
La lecture d'un tel abaque, si les deux systèmes Ca, et Ca sont
eflFectivement composés de courbes, sera généralement moins
nette que celle d^un abaque à points alignés. Il est toutefois des
cas où les enveloppes de Tun des systèmes se réduisent à des
points et où, par suite, Tabaque gagne en netteté.
Soiiy par exemple, réquation complète du- troisième degré
z^-^ nz^-\- pz-^ q = 0.
Posons
x^lp, y = Iq,
équations qui définissent un quadrillage régulier parallèle aux axes. Il
Nient ensuite
XZ -i-y -i- l{z^-\- 715*) = o.
Lorsque laissant n finti on fait varier z dans cette équation, on obtient
une enveloppe Cn dont l'équation peut s^écrire immédiatement, puisque
c*est la condition pour que l'équation ci-dessus ait une racine double en z.
La voici :
i-jly^-r- 4 J?' H<r /i ( 4 'i' ^*^ — n/x* — i8/ar^)= o.
Cette équation définit des cubiques cuspidales (unicursales, de la troi-
sième classe) passant par l'origine, où elles sont tangentes à Ox,
Quant aux enveloppes £., obtenues en faisant varier n dans l'équation
ci-dessus, z restant fixe, on voit, puisque dans ces conditions la droite
correspondante reste parallèle à une direction fixe, qu'elles se réduisent à
des points à l'infini.
Pour une direction donnée, la valeur de z est le coefficient angulaire
changé de signe. On pourra donc définir ces diverses directions au moyen
d'un transparent sur lequel seront marquées, en outre des axes O^x et
Oy, des droites issues de l'origine et cotées au moyen de leur coefficient
angulaire changé de signe.
L'usage de l'abaque sera alors le suivant :
Les axes O'x' et O'y' étant maintenus parallèlement à Ox et Oy^ on
place l'origine O' du transparent en coïncidence avec le point {p^q)
du quadrillage de Vabaque. Les racines z de réquation sont alors les
CHAPITRE r.
r.oles des droites du transparent qui s
courbe cotée n (').
trouvent en contact avec la
128. Trajectoires des contacts. — Reprenant l'abaqne gé-
néral du numéro précédent, choisissons une des enveloppes C^ cl
menons les tangentes communes à cette courbe et à chacune des
enveloppes C^,. Le lieu des points de contact de ces tangentes cl
des courbes t^, sera une certaine courbe Gp, qni pourra être dite
trajectoire des contacts p, pour le système (a,).
. L'équation de cette trajectoire est bien aisée à obtenir; elle ré-
sulte simplement de l'élimination de x, entre les équations (a')
et (3) du numéro précédent. En eflfet, ces équations sont celles
de deux droites passant par le point deconuctdeladroite (aj, pj)
»vec son enveloppe C^,- ^'^ suite, l'élimination de cl^ donne bien
le lieu de ce point correspondant à une valeur fixe de ^a.
.V
Fig. 1.VÎ.
'^mT^"-'''
-+
:>
^^
-^
=F"±-
(^ette Irajecloire C3, étant tracée et cotée au moyen de la va-
(') Pour ivilcr l'usage du transparent, on pourrait appliquer une iraosforms-
lion homo graphique ramenant à distance linie la droite de l'infini de l'abaqui-
ri-dessu9, celle, par exemple, qui est dérinic par les formules
rX qui Tait correspondre i la droite de rinTini la droite j' = a. Xus. dilTéreule-'
laleur; de z correspondraient alors des poims cotés sur celle droite. Le ré-
srau {p, g) serait eonslituc par des droites (/)) issues du point ^' = o, ^' = o.
et des parallèles (q) i Oj:, et l'on aurait \ci raeines de l'équation en lisant les
cotes des points où un index, passant par le point {p, q), viendrait couper I»
droite ^'=i a, lorsqu'il aurait été amené i être tangent i la courbe cotée (n). ,
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 345
leur con*espondante de ^3 pourra, au poinl de vue de l'usage
de l'abaque, remplacer la courbe C^^, qu'il n'y aura partant plus
besoin de tracer. L'emploi de l'abaque sera alors le suivant
(Jîg. i53) :
Etant données ai, a2, «3, on fait passer par le point (ai, a2)
du quadrillage un index qui! on amène à être tangent à la
courbe («3). La cote de la courbe (^3) passant par le point de
contact fait connaître la valeur de ^3 cherchée (*).
Le principe de ce mode de représentalion nous a été, sous
forme de l'exemple particulier cité plus bas, communiqué par
M. B. Paladini.
Suivant que les courbes <i^^, ou les courbes (s^, seront plus simples à
construire, on aura recours aux unes ou aux autres. Par exemple, dans le
cas de l'équation complète du rroisième degré, traité à la fin du numéro
précédent, les courbes C- se réduiraient à de simples points, tandis que
les courbes ^2 seraient assez compliquées. Voici, par contre, un exemple,
celui même que nous devons à M. Paladini, où l'emploi des trajectoires Cr
comporte une réelle simplification. Il s'agit de l'équation
(i) n sin(a -h oi) -H m sinio — sina— o^
rencontrée par M. Pesci dans son Mémoire sur la Cinématique navale cité
plus haut ('), et qui sert à déterminer (i> en fonction de m, n et a.
Si nous posons, en appelant / un module quelconque,
(9.) j: = /m, y ~ //i,
nous avons les droites à doubles enveloppes 6gi et C^i, définies par Té
quation *
(3) j' ^in(a -^ to) -h xsino) — /sina.
La dérivée de cette équation, prise par rapport à u>, est
( 4 ) y cos (a -h w ) -+- a: cos co — o.
Retranchant cette équation, multipliée par sina>, de la précédente, mul-
(*) Il convient de remarquer qu^UD tel abaque ne se prèle pas également bien,
comme les précédents, au choix de Tune quelconque des variables comme incon-
nue. Si, par exemple, c'est s, que Ton cherche, il faut trouver la courbe «3, dont
la tangente, en son point de rencontre avec la courbe ^3, passe par le point (a,, x, ),
ce qui ne peut se faire que par tâtonnement. II est vrai que, dans un grand
nombre de cas de la pratique, c'est toujours la môme variable qui est prise pour
inconnue.
(') Note au bas de la page Sso.
.)46 CHAPITRE Y.
tipliée par cosa>, nous avons, après suppression du fadeur commun sins,
(5) y — /cosw = o.
L'élimination de u>, par addition des carrés (3) et (4), donne
(6) j-*-r- j^* -»- axj^cosa = /* sin*a.
Telle est Téquation des enveloppes C^^ qui sont des coniques faciles à
(onstruirei comme on le verra plus bas.
On trouverait de même pour les en\eloppes C^ un autre système de co-
niques. Mais l'élimination de a entre (3) et (4)) qui se trouve effectuée
dans (5), fait connaître les trajectoires (^b>, et Ton voit, d'après (5), que
ce 'sont des droites parallèles à Ox, Il sera donc plus simple ici <^e
recourir à ces trajectoires plutôt qu'aux enveloppes C^^.
Pour construire les ellipses <!^ai i' suffit de remarquer que, si Ton prend
pour axes de coordonnées les bissectrices O^i et O^i des angles des axes
primitifs, l'équation (6) dexient
7./* sin- - î/'cos* ~
vi 2
Vutrcment dit, si, sur le cercle de centre 0 et de rayon //a, on prend le
|)oint A tel que j^iOA = -, les demi-axes de l'ellipse Ca sont les projec-
lions de OA sur Ox^ e/ Oy\.
Quant aux droites Ç'^o, on peut les prendre superposées aux droites co-
lées /z, leur cote w étant donnée parcelle du point où elles rencontrent le
«ercle de rayon //qui n'est autre que C^\ gradué comme un rapporteur
à partir de Ox.
Kn pratique, m et n \arient de o. i en o,i entre o et 2, a entre o" et 180",
ri 10 entre o" et JGo".
129. Abaques à équerrc pour la résolution des équations complètes
(lu troisième et du quatrième degré. — Ayant, aux n°* 125 et 127, dé-
crit des abaques pour la résolution de Téquation complète du troisième
degré, nous croyons de\oir signaler ici un ingénieux procédé imaginé par
M. Massau ('), en vue du même problème, et que nous avons nous-méme
simplifié.
Ce procédé, déduit par son auteur de considérations de Géométrie dans
l'espace, interprétées par la Géométrie descripti\e, consiste en ceci:
Etant tracées sur un quadrillage régulier de module / les droites (-5)
définies par l'équation
Iz'^ -:- zx - y — Oj
(') Mémoire sur l'intégration graphique, liv. III, Ch. III, n» 185.
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3^7
on déplace une équerre dont le premier côté passe constamment par le
point (n — Ç,p) du quadrillage, c'est-à-dire par le point
et dont le sommet décrit la verticale cotée n ou
X ~ In,
jusqu'à ce que le second cùtp de cette équerre coïncide avec une des
droites (z), La cote de celle-ci est alors une racine de Téquation
z^ -r- /i5* -h pz ~ q = o.
En effet, appelant t) Vy du sommet de l'équerre, on voit que l'on a
d'abord
Iz* -':- zln -h T^ — o;
puis, la droite cotée z étant perpendiculaire à celle qui joint le point
X = l(n — q), y — Ip diU point x ~ In, y = r^, on a aussi
r^ — Ip
L'élimination de t; entre ces deux équations donne bien l'équation com-
plète du troisième degré ci-dessus, ce qui justifie le procédé.
Les simplifications dont ce procédé est susceptible sont les suivantes :
1® Si l'on prend les points d'intersection des droites (z) avec Oa?, on
obtient les points
X = — iZy
c'est-à-dire que la cote d'une droite z est celle du point où elle ren-
contre V échelle régulière portée sur Ox, changée de signe.
9.** L'enveloppe des droites {z) étant la parabole
.r* — uly ^ o,
il suffit de tracer cette parabole P ifig. i54) pour n'avoir pas à tracer les
droites (z).
L'abaque se réduit alors à un quadrillage régulier dont les a\es Ox
et Oy sont gradués et sur lequel est tracée la parabole P. Son usage se
réduit à ceci : On déplace une équerre dont le sommet décrit la verti-
cale cotée /i (le long de laquelle on peut placer une règle) et dont un
côté passe par le point (n — Çy p) (sur lequel on peut placer une pointe
fine) Jusqu'à ce que son second côté soit tangent à la parabole P. La
cote changée désigne du point où ce côté coupe Ox est une racine de
l'équation proposée.
On voit qu'il suffit, dans l'équation du système des droites (z), de rem-
placer z^ par z^ -+- mz', pour avoir un abaque de l'équation complète du
quatrième degré
z'^ H- mz^ "h nz^ -i- pz-r- q ~ o.
GBAPITRB V.
A chaque lalcur de m correspond, bien entendu, une ci
loppe Cm analogue à P. Il n'y a qu'a tracer le système de ces
le quadrillage régulier pour que l'abaque se trouve construit.
•;•
\ > 7 'n-
\- -X^^"
X Y
^ ^N..
XS ^'^
X -^^^z^
Sculemei
les valeurs de s ne devront plus être inscrites sur l'axe Or.
s des points où cet axe est coupé par la droite
/(='.
-«=')-
ne sont pas les mêmes suivant la valeur de m. Ces valeurs de « pourraieni
lïire données par le coefficient angulaire de la droite correspoadanle cbangr
dcsigne.OnpourraJtaussi recourir à l'emploi des trajectoires de contact C:
( n" 138). En elTet, le lieu des points de contart des enveloppes Cn avec le
droites correspondant à une même valeur de s est une courbe dont l'équa-
i'obiiendra, comme on l'a vu au n" 138, en éliminant m entre l'équa-
ri-de!isus et sa dprivéi*, prise par rapport à s. Ici, l'équation et sa dé>
«'tant linéaii't's en m, x et y, on voit que ces trajectoires Itz seront
des droites.
On trouvera plus loin (142, 3°) un autre type d'abaque pour réqnatio»
complète du quatrième degré.
['M. Abaques à trois dimensions. — Bien que cela s'écarte un peu d--
notre sujet, qui vise la représentation plane des équation!:, c'est ici le lien
de faire connaître une curieuse evtcnïion à l'espace du principe des potnr>
nli),-nés doiit M. .\. Arller(i) d'une part, M. R. .Mehmkc (*) de l'autre, oui
eu séparément l'idée.
Si nous reprenons les exemples donnés dans les Acm\ derniers numéros.
nous voyons que des équations de la forme
/",(.-
-»U=) -pM = ) ~qU')-
( ' ) Wie'ier Beric/ile, l. \C\n . u* -icrlion, p. ',o',.
(-) /.eitschri/t fur Alathemalik und Pliysik, t. XLIII, p. 33«.
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 349
ont été représentées par Talignement des points à une cote
(p) u ^- /,p,
ot du point à deux cotes
in, z) uU/i{z)-. s^lxMz)-^ l\lt[J\{^)-^ nf^{z)] = o.
Si nous prenons maintenant un système de coordonnées parallèles
dans l'espace (*), nous voyons que Téquation (i) expHme que le plan
dont les coordonnées sont
(n)' u ^ lin,
(PÏ ^ = liP.
iqY w=izq,
passe par le point M dont l'équation est
iz)' uUli/i(z)-hvlili/3(z)-i- wlxl%Ms)'^lxlrhfi{z)^o.
Ce point a pour projection, parallèlement aux axes Au, Bp, Qw, sur le
plan ABC des origines, le point m, barycentre des points A, B, C respec-
tivement affectés des coefficients Itls/ii^), hl\fz{^)^ hhfki^)'» et sa
distance mM à cette projection, comptée parallèlement aux axes, est
iihMz)-^ hixMz)-^ hUMz)
Lorsqu'on fait varier z le point m décrit sur le plan ABC une certaine
courbe y ^^ '^ point M engendre, sur le cylindre qui passe par cette
<'.ourbe ^ tl di ses génératrices parallèles aux axes, une courbe V sur
laquelle on peut marquer un certain nombre de ses positions en inscrivant
à côté les valeurs de z correspondantes. On obtient ainsi le système des
points cotés {z) de l'espace^ distribués sur une certaine courbe gauche F.
Dès lors,/>oar avoir les valeurs de z correspondant à des valeurs
données de n, p, q, il suffit de couper la courbe T par le plan déter-
miné par les points cotés n^p^ q respectivement sur les axes A a, Bp,
Cw, et de lirs les cotes des points ainsi obtenus sur V.
Pour réaliser le plan (n, p, q) dans Tespace, on peut tendre un fil
entre les points n et ^ de Au et de Ctv, et amener un œilleton o, fixé à
un curseur c mobile le long de Bp, en coïncidence avec le point p. En
regardant alors par cet œilleton on lit les valeurs de z aux points où
le Gl semble couper la courbe V.
(') Les coordonnées parallèles de l'espace ont fait, de la part de M. II. Iled-
daeus, l'objet d'une dissertation inaugurale pour le doctorat en 1889, devant
l'Université de Marbourg; sous le titre : Théorie und Anwendung eines beson-
deren Ebenencoordinatensystems,
La fig, i5> représente l'instrumeot construit, d'après ce principe, par
H. Mehmke pour la résolution de l'équatioa complète du troisième degré
Si l'on suppose l'équation pourvue d'un terme de plus
/■(s)^'n/.(^) + "/.(*)+M(*)-?/.(^)=o-
on peut, pour chaque valeur de m, traiter l'équation comme il vient
d'être dit. K chaque valeur de m, correspond ainsi une oourbe T qui peut
être cotée au moyen de cette valeur de m. Les diverses courbes gauches F
ainsi obtenues et qui consiitucnt le s)5t6me (m) sont, d'ailleurs, toutes
situées sur un même cylindre, attendu que la courbe y. projection de F
sur ABC, ne dépendant que de« trois derniers termes de l'équation, est la
même quel que soit m. On pourra donc les tracer toutes sur ce cylindre
en marquant vj;alcmenl le^
diverses valeurs de :. Poui
matière transparente, comme li
de l'œilleton, voir le fil rendu, t
correspondant à des valciir<i doi
rait être construit pour l'équalii
I de ce cylindre correspondant a
le le cylindre soit constitué par une
iloïd. à travers laquelle on pourra,
L le moyen d'obtenir les valeurs de s
le m, n, p, <j. Un tel abaque pour-
ipléie du quatrième degré.
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLRS.
35l
C. — Élé
MENTS V n COTES.
131. Définition des éléments à n cotes. Échelles multiples.
— On a vu (n° H5) que les éléments, lignes ou points, à deux
cotes se définissaient au moyen d'un /réseau constitué par deux
systèmes de lignes à une cote. Rien n'empêche de munir à son
tour l'un de ces deux systèmes, ou même les deux, d'un réseau
de doubles cotes, et de continuer de même pour les systèmes
constituant les nouveaux réseaux introduits. La répétition de
cette opération permet, comme on voit, de multiplier autant
qu'on le veut, théoriquement du moins, le nombre des cotes affé-
rentes à un système quelconque d'éléments donnés.
hajig. i56 donne, par exemple, la représentation schématique
Fig. i56.
d'un système de courbes C à quatre cotes a, |3, y, o. La courbe C
correspondant à un système de valeurs des quatre variables est
celle qui passe par le point de rencontre de la courbe (a, P) et de
la courbe (y^ 8)- Et l'on voit que, si la courbe Cest connue ainsi
que trois de ses cotes, la quatrième s'en déduit immédiatement.
Dans le cas où les courbes C deviennent des droites parallèles,
ces droites déterminent, sur un axe quelconque perpendiculaire
à leur direction, une échelle dont les divers segments, comptés
à partir d'une origine arbitrairement choisie, se trouvent être
fonctions des cotes afférentes à ces parallèles. On obtient ainsi
35a CBAPITRE V.
lies échelles multiples, doot l'idée, sous la forme particulière
indiquée ci-dessous, est duc à M. Lallemand.
(^ODsidérons uo système de parallèles à Oy tracées à travers
Lin réseau (a, 3) {Jig. i57),c'e3l-à-dire déilnies psruae équation
(le la forme
et un système de radiantes issues de l'origine, et tracées à travers
KiK. .57-
un réseau (-j-. ''), c'csl-à-dire définies par une équation de la
forme
Y -■K'|'(ï, S)-
On aura, dès lors, pour les parallèles à Ox passant par les
points de rencontre des droites des deux premiers systèmes,
Ces parallèles donneront donc sur O,^' une écliclle multiple,
relie de la fonction de qnalre variables dont l'expression est
fournie par la dernière formule.
Faisant coïncider de môme l'axe Ox' A un nouveau système de
radiantes à deux cotes e cl t| avec l'axe Oy de l'échelle précé-
dente, on voit ipi'on obtient, pour les parallèles à cet axe, une
ÉQUATIONS A PLUS DB TROIS VARIABLES. 353
équation de la forme
y = ?(«»P)4'(y. ^)x(^' ^)»
et ainsi de suite.
Si, au lieu de radiantes issues de l'origine, on avait, sur le ré-
seau (y, S), tracé des droites appartenant à un système simple-
ment infini quelconque, leur équation eût été de la forme
et l'échelle multiple le long de Oy aurait représenté une fonc-
tion de la forme
r = ?(«5 P)'Kt^o)-*-'!'i(t»^)-
Il est inutile d'insister davantage sur ce sujet. Nous nous con-
tenterons d'indiquer un exemple dû à M. Lallemand et apparte-
nant à la catégorie des abaques hexagonaux.
132. Exemple : Abaque de la déviation du compas, — La déviation
du compas d'un navire, variable avec la position de celui-ci à la surface
du globe, est donnée par la formule (^)
o = A-f-msinÇ-+-/i cosÇ -^ B sinaÇ-i- G fcosaÇ,
où Ç est le cap du compas, m qI n des fonctions de la longitude L et de la
latitude /, qui seront définies plus loin; A, B, G des constantes pour le
navire donné.
Les coefficients m et n étant des fonctions de J^ et de / peuvent être
représentés par des échelles binaires que nous désignerons parm(L, /)et
/i(L, /).
( ' ) Cetlc équation peut être représentée plus simplement par la méthode des
points alignés au moyen de deux systèmes de points condensés et d'un système
de points ordinaires à deux cotes.
Il suffit, pour le voir, de poser
M — /, m,
V = l^n.
Les quantités m et n étant fonctions de L et de /, les formules définissent deux
systèmes de points condensés, aux cotes L et /, déterminés le long de Au et de
hv par des échelles binaires {Rem. du n« 121, p. 3^4).
On a, en outre, pour l'ensemble des variables S et !^ les points à deux cotes dé-
finis par l'équation
l^us\n^-\- /ji^cosÇ-h /j/jCA + Bsin2Ç+ CcosaÇ — 6 ) = o.
Ces points sont détermioés par un réseau (Ç, 6) dans lequel les lignes (^) sont
des droites parallèles aux axes A a et Br.
M. D'O. 23
354 CHAPITBf T.
Sî maintenaot nou« posons
nou9 voyons que nou« n'aaroDS qu'à combiner, ainsi qu'on Ta va ao nu-
méro précétJent. l'échelLe binaire
jr' — m « L. / >
avec le* radianle>
pour obtenir l'échelle ternaire
jr' = /n« L, /)sinî = o'(L, /, ; ».
De même, si nous posons
o' =/i/L. /; cos; — A -r- B sinaî; — Ccosaï.
nous n'aurons qu'à combiner Téchelle binaire
a7' = /i(L, l)
avec les droites cotées (^) définies par l'éqnation
y' =z x' cos î — A — B sin -2 ï -f- C cos 2 î,
pour obtenir l'échelle ternaire
y = /i(L, /) cos; -+- A -T- B sin 2 ; -4- Ccosîî; = o'(L, /, Ç):
«•t, puisque
0 = 0 -+- 0 ,
il suffira que les échelles ternaires o'(L, /, Ç ) et o'(L, /, J) soient accolées
à deux des axes d'un abaque hexagonal pour que les valeurs de 0 soient
données par une échelle régulière portée sur le troisième axe (n** 33).
Reste à voir comment on pourra construire les échelles binaires
mi L, /) et /i(L, /). On a
tn
= arc sin Y (^ tangO ~^ïj)(*~i — sinBlL
n - arc sin U //tangO-4-^ j M— IsinBJ 1,
formules où tout est constant, sauf l'inclinaison magnétique 6 et la com-
portante magnétique horizontale H, fonctions l'une et l'autre de L et /.
Pour ronsiruirc léclielle binaire de m
x = m^
nous pouvons prendre pour lignes cotées L les parallèles à l'axe des r'
y -- L.
r
356 CHAPITRE V.
Reste à tracer les courbes cotées (/). Nous nous servirons pour cela des
planisphères terrestres sur lesquels sont moquées les courbes, obtenues
par l'observation, le long desquelles 0 d'une part, H de Fautre, ont une va-
leur constante. Pour avoir la courbe cotée / il suffit, pour diverses valeur*
de L ou y\ associées à cette valeur de /, d'avoir les valeurs correspondantes
de m ou x\ Or rien n'est plus simple, attendu que pour un couple de
valeurs de / et L le planisphère dont il vient d'être question donne les
valeurs de 0 et II qui, portées dans réimpression de m écrite plus haut (et
que Ton peut, au besoin, traduire par un abaque) font, à leur tour, con-
naître m.
De même pour l'échelle binaire de n.
C'est ainsi qu'a été construit l'abaque de \^ Jig, i58, dû à M. Lallemand.
qui se rapporte au navire le Triomphe, pour lequel les constantes ci-
dessus ont les valeurs
A=— i'9', e — o,io6,
B= r)<>4j', /- -o,oi3,
C=-- — o"V, P= — o,o33,
X = o,8|, Q= — o,02.
Pour plus de netteté dans l'échelle ternaire de o', on n*a fait varier le
cap du compas que d'une demi-circonférence. Afin donc d'avoir la valeur
de ô' correspondant à toutes les valeurs de Ç, on a dû répéter deu\ fois
l'échelle binaire de n (*), l'une de ses positions correspondant à la gra-
duation du demi-rumb nord, l'autre à celle du demi-rumb sud.
En résumé, ayant pris dans V échelle de o' (indiquée sur la figure par
le chillVc 1) le point de rencontre de la droite J et de la parallèle au
premier axe passant par l'intersection de la droite L et de la ligne /,
et dans V échelle de o" (indiquée par le chiffre II), le point de rencontre
de la droite Ç et de la parallèle au second axe passant par l'inter-
section de la droite L et de la ligne l (en tenant compte du demi-rumb
où se trouve le compas), il suffit de faire respectivement passer par ces
deux points les deux premiers index du transparent convenablement
orienté pour que le troisième donne sur le troisième axe, qui porte
V échelle de la déviation, la valeur de o.
On a indiqué on pointillé sur la fiî;ure les positions de ces index pour
rt^xcinplo numérique suivant :
L'al);j«|iic donne alors
0 = ir\8,
(') \(in de faciliter la lecture, on a, sur rrchcllc binaire de w, qui est. en
soninir, un planisphère ananiorf)lio.sé, fait Iii;urer les contours des continents. On
s'est dispensé de le faire sur réchelle binaire de //, parce qu'il en sérail résulté
une certaine confusion dans le dessin.
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 357
II. — Systèmes mobiles.
A. — Systèmes divers a translation et a rotation.
133. Systèmes à translation. Règles à un tiroir. — Nous
avons eu, dans l'application de plusieurs des méthodes précé-
dentes, à nous servir de transparents mobiles à un, deux ou trois
index (n®* 13, 18, 31, 56). On conçoit a priori qu'on pourra
donner une nouvelle extension à la représentation plane des
équations à plusieurs variables par l'emploi non plus seulement
d'index mobiles, mais de systèmes cotés mobiles mis dans cer-
taines relations de position avec les systèmes cotés d'un plan •
fixe (*). C'est un sujet qui sera approfondi plus loin (n*** 144
et 145). Avant de l'aborder dans toute sa généralité, nous voulons
en indiquer divers cas particuliers plus spécialement dignes d'at-
tention au point de vue pratique.
Le cas le plus simple est celui d'un système mobile dont les
déplacements se bornent à des translations parallèles à une direc-
tion fixe.
Considérons trois axes parallèles O^x^^ O^x^, O^oc^ tels que
celui du milieu puisse glisser entre les deux autres {fig* iSg). Si
Fig. 159.
^.' ''*'■ 'i ■■■■■■'■■■'■■■■■' '_r,
<aa)
^J . t .■«.■..■■...■■.■... I ■. t 1 ' ^ I-^
I
Q3 > I I I I I > I I f I I I I I ! > I I 1 t t I t I \^3
(as) '
Torigine O2 est amenée en face du point d'abscisse x^ et si le point
d'abscisse X2 vient alors en face du point d'abscisse X3, on a
Si les trois axes portent respectivement les échelles définies
( ' ) On a déjà, incidemment, rencontré dans ce qui précède quelques exemples
de systèmes mobiles (n"" 14, 18, 55, 127).
358 CHAPITRE V.
par
on aura donc
/l(«l)-+-/t(a2)=/3(a3)-
De là un mode de représentation nouveau pour les équations
de cette forme, que nous avons déjà rencontrées aux n"* 26, 28,
32 et 66.
On pourra réaliser matériellement Tabaque correspondant en
gravant les échelles (ai) et (as) sur la face supérieure d'une règle
dans laquelle on engagera un tiroir à glissière portant l'échelle («a)-
On retrouve ainsi le type d'instrument connu sous le nom de
règle à calcul.
La plus simple de toutes est celle qui permet d'effectuer la mul-
tiplication en traduisant l'équation de cette opération mise sous
la forme
log«3= logai-+-logaj.
Comme ici les échelles (ai) et (aj) sont identiques, on peut les
supposer confondues. La règle à calcul ainsi obtenue, qui se
trouve aujourd'hui entre les mains de tous les ingénieurs, est d'un
usage trop courant pour que nous croyions devoir nous y arrêter
davantage (*); il nous a sufii de faire voir comment elle peut se
rattacher à la théorie générale des abaques.
Parmi les équations du type voulu, on peut encore citer celles
qui se rencontrent dans le calcul des profils de remblai et de
déblai lorsqu'on les a mises sous la forme logarithmique (n^lOl).
4 .
(') Rappelons que le principe de la règle à calcul fut proposé par Wingale
dès l'époque où Gunter imagina la construction des échelles logarithmiques, soit
tout au début du xviir siècle. L'usage de la glissière, introduit par Seth Par-
tridge (1671), fut réinventé par Leadbetler (1700). C'est vers i8i5 que les frères
John, de Soho, (irent de la règle à calcul l'objet d'une fabrication courante.
Introduite en France par Jomard en 1821, cette règle y fut construite par Lcnoir,
qui la perfectionna dans ses détails, ainsi (jue ses successeurs, Gravet-Lenoir et
Tavernier-Gravcl. M. Poraux en a fait connaître diverses variantes possédant des
avantages spéciaux. Le ruban calculateur du marquis de Viaris en est un
ingénieux dérivé. M. Gros de Perrodil a consacré une brochure à la Théorie de
la règle logarithmique (Gauthier-Villars, i885). On doit aussi à M. Labosnc
une Instruction sur la règle à calcul ^ qui contient toutes les indications de
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 359
Une règle pour ce genre (inapplication a été construite par
M. Toulon (*), une autre par M. Paulin {'^).
De même qu'on Ta vu à propos d'autres types d'abaques, les
échelles d'une règle à calcul pourront, le cas échéant, êlre frac-
tionnées. En voici un exemple bien simple :
Supposons que la partie utile OfXi de l'échelle (ai) déborde
sur la partie utile de l'échelle (ol^) {fig» i6o). A partir de la pcr-
Fig. i6o.
0'ii-b
0,H
A,
^^^^^^^^^^^^^^^^
XJb
•a;
I I I I I I
I I I I I I I I I I I I or.
■ ' ' ■
^i' ■■■'■■■■■■ I ■■■■■■■ ■
; oi
Ojl I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 1
pendiculaire à O^Xx menée par O3, reportons en O, A', la por-
tion 0|A| de l'échelle («i), et fixons au tiroir un index O^ dont
la distance au trait origine O2 de l'échelle (a2) soit précisément
égale à 0| A4. Il est bien clair que lorsque le trait O2 marquera
sur 0| A| le point affecté d'une certaine cote a,, l'index O^ mar-
quera sur O', A'^ le trait affecté de la même cote. On pourra donc
supprimer la portion 0| A| de l'échelle (a,) en la remplaçant
par O'^ A', de façon à limiter les deux échelles (ai ) et (as), portées
par la règle, à une même perpendiculaire à la direction de celle
règle.
Lorsque le trait O2 se trouvera engagé entre les échelles de la
règle, on se servira de ce trait pour prendre le point ai sur la
portion A| x^ de l'échelle correspondante. Lorsque le trait O2 se
trouvera en dehors des échelles de la règle, c'est avec l'index O.^
qu'on prendra le point ai sur le segment O', A', .
détail relatives à son emploi. On trouvera à ce sujet quelques détails dans notre
brochure 0.8, p. 53 à 66.
Enfin un nouveau modèle de règle à calcul, construit également par la maison
Tavernier-Gravet, a été proposé en ces derniers temps par M. A. Beghin, qui a
rédigé sur ses nombreux usages une brochure très intéressante.
Il convient aussi d'observer que le même principe théorique peut encore être
appliqué au moyen de la rotation relative de cercles concentriques munis des
mômes graduations que leâ règles et leurs tiroirs. Ce dispositif, adopté dès 1682
par Oughtred, se retrouve dans divers instruments modernes, comme ceux de
M. John Fuller {Computing telegraph) et de M. Boucher {cercle à calcul).
(») Voir le Cours de Boutes de M. Durand-Claye (2" édition, 'p. 56i).
(^) Portefeuille des conducteurs des Ponts et Chaussées^ t. XXI, p. i33; 1889.
36o CHAPITRE V.
Il est bon d^ailleurs d'observer que, dans beaucoup de cas, les
traits de la portion OiAi prolongeront exactement ceux de la
portion AtXi qui pourront dès lors servir à définir la seconde
partie de l'échelle, pourvu qu'ils soient munis d'une seconde
chiffraison (* ).
On peut, bien évidemment, remplacer les trois échelles simples
(ai), (a2) et (ol^) du numéro précédent par des échelles binaires
(ai, pi), (aa, ^2)', (^3? l^a)* On a ainsi, au moyen d'une règle por-
tant les échelles (ai, pi), (ag, ^3) et munie d'un tiroir portant
l'échelle (a2, ^2)» la représentation de l'équation
/l(«l,Pl) -»-/,(«„ p2)=/3(a3,p3).
Pour mettre en correspondance les points de l'une à l'autre
échelle, on peut avoir recours soit à une équerre dont un bord est
mis en coïncidence avec un bord de la règle, soit à un curseur por-
tant un index perpendiculaire à la direction de la règle et qui
se déplace le long de cette règle.
13i. Règles à plusieurs tiroirs. — Au lieu d'un seul tiroir,
on peut munir la règle de plusieurs tiroirs glissant les uns coutre
les autres (/î^. 161). Si la règle porte les échelles (ai) et (a,,)
définies par
Xi ^. //, (a,),
et si les divers tiroirs portent les échelles
^t ^ Ift ( 3tî ),
^3 ^^/aCa.,),
Xn-x= l/n-i{ctn-i)y
(') La règle h calcul frarlionm^c, imaginée el réalisée dès i85i par le lieute-
nant Mannliciin (depuis lors colonel), a, dans la suite, été, sous des formes
diverses, rcinvcntco f)ar divers auteurs, notamment par MM. Kverell {Universal
proportion Table), Scherer {Itechentnfel), I)orivr\ {Carte à calculs) ^TUacker
et lîiileter ( Cylindres à calcul). Afin de donner à un tel instrument de calcul
un grand développement sans avoir recours au fractionnement, le professeur
(leorîics Fulier, de Hclfasl, la enroulé sous forme d'hélice {Spiral si ide rule:
voir notre hrocliure 0.8, p. ()«>). Les trois derniers instruments cités réalisent
des sortes d'abaques à trois dimensions. D'après M. Favaro, la première échelle
hélicoïdale aurait, dès iG5o, été construite par Milburne.
ÉQUATIONS À PLUS DE TROIS VARIABLES. 36 1
on voit que si Ton arrête Torigine Oj en face du point a,, O3 en
face du point aj, . . . , 0,i_i en face du point a„_2, et si le point
a„_, se trouve alors en face du point a„, on a
/l(«l) -+-/«(««) -+-•••-+- /«-l(3t/l-l) =/«(a«).
On obtient donc ainsi un nouveau mode de représentation des
équations déjà envisagées au n'* 37.
Oïl I I
o„
I I I
Fig. 161
iJ-iO.
X-d.
I I i I
r I I I
,a>t
-U- 4-
^mmJm
4— J-^— Jm-Ai
I i I ■
O3I I I I I I I I I I I
■ I 1
O4W-L
I I I
' ■ ' ■ • ■ ■ ■ ' ' ÛO'^
^mi^mL
I I I i I I I
li I I I I I I
I II
•a5»i-i
I I I I I ' I
I I I I
\ \ à a>,
On pourra, bien évidemment aussi, comme dans le cas précé-
dent, remplacer une ou plusieurs de ces échelles simples par des
échelles binaires.
Exemple : Règle à calcul pour la traction d'une locomotive, —
Si V représente la vitesse en kilomètres par heure, q le poids en tonnes
de chaque véhicule remorqué, a l'inclinaison de la voie sur l'horizon, le
nombre n des véhicules que peut remorquer une locomotive de type
connu est donné, d'après M. A. Frank, par la formule
n —
»/.
-f- B p* -f- C — D sin a
E^ -r- Fi^î-- 1000^ sina
où A, B, C, D, E, F sont des constantes numériques dépendant de la loco-
motive considérée.
Cette formule a été représentée par M. F.-J. Vaes, au moyen d'une règle
à trois tiroirs de la manière suivante (^) :
Si l'on pose
( ' ) Studies over trekkracht van Locomotieven en weerstand van treinen
{De Ingénieur, avril 1897).
362 CHAPITRE V.
et
D sina ^ ,
10007 sina , , .
on voit que la formule considérée peut s'écrire
ou
log/i = log/i (i^) -+- log/,(i^, %) — log/aCi', y ) — Iog/4(p, 7, a).
Sous cette forme, on reconnaît qu'elle rentre dans le type générai ci-
dessus. On pourra donc la représenter au moyen d'une règle portant les
échelles parallèles
a^o ~ ^logn,
il étant un module quelconque), entre lesquelles on fera glisser des tiroirs
munis des échelles multiples définies par
a:,= /log/iCi', a),
xs = — nog/,(p, y),
^4= — /log/4(i^, gr,a).
Les deux premières sont des échelles binaires; leur exécution n'offre
donc aucune difficulté. On pourra d'ailleurs, pour l'une comme pour
l'autre, prendre pour lignes cotées (t») des parallèles à l'axe des x,
La dernière est une échelle ternaire ; mais rien n'empêchera de construire
sur différents tiroirs interchangeables les échelles binaires obtenues en
attribuant à a difl'ércntes valeurs fixes. On se servira, dans chaque cas, du
tiroir portant l'échelle (t\ q) correspondant à la valeur de a considérée.
Si, d'ailleurs, les échelles {v^q) correspondant à plusieurs valeurs de a
n'empiètent pas les unes sur les autres, on pourra les tracer sur le même
tiroir, ce qui est le cas pour l'exemple numérique auquel se rapporte
\difi^. 162. Celte figure reproduit un fragment de la règle construite par
M. Vaes avec les données
A — i-j^oG, D — ()3ooo,
B - 0,0775, E — '2,5,
G— — 23*2,6, F — 0,0047.
La règle même porte les échelles I et V relatives l'une à p, l'autre à n.
Celte dernière a d'ailleurs été fractionnée ainsi qu'on l'a expliqué à la fin
du numéro précédent.
364 CHAPITRE V.
Les tiroirs II et III portent des échelles binaires (p, a)et(p, ^) pour
chacune desquelles les lignes (v) sont des parallèles aux. bords de la
règle.
Le tiroir IV porte trois échelles binaires (c, ^) correspondant respecti-
vement à a =Too*» * =roô ^^ * =rôVôï échelles pour chacune desquelles
les lignes v, toujours parallèles aux bords de la règle, sont les mêmes.
L'usage de la règle peut se résumer ainsi : On fait correspondre le
point (t^, a) de l'échelle II au point v de Véchelle I,puis le point iy^ q)
de Véchelle III à l'origine de Véchelle II, puis le point {v^ q) du
f^roupe a de Véchelle IV à Vorigine de Véchelle III, ou à Vindex ter-
minal, marqué sur cette échelle non loin de son extrémité si son ori-
gine est trop éloignée (ce qui est le cas sur Wfig, 162). On n^ a plus
qu'à lire la cote du trait de Véchelle V qui se trouve en face de
l'origine de Véchelle IV, cette lecture se faisant le long du bord
extérieur ou du bord intérieur suivant que, pour mettre en place
Véchelle IV, on s'est servi de l'origine ou de Vindex terminal de
l'échelle IIL
Il va d'ailleurs sans dire que, puisqu'il s'agit ici d'un nombre de véhi-
cules, on prendra pour n la valeur entière la plus voisine de celle qui serait
exactement donnée par l'origine de l'échelle IV.
Par exemple, sur la ftg, 162, la disposition des tiroirs, qui correspond
aux données
i' = f)o^™, q — lif 5, a = -; — >
^ 400
montre que l'on a
n = 12.
135. Systèmes à double translation. Résolution des équa-
tions trinômes à exposants quelconques. — On peut combiner
la translation de IW.hellc dans le sens de sa longueur avec une
translation perpendiculaire à cette longueur.
Si, par exemple, nous prenons un abaque à points alignés,
constitué au moyen de trois échelles rectilignes parallèles (Ch. III,
§ II, A), nous pouvons rendre chacune des trois échelles mobile :
i" dans le sons de sa longueur; 2"* dans le sens perpendiculaire à
cette longueur.
Pour définir la première translation, on peut accoler à réchelle
(a) une échelle ([i) dont on amène un point de cote donnée sur
Taxe 0.r; pour délinir la seconde, il suffit de faire passer le sup-
port de l'échelle (3) par un point de cote donnée sur une échelle
(y) parallèle à Ox. Dès lors, les coordonnées du point a sont
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 365
Par suite, en supposant les modules /| et /.^ les mêmes pour les
diverses échelles parallèles, on voit que l'alignement des points ai ,
ao, «3 (^fig' i63) donnera une représentation de l'équation
/i(«i)-?i(Pi) ^^iCYi)
/sCaj) — ?3(?3) 4^3(73)
o.
En remplaçant les neuf échelles qui viennent d'être définies par
des échelles binaires, on a un abaque à dix-huit variables.
,9
2o.r
IS-I
I I I I I
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5- -1010 15 0,, ,5-. 10 15 0,^.5^-- 10 15
10
(T.V
50
.20
<?3)
-0
OC.
On pourra, sur les trois supports parallèles, supposer les échelles
(a) et (P) respectivement confondues. La forme correspondante
(le l'équation sera la précédente dans laquelle les lettres ^4, cp^, cpj
seraient remplacées par f^ , y2> /a»
On pourra aussi attribuer à plusieurs des variables des valeurs con-
stantes. Supposons, par exemple, le point «3 constamment confondu avec
l'origine et le point «j variable sur une échelle fixe. La forme correspon-
dante de réquation sera
/i(3t,)--/i(?i) 4^1(71) i
/î(at) h I
o o I
— o,
ou
/'[/i(»i)-/i(P.)]-/i(«.)'!'i(ïi) = o.
h étant une constante.
366 CHAPITRE V.
En parliculier, prenons pour/i et/j la fonction logarithmique, et pour
^i la fonction h^i. Nous aurons
ou
logaj — logp, — Yi loga, = o
Si l'on remplace les lettres «i, p», ^i et «t respectivement par 5, m, fz
et -3, on peut décrire Tabaque correspondant de la manière suivante :
L'axe Ox portant une échelle régulière quelconque, on lui élève
au point coté i une perpendiculaire sur laquelle on porte une échelle
logarithmique fixe E dont le point i se trouve sur Ox; puis on amène
une échelle logarithmique mobile E^, de même module que la précé-
dente et qui lui reste parallèle^ à passer par le point coté [i de 0.r,
son point coté m se trouvant sur Ox. Si alors une droite, tendue à
partir du point 0, coupe les échelles E et E,,, aux points respectivement
cotés z et 5, on a
s = mzV-,
Prenons une seconde échelle mobile E^ pour laquelle nous remplacerons
5, m, \L respectivement par t^ n, v. Nous aurons de même
t — nz"*.
De là l'ingénieux procédé de M. L. Torres pour la résolution des équa-
tions trinômes d'ordre quelconque (^). Une telle équation peut toujours être
mise sous la forme
mz]^z : nz^ — I.
Disposons nos deu\ échelles E,„ et E„ comme il vient d'être dit i fig- iGj ).
Si nous tendons à partir du point O une droite qui coupe ces échelles en
des points dont les coles 5 et / soient telles que l'on ait
5 rh ^ — I.
la valeur de -3 lue sur réchellc E, à son intersection avec cette droite, est
une racine de l'équation ci-dcssns.
(') Ce procédé grapliique (Constitue le schéma d'une curieuse machine conçue
par iM. Torres en vue de cette rcsolulion. Les remarquables machines inventées
par ce savant ingénieur pour résoudre diverses équations peuvent d'ailleurs toutes
être regardées comme des sortes d'abaques mécaniques. Happcions à ce propos
que M. Torres est parvenu, par un véritable prodige d'ingéniosité, à donner une
solution absolument générale et complète du problème qui consiste à obtenir méca-
niquement les racines non seulement réelles mais imajyinaires des équations algé-
briques de degré quelconque. [ Voir, à ce sujet, l'article que nous avons fait pa-
raître dans le Oc'nie civil (t. WVIII, p. i-jq; 1S96).]
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 867
La disposition des échelles de là Jig. 164 répond au cas où Ton a
m — 2,1, /i = 6,5,
fji = 4, V = 3.
On voit que la position de l'index, marquée en pointillé au-dessus de Ox
Fig. 164.
— 0,01
0 V
—0,01
-0,1
-0.1
M l'i l'i'iifrij'i'i'i" l'i'i I l'F
1 2 ^
10
En
—0.01
-—OX
Eli
F-10
— 100
— 100
-0,001
— 1
—10
—100
^,
1000
—1000
coupe les échelles Em et E» en des points dont les cotes 0,11 et 0,89 ont
une somme égale à i. Far suite la cote
z = o,5i
du point où cet index rencontre réchelle E est racine de l'équation
De même, la position de l'index marquée en pointillé au-dessous de Oa:
coupe les échelles E,n et E,, en des points dont les cotes 200 et 199 différent
de I ( * ). Par suite la cote
5 = 3,11
( ' ) L'abaque dont on s'est réellement servi était muni d'échelles logarithmiques
ordinaires dont celles de \^ fig. i56 sont la réduction dans le rapport de i à 6,25.
CHAPITRE ï,
OÙ cel index renconlre l'échelle E est rac
2,i**--6,5a:>-i.
uvcra d'aulrca eitemples de systèmes ;
) images logarithmiques auxquels une s
pb. loin.
translation dans les
■tion spéciale (B) est
136. Systèmes à rotation. Échelles tournantes. — Après les
systèmes à Iranslation, les systèmes mobiles les plus usuels sont
ceux à rotation.
l'our commencer par l'exemple le plus simple, prenons une
(■chelle (a) pivolanl autour d'un do ses points sur le système sup-
posé fixe des droites parallèles menées perpendiculairement à sa
direction primitive Ox (') {Jîg. i65).
Si l'échelle (i) est définie par
^' =//(>),
la perpendiculaire à Ox passant par le point n a pour équation
i:=;/(a)cosu., ,
w étant l'auglc que Ox' fait avec Ox.
Supposons tracée sur le plan de l'abaque une courbe portant
une graduation quelconque (p). L'angle w csl évidemment l'onc-
tion de la cote [i du point par lequel passe le support Ox' de
(') Uni- telkCTlielIc pcnt iM
ahaques polairo? ( n" 5 j ) Itsi
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 869
l'échelle (a), ou un index quelconque invariablement lié à ce sup-
port. On peut donc poser
costo = o(P)
et, par suite,
^= //(«)?(?).
L'ensemble de l'échelle mobile (a) et de l'échelle fixe (P), qui
peut être dite échelle de repérage, équivaut donc à une échelle
binaire représentative de la fonction /(a) tp ( ^ ) le long de Ox,
Nous n'avons fait aucune hypothèse sur la nature du support
de l'échelle curviligne (P). Il va de soi que, dans la plupart des cas,
le mieux sera d'adopter un cercle de centre O. Quel que soit
d'ailleurs ce support, la graduation s'en fera bien aisément au
moyen de la relation écrite ci-dessus, qui lie ^ à w. Dans le cas
d'un support circulaire, la graduation (P) est bien évidemment
telle que sa projection sur Ox soit l'échelle même de la fonction
cp(P), construite avec un module égal au rayon du cercle.
En vue de représenter au moyen d'une échelle tournante les
fonctions de la forme /(«)?(?) 4- ^(a)> M. Lallemand, à propos
de l'application donnée ci-dessous, a eu l'idée de décrire, sur le
plan de l'échelle mobile (a), de chaque point a de cette échelle
comme centre, un cercle de rayon /i{/(a). La perpendiculaire
à Ox^ tangente à ce cercle coté a, est alors
:r=/[/(a)cp(p)dz4.(a)],
le signe entre parenthèses étant -{- ou — suivant qu'il s'agit de la
tangente à la partie du cercle concave ou convexe vers Oy,
En accolant à l'axe Ox deux échelles telles que celle-ci, on
voit qu'on aura la représentation d'une équation de la forme
pour laquelle une autre méthode a été exposée au n^ 92.
Remarque, — Il suffit de remplacer l'échelle (a) par une
échelle binaire (a, a,), et l'échelle (P) par un réseau de points
à deux cotes (P, ^4), pour avoir, par les perpendiculaires à Oj:,
l'échelle de la fonction /(a, a,),p(P, p,).
M. D'O. 24
370 CDAPITRB V.
137. Exemple (inapplication : Abaque de la correction des mires. —
La correction E d'une hauteur de mire est donnée par la formule
E = (^^-^)h+/(H),
où H représente la hauteur lue, exprimée en décimètres, fx l'indice de
compensation au moment de la lecture, {jl^ l'indice de compensation au
départ, c'est-à-dire une constante, ^( H) une fonction définie graphique-
ment par la traduction en diagramme des résultats de l'étalonnage.
L'équation précédente définit donc la correction E en fonction de H et
de [X.
Une correction analogue étant afférente à chacune des deux mires, la
différence de niveau H' — H' devra être corrigée de la quantité .
e = (!^-^) H'+/.(H')- [( !^^:jli^) H'+/,(H')] .
Cette équation rentre dans le type envisagé à la fin du n° 133. On peut
donc la représenter au moyen d'une échelle simple à translation (e) glis-
sant le long de deux échelles binaires fixes ((jl'. H') et (p.'. H").
Le o de l'échelle (s) étant amené en face du point (fji', H'), le point de
l'échelle (e) qui se trouvera en face du point (fx', H') fera connaître la
correction cherchée.
Or, les fonctions représentées par les échelles binaires (fji', H') et ([jl'. H")
sont du type considéré en second lieu au numéro précédent lorsqu'on fait
correspondre respectivement les lettres H et \t. aux lettres a et ^ et que
l'on définit les fonctions y, cp, i]; par
/-
.H,
- f^— P-rf
t
10
^ =
^/(H).
Chacune de ces fonctions pourra donc être représentée par une échelle
tournante perlant des cercles de rayon //(H) pour H, et une échelle de
repérage pour \k.
11 suffira de disposer ces deux échelles sur un même plan, de façon que
leurs origines 0' et O'' soient sur une même perpendiculaire à la direction
«le la translation de l'échelle (&) pour constituer l'abaque demandé.
C'est ainsi que iVI. Lallemand a construit celui que représente la Jig. 166,
et qui est en usage au Service du Nivellement général de la France.
Chacune des échelles (11') et (H") est dessinée sur un secteur mobile
respectivement autour de O' ou de O", et qui tourne devant réchelle {\k')
ou (jjl") correspondante.
L'index i' ou i" de ce secteur mobile est amené en face de la valeur
de \i ou \l" se rapportant à l'opération dont on veut corriger le résultat,
Equations a plus de trois tahiables. 871
valeur qui est doDoée en centi millimètres. Connue celte valeur ne varie
pas sensiblement dans le eonraot d'une journée, pour effectuer la correc-
tion des lectures faites dans cette journée, on Tikc d'une manière inva-
riable les secteurs, s r la planchette qui porte l'abaque, au moyen de
punaise» P' et P'.
L'échelle de la correction (e), graduée en décimilliroèlres et gravée sur
37a CHAPITRE V.
une plaque de celluloïd, est indiquée en pointillé sur la figure (^). Ses dé-
placements sont guidés par une règle le long de laquelle s'applique un
bord du transparent.
La disposition de la fig, 166 correspond aux données
ir= II'*", 9, H'= 24'»".
Les indices î et i' ayant été placés aux points cotés 106 et 126 des
échelles (fx') et (fji') et Thorizontale o de Téchelle transparente étant
amenée tangenliellement au cercle coté 11 de Téchelle (H'), on voit que
la tangente horizontale au cercle coté 24 de l'échelle (H') correspond à la
division 4o de Téchelle transparente. On a donc ici
dm
6 = 40
138. Abaque de la lumière diffusée, — Nous avons vu au n** 135
comment, lorsqu'une équation peut revêtir la forme de déterminant
requise pour l'application de la méthode des points alignés, on peut uti-
liser les systèmes à translation pour augmenter le nombre des variables
correspondant à chaque point aligné. Voici un exemple où c'est un système
à rotation qui remplit le même office. Cet exemple est emprunté à la
Thèse du capitaine Lafay pour le doctorat es Sciences physiques (*).
fX> désignant un angle qui définit la vibration rectiligne incidente, ^S un
angle qui définit la direction du grand axe de la vibration elliptique dif-
fusée, les mêmes lettres afl'ectées des indices i et 2 les mêmes angles pour
le cas où la vibration diffusée devient rectiligne, a et b des variables liées
aux directions des rayons incidents et diffusés et dépendant de la nature
de la surface, l'équation à mettre en abaque est
SI
inî(Ç — a?,)sin2(cilo — a\o,) sin«($ — $, ) sin2(-A«— .\,,)
a b
= '2sin($—à^)sin(Ç — $,)sin(2.l> — 0.1,1 — ol,,).
Posant
2a'V> — 0.I01 — -îilsj = p,
:>. (j? _ (î, _ ifj = -2 3',
(•) Cette échelle prùle à l'observation que voici : Comme on n'a besoin que
des valeurs arrondies de e, au lieu d'élever, au support de l'échelle, des perpt»-
diculaircs par les points de cote ronde, on les mène par les points moyens enlre
ceux-ci, en constituant de cette façon des cases à tout l'intérieur de chacune des-
quelles s'applique la cote ronde qui s'y trouve comprise.
(») Annales de Chimie et de Physique, 7* série, t. XVI, p. 5o3: 1899.
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES.
373
M. Lafay a remarqué que Téquation précédente pouvait être mise sous
la forme
sma
langp
tangP' — tanga'
tangP'-h tanga'
, tangP'-+- tanga'
cosa
— a
a
tang^' — tanga'
tangp'-f- tanga'
^tangp'-t-tangg^
tangP' — tanga'
tangP' — tanga'
Elle exprime donc l'alignement des trois points
= o.
(X)
(U)
(V)
X = l
sma
tangp'
^^_^^t^ng|^-tan^^
tangp -h tanga
tang^ — tanga
y = /cosa,
y^la tangP'- tanga' ^
^ tangP'-l- tanga'*
^ - /^ tangp'-f- tanga'
•^ tangp — tanga
/ étant le module à la fois de Oa: et de Oy.
Le point X, qui dépend des deux cotes a et p, est à la rencontre de la
droite
avec l'ellipse
(?)
y = /cosa
y^ -hx* tang'P = /*.
Les droites et les ellipses correspondantes, cotées sur la ^ff. 167 res-
pectivement au moyen des valeurs de
- = — (eiv>i —
2 2 ^
:)
et de
— = clio — — ( cAot -H eiloî )«
2 2
sont faciles à tracer.
Le point U est, on le voit immédiatement, à la rencontre de la seconde
bissectrice des axes avec la droite menée, par le point A (x = — a, y = — a)
de la première, parallèlement à la direction OS dont le coefficient angu-
laire est
^ tanga'
De même, le point V est à la rencontre de la première bissectrice avec
la droite menée, par le point B (x = b, y = — b) de la seconde, parallè-
lement à la même direction OS.
Les points A et B donnent naissance sur les bissectrices à des échelles
régulières (a) cl {b) faciles à marquer.
3^4 CBAPITBB T.
Pour déiÎDir la direction OS on peut tracer s
(a', p'), défini par
ar = — / cot fl', y = ~ f cot 5
: l'abaque le réseau
ÎDsi que cela a été fait sur Vajig. 167. La direction OS est alors celle qu
a du point O au point (a, ^'}, et il suffit alors de mener par lesjpoints
cotés « et 6 des parallèles à celle direction pour obtenir les points U et V
dont l'alignement donne X. Pour n'avoir pas à tracer ces parallèles, on
aura évidemment recours à un transparent portant des traits parallèles
équidislants suffisamment rapprocbés.
Mais il est plus simple, ainsi que l'a remarqué M. Lafay lui-même, de
recourir à une échelle (2', ^') tournante.
Supposons construit sur un transparent dont l'origine 0' reste en coïn-
cidence avec 0. et dont les axes O'x' et 0/ sont d'abord en coïncidence
avec Ox et 0^, le réseau défini par
symétrique du premier par rapport ii 0^. Lorsqu'on fera tourner c
transparent autour du point 0, de manière i amener le point (a', 3') à s
IrouvLT sur Oy, il est bien clair que son a\e O^ se confondra alors ave
la direction OS précédemment définie, l'ar suite, les droites ménies de c
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3']5
transparent parallèles à 0/', qui passeront par les points cotés a et b, dé-
termineront les points U et V.
Remarquons que, si la direction OS passe par le point (ol\ ^')j la direc-
tion OS', qui lui est perpendiculaire, passe par le point
x' = l tang p', y z=-^ l tang a'.
On obtient ainsi un nouveau réseau, que nous désignerons par (a', ^')i;
il ne diffère du précédent que par ses cotes, qui pourront être inscrites à
côté des premières, mais en chiffres penchés, afin de l'en distinguer nette-
ment.
Cela permet de ne faire usage que des points situés à l'intérieur de
i'angle AOB. Si, en effet, la direction OS est extérieure à cet angle, la
direction OS' lui est intérieure. On prend alors les droites AU et BV per-
pendiculaires à cette direction.
Si l'on a recours au transparent mobile, le réseau (a', P')i, symétrique
du précédent par rapport à O^, est défini par
x' = — /tangP', y= — /tanga'.
Puisqu'ici les droites AU et BV sont perpendiculaires à OS', ce seront
les parallèles à Ox\ au lieu des parallèles à Oy'f qui donneront la direc-
tion de ces droites.
L'emploi de l'abaque se résumera donc comme suit :
On amène le point d'intersection des droites cotées i9 — $i — 9t
et $1 — $t ^" transparent sur l'axe Oy, Si, pour que ce point soit à
l'intérieur de AOB, on a diï lire ses cotes dans le premier système, on
prend les points de rencontre V et \ des bissectrices OA et OB avec
les droites du transparent parallèles à Oy, qui passent respective-
ment par les points cotés a et b. Si, au contraire, les cotes 2$ — $i — 9t
et $1 — $t ont été lues dans le second système, on prend les points U
et V au moyen des droites du transparent passant par a et b, mais
parallèles à Ox'.
Une droite tendue entre les points V et Y coupe alors l'horizontale
cotée sur une ellipse dont la cote fait connaître oAo *
d'où l'on déduit immédiatement A>, cAoi et Xt étant donnés.
Sur \^fig, 167, construite dans l'hypothèse d'un système (a, P) fixe, on
a, en traits pointillés, tracé les droites AU et BV correspondant aux
exemples numériques suivants :
1" Direction OS.
Les données sont :
a = r,5, b = o,4;
«i-*î = 95% i(X,~Jl>,) = 4o'';
2* — $, — *, = 200°, {(X, + X,) = Jo\
376 CHAPITRE V.
On lire de Tabaque
d'oii
oHo ^ o/\ .
2° Direction OS'.
Données :
a = 1,5, b = o,4;
2 ce -- $, — «^j = 340», { ( X, -h el,,) = 50".
On tire de l'abaque
«.lo — Y ( c/loi -f- aiuj ) = 07 }
d'où
X = 117°.
On remarque aussi sur la ^ff, 167 des hyperboles tracées en pointillé et
marquées 0. Leur signification est la suivante :
Au\ variables a et 6 est liée la variable 8, différence de phase intro-
duite par la diffusion entre les deux composantes d'une vibration, par
réquation
ab = cos*o.
Or, les distances OU et OV des points U et V à l'origine sont données,
d'après les expressions écrites plus haut des coordonnées de ces points,
par
tang p -h tanga tangp — tanga
Donc
OU.OV= 2CT^» = 2COS«8.
11 en résulte que la droite UV est tangente à une hyperbole ayant Ox
et Oy pour asymptotes. Ce sont les hyperboles correspondant aux
diverses valeurs de 0 qu'on a tracées en pointillé sur la Jiff. 167. Celle
d'entre elles qui est tangente à la droite UV fait connaître la valeur
(le 8 (ï).
B. — Abaques a images logarithmiques.
139. Nouvel usage de V anamorphose logarithmique, —
L'ingénieuse méthode due à M. R. Mehmke (2) fournit des
(') Cette seconde partie de l'abaque rentre, comme l'on voit, dans le type des
abaques tangcnticis comprenant deux systèmes de points cotés (p. 128).
C') Civilingenieur, t. \XXV, col. 617 (1889) et Z. S., t. XXXV, p. 174 (1890).
Dans un Mémoire plus récent, iM. Mehmke a étendu l'application de ces ingénieux
principes aux grandeurs complexes (Z. S., t. XL, p. i5; 1895).
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 877
abaques qui comportent, comme on va voir, des systèmes à trans-
lation.
Etant donnée une équation entre deux variables
M. Mehmke appelle image logarithmique de cette équation la
courbe obtenue par anamorphose logarithmique (n® 28) de celle
qui la représenterait en coordonnées cartésiennes, c'est-à-dire celle
qui est définie par
X = /loga,, y=: /logaj,
/ étant un module quelconque.
Cela posé, le principe de la méthode peut s'énoncer ainsi :
Les images logarithmiques des équations de la forme ( • )
dz a'J'ia^îzh c'a'J«ta^2zb c''a^îay"=iz c'"a<'a^2"= o
que nous désignerons par [c', c'', c'"], peuv^ent toutes s^ obtenir
par translation des images logarithmiques du système défini
par
± a'J'ia^îzb a^îaj»2d= aj'ïay'iih Ya^»"»?-' = o,
que nous désignerons par [^].
Supposons, en effet, ce système rapporté à des axes O'x' et Oy
mobiles relativement aux premiers tout en leur restant respective-
ment parallèles, et soient Xq^ yo les coordonnées de l'origine de
ces axes mobiles, dans le premier système.
Le point (a^, a^) du système mobile aura donc, après la transla-
tion qui amène l'origine mobile en coïncidence avec le point
(^o>^o)î les coordonnées
x = Xo-hl\o^oL\, y =^o-+- ^loga'j,
ou, en posant
xo= l logXo, yo= l log Yo,
les coordonnées
X = /logXo«;, y = /logYoa'j.
( ' ) L'anamorphose logarithmique ne s'appliquant qu'aux valeurs absolues des
variables, il est nécessaire de mettre en évidence les signes des différents termes.
37^ CHAPITRE V.
Il s'ensuit que, si ce point se trouve maintenant en coïncidence
avec le point (a« , a2) du système fixe, on a
Par suite, a, et a2 sont liés par Téquation
«T'ta'i»» a7*ia7»3 a'?»7a'i»5 a'fî'a»»?'
± — ^ ^ zh — î ?— ±: —^ — dz y—^ - =o
Xj««Yy. Xm[ym'^ X^V"? *X<Y'«?'
et il suffît de poser
Xg-Yy. _ , Xy.Yy. ^ , ifXy.Yy. ^^.
pour que l'image [y] transportée comme il vient d'être dit coïn-
cide avec l'image [c', c/', c'"].
Remarquons que ces trois équations de condition, lorsqu'on se
reporte à la définition de Xo et Yo, peuvent s'écrire
(i) (/wi— /n;)a7o-H {nif—m'^)yo= /loge',
c'"
(3) (m, — m7)j:o+('w,— /n;)7o=/log--.
Les équations (i) et (i) montrent que les droites C et C, dont
les coefficients angulaires ont respectivement les valeurs fixes
nii — m', ni\ — ni'', . ,, . . i «i / \
-^ et —r, -^ et qui passent par 1 ongme mobile (^oî^o)î
coupent Taxe Oy respcclivement aux points dont les ordonnées
sont
V = ^ — j- = r loge', V =z 1 — - = /' loge',
ni2—m\ ^ nif— ml ^
Téquation (3) que la droite C", dont le coefficient angulaire est
égal à -4i -y et qui passe également par l'origine mobile(^oî^o)7
coupe l'axe Ojc au point dont l'abscisse est
/ c" c'"
07= ^log =/ lOg — •
nu- m"; ^ Y ^ Y
Construisons le long de Oy les échelles logarithmiques (c') et
(c") de modules /' et T et le long de Ox l'échelle logarithmique
(y'^') de module T.
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 879
Les trois remarques ci-dessus nous permettent alors d'obtenir
facilement l'image logarithmique [c', c^, c"'] lorsqu'on a construit
sur un transparent le système des images logarithmiques [y], ainsi
Fi g. i68.
que les droites C, C" et G" {fig* i68), que nous appellerons les
index de ce transparent.
Il en résulte, en effet, que si le transparent, tout en conser-
vant son orientation, est déplacé de façon que les index 01 et C"
soient amenés à passer par les points cotés c' et c" respective-
ment sur les deux échelles de Oy ( * ), et si, dans cette position,
l* index C^ passe par le point coté y de l'échelle de Ox, V image
[y] dont la cote y est égale à -^ coïncide avec V image [c', c", c'"].
On conçoit, d'après cet énoncé, pourquoi le système (y) peut
être dit fondamental pour les images [c', c", c'"].
(*) Pour fixer avec précision la position du transparent, il est bon de consti-
tuer celui-ci d'une matière rigide (celluloïd) ayant un bord B, parallèle à Oy et
un bord B, parallèle à C. Le bord B, étant appliqué sur O^, on le fait glisser le
long d'une règle jusqu'à ce que C passe par le point (c') de Oy, puis on applique
une règle le long du bord B^ et Ton fait glisser le transparent contre cette règle
jusqu'à ce que G* passe par le point (c").-
38o CUAPITRE V.
C
ff
On peut, pour éviter le calcul de -;^ (*), recourir à l'artifice sui-
vant :
Les diverses positions de Tindex C", qui se déplace parallèle-
ment à lui-même, donnent sur Ox, ainsi qu'on vient de le voir,
les valeurs de
c"
•
Nous pouvons construire le long de O^ une échelle binaire de
cette fonction (n° Ho) en prenant, pour définir cette échelle, un
axe Oy" parallèle à la direction fixe de C". Cette échelle sera,
dès lors, définie par
y = r logY
et
et la détermination de y? "ne fois le transparent mis en place au
moyen de d et c'^, se réduira à ceci : la cote y est celle de Vhori'
zontale de l^ échelle binaire (y, c"') passant par le point où la
droite G" coupe l'oblique cotée d" ,
On conçoit immédiatement comment ce principe permet la
résolution d'un système de deux équations simultanées telles que
où les exposants sont considérés comme constants et les coefficients
comme variables.
Pour résoudre ce système d'équations, il suffit de tracer sur le
quadrillage logarithmique défini pat*
x = /logai, y =/Iogaj
les images [c', c", c'"] et [d'j d", d'^'] des deux équations ci-dessus.
Les cotes ai et ao des difl'érents points de rencontre de ces images
sont les systèmes de solutions cherchés. Or, ces images peuvent
être obtenues par translation du système fondamental (v), qui
(') Il est à peu près aussi simple, et cela a l'avantage de dégager le tableau,
d'ciïectuer ce petit calcul auxiliaire, soit au moyen d'un des nombreux abaques
de multiplication décrits dans cet Ouvrage, soit au moyen de la règle à calcul.
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 38 1
vient d'être défini ci-dessus, et du système fondamental ana-
logue (o) pour la seconde équation.
Les cotes (ai) et (ao) des deux systèmes de parallèles consti-
tuant le quadrillage pouvant être rejetées sur des parallèles à ces
axes, on dispose des axes O x et Oy pour y accoler d'une part
l'échelle binaire (c'", y), de l'autre les échelles simples {&) et (c").
Si Ton a
nii — //ij = /îj — /ij,
nii — ml = /ij — /ij,
nii — m'j' — rii — /i^,
m^ — //ij = /ij — ^j,
ces diverses échelles sont identiques aux échelles {d!" ^ 8), {d) et
{(F) relatives à la seconde équation et peuvent, par suite, servir
également pour elle.
S'il n'en est pas ainsi, on fixe la position de l'image [8] coïn-
cidant avec [rf', rf', d'"^ sur un second tableau, puis on transporte
le second transparent de ce tableau sur le premier où est déjà
disposée l'image [c', c" ^ c"^ en repérant sa position au moyen des
points où ses index D' et D" coupent les axes portant les gradua-
tions (a^) et (ao) qui sont les mêmes sur les deux tableaux.
Remarque, — Si d" =^ o, on a X = o, quels que soient c' et c" .
Par suite, toutes les images [c', c", o], que nous représentons plus
simplement par [c', c"] sont obtenues par translation de la seule
image [o], c'est-à-dire que les images logarithmiques de toutes
les équations telles que
sont obtenues par translation de l'image de la seule équation
// sujfity pour obtenir V image [c',c"] de Jaire passer les
index C et C" respectivement par les points cotés c' et c" sur
les échelles portées par Oy,
Dans ce cas, le troisième index G" disparaît donc.
140. Images logarithmiques de polynômes. — La méthode
précédente se simplifie lorsqu'il s'agit des images logarithmiques
382 CHAPITRE V.
d'équations de la forme
aj = IiICGt| ZÏZ C Q(| Z2Z C 3C I .
Ici, en effet, on a, en se reportant aux notations du numéro
précédent
nii = (), fn\ = //i', m* = m', m^ = m"',
mj= I, m, = o, mj = o. m| = o.
Par suite, les coefficients angulaires des index C, C, C" se
réduisent à m, m', m", les modules /', P à /, et les échelles (c')
et (c") coïncident avec V échelle (aa).
Pour déterminer Y, on peut prendre le point de rencontre de Cl"
non plus avec Ox^ mais avec Oy, ce qui^ pour {^"), donne
encore V échelle («a).
On voit donc que le diagramme se réduit en ce cas au quadril-
lage logarithmique (a«, ol^) complété par le transparent portant :
1** les index C, C, C"', droites de coefficients angulaires m', m",
m'", menées par son origine ; 2® les courbes fondamentales [y],
images logarithmiques des équations
„ _4_ „m' _i_ -.m" _i_ „ «W
a2 = it: aj ± Œj zt: y^j .
Pour avoir V image [c', c", d"\ on place le transparent sur
le quadrillage, de façon que les index C et C passent
respectivement par les points cotés c' et c" de V échelle (aj)
portée sur Oy, et l'on prend parmi les images [y] celle dont
la cote est donnée par
y étant la cote du point où lUndex G" coupe la même échelle.
On peut, pour éviter le calcul de y, recourir, comme dans le
cas général, à l'emploi d'une échelle binaire accolée cette fois
à o^.
En outre, la Remarque terminant le numéro précédent s'ap-
plique encore et montre que si l'on ne prend que deux termes
dans le second membre de l'équation ci-dessus, on obtient les
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 383
diverses images logarithmiques par les translations d'une seule
courbe (*)..
Avant d'indiquer quelques exemples d'abaques fondés sur
l'emploi des images logarithmiques de polynômes, nous dirons
quelques mots de la construction de ces images, d'après M. M ehmke .
w
Supposons que deux courbes U et V i^fig* 169) soient les
images logarithmiques des fonctions
et
c'est-à-dire que, sur l'ordonnée correspondant à l'abscisse a,, on
ait
HK= /logw,
HL = /logP.
Soit, en outre, W l'image logarithmique de la fonction
aj = M -f- i',
de telle sorte que l'on ait
HM = /log(a-f-p).
On a
HM = IXo^v -\- /log / iH \»
u
d'où
HM — HL = LM = / log / I -I- -
u
(*) Ed supposant bien entendu que les signes des divers termes restent les
mêmes. Pour chaque combinaison de signes, il faut avoir recours à une courbe
spéciale.
JLil^.
>84 ClAPITftE T.
Supposons construite la courbe représenta lîve des logarithmes
d'addition de Gauss, d«ffinie par
= /log/, jr= /log/i— j)
courbe que nous appellerons logarithmique d'addition i •), et
qui est représentée sur la fig. 170 par la courbe A lorsqu'on
pn-nd / = 2*^".
Fig. 170.
^c-
(Jii voit que si t ^= -, l'ordonnée correspondante doit être égale
à LM. Or, si ^ a celle valeur, on a
X = L\o^t = /logM — / logp = KL.
Ainsi donc, pour déduire le point M des points K et L, //
sujfit (le prendre KL en abscisse de la courbe A sur la Jig. 1 -o;
V ordonn('e correspondante est égale à LM.
(') La ninart|iial)lr machine à résoudre les équations algébriques, de
M. Torrcs, dont il csl question dans la note au bas de la page 3G6, est fondée en
|)arti<* sur une traduction mécanique du mode de liaison défini géométrique-
ment |)ar celte courbe.
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 385
S'il s'agissait de construire l'image logarithmique W de
«2= i' — a,
on verrait de même que M'K serait V abscisse de A correspon-
dant à V ordonnée KL. Mais, afin d'éviter toute confusion, il vaut
mieux recourir à la courbe logarithmique de soustraction Aé&m^
par
x = /log/, y = /logM— ij
et représentée par S sur Xdijig. 170.
Le segment IM est alors égal à l'ordonnée de la courbe S
correspondant à C abscisse KL (*).
Dès lors, pour construire l'image logarithmique de
^ -1- „in' _L_ -,m"
«2 = — 2^1 =t: a, ,
nous commençons par construire les images logarithmiques de
l de
«2= aj
m'
«î = a ï
>
qui sont précisément les index C et G' , De ces droites, par le
procédé qui vient d'être décrit, nous déduisons immédiatement
l'image demandée. Cette image, à son tour, jointe à celle de
«2 = 73^7 7
c'est-à-dire à une droite, permet d'obtenir, toujours par le même
procédé, celle de
aj = ±af'dbaî*îd=Ya7"'
141. Principe des abaques à images logarithmiques, — Le
principe des abaques à images logarithmiques est le suivant :
Soit une équation de la forme
(I) M. E.-A. Brauer a imaginé un curieux appareil dit compas logarith-
mique, muni de trois pointes en ligne droite telles que si deux de ces pointes
sont placées sur les points K et L de la fig. 169, la troisième vient automati-
quement se placer au point M. Ce compas est décrit dans le Supplément au
Katalog der mathematischer Modelle de M. Walter Dyck (p. 4o).
M. D'O. 25
X6 CSAFfTSC T.
f tX Z0 éUnt de§ poh nomes de U forme indiquée an débat da
numéro précédent. Posons
Noos pourrons obtenir les images 1/ et I- de ces polTOomes sur
on quadrillage logarithmique par le procédé indiqué au naméro
précédent si nous a tous pour cbacnn de ces poljmomes un trans-
parent portant soit le STstème des images fondamentales. s^Q s'agit
d'un polrnome â trois termes, soit l'image fondamentale nnique,
s'il s'agit d'un poljnome à deux termes.
Le% cole$ %t des verticales du quadrillage p€usanl par les
points de rencontre des images 1/ et I^ sont les racines posi-
tives de l'équation donnée, dont les racines négatives pour-
ront, s'il est besoin^ s^ obtenir de même en valeur absolue
comme racines positives de la transformée en — 5.
Puisque seules les verticales du quadrillage interviennent dans
le mode d'emploi de Tabaque, on pourra se dispenser de tracer
les horizontales dont les seules cotes devront subsister sur O^
pour permettre, comme on Ta ^'u au numéro précédent, de fixer
la position des index ainsi que la valeur de y lorsqu'on a affaire à
un polynôme à trois termes. D'ailleurs, comme on pourrait avoir
pour les deux polynômes des échelles binaires différentes pour
le calcul de v, il vaudra mieu\, en général, se contenter d'effec-
tuer ce petit calcul à part ainsi qu*on Ta dit dans la note au bas
de la page 38o.
Nous plaçant donc dans le cas général, nous pourrons décrire
comme suit un abaque à images logarithmiques :
IJ abaque se compose : i"* d^ un plan opaque dont les axes Ox
et O y portent des échelles logarithmiques de même module et
sur lequel on a tracé une série de droites {z) parallèles à Oy
et passant par les points de division de l'échelle de Ox; 2** de
deux transparents portant respectivement les images loga-
rithniiques [y] et [0] construites comme il a été dit au n^ 140
avec leurs index C, C, C'^ pour l'un, D', D'', U" pour C autre.
Quant au mode d'emploi, il se réduit à ceci : Si les poly-
nômes f et o ont respectivement pour coefficients c'^ (f ^ c'' et
rf', ûf', d"^ on place les transparents, dont V orientation est
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 887
maintenue constante (*), sur le plan opaque, de façon que les
in dex C et CJ' d'une part, D' et D" de l'autre, coupent r échelle
di* Oy respectii^ement aux points dont les cotes sont d et d'^
di et d' , Si, dans cette position, les index G"- et D'" coupent la
nv&me échelle aux points dont les cotes sont y"' et 8"\ on prend
swr les transparents les images de cotes -m et -kû» Les cotes
de,s verticales passant par les points de rencontre de ces deux
i nuages sont les racines z cherchées.
Pour distinguer les rôles joués par les divers index, C et U'
d'une part, D' et D" de l'autre pourront être dits des index de
position, Cf et D'" des index de résolution.
Nous allons maintenant indiquer quelques exemples de tels
aoaques, empruntés également à M. Mehmke.
142. Exemples. — 1" Abaque des équations trinômes de degré quel-
conque. — Une équation trinôme de degré quelconque peut toujours se
mettre sous la forme
z^ = if: pz'^zh q
ou, en prenant pour inconnue 5'» et posant — = |jl (»),
z\^=di pz± q.
Formons les images logarithmiques des deux membres, suivant ce qui
a été dit au numéro précédent.
Pour le premier membre, ce sont les droites fixes C^ passant par
l'origine et ayant précisément pour coefficient angulaire (jl.
( > ) Voir la note au bas de la page 879.
(^) Il est à remarquer qu'une telle équation peut, pour une valeur particulière
de {JL, être traduite en un abaque à points alignés tels que ceux qui ont été con-
struits pour \i = 2 et \L = 3 aux n®" 79 et 81. Les points (z), pour cette valeur
de {X, seront distribués sur une courbe C^^, et Ton voit que, pour une certaine
valeur de z, les divers points obtenus en faisant varier \l sont distribués sur une
parallèle aux axes Au et bçj attendu que les coordonnées de chaque point (z)
sont données par
Si donc z et (1 sont considérés tous deux comme variables, les points (2, {!■)
sont donnés par un réseau comprenant les courbes C^^ et des droites {z) paral-
lèles aux axes ku et Bc. Les courbes C, et C, d'un tel abaque, les plus impor-
tantes pour la pratique, sont tracées sur la fig. 80.
Cour le second, ce sonl, en prenant toutes les combinaisons de sij
uiilt.'!^, les images fondamentales des polynômes (■)
dessinées aur un transparent avec leurs index D' et D' qui, rappo g.
aux aies mobiles de ce transparent, ont pour équations, puisque les en ■. ft-
L'abaque avec le transparent est représenté parla ^g.
de l'équation
déjà envisagée au n"81.
Fis- '7'-
glu j»
ir
171 dans le X
3n voit que les index D' et D' eoupent l'échelle de 0_j' respeci
>L points cotés 1,1 cl (j. Ici il faut prendre, vu les signes, 1'
(')!-« première FI la Iroisicme de ces images sont évidemment les courbes A
cl S de la Jig. 770. La seconde est la symétrique de A par rapport à l'indei D'
qui leur sert d'asymptote commune. Il est inutile d'envisager l'image de — a — 1.
attendu que, si les deux signes du second membre étaient négatifs, l'équation
n'aurait pas de racine positive.
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES.
389
de l'image de ^ -h i avec la radiante du plan opaque cotée 3, puisque jjl = 3.
On trouve bien
Z = '2,4.
9/ Abaques des équations complètes des degrés 3, 4 €t 5. — Les équa-
tions complètes des degrés 3, 4 et 5 peuvent s'écrire respectivement
tA
n =±1 pz-^dz qz-^^
nizzh n = ±1 pz-^ ±1 q z-^^
Iz dz m —àz nz-^±: pz-^dz qz-^.
On reconnaît donc, suivant ce qui a été vu au n** 141, qu'on pourra les
représenter en appliquant, sur un plan portant simplement l'échelle loga-
rithmique de Ojy et les parallèles à cet axe menées par les points de l'échelle
logarithmique de 0:r, des transparents portant les images logarithmiques
des polynômes
±z =bi,
zt z^ dz z ± Y?
± 5-* =b 3-2 ZÎZ Y -S"',
avec leurs index respectifs. Les images relatives aux polynômes de la pre-
mière ligne sont celles qui sont tracées sur la fig, 171; celles relatives aux
Fig. 172.
polynômes de la seconde sont représentées par la Jig. 1721. Le mode d'em
ploi ne diiïère pas de celui indiqué dans le cas général (n° 141).
390 CHAPITRE YI.
CHAPITRE VI.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES.
I. — Étude générale des abaques au point de vue
de leur structure (*).
143. But de cette étude. — L'examen des divers procédés par-
ticuliers de représentation plane, applicables à des équations
entre deux, trois, ou un plus grand nombre de variables, qui
viennent d'être décrits dans les Chapitres précédents, conduit
nécessairement à se poser cette question : Peut-on déterminer et
classer tous les modes possibles de représentation applicables à
des équations à n variables?
Nous avons vu au n® 131 comment on peut définir des élé-
ments, points ou courbes, à un nombre quelconque de cotes. Il
est donc évident d'abord que, pour engendrer un mode de repré-
sentation d'équations à n variables, il faudra associer ensemble
des éléments à plusieurs cotes, tels que la somme des nombres de
leurs cotes soit égal à n.
Si donc un mode d'association de plusieurs éléments a été dé-
terminé, il suffira de voir de combien de manières difl'érentes n
cotes pourront être réparties entre ces éléments pour avoir tous
les procédés correspondants valables pour n variables.
On pourra d'ailleurs n'attribuer aucune cote à plusieurs de ces
éléments qui seront dits sans cote.
11 v aura là à résoudre un problème de partition sur lequel nous
reviendrons.
Occupons-nous d'abord de reconnaître les diverses façons dont
( ' ) Nous avons, pour la première fois, donné ies principes de celle élude
dans noire Mémoire O.30.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 89 1
plusieurs éléments, mobiles au besoin les uns par rapport aux
autres, peuvent être associés en vue d'engendrer un mode de
représentation.
C'est donc au seul point de vue de leur structure que nous
devons tout d'abord envisager les abaques. Une telle élude peut,
par une extension de mot toute naturelle, être qualifiée de mor-
phologique.
Convenons, avant toute chose, de quelques notations que nous
emploierons uniformément dans la suite de cette étude. Un élé-
ment, point ou ligne, dont la nature restera indéterminée sera
représentée par la lettre E qu'on fera, s'il y a lieu, suivre entre
parenthèses des lettres désignant les cotes y afférentes :
E(a,?,Y,...).
Parfois, si le nombre seul de ces cotes intervient dans une cer-
taine question c'est ce nombre n que nous mettrons dans la paren-
thèse :
E(/i).
Il arrivera même, lorsqu'il n'en pourra résulter aucune ambiguïté,
que nous écrirons simplement (/?), ou même n.
S'il est spécifié qu'un certain élément est une courbe, une droite,
ou un point, nous remplacerons la lettre E correspondante par
une des lettres C, D ou P; s'il appartient à un système de cercles
concentriques ou confondus, ou à un système de droites paral-
lèles ou confondues, nous lui attribuerons la lettre F ou A. La
nécessité de considérer à part les éléments de ce genre apparaîtra
plus loin (n® 145, Rem. I).
144. La notion de contact. — Lorsqu'un point se trouve sur
une courbe, ou lorsque deux courbes sont tangentes entre elles,
nous disons qu'il y a contact entre ces éléments.
Pour exprimer qu'il y a contact entre les éléments E et E', nous
emploierons la notation
EmE'.
Il n'est pas nécessaire de réfléchir bien longtemps pour recon-
naître que la seule relation précise de position qui puisse être
jugée à vue est le contact de deux éléments, dans le sens large
où ce mot vient d'être pris.
3g2 CHAPITRE VI.
En effet, les notions de position qui nous sont données par la
vue se ramènent aux seules distances angulaires perçues direc-
tement par rœil, et, parmi ces distances angulaires, les seules dont
Tœil puisse évaluer exactement la grandeur sont celles qui sont
nulles.
Donc, tout mode de représentation graphique d'équations à plu-
sieurs variables ne saurait consister qu'en rétablissement ou la
constatation de certains contacts entre divers éléments géomé-
triques.
Pour rendre cette idée plus claire, revenons aux exemples les
plus simples qui se rencontrent au début de cet Ouvrage :
La représentation d'une équation à deux variables au moyen de
deux échelles accolées (n® 9) repose sur le contact des points de
l'une des échelles, éléments à une cote, avec les perpendiculaires
à la direction de leur support menées par les points de l'autre, éga-
lement éléments à une cote. La représentation cartésienne au
moyen d'une courbe (n" 12), repose sur le contact de cette
courbe, élément sans cote, avec le point du quadrillage régulier
répondant aux deux variables, élément à deux cotes, etc.
Si l'on n'a recours qu'aux éléments tracés sur un même plan, on
voit que les seuls modes de représentation possibles se ramènent à
la constatation d'un contact entre les deux éléments dépendant
respectivement de /ii et /i2 cotes, ce qui correspond au cas d'une
équation à /i| -f- ^2 variables.
C'est ainsi que la juxtaposition de deux échelles binaires
(n°H7), par le contact des horizontales à deux cotes de l'une
avec les points à deux cotes de l'autre, permet de représenter des
équations à quatre variables.
Si l'on a recours, au contraire, à des systèmes tracés sur des
plans variables les uns par rapport aux autres (*), leurs positions
(') Il doit être bien entendu que les divers plans variables intervenant dans la
question peuvent ne pas se trouver matériellement réalisés dans la construction
de l'abaque. Si, par exemple, cet abaque est constitué par un iil tendu sur diverses
échelles graduées (points alignés), l'index réalisé par ce fil tendu doit être consi-
déré comme faisant corps avec un plan appliqué sur le premier. Bien que l'on
n'ait là qu'une droite variable par rapport à un plan, on doit donc, pour la géné-
ralité de l'exposition, considérer cette droite comme appartenant à un plan qui
glisse sur le premier.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉTELOPPEMENTS ANALYTIQUES. SqS
respectives devront être définies par certains contacts entre élé-
ments appartenant aux uns et aux autres. Il y aura, en outre, un
contact à constater sur le tableau formé par les divers systèmes
arrêtés dans la position voulue. La répartition des variables se fera
alors entre les éléments intervenant dans ces divers contacts.
Nous appellerons les premiers des contacts de position, le der-
nier contact de résolution.
C'est ainsi, par exemple, que, dans l'abaque du n® 137, les con-
tacts de l'index i' avec le point |jl', de l'index i" avec le point |jl" et
de l'horizontale cotée o du transparent avec le cerclecoté H' sont
des contacts de position. Le contact du cercle coté H'' avec l'hori-
zontale cotée e du transparent est le contact de résolution.
145. Abaques à deux plans superposés, — Si deux plans sont
simplement superposés, les déplacements de l'un par rapport à
l'autre sont à 3 degrés de liberté.
Pour s'en rendre compte, il suffit de rapporter chacun de ces
plans TT et Tc' à deux axes rectangulaires O^ et Oy d'une part,
O'x' et O' y de l'autre. Le plan tc' sera complètement défini par
rapport au plan ir si l'on connaît: i° les coordonnées Xa^ya du
point O' rapporté aux axes Oj; et Oy\ 2** l'inclinaison de
Vaxe O' x' sur Ox^ ce qui fait bien trois conditions. Lorsqu'on
les laisse arbitraires, les déplacements du plan tt' par rapport au
plan TT jouissent donc de trois degrés de liberté.
Or, un contact établi entre un élément E appartenant au plan t:
et un élément E' appartenant au plan tz' équivaut à une condition
simple. Il faut donc établir trois tels contacts pour fixer la posi-
tion du plan t! par rapport au plan i^ (*). Cette fixité sera par
suite définie, avec la notation du numéro précédent, par les con-
tacts de position
EimE;, E,mE',, EsME'a.
(*) Exceptionnellement, on pourra, au lieu d'imposer à un élément E^ l'obli-
gation d'être en contact avec un élément E,- de cote bien déterminée, l'astreindre
à être en contact avec deux éléments E,- et E. entre les cotes desquels existera
une certaine relation. Nous n'avons rencontré dans cet Ouvrage qu'un seul
exemple de cette circonstance, au n** 135, où la droite pivotant autour du
point O {fig' i53) a sa position fixée par la condition de rencontrer les
échielles E^ et E„ en des points dont la différence des cotes soit égale à i. 7/ est
Sgi CHAPITRE VI.
Les deux plans se trouvant alors dans cette position relative
parfaitement déterminée, on n^aura plus qu'à constater un con-
tact entre un élément E^ de Tun des plans et un élément E'^ de
l'autre, qui sera le contact de résolution
Le mode d'emploi d'un abaque quelconque comportant un plan
mobile se résumera donc, en général, dans la suite de symboles
E,mE',, E,mE'„ EjmE',, e^me;.
Les quatre contacts ainsi dénotés étant simultanés, ou peut
évidemment prendre comme contacts de position trois quel-
conques d'entre eux, le quatrième étant alors le contact de réso-
lution. Mais, en général, sur un même abaque, la même variable
étant toujours prise pour inconnue, le contact de résolution est
aussi toujours le même, et il sera, de préférence, inscrit le der-
nier.
Il n'y a, théoriquement au moins, lorsque les divers éléments
en présence sont définis géométriquement, aucune difficulté à
former le type d'équation correspondant à l'abaque ainsi construit.
Chaque élément E/ du plan fixe a, par rapport à Ox et Oy^
une équation de la forme
où d représente l'ensemble des cotes correspondantes. De même,
chaque élément E^ a par rapport à O' x' etO'y' une équation de
la forme
ou en passant à 0»r et Oy et désignant par \ [jl et v, les para-
mètres servant à définir l'un des systèmes de coordonnées par rap-
essentiel de remarquer que ce mode de détermination rentre bien dans le
mode général ci-dessus défini, car les positions de l'élément E/ en contact avec
les élcmenls E, el E , dont les cotes ont entre elles la relation qui vient d'être
dite, ont une certaine enveloppe C'^ en sorte que la condition imposée peut se
traduire par le contact
»1:.hhE/,
bien que l'élément <C. ne figure pas sur le tableau.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 3g5
port à l'autre
OU encore
Le contacl entre ces deux éléments s'exprimera par une équa-
tion telle que
^i{ky fx,v,(î:/,c;) = o,
et l'élimination de X, a et v entre les quatre équations correspon-
dant de cette manière aux quatre contacts donnera l'équation,
entre les cotes des huit éléments en présence, ainsi représentée.
Remarque L — Il y a lieu d'examiner à part le cas où les élé-
ments E'^, Ej et E^ sont des cercles concentriques que nous dési-
gnerons alors par la notation F'^, Tj, V\, Ces cercles peuvent d'ail-
leurs, leur rayon croissant indéfiniment, devenir des droites
parallèles A'^, A^, A'^. Enfin cercles V ou droites A' peuvent se
confondre entre eux. Nous considérons tous ces cas particuliers
comme compris dans le cas général des trois cercles concen-
triques r^, Fj, F'^, ce que nous allons dire de celui-ci pouvant
immédiatement s'étendre à eux et sons une forme encore plus
simple.
Si les cercles F'^ et F'^ sont mis en contact respectivement avec les
éléments E, et E2, le seul déplacement possible du plan t! est une
rotation autour du centre O'. En effet, Ti étant l'élément parallèle
à l'élément E, à une distance égale à la différence des rayons des
cercles F'^ et F'^ (cercle de rayon égal à cette distance et de centre
E| si cet élément se réduit à un point), le cercle F^ sera en con-
tact avec l'élément F|. Par suite, ce cercle F^, en contact à la fois
avec les éléments E2 et F| , ne pourra que tourner autour de son
centre O', ce qui démontre la proposition.
Or, dans cette rotation, le cercle F'^, concentrique aux deux
premiers, tourne aussi sur lui-même, et s'il se trouve tout d'abord
en contact avec l'élément E4 il ne cessera pas d'y être pendant
toute cette rotation. Le contact E3 m E', devient dès lors superflu
et pourra être laissé indéterminé.
, La notation de l'abaque correspondant sera, par suite, si l'on se
396 CHAPITRE VI.
sert de guillemets pour indiquer le contact indéterminé,
ou, en attribuant, dans ce cas, au contact de résolution, l'indice 3,
Eimt,, Ejmt;, Ejmt;, » m ».
Remarque II. — La coïncidence de deux, points P et P' ou
de deux droites D et D', appartenant à Pun et à l'jautre plans,
équivaut à deux contacts, car, dans un cas, on peut considérer
que deux lignes se coupant en P' sont en contact avec le point P,
dans Pautre, que deux points pris sur D' sont en contact avec la
droite D. Pour rappeler qu'une telle coïncidence équivaut à an
double contact, nous la désignerons par la notation
PHP' ou D^AD',
Si donc, dans le mode d'emploi d'un abaque intervient une
telle coïncidence, sa notation sera
Pi M Pi, EjmEj, EjM Ej,
ou
DiHd;, e,me;, EsmE',.
Remarque III, — 11 se peut que les cotes afférentes à un élé-
ment du plan t:! soient prises sur le plan 71, une fois Gxée la posi-
tion relative de ces deux plans, par exemple, que la courbe C du
plan 7:' prenne, une fois ce plan fixé par rapport au plan 7:, la cote
ou les cotes d'un point P de ce plan i: par lequel elle passe.
Si a, p, . . . sont les cotes du point P, la courbe C sera dénotée
G'(a, 3, ...),
la barre qui surmonte les cotes indiquant qu'elles proviennent du
plan antérieur à celui qui contient C
Remarque IV. — Enfin, s'il s'agit d'un point, ce point peut
lui-même être formé par la rencontre d'une courbe C du plan 7:
avec une courbe C du plan tz' fixé sur le premier. Un tel point
sera désigné par la notation
ce
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 897
OU, en mettant les cotes en évidence,
C(a, ?, ...).G'(a',?', ...)
146. Abaques à plusieurs plans superposés, — Ce qui vient
d'être dit s'étend immédiatement au cas de plusieurs plans super-
posés. Nous pouvons arbitrairement choisir l'un d'eux tw comme
plan fixe. La position d'un second tc' sera alors définie, par rapport
au premier, par trois contacts entre éléments correspondants pris
sur ces deux plans. Ces plans étapl ainsi rendus solidaires l'un de
l'autre, nous représentons leur ensemble par (i^w'), et nous défi-
nirons ensuite la position du plan t:!\ par les contacts de trois de
ses éléments avec trois éléments appartenant à l'ensemble ('?nt'),
c'est-à-dire pouvant indifféremment faire corps avec le plan tz ou
avec le plan tc'. De même, trois nouveaux contacts fixeront la posi-
tion du plan T^" par rapport à l'ensemble (tctt'ii''), et ainsi de suite
jusqu'au plan t:^'"^ Ces 3 m contacts de position étant ainsi éta-
blis, on constatera l'existence d'un contact de résolution entre un
élément pris sur le plan tc^'"^ et un élément appartenant à l'en-
semble [tti^t!', . . . , TC^'"-*^].
Chacun des 6/w-f-2 éléments intervenant dans ces 3mH- i
contacts étant muni d'un nombre quelconque de cotes, on en-
gendre ainsi V abaque le plus général qu'il soit possible de con-
cevoir.
Avant d'aller plus loin dans cette étude, faisons voir pour plus
de clarté comment ce mode général de description des abaques
s'applique à quelques-uns de ceux qui ont été précédemment ren-
contrés.
Prenons en premier lieu les abaques à double alignement
(n° 88), et appelons F et \" les deux positions successives de
l'index que nous pouvons supposer marquées sur deux plans tc'
et T^' superposés au premier. Les contacts définissant la position
de l'index V seront en désignant d'une manière générale par P(a/)
le point coté a/, et tenant compte de la Remarque I du n® 145,
De même les contacts définissant la position de F seront, en
398 CHAPITRE VI.
tenant compte de la Remarque 111, du n® 143, et appelant L la
ligne des pivots
Le contact de résolution sera enfin
Sous forme plus condensée, la notation de l'abaque pourra
s'écrire
Prenons maintenant Tabaque du n^ 137 :
Désignons par 0| et O2 les points du plan fixe avec lesquels
coïncident respectivement les points O' et O" autour desquels
tournent les échelles (H') et (H"), par (O'") le trait coté o de
l'indicateur transparent, par D le bord de la fègle guide, le long
duquel glisse le bord D'" du transparent.
Les trois contacts fixant la position du plan ir' qui porte les
cercles cotés (H') sont, en remplaçant, pour plus de régularité, jjl'
et |jl" par jjl, et [Xa,
0,K0', (fii)^i',
ceux du plan tt"
ceux du transparent tî'"
et le contact de résolution est
le trait coté £ du transparent étant afTecté d'un triple accent pour
rappeler qu'il appartient au troisième plan mobile 7:"'qui est, dans
le cas présent, le transparent.
Prenons enfin l'abaque du n^ 138, sous sa seconde forme, c'est-
à-dire en supposant le réseau (a', p') mobile. Il doit être considéré
comme constitué par la superposition de trois plans, le premier t:
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 899
comprenant la partie fixe de l'abaque, c'est-à-dire les points (a, p),
(a) et (6), le second tu' les points (a', P'), le troisième ir'' l'index UV
servant à faire la lecture.
La fixation de la position de tî' par rapport à tt s'effectue en fai-
sant tourner t^ autour de son origine O' qui coïncide avec O de
façon à amener le point (a'^') sur l'axe OY, d'où la notation
OKO', OYMi(a',p').
Les points U et V proviennent de la rencontre des bissec-
trices OU et OV des angles des axes OX et OY avec les parallèles
à la direction O' Y' menées par les points (a) et (b). Si nous dési-
gnons par Ay les parallèles à O'Y' nous voyons, en nous reportant
aux Remarques III et II du numéro précédent, que les points U
et V seront dénotés
OU.AV(a)
et
0V.AV(6)
Par suite, la notation relative au troisième plan, si l'on y com-
prend le contact de résolution, sera, en appelant A" l'index placé
suivant UV,
OU.AV(a)
1-4 A*
H4 A", (a,P)i-< A', » w M
147. Types d^abaques correspondant à un nombre donné
de variables. — Si dans l'abaque le plus général défini au numéro
précédent, on affecte chacun des éléments en contact d'un nombre
de cotes, qui d'ailleurs peut être nul, de façon que la somme de
tous ces nombres soit égale à /z, on a formé un abaque d'équation
à n variables.
La détermination de tous les types d'abaques applicables à des
équations à n variables, et constitués au moyen d'un certain
nombre m de plans superposés, consiste donc : i® à former toutes
les partitions du nombre /i; 2® à distribuer les nombres obtenus
au moyen de ces partitions entre les 6/n + 2 éléments interve-
nant dans les 3m H- i contacts de l'abaque, en ne comptant que
pour une les diverses solutions qui peuvent se ramener les unes
aux autres par de simples permutations.
U n'y aurait aucun intérêt pratique à développer cette solution
]
4oO CHAPITRE VI.
dans le cas d'un nombre quelconque de plans superposés et nous
nous restreindrons ici aux seuls cas où il n'y a, soit qu'un seul
plan, soit que deux plans superposés, et qui embrassent à peu près
toutes les applications usuelles. On verra d'ailleurs qu'ainsi liinité
le problème présente encore une certaine ampleur.
Dans le cas d'un seul plan, nous l'avons déjà dit, l'usage de
l'abaque se borne à la constatation d'un contact entre deux élé-
ments E| et E2. Si donc on a affaire [à n variables, il suffira
d'attribuer respectivement à ces éléments n^ et 1X2 variables de
telle sorte que
/Ij-h /Ij = /l.
Toutes les solutions de cette partition sont données par le
tableau :
n o
n — \ I
n — 1 2
où (^ i -) représente la partie entière de — > c'est-à-dire — ou
suivant que n est pair ou impair. Il n'y a pas lieu de prolonger
davantage le tableau, car on tomberait sur des solutions qui se
ramèneraient aux précédentes par permutation entre E, et E2.
Représentant donc par ^Xo]^ le nombre des types d'abaques à un
seul plan pour équations à n variables, on a
2P:,
'■-'id^
Dans le cas de deux plans superposés nous avons trois contacts
de position et un contact de résolution, donc huit éléments en
présence
E,mE',, E,mE;, E3H.E'3, E4M1E;,
ou, en remplaçant la désignation de chaque élément par le nombre
de variables qui lui est attribué à titre de cotes.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. f\01
les nombres n< /i'^, . . . , n^ étant tels que
1=1
Deux solutions ne sauraient d'ailleurs être considérées comme
distinctes lorsque Ton peut passer de l'une à l'autre, soit par per-
mutation entre eux des quatre couples ci-dessus, soit par inversion
simultanée de l'ordre des nombres entrant dans chaque couple, ce
qui revient à un simple échange l'un en l'autre des deux plans su-
perposés.
En recherchant, sous réserve de cette observation, toutes les
décompositions en somme de huit termes (dont plusieurs nuls au
besoin) du nombre /i, on obtiendra tous les genres possibles
d'abaques à n variables formés par superposition de deux
plans (*).
Mais il faut encore remarquer qu'en procédant de la sorte on
retrouvera les tjpes d'abaques à un seul plan déjà envisagés. Parmi
les solutions qui viennent d'être définies il s'en trouvera, en effet,
de la forme
n — p*^Pi oi-<o, oi-<o, o »-• o.
Or trois contacts d'éléments sans cote du plan u' avec des élé-
ments sans cote du plan u rendent invariable la position relative
de ces deux plans. Par suite, un abaque possédant une telle nota-
lion est, en réalité, un abaque à un seul plan et devra être sup-
primé parmi les abaques à deux plans.
La détermination du nombre DT!>^^ des abaques à deux plans pour
(>) Nous ne parlons ici, bien entendu, que des abaques sur lesquels à chaque
variable ne correspond qu'une seule graduation. On peut avoir d'autres types
d'abaques à /i variables en prenant des abaques à plus de n variables sur lesquels
à une même variable correspondent plusieurs graduations. Par exemple, l'abaque
du n** 98, bien que représentant une équation à trois variables, /?, A:, ç rentre
dans un type d'abaque à quatre variables, la variable 9 donnant lieu à deux
échelles distinctes sur cet abaque; l'abaque du n" 132, bien que représentant une
équation à quatre variables S, 2^, L et /, rentre dans un type d'abaque à sept va-
riables, chacune des trois dernières variables donnant lieu à deux graduations
distinctes sur l'abaque. Ainsi que la remarque en a été faite au n* 97, si une
variable donne lieu sur un même abaque à plus d'une graduation, elle ne peut
être déterminée comme inconnue sur cet abaque que par tâtonnement.
M. dO. 26
y
403 CHAPITRE VI.
équations à n variables constitue un problème difficile de partition
qui a été résolu par le Major P.-A. Mac-Mahon ('). On trouve
Xi - 2,
^\ r-. 5,
2f^l = i6,
0CÎ -= 29,
X|--= 64,
X? — 1 10,
Remarque /. — La répartition des n variables d'une part
entre les systèmes ramiGés qui servent à définir un élément à n
cotes (n® 131), de l'autre entre les groupes attachés aux divers
éléments en présence, entraîne pour l'équation représentée, qui
sera formée dans chaque cas, ainsi qu'on l'a vu au n^ 145, l'exis-
tence de certains caractères fonctionnels. Sauf donc pour les cas
de Al = 2* et de /? = 3, on ne pourra obtenir d'abaque pour une
équation quelconque à n variables. Fort heureusement les types
représentables, d'ailleurs extrêmement généraux, comprennent à
peu près toutes les équations qui se rencontrent dans la pratique.
Remarque IL — Si l'un des trois contacts de position a lieu
entre éléments sans cote, celui-ci peut êlre rendu indéterminé,
comme on Ta vu à la Remarque I du n® 145, si l'on prend comme
éléments sur le plan li des cercles F' concentriques ou confondus
ou des droites A' parallèles ou confondues.
Remarque III. — Pour les raisons exposées au n** 30, un
intérêt particulier s'attache aux abaques sur lesquels les seuls élé-
ments cotés sont des points à une cote. On voit immédiatement
que les seuls qui soient susceptibles de revêtir cette forme sont
(' ) 5. i\f., t. XWI, p. jG; 1898. Le dénombremenl effectué dans cette Note par
M. Mac-Mahon porte à la fois sur les abaques à un seul plan et sur ceux à deux
plans superposés, conformément à renoncé que nous avions communiqué au savant
algébristc anglais. Les nombres obtenus dans cette solution et que nous avons
désignés par ^j*(n) {Ibid. p. 22) doivent donc être diminués de ^A> ou
I, pour donner les nombres JbJ inscrits ci-dessus.
(")
THÉORIE GÉNÉRALE. DÊYELOPPBMBNTS ANALYTIQUES. 4o3
ceux qui ne comportent que des éléments à une cote en contact
avec des éléments sans cote.
Nous allons maintenant faire Tapplicalion de ces généralités aux
abaques à un ou à deux plans pour équations à deux, trois et
quatre variables, qui comprennent la plupart de ceux dont on a à
faire un usage courant dans la pratique.
148. Équations à deux variables. — D'une manière générale,
nous conviendrons de numéroter les divers tjpes distincts corres-
pondante un nombre /i de variables au moyen de chiffres romain*s
pourvus d'un indice inférieur n indiquant le nombre des variables
et d'un indice supérieur /?, indiquant le nombre des plans super-
posés constituant l'abaque (*). Nous écrirons, par exemple, XjJ pour
désigner le dixième type des abaques à n variables et à/? plans
superposés (2), dont l'ensemble sera lui-même désigné par Xj.
•Rej. — Les types d^abaques à un plan pour équations à deux
variables au nombre de 2f(s\=: 2 sont définis, en ce qui concerne
la répartition des variables, par
IJ 2 •-• o,
II} IH4 I.
Type /j. — La notation d'un tel abaque sera, en mettant en
évidence les variables ai et a2,
E,(a„a,)H4Eï.
Si, par exemple, l'élément E| est le point (aj, 0L2) d'un qua-
drillage dont les axes sont cotés respectivement au moyen de aj et
de a2 et si l'élément E2 est .soit une droite, soit une courbe, on
obtient les abaques cartésiens avec (n" 15) ou sans anamorphose
(n« 12).
(') Il ne faut pas, à ce propos, perdre de vue l'observation contenue dans la
note au bas de la page Sgj.
(^) Dans notre Mémoire O.30 cité au début de ce Chapitre, nous avions adopté
un seul numérotage pour les abaques à un ou à deux plans. Il est bon, pour éviter
toute confusion ultérieure, que Tattention du lecteur soit appelée sur ce change-
ment de notation.
4o4 CHAPITRE VI.
Type II l, — Notation:
£,(«,)« E,(a,).
Si Félément E| est la perpendiculaire à l'échelle rectiligne (ai)
au point coté aj et si Télément E2 est le point coté a2 sur une
échelle rectiligne parallèle à la première, on obtient les abaques
à échelles accolées (n*»* 9, 10, H).
f>K>'l, — Quant aux ijpes d^abaques à deux plans, au nombre
de X^ = 2, ils sont définis par
l\ I •-< O I •-< O O •-< O Oi-<0
1I| I •-< O Oi-<I Oi-<0 0H«0
Type /^. — Notation :
E,(a,)^E',, E,(ot,)«E;, Ej^Ei, E4-iE;.
Prenons le tjpe d^àbaque à transparent du n** 13, et appelons
r^ et Ij les index du transparent qui se coupent au point O'. Le
point O' étant placé sur la courbe G et le transparent convenable-
ment orienté, c'est-à-dire l'index F, passant par le point X. situé
à l'infini dans la direction perpendiculaire à O^, l'index I'^ passe
par le point j^(a2) de l'échelle (a^) portée sur Oy^ lorsque l'index I',
passe par le point a:(a, ) de l'échelle (ai) portée sur Ox. Un tel
abaque sera donc dénoté
11 rentre donc bien dans le type général I.^ ci-dessus lorsqu'on
spécialise la nature des éléments qui interviennent de la manière
suivante :
Ei(ot,)^^(«i), Eî(a2)^r(ai), E3 -r^ C, E.e^X.,
E'j^i;, Eir^ii, E'3.30', e;^i;.
Nous avons insisté sur ce premier type d'abaque à deux plans
pour bien faire saisir la façon de rattacher un type particulier au
type général. Nous nous contenterons dorénavant d'indiquer la
spécialisation des cléments conduisant à la détermination de chaque
type particulier.
Type //!;. — Notation :
Ei(a,)ME;, E^H^E^ca'.), Ejme;, e, m e;.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. /|05
Représentant par G une courbe quelconque, par o(^ un point
quelconque de Taxe O'o:', il suffît de faire
E,(ot,)^^(«i), E, = C, Ea^E.^Oar,
e; ^ oy, E;(a',)^y(ai), e; ^ o', e; = ^',
pour tomber sur le type d'abaque du n** 14. D'ailleurs, moyennant
la Remarque II du n° 145, la notation de cet abaque pourra
s'écrire
a:(a,)MiOy, G«y(a;), Oa^SO'ar'.
149. Équations à trois variables. — X\, Ces types d'abaques,
au nombre de Xj= 2, sont définis par
IJ 3i-Ho
IIJ 2 1^ I
Type I[. — Notation :
E|(ai,a,, a3)H4E2.
Si, dans un abaque du type décrit au n° 15, on accole une
échelle binaire à l'un des axes de coordonnées, les points du qua-
drillage deviennent des points à trois cotes mis en contact avec la
courbe C sans cote. On obtient donc bien ainsi un abaque I3.
Type II[. — Notation :
Ei(ai,at)H4E3(a3).
Si l'on suppose que l'élément Ej est un point P et l'élément E3
une courbe C, on obtient
Ce type comprend tous les abaques cartésiens avec (n** 24) ou
sans anamorphose (n° 16), le point Pétant alors pris dans un qua-
drillage. 11 comprend même tous les abaques à anamorphose géné-
rale (*) (n°' 46, 47 et 52), le point P étant alors pris dans un
réseau quelconque.
C) Il n'y a pas lieu de s'clonner que les abaques à anamorphose rentrent,
avec notre classification, dans le môme type que les abaques cartésiens ordi-
naires, puisque cette classification vise la structure des abaques et non pas la
nature géométrique des éléments qui interviennent, nature que fait seule varier
l'anamorphose.
4o6 CHAPITRE TI.
C'est ici, pour les équations à plus de deux variables, e seul
cas où le rôle joué par les diverses variables, au point de vue de
la slruclure de Tabaque, soit permutable d'une manière quel-
conque. En effet, les trois courbes (a,), (aj) et (aj) se coupant
en un même point, on peut indifféremment considérer ce point
comme un point (a,, a2) en contact avec la courbe («3), un point
(a2, as) en contact avec la courbe («i), ou un point (a3,a,) en
contact avec la courbe (aj). Et comme, d'ailleurs, la nature de ces
courbes est quelconque, il en résulte, comme on l'a. vu au n" 46,
que l'équation représentée est elle-même quelconque.
A partir de n = 4» cette circonstance ne se retrouve plus.
JU'3. — Ces types d'abaques, au nombre de Xj = 5, sont définis
par
I| 9. «-«o Ii-<0 oi^o oi^o
HJ 1^0 oi-< 1 oi-Ho o N< o
HIJ I •-< I I •-< O 0N<0 ONio
IVJ I •-< p I N< O I l-H o 0N<0
VJ li^O IN<0 Oi-<I ON<o
Observons tout d'abord que, conformément à la Remarque II
du n^ 147, chacun de ces types d'abaques est susceptible de la
variante pour laquelle un des contacts devient indéterminé, les
trois éléments de l'un des deux plans qui interviennent dans les
autres contacts appartenant à un même système de cercles con-
centriques r' on de droites parallèles A'.
En outre, conformément à la Remarque III du même n** 147,
les types llTiJ, IVj; et V3 peuvent ne comprendre comme éléments
cotés que des points, mais alors le type V3 n'est plus susceptible
de la variante précédente, attendu que, chacun des deux plans por-
tant nécessairement au moins un système de points, aucun d'eux
ne peut être muni uniquement d'un système {Y') ou (A').
Voyons maintenant comment divers procédés passés en revue
dans cet Ouvrage pour des équations à trois variables rentrent
dans ces types -l:;.
Type /i;. — Notation :
E,(a,,?0«t:'i' E,(aO«E;, E3M1E3, E,^E\,
Désignant par P(^, p) le point de rencontre de l'horizontale {t)
et de la radiante (/?) de Vabaquc du /i° 23 (3"), par A(/'), l'hori-
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. t\0']
zontale (/') et, suivant la convention faite dans la Remarque IV
du n** 145, par A(^').F le point de rencontre de cette droite et
de la courbe F, enfin par O' x' et O'y les axes du transparent,
nous voyons que cet abaque rentre dans le type I3 lorsqu'on prend
E, V(t,p). E, r^ ! A(/').F
Ej -~ O, E4 r Oj7,
E', ^ oy, e; . oy, k\ . : oy, e; .- x\
La notation de Tabaque peut alors s'écrire ( * ), en tenant compte
de la Remarque II du n® 145,
OxtiO'x\ A(/').F Mioy, P(/,/>)«oy.
1
Type ni, — Notation :
E,(a„P,)H*E'i, E,ME;(a',), E3H.E3, E,^E\,
On obtiendrait un tel abaque en remplaçant, dans le type du
n** 14, l'échelle simple de Ox par une échelle binaire.
Type III\. — Notation :
E,(a,)ME',(a;), E,(a,)«E;, E, « E'„ E.mE;.
Si les éléments E| sont des courbes G, les éléments E', les points
de Taxe O' x'^ les éléments Ej des points P, l'élément E^ l'axe O' x\
enGn, si nous réalisons les deux derniers contacts par la coïnci-
dence des origines O et O', nous obtenons un abaque dont la
notation est
OSO', P(a,)«OV, C(a,)«a:'(a',),
On reconnaît là un abaque polaire (2) (n** 55).
Si les éléments E| sont des courbes 0(0-), les éléments E2 les
points y (.3) de l'axe Oy pourvus de cotes z, les éléments E', des
droites D'(8) issues de l'origine O', l'élément E'^ l'axe O' x' et si
l'on remplace les deux derniers contacts entre éléments sans cote
(') Nous intervertissons l'ordre des contacts pour placer en dernier le contact
de résolution et donner les contacts de position dans l'ordre où on les effectue.
Cette observation s^applique à tous les exemples particuliers suivants.
(') Pour comparer au type d'abaque décrit au n*> 55 il faut changer <i\ en a,
et «1 en a,.
4oH CHAPITRE Yl.
par la coïncidence entre Oy et O^y, on obtient la partie de
V abaque tangentiel de M. Willotte (n** H4), destinée au calcul
de c, dont la notation est dès lors
Oj'SOy, y{z)^0'x\ C(a)«D'(e).
Pour la partie de Tabaque faisant connaître e ou a, il n^y a qu^à
remplacer la courbe 0(0-) par le point P(e) ou P(X).
Si les élémenls E| et Ea sont des points de Taxe des x por-
tant les deux échelles ^(ai) et j;(a.j), les éléments E, les paral-
lèles A'(a',) à O'y^ l'élément E', Taxe O'^, enfin si les deux der-
niers contacts sont remplacés par la coïncidence des axes Ox et
O* x'^ on a la notation
qui définit les règles à tiroir (*) (n° 133).
Type IVl. — Notation :
E|(a,)«E., E,(a,)«E'„ E,(a3)-E'3, E,^E\,
Si les éléments E|, Ej, E3 sont des points x(a,), ^^(«2), ^(^3)
portés sur les trois côtés d'un triangle équilatéral, l'élément E4 le
point X. à l'infini dans la direction perpendiculaire à l'axe des x,
si enfin, représentant par I', , T^, Ij les trois diagonales d'un hexa-
gone régulier, on prend
*^l-^^4-'l> *-'j— *2» ^3 -'31
on obtient les abaques hexagonaux (u"* 32) dont la notation
sera
X««l'j, xiOL^)^\\, r(a2)«rj, z{:l^)^\\.
Si, rendant le dernier contact indéterminé, on prend pour élé-
ments E', , E!j et E3 une même droite A', on a les abaques tan-
gentiels généraux (n"^ 58) dénotés
E a-^-^A', E2(a2)'-'A', £3(23)»^ A', » »^ »,
qui, lorsqu'on prend pour éléments E,, E^, E3 des points, don-
nent les abaques à points alignés (n** 56).
Les élémenls E,, E^, E., étant des points P,, P2, P», si l'on
(') Pour comparer au n' 133, il faul changer Xj en a^ et a'j en «j.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4o9
prend pour élément E^ la courbe G| servant de support aux
points P, et que Ton fasse
E\ ^ e; = oy, E'3 ^ o'x', e; ^ o',
on a les abaques à équerre (n**95) qui se dénoteront
C,«0', P,(a,)-Oy, P,(a,)«Oy, ?^{%^)^0'x\
Le cas particulier où les points (a, ) et (a^) sont des points (5)
et (0) portés par Oy et O^, et les points (as) des points (<t)
portés par Ox, donne la partie àyx projilomètre Siégler (n" 113)
destinée à faire connaître <t.
Type V\, — Notation :
E,(a,)«E;, E,(a,)«Ei, 1Ê.,^E\{ol'^), Ev-E',.
Pour
E,(a,) ^r(-«), E,(a,) ^ ar(6), E, ^ Oy, E4 -^ O7,
e; ^ oy , e; ^ oy, e; (a; ) e^ p'(e ), e; .^ o',
où P'(£) désignent les points cotés (e), on a la partie du même
profilomètre destinée à faire connaître e, et dont la notation est
Or«0', y{z)*^Oy\ :r(e)«Oy, Oy^?\z).
150. Equations à quatre variables : X\, — Ces types d'aba-
ques, aii nombre de ^\ = 3, sont définis par
U 4-0
ill 3«i
ill* 2^2.
Type l\, — Notation :
Si aux axes Ox et 0/d'un abaque cartésien à deux variables
(n° 12) on accole respectivement des échelles binaires (a,, pj)
et (yi, 3,) chaque point du quadrillage devient un point à quatre
cotes et peut être pris comme élément E|, la courbe, qui est sans
cote, peut être prise comme élément E^. On a donc bien ainsi un
abaque du type I{.
4io
CHAPITIE Tl.
Type II\. — Notation :
E,<a,. 3,, 7, i»^E,«att).
On obllenl un abaque de ce type en prenant un abaque à échelles
accolées (n^ 9) et remplaçant Tune d'elles par une échelle ternaire
(nM3I).
Type IH\ . — Notation :
Ei(ïi« h)^ Eî<xt» ?t).
Les abaques à échelles binaires accolées (n** 117) rentrent
dans ce type; il sufOt, pour le voir, de prendre pour éléments E|
les horizontales passant par les points (a, , ^i ) et pour éléments E^
les points (aj, ^a)-
X\, — Ces types d'abaques, au nombre de JGj = i6, sont dé-
finis par
i:
Hî
ï"î
ïv:
vî
viî
VII?
VIII*
IX^
^\
\\l
\\\\
XIIIJ
XIVJ
\\l
XVIJ
3»o
I «o
o«o
o^o
3«o
o« 1
o»^o
©•-o
2»^ 1
I «o
o^o
o^o
!l« 1
o»- I
o« o
o^o
2« O
!l« O
o« o
o»^o
'X*^ o
I « 1
o«o
o«o
'2« r»
I «-• O
I ►- o
o^o
2I-I o
I «-« o
o« I
o«-« o
51 « O
o«-« 2
o«-« o
Oi-^O
Tl^O
o«-« 1
O^- I
o^o
I •^ I
I »^ 1
o»^ o
o« o
l« l
I »^ 0
I »^ 0
o»^ o
1 « 1
1 «-• o
0*m I
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1 «^ ()
1 «-« o
1 ►^ o
!►- o
1 «^ C)
1 « <»
I '-' o
0« I
1 «^ o
1 ^ «
o«-« I
o»-» I
Ici la Hemavque 11 du n" 147 n'est applicable qu'aux types
(le I à XIII, les trois derniers ne comportant aucun contact entre
éléments sans cote.
Quant à la liemarque IJI, elle ne s'appliquera, au contraire,
(|u'aux trois derniers.
Il serait facile de former des exemples de ces seize types d'aba-
ques, mais cela serait sans utilité. Nous nous bornerons à faire
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4ll
voir auxquels de ces tjpes se rattachent les abaques à quatre va-
riables et à deux plans, rencontrés dans le corps de l'Ouvrage.
Type IV^, — Notation :
Si les éléments E| sont les perpendiculaires A à Oor menées par
les points (ai, p,) d'une échelle binaire accolée à cet axe, E^ les
points x(oL2) de Ox, E\ les points ^(a', ) de 0'x\ E^ Taxe Oy,
enûn si l'on remplace les derniers contacts par la coïncidence de
Ox et de O'x^ suivant la Remarque 11 du n** 14S, on obtient une
règle à tiroir à échelle binaire (u^ 133) dénotée
Type Vir\, — Notation :
E,(a„p,)«E;, E,(aO«E;, Es(a3)H.E'3, E,«E;.
Ce type comprend la plupart des procédés précédemment étu-
diés en vue des équations à quatre variables.
Si, par exemple, laissant le dernier contact indéterminé, sui-
vant la Remarque II du n® 147, on prend pour éléments E^, E'jj,
Ej, une même droite A', les éléments E|, E2, E3 étant des
points Pj, P2, P3, on a un abaque à points alignés pour quatre
variables (n" 121) qui se dénotera
Si, dans cette notation, on remplace les points Pa et P3 par des
courbes C^ et C3, on a celle des abaques à droites à doubles en-
veloppes (n*» 127) (•).
(') Il est curieux que ces deux derniers types d'abaques obtenus analytique-
ment comme corrélatifs l'un de l'autre rentrent, au point de vue de leur structure,
dans le môme type général.
Quant aux abaques à trajectoires de contacts (n* 128), si l'on représente par
C,(o4) Tcnveloppc ^o, et par PjCa^jaj) le point de rencontre de cette enveloppe
et de la trajectoire (sa,, ils se dénotent
Donc, au point de vue de leur structure, ils doivent être considérés comme
des abaques à cinq variables a,, ^|, a,, a,, ^3 dans lesquels deux des variables a,
et ^3 sont identiques, suivant la remarque contenue dans la note au bas de la
page 4oi.
4l2 CHAPITRE VI.
Si les élémenls E|, E^, E3 sont des points pris sur une échelle
binaire et deux échelles simples accolées aux côtés x^ y^ z d'un
triangle équiialéral, si l'élément E4 est le point X« à l'infini dans
la direction perpendiculaire à x^ et si, en représentant par F, , Ij,
Ij les diagonales d'un hexagone régulier, on fait
E'i -~ K'i - ï'j, Ej = l'j, E3 ~. 13,
on a un abaque hexagonal pour quatre variables (n** H9), qui se
dénotera
Si l'élément E« est le point (/i — q^ p) dont les coordonnées sont
x = n — y, y=zp^ l'élément E2 la parallèle A(n) à Oy, l'élé-
ment E3 le point x{z) de Ox, l'élément E4 la parabole P de
^^Jig' i54 (p- 348), si, en outre, on fait
le type général Vir\ donne Vabaqiie à équerre pour l'équation
du troisième degré (n" 129), qui sera, par suite, dénoté
(n— /;,</) hhO'^', A(/i)hhO', P«-<Oy, x(z)^0'y.
Type Al i, — Notation :
E,(a,)-E',(a',), E^Ca,) ^ E', (a',), Ej^E^, E, m E',,
Si les éléments E| et E2 sont respectivement les systèmes de
droites D,(/?) et Do (5), les éléments E'^ et E!j les points y', (L) el
y'.iÇ^) pris sur les échelles (L) et (T), portées l'une et l'autre
par oy, enfin, si l'on remplace les deux derniers contacts par la
coïncidence de Ox et de O'x', on a V abaque de jauge des
yachts de M. Chancel (n** 118, 2®) qui est alors dénoté
O^^HO'y, D,(/?)My,(L), D,(5)My,(T).
Type A^!l'\. — Notation :
E,(a,)M E;(a;), E^fa^M K',, EaCaj)^ E'^, E^ m E',.
Si en appelant D le support des points P,, O', un point marqué
sur la droite D' et Y\ (t) un cercle de centre O', on fait
El P,r V). K, P,{b), E3 ^- P3(A), E, I D,
E, r;(o, e; D' e;.^d', e;..0',
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4^3
on obtient Vabaque du volume du ballast (n** 80, 2") alors dé-
noté
DhhO', p,(^)miD', P3(A)«d', P,(V)i-r'j(o.
Si, suivant la Remarque II du n" 147, on rend le dernier con-
tact indéterminé en prenant pour éléments E3 une droite A', pa-
rallèle à la droite A'o prise à la fois pour E', et E'^, et munie d'une
cote a4 lue sur le plan fixe, on a, les éléments E|, E2, E3 étant des
points, un abaque qui se dénote
Cl qui n'est autre qu'un abaque à parallèles mobiles (n** 97).
Remarquons enfin que l'abaque du P. Poulain pour l'équation
complète du troisième degré (n" 127), lorsqu'on le complète par
un transparent à radiantes cotées donnant les valeurs de z^ rentre
aussi dans ce type général. Si, en effet, on représente par G (/i) la
courbe cotée /i, par D'(>s) la radiante du transparent cotée z et
par x^ le pointa l'infini sur Ojù^ il peut se dénoter
x^^O'x', x{p)^0'y\ y(q)^0'x\ C(/i)hhD'(x;).
Type XIVl. — Notation :
E,(a,)«E',, E,(a,)-iE;, E,(a3)ME'3, K,{ol,)^E\,
Suivant une remarque faite plus haut les éléments à une cote
E|, Ej, E3, E.|, étant en contact avec des éléments sans cote,
Fig. 173.
(aj)/ (0.3) ^ ^°^*)
peuvent être des points en contact avec des courbes G',, G'^, Gj,
4l4 CHAPITRE YI.
Si, en outre, les éléments E',, Ej, E,, E'^ se confondent avec
une même courbe G on a un abaque à transversale quelconque
de M. Goedseels (n® 96).
Type JTFJ. — Notation :
E,(aO-«E;, E,(a,)-«E;, E.(«.)^^Ei, E4^^Ei(a;).
Ici encore les quatre éléments cotés peuvent être des points
Lfig' '74).
Fig. 174.
(a,)/ (a»)/ cj
Si, en outre, les courbes C,, G!, et G, se confondent avec le
support du système {ol\) et la courbe C4 avec le support du sys-
tème («i), on a un abaque du type représenté parlayî^. lyS, qui
a également été proposé par M. Goedseels.
Fig. 176.
(oO /(oa) /(Os)
Type AVI i. — Notation :
E,(aO^E;, E2(a,)ME;, EaME'jCa'j), E,^E\{a\\
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES.
4i5
Lorsque les quatre éléments cotés sont des points on a un
abaque tel que celui de \^fig' 176.
Fig. 176.
Si les courbes Cj et C4 se confondent respectivement avec les
supports des systèmes (ai) et (a,), les courbes C, et C!j avec les
Fig. 177.
(OL^)
supports des systèmes (a,) et (a^), on a un abaque du type repré-
senté par y^ifig. 177, encore dû à M. Goedseels.
II. — Étude des équations représentables au moyen
d'un type d'abaque donné.
A. — Caractères différentiels et fowctionhels.
151. Types d^ équations répondant aux principaux types
d'abaques. — Un type d'abaque étant donné, il est toujours
facile, comme on Fa vu au cours de cet Ouvrage, de former, au
moyen de fonctions arbitraires, entre lesquelles le mode d'emploi
4l6 CBAPITRE VI.
de Pabaque établit un certain lien analytique, le type d'équation
le plus général correspondant. Nous appellerons ces fonctions
arbitraires les composantes du type considéré.
La question se pose dès lors, une équation quelconque étant
donnée, de reconnaître si elle appartient à un type donné et
déformer dans ce cas ses composantes.
La méthode générale pour résoudre ce problème est la suivante :
partant du type général considéré il faut d'abord en éliminer les
fonctions arbitraires, ce qui conduit à des équations aux dérivées
partielles qui doivent être satisfaites si telle équation particulière
appartient à ce type, puis remonter par des intégrations convena-
blement dirigées aux fonctions composantes.
Le Calcul différentiel fournit théoriquement le moyen d'effec-
tuer l'élimination des fonctions arbitraires. En réalité, les calculs
qu'exige cette solution sont généralement inextricables, et l'on
n'en vient à bout, dans quelques cas, que grâce à des artifices spé-
ciaux.
Dans la pratique, on se borne presque toujours à un simple
examen de l'équation qu'on veut représenter, examen qui met en
évidence telle ou telle forme caractéristique se retrouvant con-
stamment dans les applications. Il n'en est pas moins vrai qu'il y
a un réel intérêt à posséder une méthode mathématique per-
mettant de procéder de façon sûre à cette reconnaissance. Une
lelle méthode a été, comme nous allons le voir, donnée pour les
types qui se rencontrent le plus fréquemment en pratique.
Nous tenons auparavant à faire l'observation que voici : pour
les équations à deux variables, chaque type d'abaque est appli-
cable à Tune quelconque d'entre elles. La question ne se pose
donc pas.
Pour les équations à trois i^ariables il existe des modes de
représentation applicables à l'une quelconque d'entre elles
(n"^ IG, 46, oo). Le rattachement d'une équation de cette sorle à
tel lype plus ou moins général n'a donc pour objet que de per-
mellre de lui appliquer un mode de représenlalion plus simple
que les modes généraux.
Pour les équations à plus de trois variables, au contraire, il
n'exisic pas de méthode absolument générale. En rattachant une
équation de celle sorte à tel ou tel type que l'on sait traduire par
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. ^l'J
un abaque, c'est donc la possibilité même de sa représentation
qu'on met en évidence.
Cela dit, nous allons rappeler ici les types généraux d'équations
qui se rencontrent le plus fréquemment parmi ceux qui ont été
mis en évidence dans le cours de cet Ouvrage, avec l'indication
des numéros où sont décrites les méthodes de représentation qui
leur sont applicables :
(I) /i(ai)-H /,(«,) =/s(a3) (n«*26, 32, 66, 133),
(I bis) /i(ai)/î(««)=/3(«3) (n- 28, 72),
ce type se ramenant d'ailleurs au précédent si on le met sous la
forme
Iog/i(ai)-+-log/,(a,) = log/3{a3),
(») /i(ai)/3(a3)-H/«(«i)?j(a3)-+-']'3(a3)=o; (no* 21, 78),
/i(ai) ?i(ai) 'l'iCai)
(III) A(OH) ?î(3t,) ^f{OLt)
M^z) 93(a3) ^z{^i)
= 0 (!!<»• 47, 56).
Les types (I), (I bis)^ (II) ne sont, comme on voit, que des
cas particuliers de ce type (III) (*), auquel on ramène encore très
aisément (n° 48) le suivant
/jyx \ ^i(ai)^i(ai)/3(a3)H-(^i(ai){^i(ai)?8(a3)
( -^v,(ai)v,(a,)4;3(a3) = o,
les X, [X, V désignant des fonctions linéaires en ai ou en ol^*
(V) /i(«i) -+-/«(«!) =/3(a3)4-/4(aO (n~37, 70, 89, 134),
(V bis) /i(«i)/i(a,) =/3(a,)/4(av) (n° 91),
celui-ci se ramenant d'ailleurs au précédent par transformation
logarithmique.
(VI) /i(ai)/»(ai)-Hcp,(aO=/3(a3)/v(«v)-H?4(otO (n" 92, 136),
(') Il convient de remarquer dés maintenant que le nombre véritable des
fonctions arbitraires entrant dans un type donné, n'est pas nécessairement égal a
celui des signes fonctionnels distincts employés à l'écrire. Ainsi, dans le type (II),
en divisant par l'une des fonctions de aj, on voit qu'il n'y a que quatre fonctions
arbitraires; dans le type (III), en divisant chaque ligne du déterminant par un
de ses éléments, on voit qu'il n'y en a que six.
M. d'O. 27
/
4i8
.CHAPITRE VI.
(VII)
(VIII)
(IX)
(X)
[?i(ai) — ?t(aj)][?s(aj) — ?*(«»)]
[/i("i)-/.(«i)] [/!(«.)-/*(«»)] = 0 (ii~96, 97),
/.(«i.pi) =/.(«.. PO (nMl-),
/■("i, Pi) -*-/.(««, Pi) =/.(«s, p3) (n" H9, 121. 133),
/i(«i)/3(aj,pj)
/j(ai) »>(«». P«)-t-"l'>(«î, Ps) = o
(n" 121, 127, 128),
(XI)
(XII)
(XIII)
= O
(ii« 121),
/i(»i,Pi) ?i(ai,Pi) ^'iC»!,?!)
/i(aî, Pî) Ts(«î,Pî) 'l'îCaî,?!)
/3(«3,Pj) ?8(a», pj) 'l'sCaj, p3)
/i(ai) H-/ï(ai) -H. . .-H /«(an) = o (n*- 37, 70, 134),
/i(ai, Pi)-f-/i(a„ PO H-. • .-^/«(«„,.P«) = o (n- 120, 134).
La détermination des caractères différentiels dont il a été ques-
tion plus haut a été, comme on va voir, effectuée pour les types (I)
[auquel se ramène (I 6/5)] et (II), de beaucoup les plus fréquents
dans la pratique.
Pour le type (III) l'élimination des fonctions arbitraires reste
encore à faire, mais on verra qu'on peut former, au moyen de
l'équation donnée, certaines équations fonctionnelles qui doivent
être identiquement salisfaites si Tcquation donnée rentre dans le
type en question.
132. Équations du type (/). — C'est le comte Paul de Saint-
Robert qui a résolu le problème en ce qui concerne les équations
du type (I), qu'il considérait au point de vue de leur représenta-
tion par des règles à tiroir (n** 133). Voici sa solution (*) :
L'équation étant écrile, en représentant, d'une manière géné-
rale, par// la fonction //(a/) de la seule variable a/,
(0
on a, en posant
fx-^h-h^
ÔT-x
Pi^
(') Memorie délia /?. Accademia di TorinOy i' série, t. \\V, p. 53; iS^i
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4l9
et dérivant TéquatioD considérée successivement par rapport à ai
et à cL2j
d'où
Posant maintenant
A =Apu
f%=/'tPt,
pt
nous avons
(.) . = ^.
d'où, successivement,
logr = lof/', — log/'j,
diogr _ /;
(3) -5ïr = 7V'
dMopr
Telle est Téquation de condition cherchée. Il est facile de la
former lorsqu'on se donne une équation quelconque
(5) F(a,,a,,aa) = 0,
attendu que
Si, pour la fonction r ainsi calculée l'équation (4) est identique-
ment vérifiée, l'équation (3) fait connaître /i , puis l'équation (a)
où l'on remplacey, par la valeur qui vient d'être obtenue, donne/2-
Formant alors la somme /^ -f-Zi, on est assuré qu'en y rempla-
çant ai ou tta par sa valeur en fonction de ol^ tirée de (5), la se-
conde variable, 0.2 ou ai, disparaîtra en même temps, et on
obtiendra ainsi y3.
Prenops, par exemple, pour équation (5) l'équation
(6) a3= aiai-*- /i-4-aJ /i -h a*
430 CBAPITRB TI.
qui ne semble pas, a priori, rentrer dans le t^pe (1). Ici on a
/,, = a, H- «, 4/ ^— ^ .
;,. = a, -^ «. ^ ^— ^, ;
d'où
(7)
par suite,
(8)
et
V l-l-aî'
diogr «1
d%i
i-haj
logr
= 0.
La condition étant remplie, si on porte la valeur (8) de . °^
dans l'équation (3), on a
d'où, en intégrant une première fois,
(9) A =
/i
a
1
el une seconde,
(lo) /, = Alog(at-r-v/i-t-aî) -^ B,
A et B étant des constantes dMntégration ; puis, portant les va-
leurs (7) et (9) de r et de /', dans (a), on a
A
/;=
^/
I -+- a
1
d'où, en intégrant,
(II) yi = A log(a2-t-v/n-a«) 4- C,
C étant une nouvelle constante d'intégration. Ajoutant (lo) et (i i),
on a maintenant, puisqu'on sait que l'équation prendra la forme ( i ),
/, = A log(ai-hv/i-T-aj) (a2-+-v/i -+-«?) 4- B 4- G
= Alog(a3 4-aiy/i -+- aj4- a, \J v -h aj) -i- B -+- G.
y
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4^1
Or Téquation (6) rendue rationnelle s'écrit
al — 2»! atOLi = I -f- aj -f- aj
ou
" — • — "l -T- *J
«î — I = aj -4- aj -H aaïaïaj,
c'est-à-dire, eu égard à (6),
== aJ(i-haî)-H aî(i-i-aî) -H^aïajy/iH- a}vi-+- ^fj
= (ai V i-H aî -^ «1 V I 4- a} ) .
Par suite, l'expression de/j devient
/, = A log(a3-+-v/3tî — i) -4- B 4- C,
et l'on voit que l'équation (6) peut se mettre sous la forme
log(a|-^v^I-^a})-f-log(a,-^v^l-^a5) = log (a, -^ v^aj — i)-
Le calcul qui vient d'être développé a eu l'avantage de rendre
plus claire la solution générale ; mais on pouvait ici, en se fon-
dant sur la théorie des sinus et cosinus hyperboliques sh et ch,
opérer plus rapidement la transformation voulue.
Si, en effet, on pose
on a
v/n-aî=chai, /i -+- a| = cbaj,
et l'équation demandée devient
a3= shaishi^s+ chi^ichai = ch(ai4- aj).
Donc
O
r
arg. ch as = M| -H ai = arg. sh «i + arg. sh crj.
— = log (a -h /a* — i) ,
arg. sha= / -t= = log(a -i-/a*-t- 1)
0 v/i
Conséquemment l'équation précédente devient
log (aj -4- /a* — i) = log (a, -+- \/af -f- 1) -4-log(a,-f-v/aî -r- i).
4^2 CHIPITRB VI.
153. Équations du type (//). — i® Solution de M. Mas-
sau ('). — Supposant la fonction ^^ différente de zéro et divi-
sant par cette fonction, nou^ pouvons, en remplaçant j^ et j-^ par
fi et çi, écrire Féquation
(1)
/i(ai)/j(«3)-»-/î(«î)?8(a8)-+-i==o.
Prenant les dérivées par rapport à ai et à a^ et posant comme
précédemment
àoLz
nous avons
d'où
?i ?3 -+- (/i/j '- /î ?i )/>î ^ o,
équation qui montre que ol^ est une fonction de ^^^ • On a donc,
en annulant à zéro le jacobien de a» et de ^^? >
à PxA
^* doi, p,f,
— o
OU, tous calculs fails^
(3)
si Ton pose
Ox\
= ri,
pu
is
R-=r, ^ ... -r, ^
Pi
Pi
(') C'est M. Dcmoulin, cliargé de cours à l'Université de Gand, qui a eu
l'obligeance de nous communiquer l'analyse ici reproduite, dont le résultat seul
est mentionné dans le Mémoire déjù cité de l'auteur sur Vlntégration gra-
phique (Liv. III, Ch. III, n" 178).
THÉORIB GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4^3
Si l'on pose maintenant
(4) 4^=U,. ^=U„
Téquation (3) devient
(5) />iU,-h/?,U, = R..
•
Toute solution de Téquation (i) vérifie l'équation (5) et réci-
proquement y car, de l'équation (5), on peut remonter aux équa-
tions (3) et (2), et, si l'on désigne par V3 une fonction de aj,
celle-ci peut s'écrire
V,=
Ptfx
ou
d'où
Px V,/,
P^ /î
= 0,
«3=*(V3/, -^/,),
équation de la forme (1).
Dérivons maintenant l'équation (5) successivement par rapport
à ai et à a2. Cela nous donne
(6) r,U,+ *U, + />,U', = ^,
(7) ,U,-+-r,U,-^/>»U; = ^.
Dérivant ensuite l'équation (6) par rapport à a2 on a
d%i d%x ^M OoLiOoLi
Les équations (5) à (8) donnent les valeurs de Ui, Uj, U',, U
et notamment
U, = S, U, = T.
On en déduit
On peut voir que les équations (9), qui sont du cinquième
ordre, forment un système équivalent à l'équation (5).
Soit, en eflfct, ol^ une solution commune aux équations (9).
4^4 CHAPITRE YI.
Formons les équations
(6)' nX-h 5UL -f-/?iV = T- >
(7) sA-f-r,{ji-h/>iit= -— ,
(8) -^X-t--p-tjiH-~v-T-r7r= ,
qui définissent \ [x, v, tc.
On a
X = T, [i=S
et, par suite, en vertu de (9),
d\ du.
— =0, :rr- = o,
dfii doL
1
ce qui prouve que [x est fonction de ai seulement et X de aa seu-
lement. Donc, toute fonction vérifiant les équations (9) est une
solution de (5).
2® Solution de M. Lecornu(^). — Partant de la même équa-
tion (i), M. Lecornu forme aussi l'équation (2), puis il pose
^'"^ '•og/;=-x.-
/i> /s» 7.3 ï^'^^î^'i^ fonctions respectivement que de ai, a2, ol^. On
peut alors écrire l'équation (2) sous la forme
_ £1 ^
d'où
(«0 log^: =Xi-+-z,^X3'
^ 1 /'t / f
et
(12) loff— = 73P1P2-+- y'a^.
(') C. y?., t. cil, p. 8i5; iSSfi.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4^^
Posant encore
s
(.3) {"'^^ ^,
Pi Pi à7.i07.x px
cette dernière expression étant du troisième ordre par rapport
à as, on peut écrire l'équation (12) sous la forme
(«4) X3-^X> = ^-
Prenant les dérivées de celle-ci par rapport à ai et à a2, on a
d , „ , ^ , au dv
d'où
ou
, I du du\ âif dv
dif dv
Posant
dv àv
expression du quatrième ordre par rapport à olj, nous pouvons
écrire l'équation précédente
(•7) Xi=«^'
d'où
(•8) Xï/'.^^-' XÎ/'.= ^-
Éliminant successivement yj et y, entre (i4)> ('7) et chacune
des équations (18), on a les deux équations du cinquième ordre
(19) — ' = — L=i,_a(v.
âw dw
Ti' " 'p^
4a6 CHAPimB Ti.
On trouve ainsi un nouveau système de deux équations du cin-
quième ordre, nécessairement équivalent à celui qu^avait donné
la méthode de M. Massau.
Le calcul de u^ v^ w^ que définissent les équations (i3) et (iG),
peut s^eflfectuer ainsi qu'il suit :
s
u =
PiPt
f)u ou
(20) ^ ç =
Pi Pi
1 I doit Or
w r-. -
77/ •
♦^ \ ^î p\
Ces expressions différentielles étant formées, on vérifie si elles
satisfont à (19). S'il en est ainsi, il reste à déterminer /j, /a, /j,
fa-
La première équation (19) montre que cv est fonction de a^.
Dès lors (17) donne
7.3 ""J »^' ^*5-
L'équation (i 1) donne ensuite
P.
Si donc nous remplaçons y^ par sa valeur en ai et a2, le second
membre devient la somme d'une fonction de a, qui est y^ et d'une
fonction a^ qui est y .
Dès lors, les deux dernières du groupe (10) donnent
et, par suite,
Enfin l'équation (1), jointe à la première du groupe (10), qui
peut s'écrire
fait connaître /a et cpj.
Remarque, — Nous avons supposé, dans le type (II), la fonc-
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4^7
lion ^z diflerente de zéro. S*il n^en était pas ainsi, Téquation
pourrait se mettre sous la forme
/i-h/,/3 = o,
ou
et Ton voit qu'elle rentrerait alors dans le type (I), étudié au
numéro précédent.
154. Equations du type {III). — Pour les équations de ce
type, Télimination des fonctions arbitraires, qui ne semble pou-
voir se faire qu'au prix de calculs fort compliqués, n'a pas encore
été réalisée. Toutefois, M. E. Duporcq (*) est parvenu à établir
certaines équations fonctionnelles qui, si elles sont satisfaites,
permettent de mettre l'équation donnée sous la forme (HI) du
n^ 151. Il commence par chercher la condition pour que la fonc-
tion F(ai, CL2) puisse se mettre sous la forme
Soient aa et 62 deux valeurs arbitraires de a2. Les trois fonc-
tions de ai, F (ai, aj), F(a|, 02) et F(ai, 62) sont de la forme
X<p,(ai)-r-{i'j'i(ai),
A et [i. étant indépendants de a|. Ces trois fonctions de a, sont
donc liées par une relation linéaire et homogène. Par suite, a^
et 6| étant deux valeurs arbitraires de ai, on a l'identité
F(a|,a,) F(a,,a,) F(a,,6,) |
F(ai,aj) F(a,,a,) F(a,, ^,) 1 -^ o.
F(6,,a,) F(èi,a,) F(6,,èj) \
Cette condition est d'ailleurs suffisante, puisqu'on peut alors
écrire
F(a,, a,) = aF(a,, a,) -.- i^F(a,, b^),
u et i' ne dépendant que de a2.
(') C. B. (t. CXXVII, p. 265; i*' août 1898) et U. D. (a- série, t. XXII,
p. 287; 1898).
428
CHAPITRE VI.
On voit, de plus, que les fonctions ^ i et ài sont toutes deux de
la forme
/F(ai,a,)-4-mF(a|, 6,),
l et m étant des constantes.
Cela posé, cherchons à quelles conditions on peut avoir
/i(ai) «Pi(«») ^i(^i)
F(ai, «1, cLz) =
/«(«î) ?l(3tî) '\'t(OLt)
Ai^z) ?8(«j) 'l'sCaa)
déterminant que nous appellerons A.
Soient ^2, ^2) ^2 trois valeurs arbitraires de a2y et a^, 63, Cj
trois valeurs arbitraires de aj. On voit que les quatre fonctions
de ai,
F(ai,«î,aj), F(ai,ai, oa), F(«i,^2, ^3), F(a,,c,,Cj)
sont de la forme
^/l(«l)-^-f^?l(al)-+-v^^l(atl),
)v, [JL, V étant indépendants de a|. Il existe donc entre ces quatre
fonctions de a, une relation linéaire et homoçène. Par suite, ezi,
6|, C| étant trois valeurs arbitraires de aj, on a Tidentité
(0
= o.
F(ai,aî,a3) F(«i,«î,«3) F(ai.^«, ^ï) F(ai,c,,C3)
F(ai,as, «3) F(at,a„rt3) F(a,,6,, 6,) F(a,,C8,C3)
F(6i,a„a3) F(^i,a,,a3) F(^,,6,,^3) F(6|, c„c,)
F(c,,a2,a3) F(ci,a„a3) F(ci,6j,^>,) F(c,,0j,C3)
On aura deux autres identités analogues,
(7) et (3),
en opérant de même pour les variables 0L2 et a^i.
On voit, de plus, que les fonctions /i, o,, «^i sont toutes trois
de la forme
/, F(ai, «j, aj) -^- //?,F(a,, ^2, ^3) h- /i, F(a,, Cj, C3),
/,, m^, /î| étant des constantes. On peut même, en remplaçant
chacun des éléments du déterminant A par la somme des élé-
ments de la même ligne multipliés, dans chaque colonne, par des
paramètres convenables, supposer que
(A) /i — F(a,,a,,a3X 91-^ F(a,,è,, 63), ^1 ^-=^ F(a|, c„ C3).
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4^9
Maintenant l'identité (i) montre qu'il existe trois fonctions
Uj V el w de 0L2 et as telles que
P(ai, ai, «3) = MF(ai, «j, a^) -♦- p(Fa,, 6,, 63) -1- ivF(ai, c,, C3),
et il va falloir exprimer que ces trois fonctions peuvent être mises
simultanément sous les formes
(8)
u =
?1 03
•
«Vi ^z
^1 'J'a
» (' =
A A
w =
/. A
S'il en est ainsi, la fonction /2, par exemple, qui figure dans v
et dans (v, doit, en vertu de la remarque faite plus haut, être à la
fois des deux formes
/j =r,[/j v{(iuaz)-\-nit i^(aj, 6,)],
/,-=r,[/iw(a„ <i3)-T-/^i«'(a„ 6,)].
Cette fonction pourra donc être déterminée à une constante
près si les quatre fonctions de ol^
(Al) t'(aj, aa), v(^i,bz), w(a„ aj), w(a,, 63)
sont liées entre elles par une relation linéaire et homogène ; or
cela résulte des identités (i) et (2).
En effet, en vertu de (i), les fonctions v{^x^ ol^) et iv(a2, aa)
sont des fonctions linéaires et homogènes des trois fonctions
F(ai, atî, a3), F(6,, a^, «3), F(ci, a,, a,)
et, en vertu de (2), la fonction de a2, F(t,i, a2, Ç3) est, quels que
soient tji et Ç3, une fonction linéaire et homogène des trois fonc-
tions de 0L2
F(a,, ai, az), F(6i, a,, 63), F(c,, a,, Cs).
Les quatre fonctions (A2) peuvent donc s'exprimer en fonction
linéaire et homogène des trois précédentes. Il existe bien, par
suite, entre elles une relation linéaire et homogène, et la fonc-
tion y^ se trouve déterminée au facteur constant r^ près.
De même, au facteur constant r^ près, on mettra f^ sous les
formes
A^n[U t'Cai, aj)-4-/W3 v{btyCLz)\,
D'une manière analogue, on obtiendra finalement trois fonc-
43o CHAPITRE TI.
tionsy ®, <fl, ^l de a^ et trois fonctions /J, çj, AJ de ol^ respective-
ment proportionnelles aux fonctions /2, cpj, J/j, /s, Çs» ^»> en
sorte que
A=--rtA^ ?î-«i?î» 'î'î-'i'l'J.
A=r^fl^ ?3-53?î, 4'»=^'!'?.
Posons, en outre,
ço^o - U,
?5^î=u',
*l'j ^^,
»,/, = X',
VtA = V,
-l-î/î - V'.
'i /-s - K.
'. rt = h',
/??î=--w.
y*.??- w.
r,«, = V,
r,«,= v'.
Si la première égalité (3) est satisfaite, on a
i/ = XU-X'U'.
Or cela exige que Ton ait identiquement
(4)
"(«1, «3)1
U(aî, aj),
U(ai, aj),
U(6„6,),
U'(a,, aj)
U'(6,, 6,)
— o.
On obtiendra deux identités analogues
(5) Cl (6),
d'une part entre v^ V , V, de l'autre entre w, W, W.
Inversement, si ces conditions sont remplies, on pourra déter-
miner )v, UL, V, //, |jl', v' de telle sorte que
wr- XU — X'U',
et Ton en déduira lés coefficients Ta, .Çj, ^J, /'s, 53, ^3 au moyen
des formules qui ont servi à définir A, [ji, v, )/, a', v', à la condi-
tion loulefois davoir
(7) Xtjiv — X'jjl'v'.
On connaîtra alors /a? ^2? '^2y f^^ 'fs» ^37 les trois premiers élé-
ments y^, cp,, i, étant déterminés par (A).
En résumé, on aura à vérifier les égalités numérotées de (1)
à (7), et, quand elles seront satisfaites, on saura déterminer les
six éléments du déterminant A.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 43 1
La recherche précédente sera grandement simplifiée si les sys-
tèmes de valeurs («i, 6|, C|), {a2, 62, C2), («3, 63? C3) satisfont à
Téquation donnée, de sorte que
F(a|, ùi, Ci)~o,
F(a,,6,, c,) -^o,
F(a3, 63, Cj) — o.
On n'aura, dans ce cas, qu'à chercher à déterminer les coeffi-
cients X, [JL, . . ., v" tels que Ton ait identiquement
F(3tn «1, as)-=
X F(a,, 6,, c,), [X F(rt|, a,, Ci), v F(a,, 6,, a,)
V F(a„ 6,, c,), {jl' F(a„ «j, c,), v' F(a,, 6,, as)
X'F(a,, 63, cj), (JL'F(a„ aj, Cj), v*F(a3, ^3, «3)
et il sera facile de reconnaître si cette détermination est possible.
155. Équations représentables par des abaques à graduations
superposées. — Au sujet traité dans les numéros précédents nous ratta-
cherons la recherche des équations les plus générales auxquelles est appli-
cable le principe de la superposition des graduations sous les deux formes
spéciales, importantes aux points de vue des applications, que nous avons
envisagées au n° 21.
Rappelons que nous avons été conduit par voie d'intuition aux types (i)
et (3) donnes dans ce numéro. Il s'agissait de voir s'ils étaient bien les plus
généraux jouissant de la propriété voulue. C'est, nous l'avons déjà dit, à
M. G. Kœnigs, que nous sommes redevable de la solution de ce double
problème. La voici :
Problème I. — Trouver des /onctions <p, <j/, U tel , es que
o(Xta,, X,ai)E-^(X|,X,, U),
U ne dépendant que de «i et a^.
Si nous posons
(i) i> = (p(X,ai, X,aj),
12 vérifie le système d'équations
dQ . du
{■D A(U)=,, — -X.5j^=o,
dQ, ^ do.
(3) B(U)=a,_-X.^=o,
(4) G(û)=5^5j--;^5j-^=o.
432 CHAPITBB Tl.
On a identiquement
A(B(Û)) — B(A(Û)) = o
et
A(C(û))-G(A(û))
_ A^— — — — — ^ — c/" — — —\
""" \àaLt àai (^«j àoLi/ \ ^ ôoli *<^i/
les dérivées secondes disparaissant d'elles-mêmes, comme on sait. Or
on a
Donc 12 vérifie Téquation
De même, en partant de
B(C(U))-C(B(û)) = o,
on trouve
Si l'on tient compte de (4) les équations (5) et (6) deviennent
\ ' ôsLi âoii d%i) doLi * daj doLt "" '
/ d^\] __ d\]_\ dV^_ d^V dU _
\ ^doiidoLf doLi/ doii * daL\ doLi ~~ '
qu'on peut écrire
d^V d^V
dai doLf
dV
da^
dV
I
dOL^
dOLi
d^V
d^V
doLi daf
dOLi
d0i\
dV
dOLi
I
THÉORIB 6ÊNÉRALB. DÉTELOPPBMENTS ANALYTIQUES. 433
OU
/ àU \
__ ^logai
ou encore
__ ^logaj
Xj et Xi étant respectivement des fonctions de ai seul et de sj seul, ce qui
exige que l'on ait
Xf SiXsQCf = I
et, par suite,
Xioii=/?t, Xjaj= — f
m
m étant une constante.
On a donc
dU
doif
«1
dU
mai
(^2l
ou
■ mi
0,
ce
qui
donne
U =
■A
«î«r)
ou
, pli
js symétriquement,
U =
A^
t?«a?0,
Ail et /is étant des constantes.
L'identité initiale prendra donc la forme
9(X,ai, Xia,)s»|;(X,,X„/(aîiaJ.))-
Si l'on fait Xiai = ol\ , Xsa^ = a,, il vient
0U| en attribuant à Xi et X^ des valeurs numériques quelconques,
(p(a;,a;)=A(a^a«.),
M. D'O. 28
434
CHAPITEE Yl.
A(2-) étant une fonction quelconque de x. Par suite,
?(ai,aï) = A(aî.aî.)-
On retombe bien ainsi sur la forme (i) du n* 21.
Problème II. — Trouver les fonctions o, ^, U telles que
ç(Xat,X'«a,) = ^/(X,U),
IJ ne dépendant que de oei et ocf
Posons encore
(i) ç(Xa„X'«aO = Û.
Ici 12 vérifie les équations
(2)
A(0) = «1- h mas- A -r^ = o,
oai àoLi ok
<3)
On a identiquement
= o.
A(B(Û))— B(A(Û)) = o
ou
/ ()<U ' ^___ <^U\ dQ.
\ * €^«1 c^aj * c»a} (^«2 / dat
/ d^\} d^\} d\}\ dû,
ou encore, en tenant compte de (3),
\ ()aj dai daj oaij d^i
qu'on peut écrire
«i
c)ai d%i
()»U
maj
Si l'on pose
V =
()*U
<)2U
àA
c^ai dcLf
d\}
d\}
OOL^
t)aj
f)U
da,
dU '
f^a,
— (I — m) = o.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉTELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 435
cette équation devient
On a donc '
v=.r"x(^)
En se reportant à l'expression ci-dessus de V on conclut de là que
ou encore
.ni
«r'rf».+x(^)''«>
doit admettre un facteur intégrant.
Si nous posons
«2= MaJ*,
il vient pour cette expression différentielle
«1
' rfa,-4- x(-) («r ^"-+- '^«r"* w^«i)»
ou
doL^ ^\u/
I -h frii
dont rintégrale a la forme
logat-4-log/(a) = loga,/(w),
/"étant une fonction arbitraire comme ^.
Donc U est de la forme
u = fU/U«^)],
et l'on en conclut, comme à la (in de la solution précédente, que
A(â?) étant une fonction quelconque de x.
On retombe bien ainsi sur la forme (3) du n® 21.
436 CHAPITRE Y1.
B. — Théorie algébrique des équations représentables
FAR TROIS SYSTEMES LINÉAIRES DE POINTS ALIGNÉS.
156. But d'une telle étude. — Si, dans réquatîon générale
répondant à un certain type d'abaque, telle que celles qui sont
envisagées au n^ 151 , on suppose toutes les fonctions arbitraires
composâmes algébriques, on obtient un certain type général
d'équation algébrique représentable au moyen du type d'abaque
considéré. La question se pose alors, étant donnée une équation
quelconque de ce type, de reconnaître comment on pourra
former les fonctions composantes correspondantes et de cher-
cher à quelles conditions ces fonctions seront toutes réelles,
sans quoi ce mode de mise en abaque serait purement illusoire.
En outre, comme une telle solution, lorsqu'elle est possible,
comporte, en général, une infinité de variantes, on peut se pro-
poser de choisir parmi elles celle qui, à un certain point de vue,
offre le plus de simplicité.
Pour les équations du type (HI) du n^ 151, où l'on suppose que
toutes les fonctions composantes /, cp, ^ sont linéaires, nous
avons donné une solution absolument complète de la question (*),
que nous allons reproduire ici pour bien préciser l'ordre de re-
cherche algébrique auquel conduit la Nomographie, et dont les
lignes précédentes ne peuvent donner qu'une idée assez vague.
On verra, sur cet exemple qui semble pourtant assez simple au
premier abord, combien délicate est la discussion que soulève un
pareil problème.
Lorsque toutes les fonctions /", cp, di du type en question sont
linéaires, les trois systèmes de points cotés correspondants, définis
comme on l'a vu au n** 61, constituent chacun une échelle li-
néaire (n° 7). On est dès lors tout naturellement conduit à se de-
mander si, par remploi de la transformation homograpliique géné-
rale définie au n" 61 , on pourra faire en sorte que ces échelles
deviennent régulières (n® 3, i*^). C'est, dans ce cas, la variante
que nous considérerons comme offrant le plus de simplicité.
(') 0.22.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 437
De. là deux parties distinctes dans cette théorie : i** Détermi-
nation des fonctions composantes ; 2° Transformation des
échelles linéaires en échelles régulières.
Nous commencerons par établir quelques formules et faire
quelques remarques auxquelles nous aurons à nous référer par la
suite.
157. Formules et remarques préliminaires. — Étant donné
un ensemble de trois systèmes de points cotés, on peut toujours,
par une transformation homographique, faire en sorte que les sup-
ports des trois systèmes soient des droites assignées d'avance, en
distinguant toutefois les cas où ces supports sont ou non con-
courants.
Premier cas. — Les supports ne sont pas concourants. —
Dans ce cas, une transformation homographique permet de faire
coïncider deux des supports avec les axes de coordonnées Ox
et Oj^, et le troisième avec la droite de l'infini du plan Oxy (ce
qui revient à faire correspondre à chaque valeur de as une direc-
tion du plan). Les trois systèmes sont, dès lors, définis par
et l'équation représentée prend la forme
( (mtai-4-/i,)(m,aj-4-/i,)(mja3-f-n3)
( -+-(/>iai -^qi){p\^t -+-yi)(/>8 3ts-4-^s)= o,
qu'on peut écrire
■
(E'a) M(ai-+-Si)(ai-+-Sj)(a3-+-Sj)-l-P(a,H- ^i)(aj-H ^î)(a8-4- ^3)= o.
Deuxième cas, — Les supports sont concourants. — Dans ce
cas, une transformation homographique permet de faire coïncider
deux des supports avec Ox el Oy^ et le troisième avec la bissec-
trice de l'angle de ces axes. Les trois systèmes sont alors définis par
r = mia|-+-ni, y = o, t=p^CLx-^qu
(b) {a™ = o, y = rritOLi-^- ni^ t == PfCit-^ qi^
X = /«laiH- /II,
y = o,
t = Pia\ -hqu
:r = 0,
y = PiCLt-hqf,
t = ntiOif-h fiij
^ = Ps^i -^ qz,
y = rnzOLz-\- n^y
/ = 0,
438 CHAPITRE TI.
et l'équation représentée prend la forme
niiUi-h Fil mfai-\- rit /Wja|-+-/i| '
qu'on peut encore écrire
(E'6) — ^ + —^1— + -Jl— = N.
rti-4-*i aj-4-*i a^-hSi
Chacune des équations (Ea) et (E6) développée est de la forme
( E ) A a 1 aj as -t- Bi a, aj H- Bj aj a I -H Bj Œi a j -+- Cl 3t| H- Cl «t -+- C| «1 -4- D = o.
Toute la question revient à mettre une équation donnée du
type (E) sous Tune des formes (Ea) ou (E6), en ajant pour tous
les paramètres des valeurs réelles.
En vue d'alléger la suite de notre exposé, nous allons définir ici
certaines fonctions des coefficients et faire quelques remarques
relatives à des équations qui s'y rattachent et qui joueront plus
loin un rôle important.
Posons
/ Fo=BiCi-hB,C,-+-B5C8— AD,
(I) I E/=AC/-ByBA, F,= Fo— 2B/C/, G/=B/D — CyCi-
Le discriminant du premier membre de l'équation (E) rendu
homogène peut s'écrire
A = FÎ-4(BiC,B,C,-hBsC2B3C3
BjCaBiCi-ACCCa— B,B,B,D),
et l'on a
(III) FJ-4E^G/=A (1 = 1,2,3).
Si donc on considère les trois équations
(?/) ?iip) = E/p«-+- F,p -h G/ = o (i = I, 2, 3),
la condition de réalité des racines est, pour chacune d'elles,
A^o.
On a encore
E/B? -+- F;AB/ -+- G/A« = — EyE^,
(IV) { E/C1.-4- F, ByCA-f- G,b; =- EkGj.
E,D«-+-F/G,D -hG,C? =-GyG;t.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 439
On en déduit que si £^^=0, c^est-à-dire si l'équation (ça)
a une racine infinie, l'équation ((p/) a une racine égale à -^>
égale aussi à -^f et de même V équation (yy) une racine égale
A ^ ^ë^''^ aM55e a -^-^ • • ••
Enfin, on voit bien aisément que, parmi les trois systèmes E/,
F/, G/(/= I, 2, 3), il ne peut y en avoir un composé de trois
éléments nuls sans qu'il en soit de même pour l'un des deux
autres. La variable dont l'indice diffère de ceux de ces deux
systèmes entre alors dans un binôme qui se met en facteur
dans le premier membre de (E). Cette équation cesse alors
d^étabiir un lien entre les trois variables, et il n'y a plus lieu, dès
lors, d'en rechercher une représentation.
Dans le cas où tous les coefficients de (E) sont différents de
zéro, cette proposition se démontre ainsi qu'il suit. On a
ACi— ByBit= o, By Cy-+- B;tC^— B/C/— AD = o, B/D — CyC* = o.
Tirant A et D des équations extrêmes pour porter leurs valeurs
dans l'équation du milieu, on obtient
(ByCy- BiCi)(BkCk- B/C,)= o.
L'un de ces deux facteurs est nécessairement nul ; soit le premier.
Rapprochant l'équation qui en résulte des deux extrêmes du
groupe précédent, on en conclut que
Ba "" C/ ~ Gy - D "" X '
Dès lors, l'équation (E), qui peut s'écrire
a/ay(Aa;t-j- Ba)-4- «/(Bya^H- C/)-+- ay(B/aA-4- Cy)-4- C^a^t-f- D = 9,
devient »
((Xfc-h X)(Aa/ay-+- Bya/-+- B/ay-t- Ck)= o,
ce qui démontre la proposition.
Si un ou plusieurs coefficients de (E) sont nuls, la démonstra-
tion ci-dessus se modifie un peu dans la forme, mais subsiste pour
le fond. Partout, dans la suite, nous supposons donc E/, F,
et G/(i = I , a, 3) non nuls à la fois.
44o CHAPITEB YI.
158. Formation des fonctions composantes dans le cas de
trois systèmes non concourants, — Afin d'éviter toute hypothèse
particulière, nous représenterons par «, y, k une permutation
quelconque des indices i, 2, 3 et nous supposerons les équations
(E), (Ea), (E'a) remplacées par celles que Ton obtient avec ce
changement de notation des indices.
Sur la forme (E'a), on voit que, pour a,= — 5/, le premier
membre de Téquation se réduit à un produit de binômes en ay
et a^. Or le résultat de cette substitution, dans le premier
membre de (E), est
(Bj— As/)ayaA-+-(Cy— B;t5/)ay-i-(GA— By5/)a;t-+- D — G/S/.
Pour que ce polynôme se décompose comme il a été dit, il faut
que
(B/-A5/)(D-C/5/)-(Cy-B;tS/)(C;t-By5/)=0,
OU, si Ton se réfère à la définition donnée au numéro précédent,
que
çp/(5/)=0.
On trouverait même que
9i(/i) = o.
Si donc p^' et pj sont les deux racines de l'équation (ç/), on voit
que l'équation (E'a) peut s'écrire
{Wa) M(a,.4-pi)(a,4-p;.)(aA-+pi)4-P(a/+pn(ay+p;)(aA-r-pI.) = o.
Les racines p' et p" doivent, d'après cela, être réelles; elles
doivent aussi être inégales. Si, en effet, on avait p^. = pj, le bi-
nôme a/ H- 0/ se mettrait en facteur commun et l'équation se dé-
composerait. Donc, d'après ce qui a été vu au numéro précédent,
pour que V équation (E) soit représentable par trois systèmes
linéaires non concourants, il faut que le discriminant 1
soit > o.
On va voir que celle condition nécessaire est également suffisante
en prouvant que, lorsqu'elle est remplie, on obtient toujours pour
M et P des valeurs réelles.
Il faut d'abord reconnaître le lien qui doit nécessairement exister
d'une part entre les racines du groupe (p'), de l'autre entre les
racines du groupe (p").
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉYELOPPEMBNTS ANALYTIQUES. 44 1
Sur la forme (E^a) de Téquation, on voit que son premier
membre devient identiquement nul pour ai= — p'^, aA= — plt-
Faisant cette substitution dans le premier membre de (E) et an-
nulant le coefficient du terme en ay, on a
La substitution ay= — p^, a;t= — ^\ donne de même
Ap;p;-B,p^^-B^p}+c,= o.
Éliminant p^ entre ces deux dernières équations on obtient
E/ p J — B/ G,- = Ey p^ -— By Cy ,
OU, en doublant les deux membres, ajoutante chacun Fq et tenant
compte des formules (I) (n** 1S7),
2E/p;-+-F,.= 2Eyp;-4-Fy.
On trouverait de même
2E/p;.-hF/=2E;tp'^-hF;t.
Ces deux dernières équations peuvent s'écrire
Pareillement, on obtiendrait
d . „. à ... d
On peut donc dire que les trois racines du groupe (p') d'une
part, du groupe (p") de l'autre, donnent une même valeur à la
dérivée du polynôme (cp) correspondant.
On peut encore remarquer, en résolvant Téquation (çi), que
2E,p/-hF/=d:v/Â.
Les racines d'un même groupe correspondent donc à un
même signe pris pour y/Â.
En résumé, on est libre de choisir parmi les racines de (ç/) la
racine p'^ et la racine p' , mais une fois ce choix fait, les racines
p'^ et p';t d'une part, py et p^ de l'autre, sont déterminées sans ambi-
guïté.
44^ CHAPITRE VI.
Une ou plusieurs des équatious (ç) peuvent avoir une racine
infinie (jamais les deux, d'après la remarque finale du n^ 157).
Dès lors, E/ étant nul, la quantité aE/pi-f- F, prend la forme indé-
terminée de o X 00 pour la racine p/ infinie, mais comme elle
prend la valeur parfaitement déterminée F| pour la racine p/ finie,
le critérium indiqué s'applique au moyen de celte seconde racine.
Abordons maintenant le calcul de M et P. Pour cela, remarquons
que l'identification de {E"a) et de (E) conduit à huit équations de
la forme
MR'h-PR'=K,
où R', R" et K ont les systèmes de valeurs
R'=:i, R' = i, K = A,
R'=p;, R'=p:, K = B/,
^^^ '^'=P'j?',. R'=p}p;, K = c/,
^' = P'i Pj Pa» ^' = P/ Py pI^ K = D.
Prenons deux de ces équations, distinguées par les indices o et i .
Nous en tirons
M _ P
R j Kq — R^ ^1 Rq **! — Ri 1^0
Par suite, l'équation (E"a) devient
i (RîKo-R;K,)(a^-^p;)(«y-+-p})(a^-+-p;)
^ ^ I -(R;Ko-R'oK,)(a/-^pn(«y-+-p;)(«*-+-p:) = o.
Nous allons voir comment cette équation peut s'adapter à tous
les cas possibles caractérisés par le passage à l'infini d*une ou de
plusieurs racines p' et p".
159. Discussion. — Premier cas : Les six racines ç! et p''
sont finies, — Dans ce cas, E/, Ey, E^^ sont différents de zéro. Nous
prendrons ici dans le système (S)
Rq = i, RJ = i, Ko=A,
^\ = P*» ï^î = Pi» ^1 = ^fc-
L'équation (51) devient alors
(% ^ 1 (Ap;;~Bo(a/-Hp:.)(«y-Hp})(«A^pi)
^ '^ \ ~(Ap'^-BA.)(a,-Hp;)(ay4-p;)(aA-^p;) = 0.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉTELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 44^
Deuxième cas : Une racine est infinie. — Soit p^=:oo (*),
auquel cas E;t=:o. L'équation (3t|) ci-dessus, divisée par p^,
peut s'écrire
Pour p^= 00, elle devient
(51,) A(a/-+-p;.)(ay-i-p})(aA-hp'^)-(Ap;t-B;t)(a/+p;)(«y+p;) = o.
Troisième cas : Deux racines de même groupe sont in-
finies. — Soient pj = p]^r=oo, auquel cas Ey= Ea= o. Nous pren-
drons ici dans le système (S)
R'o-i, RJ=f, Ko=A,
^1 = ?'j Pa» '^Î = Py Pa» ^» = ^'•
L'équation (5t), divisée par py,p]^, peut alors s'écrire
(^~ pM) ^^''^ ^'^^""'^ ^^^^""'"^ ^'^
-(Ap}p',-CO(ct/+pJ)(g-i-.)(g-M)=o.
Pour py = p]^= 00, elle devient
(51,) A(a/-4-p;)(«y-+-p;.)(aA-^p';t)-(Ap}p'^-C0(«^+pJ) = o.
Quatrième cas : Deux, racines de groupes différents sont in-
finies. — Soient p'= p^= 00, auquel cas on a encore Ey= Ea== o.
Nous prendrons ici
*^o = PÎt» ^0 = P1» ^0 = Ba-,
r; = p;, rî = p;, K, = By.
L'équation (5t), divisée par pypîi, peut alors s'écrire
(ba^ - By) (a,-^p;.) (^ -^i) («AH-p'^)
-(BA-By|)(«,-4-p;)(«y-|.p;)(^-4-l)=0.
(^) Lorsqu'une racine est infinie on peut simplifier le calcul des autres en
s*appuyant sur les remarques faites à propos des formules (IV) du n** 157.
444 CHAPITRE VI.
Pour py= p^.= oo, elle devient
(30 By(a/-f- p'i){0Lk-h p'^) -4- Bk{oLi-h pj) (ay-4- pj) = o.
On volt qu'ici le terme en oLiOLjoLk a disparu, c'est-à-dire que A = o.
C'est là ce qui distingue ce cas du précédent.
Cinquième cas: Les trois racines d^un même groupe sont in-
finies. — Soient pj= pj= ?A= ^? auquel cas E|= Ey= Ea== o.
Nous prendrons ici
R'. = p;p;pi. R;=p?p;pî. k,=d.
L'équation (/3l) divisée par pjpy pî peut alors s'écrire
(a - ^7^) («/+ PÎ )(«>-!- P'/ )(«*+ P'»)
Pour pj = pj = p* = 00, elle devient
(3,) A(a/-t-p;.)(3ty-+-p;)(aA-+-pi)-(Ap;p;.p'^-D) = o.
Sixième cas : Deux racines de Vun des groupes et une de
Vautre sont infinies, — Soient p^ z= py = o^ = oc, auquel cas
on a encore E/ = Ey= Ea = o. Nous prendrons ici
R'o = p;., Rî = p';, Ko-B,,
L'équation (51) divisée par p'^ pj p\ peut alors s'écrire
_(B,flfi_o,),,.„(;4.,)fé
-M =0.
Pour p| = py =^ p2 -— 00, elle devient
(ils) B,(ay + p;. )(a/,4- p'J -- C/(a,M- p; ) = o.
On voit qu'ici encore il n'y a pas de terme en a/aya^, c'est-à-dire
que A = o. En outre, B/ est différent de zéro, ce qui, avec l'hypo-
thèse faite, entraîne nécessairement By = Ba = o.
THÉORIE GfiNÉRALB. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 44^
Résumé* — Si l'on compare à TéquatioD (Ea) chacune des
équations de (5l| ) à (/3l«), on voit que, pour A > o, la représen-
tation peut être définie par les formules (a) du n° 157, les para-
mètres m, /t, />, q étant donnés par les tableaux ci-dessous dans
lesquels on les suppose rangés dans Tordre
}
/w/, n/, piy qi
'^Jy "y» Pjy 9Jy
fnki nky pkj qk-
Premier cas — E/, Ey, E^ ^ o :
'» P/» '» P,»
'j Py» 'i 9j-
A^Pi-B*» P:fr(Ap;-B^), B;t~Api, p;(B,.-Ap',.).
Deuxième cas. — E|, Ey ^z^ o ; Ea = o ( * ) :
I,
p;» ^ p;»
I,
9'jy I, p;,
A,
P'^A, o, B^— Ap;^..
Troisième cas.
— E/ ^ o; Ey, Ea -- o ; A ^ o :
I,
p;» >» pj»
I,
p}, 0, 1,
A,
PaA, o, C — Ap)p'^..
Quatrième cas.
— El tZ^ o; Ey, Ea — 0 ; A — 0 :
>»
p;-. '. p;>
0,
17 ^ p}^
By,
Pj By, 0, Ba.
Cinquième cas.
— El, Ey, Ea — 0 ; A 7^ 0 :
I,
Pi, 0, 1,
I,
9'jy 0, I,
A,
PaA, 0, D-Ap;.p;pV.
(•) Daûs ce cas K^o ûécessairemeût; car A = 0, £4 = 0 entraînent soit
' B| = o, soit By =0, par suite soit Ey = o, soit E, = o.
446 CHAFITIE VI.
Sixième cas. — E/, Ey\ Ea = o ; A = o ; B/ p^ o ( • ) :
^
«
O. I. I, P/
160. Formation des fondions composantes dans le cas de
trois systèmes concourants. — Nous avons vu que lorsque les
trois svstèmes lioéaires sodI concourants Téquation (E) est sus-
ceptible de prendre la forme (E!b) qui peut encore s^écrîre
— tji^k^ Sk) (a/— Si'i — /a*ï,H- Si) (ay+ Sj) = o.
On voit que pour ai = — 5/, ay= — 5y, »*= — 5a, elle se dé-
compose en un produit de binômes. Il en résulte, comme au n^ 158,
que Si^ Sj\ Sk sont racines respectivement des équations (^x), (oj)y
(?a).
Ces trois équations doivent donc encore avoir leurs racines
réelles. Or, si ces racines étaient inégales, Téqualion (E) serait
représentable par trois svstèmes non concourants, ainsi qu'on Ta
vu au paragraphe précédent, et cela serait contraire à Thypothèse
actuelle. Chacune des équations (?) a donc nécessairement ici ses
racines égales el, par suite,
A = o.
Si pi, Gy, z/( sont ces trois racines, l'équation précédente de\*ien-
<lra donc
L'idenlification de celle équation cl de (E) donne les huit équa-
tions
il) N = A,
^ 5/ ) ^ ?J ?k — tj pA- - tk Ç.J = Ci,
(4) îîpiPjpk—tiPjpk—t/pkri''fkPiPj= D.
(') On vient devoir que les deux autres B sont nécessairement nuls.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 447
Ayant, dans toutes ces équations, remplacé N par sa valeur (i),
l'on tire de (2|),
(5,) //=Ap/-B/.
Faisons maintenant la somme de (2|), (2^) et (3y) respectivement
multipliées par p*, p/ et — i . Il vient
(6y) p^{Xpi—Bi) = BkPi—Cj,
De même, la somme de (2^), (3/), (3y) et (4), respectivement
multipliées par pipy, — p/, — py et i donne
(7k) pA^kpi- Cy) = Cipi- D.
Cela posé, nous pourrons calculer //, tj, ti^ dans tous les cas pos-
sibles.
Remarquons d'abord que nous pouvons, au moyen de ces for-
mules, vérifier que chaque équation (cp) a ses racines égales.
Si, en effet, entre les équations (6a) et (7*) nous éliminons p/py,
nous obtenons
(8a) E/p/-h Ey py -h Ba Ga— ad = 0.
Si maintenant, de la somme des équations (8a) et (Sy) nous retran-
chons Téquation (S/), nous obtenons
2E/p/-hF/=o
ou
ce qui démontre que p/ est racine double de (y/) et, par suite,
que A = o, comme nous l'avions prévu a priori.
Passons maintenant à l'eicamen des divers cas qui peuvent se
présenter.
161. Discussion, — Premier cas: Les trois racines sont
finies, — Dans ce cas, E/, Ey, Ea sont différents de zéro.
D'après (i) et (5) l'équation (E'è) devient
Ap/— B/ Apy— By ^ ApA— Ba _^
a/H- p; ^J-^PJ O-k-^Pk
ou
/jh \ Ap/— B/ ^ Apy— By AaA-t-BA_^
*' a/-+-p/ ^j-^9j ^k-^Pk
44B GHAPITIE Tl.
Deuxième cas : Une des racines est infinie. — Soit ûi^= x,
auquel cas Ea = o. En vertu de (6y) et (6/) Téquation (Si), mul-
tipliée par pA. peut s'écrire
Bj S/ — Cy Bj^py— C/ A g^ -^- B|- _
Pour pA= X, elle devient
5i^£z:J5> ^ 5iP>ziÇ/ ^^a»,- b,)= o
OU
( »i ) — ï^ '- A 2jt = o.
Troisième cas : Deux des racines sont infinies. — Soient
fj--= pA= 3C, auquel cas Ey= Ea= o.
Ko vertu de (7^)9 Téquation (l^s)) multipliée par py, peut donc
s'écrire
C/p/~ D BAgy-^C/ ,
— *^ A py Ijt = o.
9j
Or, pour obtenir (Bj), nous avons supposé p* = ao, et, d'après
(G|), pour c,ff=y:, on a Apy^By. L'équation précédente peut
donc s'écrire
a/-r-p/ ay_^^
Bya^=o.
py
Pour pi^- X, elle devient
OU
(I33) -f- B^ay-hByaA^r o.
OLi — Pi
Quatrième cas : Les trois racines sont infinies, — On a donc
K/ : = Ey =: Eâ-~ o. L'équation (B3), multipliée par p/, s'écrit
— l-BA:p/ay4- Hyp,aA= O.
Or, pour obtenir (B3), nous avons supposé py^p^i^x, et,
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4^9
d'après (7a) et (7;), pour py= pA^oo, on a BApi= C/, B/p/=iCA.
L'équation précédente peut donc s'écrire
?^Vi
pi
Cyay-H GAaA= O.
Pour pi =z 00, elle devient
(BO C/a;-f- Cyay-+- CA-aA-f- D = o.
Ce dernier cas n'a d'ailleurs été envisagé qu'à titre de vérification,
car il est de toute évidence que l'hypothèse A = E/ = Ey = Ea = o
entraîne nécessairement A = B/ = By = Ba = o.
Résumé. — Si l'on compare à l'équation (Eè) chacune des
équations de (IB^) à (IB4), on voit que, pour A = o, la représenta-
tion peut être définie par les formules (6) du n° 157, les para-
mètres m, n, /?, q étant définis par les tableaux ci-dessous, dans
lesquels on les suppose rangés dans l'ordre
'W/, 71/, /?;, qi^
"^jy ^h Pjy 9jy
nikt n,k, pk-, qk-
Premier cas, — E/, Ey, Ea/z^ o :
I, p/, o, Ap/— B|,
I, pj^ o, Apy— By,
1» P*> —A, — Ba.
Deuxième cas, — E/, Ey ^ o ; Ea = o ( • ) :
I» p/ï o, Bap/— Gy,
'> Pjt — ^*» — ^o
0, o, — A, o.
Troisième cas, — E/ ^ o ; Ey = Ea = o ( ^ ) :
1, 9i. C/, D,
o, I, Ba, o,
o, I, By, o.
(*) Ici, comme od Ta déjà vu d"* 159 {Résumé^ deuxième cas), \ ^ o néce:»-
sairemeot.
(^) L'équation (O,) montre qu'ici A = B, = o.
M. dO. 29
45o CHAPITIE Tl
Quatrième cas. — E, = Ey = E^ = o :
o,
1»
C/,
0.
o,
1,
Cy^
o.
o.
I,
Ci.
D.
(M
162. Passage aux échelles régulières dans le cas de trois
systèmes non concourants. — Si nous considérons Tensemble
des trois syslèmcs de points cotés
nous en obtenons la transformation homographique la plus géné-
rale en prenant
( « / ) j r = ^î/i ~ i^i ?i -^ ''î ^'/i
(') On peut donner des faits algébriques qui viennent d*étre examinés l'inter-
prétation géométrique suivante : Si, dans l'équation (E) du n* 157, on regarde
2,, X, et 2} comme des coordonnées courantes, on voit que cette équation représente
une surface du troisième ordre passant par les droites du plan de Tinfini situées
dans les plans de coordonnées, et ayant, par suite, pour points doubles les som-
mets du triangle formé par ces trois droites.
Lorsque A >o, les plans a.-i-o^=o cl a -f- o* = o (i.y = i, 2, 3) se coupent
deux à deui suivant des droites réelles de la surface. Lorsque i et j sont diffé-
rents, la droite correspondante est à distance finie et parallèle à l'axe des coor-
données 2^. Si une des racines devient infinie le plan correspondant se confond
avec le plan de l'infini.
Lorsque A = o, 0^.= 0] pour 1=1, 3, 3. Les deux droites parallèles à chaque
axe de coordonnées se confondent en une seule, et ces trois droites doubles con-
courent en un même point qui constitue un quatrième point double de la surface.
On saisit ainsi la raison géométrique de l'annulation du discriminant A dans ce
cas.
La théorie ci-dessus présentée fournit donc un mode de représentation plane
des surfaces du troisième ordre ayant trois points doubles dans le plan de l'infini.
Dans ce mode de représentation, à tout point de la surface correspond une droite
du plan, à chaque section de la surface faite parallèlement à un des plans de
coordonnées, un point coté.
Il suffirait d'appliquer en sens contraire la transformation dualistique qui nous
a permis de passer des abaques à droites entrecroisées ( n* 47) aux abaques à
points alignés (n*» 56) pour obtenir une représentation point par point de la sur-
face sur le plan.
Si A = 0, la surface se décompose en le plan de l'infini et un hyperboloïdc. La
condition A>o signifie que l'hyperboloïdc est à une nappe. Lorsque A = o, cet
hyperboloïdc se réduit à un cône.
x„
[^17
Vl
K
î^2»
Vî
^3,
[^3,
vs
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. ^5l
le déterminant de la transformation,
H =
étant différent de zéro.
Pour que les points (a^) forment un système régulier , il faut
et il suffit que t soit constant et différent de zéro, c'est-à-dire que
dans y^ifi-h [JJ-a^z-h Va^j^i le coefficient du terme en olî soit nul et
le terme constant différent de zéro.
Nous allons rechercher maintenant si, par un choix convenable
des paramètres X, [x, v rendant H différent de zéro, on peut réa-
liser la condition précédente pour les trois systèmes linéaires
d'une équation (E) ou seulement pour deux et même pour un
d'entre eux.
Si l'équation est représentable par trois systèmes non concou-
rants (A > o), on peut prendre comme formules (a) les formules (a)
du n°157oii l'on remplace i, 2, 3 pari, y, /r. Les formules (a') sont
alors
^ = il^iPj -+- '*i^j)^J
j = (X,m/-+- v,/>,)a/
(oL'a)
y =0<%Pk
Itrii-h^iç/y
[l,^y-hV,Aly,
^igk-+- f^l^A
Xj/lz-h V,^/,
îX2^y4-V,/ly,
'kiÇJk-^lJiirik
Xj/i/^-Vj^/,
lizgj-^^snj,
^iÇk-^ Ks'ïA-
t = {\zmi
\ t = (l^pk
Les équations exprimant que chacun de ces systèmes est régulier
sont donc, d'après la remarque faite ci-dessus.
(r,a)
Xam^-h vj/>/ = o, avec la condition
[izPj -f- vs /ny = o, »
kiPk ■+■ \^zrnk= o,
M
Xj/i/ H- "f^qt 7^ o,
K8^y-+- Vj/ly ^o,
^8^*-H (^3/1*?^ o.
Remarquons tout d'abord qu'en vertu des conditions ci-dessus
on ne saurait admettre une solution dans laquelle plus d'un
des paramètres \z^ V-z^ V3 serait nul.
452 CHAPITRE VI.
Tout revienl donc, dans chaque cas, à essayer de satisfaire au
plus grand nombre possible des équations {7\a)en observant cette
condition. Mais, si cette seule condition est remplie par une so-
lution, les trois conditions inscrites en regard des équations {r^a)
sont satisfaites. En effet, si, X3 et Vj n'étant pas nuls à la fois, on
avait
X j m/ -T- vj/>/ = 0 et Xj /!/ -h vj Çi = o,
il en résulterait — = — . Par suite, comme on le voit en se re-
Pi 9i ^
portant à la forme (Ea) de Téquation (E) (n° 157), a/ disparaî-
trait de cette équation. De même pour les deux autres équa-
tions (vja).
Pour que les trois systèmes puissent être rendus réguliers à la
fois, c'est-à-dire pour qu'il y ait compatibilité entre les équa-
tions (Tja), on peut remarquer qu'il faut que
m, m, nii -hpiptpz = o,
c'est-à-dire, si l'on se reporte à (Ea), que
A = o.
On verra plus loin que cette condition nécessaire n'est pas suffi-
sante.
Les équations {'fia) ne contenant que les éléments de la troi-
sième ligne du déterminant H, on peut disposer arbitrairement
de ceux des deux premières lignes, à la condition toutefois de ne
pas rendre H identiquement nul.
Si, par exemple, X3 est différent de zéro (ce qui est partout le
cas dans ce paragraphe), on pourra prendre
X, = 0, fl| = o, V, = I,
Xj = o, Jlj = I, V, = o,
ce qui donne H = — \^,
Dans cette hypothèse, les formules (a' a) deviennent
l^=Pi^i -^Çiy y = o, < = (Xs/n/-+-V3/?/ )a/ H-XaAii -i- V3<7/
<aao) ^ X = mj:tj-\-nj, y = Pjtj ^qj, t = {\L^pj -^u^mj )%j -h ^^qj ^^é^n^
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 453
On voit que les supports sont pour (a/) l'axe des jr, pour (a^)
l'axe desj^', pour (ay) la droite
Cela posé, nous allons chercher, sous la condition sus-énoncée,
à satisfaire à une ou plusieurs des équations (fia) dans chacun des
cas que nous avons été amené à considérer (n® 199).
163. Discussion. — Premier cas : E/, Ey, E^p^o. — Les
équations {r^a) sont ici
1X3 -I- V3 = o,
JX3-HV3— o,
(Ba- - Ap'^)X3+ (Api - B^Ofi, - o.
Elles sont généralement incompatibles, mais on pbut toujours
satisfaire aux deux premières en prenant (*)
^3=1, fA3=I, V3 = — I.
Les formules (aao) deviennent donc
i ar = a/ -f- p;, 7 = 0, / = pj — p},
(aai) <x=ay-+-p}, ^ =«/-+-?}, ^ = P} - Py»
( x = o, y = {^9"k-^k){0Lk^p'k). ^ = (pl-pA.)(A3tA4-Bx.).
En outre, Téquation (ay) est ici
Si A = o, le système (a^) devient lui-même régulier.
Deuxième cas : E/, Ey^z^o; Ea=o. — Les équations {y a)
sont ici
X3-hV, =0,
{r,a^) { Fi3-^V3 = o,
\>.^— o.
(') Il faut bien remarquer que, dans ce cas comme dans tous ceux de ce nu-
méro et du n" 165, nous faisons un choix particulier des paramètres, compatible
avec les équations de condition correspondantes, mais que nous pourrions faire
ce choix d'une infinité d'autres façons.
4^4 CMAMTÊE ▼!.
On &atî«fait encore aax deux premières en prenant
>i=i. î*i=i. '», = — I.
Le» formules 2a«; deviennent donc
^ ar = ï, — z], jr = o. f = pi — pi,
/ïa,, • x = ï^— î^, ^ = ïy-p;. /=s} —5}.
f T = o. _^ = Ai ai — p^ », / = Aat — B*.
Ici, comme on Ta déjà remarqué an n* 139, A ne peut pas être
nul, et« par suite, le troisième srstème n*est jamais régulier.
Troisième cas : E/^^o: Ey, Ea=o: \yéo. — Les équa-
tions (y,a I sont ici
r ai=o.
On satisfait à la première et à la dernière en prenant
Les formules (%a^) deviennent donc
l X = a, -^ s;, y = o, i = z'i — s;,
\ X = 1}, y = A f lA -^ .-'x ;» / = C| — A z'j pi .
Ouatriime cas : E/^o; Ey, Ea=o; A = o. — Les équa-
tions ('r^a) sont ici
1^-3-^ '3= o,
\^i = ^'
On satisfait à toutes trois en prenant
^'3 = 1, f^3 = 0, V3=— I.
Les formules (ar/o) deviennent
(7.^/4)
X = :ti-h p';,
X - <>.
J7^ r,
7_ay-+-py,
/ - — 1,
a™ — 0,
V = By(aA-+-pA.),
/ - Ba.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉTELOPPEMENTS ANALYTIQUES. ^55
Cinquième cas : E/, E^, Ea= o ; A ^ o. — Les équations (^a)
sont ici
On ne peut ici, sous la condition requise, satisfaire qu*à une seule
de ces équations, par exemple à la seconde en prenant
Ft3 = l .
Vs = o.
Les formules (aa©) deviennent donc
137=1, 7=0, / = a/-^p;•,
a7 = ay-f-py, 7=1, /=!,
^ = o, 7 = A(aAH-p^), / = A(a;t-f-pir)4-D — AplpypA..
Sixième cas : E|, Ey, Ea= o; A = o. — Les équations {r^a)
sont ici
IV3 =0,
Va = o,
fX, = o.
Cette fois on satisfait aux deux premières en posant encore
^8 = I,
[A3= I,
V3 = o.
Les formules (aao) deviennent donc
37 = a,- -f- pî, 7=0, ; = I ,
(aas) { a7 = ay-hp}, 7=1, ^ = 1,
^ = o, 7 = B/(a)i.4- Pa), ^ = B/(aA-H pÂ) -^ G/.
164. Passage aux échelles régulières dans le cas de trois
systèmes concourants. — Lorsqu'une équation appartient à cette
catégorie (A = o), on peut prendre comme formules (a) les for-
mules (6) dji n° 157, où l'on remplace i, 2, 3 par i, y, k. Les for-
456 CHAPITRE VI.
mules (a') du n® 162 deviennent alors
IXl mj -f- V,/?y) ay 4- [X, /ly -h V, ^y ,
X, m/ -h ^2Pi)oLi -f- X,n, -+- v,^/,
[Xj mj -f- V j/>y ) ay -+- fi, ny -h V, qj,
[(Xj-+- îiî)mA— V2y?A-]a*
X3/W/ -t- vs/?,)a/ -4- X,7i/
[I3 /«y -H v3/>y ) «y -f- fxs ny
[(Xj-f- Ht3)/WA— - V3y?A-]a*
(a'ô)
iT =
/ =
/ =
— '1^*1
(Xj-+- iii)nf,— ^tÇk
Les équations exprimant que chacun de ces systèmes est régu-
lier sont, d'après la remarque du n° 162,
IX3m|4-v3/?/ = o, avec la condition Xj/i/-4- vs^/^o,
[X3 //ly -H V3/>y = O, » » fX3 /ly -+- Vj ^ry ^ o,
(Xs-i-Ks)'^*— ''3/>A = 0, » » (X3-+-îX5)/l* — Va^ryt^O.
On voit que ces conditions ne permettent pas d'avoir V3 = o, en
môme temps que X3, [JL3 ou Xj-f-jjLj; mais on peut prendre
)v3 = jx3= o, avec V3 ^é o. En outre, le raisonnement déjà fait au
n"* 162 montre que si la condition précédente est remplie par un
système de valeurs satisfaisant à une des équations (vi6), les con-
ditions inscrites en regard des équations {y]b) le sont aussi ipso
fado.
Remarquons encore que pour que les trois systèmes soient ré-
guliers, c'est-à-dire pour qu'il y ait compatibilité entre les équa-
tions {f\b) il faut que
fntP2Pi-^^niPipi-{-miPiPi=o,
c'est-à-dire, si l'on se reporte à (E6), que
A = o.
Comme précédemment, celte condition nécessaire n'est pas suffi-
sante, ainsi qu'on le verra par la suite.
Les équations {r^b) ne contenant que les éléments de la troi-
sième ligne du déterminant H, on peut disposer arbitrairement de
ceux des deux premières lignes, à la condition toutefois de ne pas
rendre II identiquement nul.
(aào)
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4^7
Sî, par exemple, X3 est différent de zéro, on pourra prendre
X, = 0, fx, = 0, V, = I,
^t= O, [Xi= I, V2= o,
ce qui donne H = — )v3. Les formules (a' 6) deviennent alors
X=pj (Xj -^qj, 7 = mj SLj -H /ly,
ar = — {pkOLk-^ qk)y y = nik^k-^ nk,
t = {lizmj-h^ipj)aj-i- [iznj-^^zqj,
t = [(XsH- [ii)nik—^iPk]^k-^C>^i-^ fJi5)/ïA*— vsÇA.
Si X3 = G, mais que V3 soit différent de zéro, on pourra prendre
^î= o, îXj= I, v, = o,
ce qui donne H = V3. Les formules (a' 6) deviennent alors
a: = m/a/ -+-71/, 7 — 0,
x = o, y = mjOLj-hnj,
X = rtik^k-^ nk, y = nikOLk-^ nk,
/ = rjjLamyH- ^3Pj)oLj-i- [x^nj -+- y^qjy
(^^i)
Gîla posé, envisageons chacun des cas définis au n^ 161 .
165. Discussion, — Premier cas : E/, Ey, E^p^o. — Les
équations (71e) sont ici
1X3-0,
fJL3=0,
^3+ H^sH- Av3= o.
On peut, sous les conditions requises, satisfaire dans tous les cas
aux deux premières en prenant
^3=0, fA3=0, V3=I.
Puisque X3 est nul et V3 non, il faut avoir recours aux formules
/i58 CHAPITRE Vf.
(^^o) ^"^ deviennent
Ix = a/H-p/, y = o, / = Ap/— B|,
T = o, y = ^j"^Pjy f = A py — By,
On voit que le support de (oLk) est la droite j' = x.
Si A= o, le système (a^) devient lui-même régulier.
Deuxième cas : Ei, Ey ^ o ; Ea r= o. — Les équations (tj 6) sont
• •
ICI
On satisfait aux deux premières en prenant
^3 = O, fXj = Ba , V, = I .
Les formules (*6'o) deviennent donc
ix = xi-hp{j y = o^ f = Bkpi-'Cjj
^ = » î 7 = 1» / = A ajt -4- Ba .
Ici, ainsi qu'on Ta déjà remarqué au n*^ 161, A ne peut pas être
nul.
Troisième cas : E/^ o ; Ey, Ea = o. — Les équations (y; b) sont ici
On satisfait aux deux dernières en prenant
^^3=1, Ht3=l, V3=().
Comme X^ est diflcrcnt de zéro, on a recours, celte fois, aux for-
mules (a^o) qui deviennent
X = CiOf/-T- D, j = o, / = a/ -+- p.-,
X = — Byix, y — \^ ( = 1.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4^9
Quatrième cas : E,-, Ey, Ea=^ o. — Les équations (vjè) sont ici
IV8= O,
V3= O,
V3= O.
On satisfait à toutes trois en prenant
^3=1, 1^3=1, V3 = 0.
Les formules (aèo) deviennent alors
x=Cjaj, r = iï t = i,
x= — (CA-aAr-f-D), y=iy t = 'i,
166. Résumé général. — Tous les résultats qui précèdent
peuvent se résumer dans le tableau suivant où une quantité posi-
tive est désignée par 4-, une quantité non nulle quelconque par o.
Si l'un de ces signes est souligné; c'est qu'il découle nécessai^
rement des autres hypothèses placées sur la même ligne.
Formules
^. E-. E-. E|. A. Systèmes réguliers. correspondantes.
o o 0 o (a/), (ay) (aai)
o o o o (a/), (ay), (a^) (aa,)
o o o o (a,), (ay) (aa,)
o o o a (a/), {oLk) (««s) ) n° 163
0 o o o (a/), (ay), (aA-) (aa*)
o o o 0 (OLj) («û^i)
o o o o (B/5^o), (a;), (ay) (aa«)
o o o 0 0 (a/), (ay) (aôi)
o o 0 0 o (a,), (ay), (aA) («6,)
o 0 0 o 0 (a/), (ay) (aô,) } n*» 165
o o o o 0 (ay), (aA) («63)
00000 (a/), (ay), (aA) (aô*)
On peut donc énoncer cette proposition :
Pour qu^une équation (E) soit représentable par trois sys-
tèmes linéaires de points alignés, il faut et il suffit que son dis-
46o CHAPITRE Yl.
criminant A soit supérieur ou égal à zéro. Ces trois systèmes
linéaires peuvent être rendus réguliers lorsque, A étant nul,
ou bien les quantités E/, Ey, Ea sont toutes trois différentes de
zéro, ou bien deux de ces quantités sont nulles, la troisième
et A étant ensemble ou nuls ou non nuls.
Si E|, Ey, Ea étant nulles, A et 1 ne le sont pas, un seul des
trois systèmes linéaires peut être rendu régulier.
Dans tous les autres cas on peut rendre réguliers deux de
ces systèmes.
Soit, par exemple, Téquation de la mulliplicalion
OLiOLi — aj= o.
Ici,
A = i, Ei = E, = £3=0, A = o.
Donc, d'après la septième ligne du tableau ci-dessus, cette
équation sera représentable par trois systèmes linéaires non con-
courants dont deux réguliers seulement. La ^g, 78 en est un
exemple.
Soit maintenant Téquation
r r I
«1 «j «3
OU
0L1OL3 -h «3 ai — ai 0L2 = o.
Ici
A = o. Ei=Ei=E3=i, A = o.
Donc, d'après la neuvième ligne du tableau, cette équation
sera représentable par trois systèmes réguliers concourants. C'est
ce que montre la /ig. 76.
C. — Représentation des équations quadratiques au moyen
DE droites et de CERCLES ENTRECROISÉS (*)•
167. Conditions requises, — Une étude commp celle qui vient
d'èlre développée, outre qu'elle se compliquerait rapidement,
serait sans utilité si elle s'appliquait à des équations d'un type
(') 0.29.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4^1
moins courant que le type (III) du n** 151. Il y a toutefois intérêt
à examiner dans quelles conditions certains types d^abaques
s'appliquent à des catégories particulières d'équations. Nous allons
en donner un exemple en recherchant comment les abaques com-
posés d'un système de cercles et de deux systèmes de droites
(n°52) peuvent s'adapter à la représentation des équations qua-
dratiques à trois variables.
Revenant donc à l'avant-dernière équation écrite au n° 52, cher-
chons comment, en prenant pour les fonctions /, cp, ^ des poly-
nômes du premier et du second degré, nous pourrons arriver à
rendre cette équation quadratique, c'est-à-dire du second degré
par rapport à l'ensemble des variables ai , 0L2, ol^.
Pour cela, représentons par :
X le degré des polynômes
fi »
V »
On voit que la partie entre crochets de l'équation en question
sera du degré 2X, et que le reste du premier membre de cette
équation comprendra un polynôme du degré 2[x-f-i^ et un autre
du degré X -j- |i. H- ir. Pour que l'équation soit quadratique, il faut
donc que l'on ait
2X^2, 2fl-f-7t$2, X -h {X -h vl 2,
vetirne pouvant d'ailleurs être nuls à la fois, puisque alors aa dis-
paraîtrait de l'équation. Ces conditions ne peuvent être réalisées
que dans les trois hypothèses
/l?ï-
-/»?!»
/a,
?3,
»
X=.,
ix = o,
V= I,
r — 2,
X — 0,
|X_ I,
V= I,
t: = o,
X = o,
{X = 0,
V = 2,
TU = 2,
qui donnent respectivement
2X = 2, 2{Jl-+-'JC = 2, X -h {Jl -t- V = 2
ou
2X = o, 2|JL-f-7: = 2, X -h {Jl-f- V = 2,
462 CHAPITRE VI.
Nous allons faire voir que les deux dernières hypothèses doivent
être écartées. Prenant, en effet, pour les polynômes /i, Çi, ^\,f2^
?2j ^2 le degré le moindre, c'est-à-dire le premier (car avec le
degré zéro les variables ai et 7.^ disparaîtraient de l'équation),
cherchons à faire en sorte que les polynômes o^if^ — cpa^J'i et
'^1 f'i — ^2/1 soient du degré X = o, c'est-à-dire se réduisent à des
constantes. Si nous posons, d'une manière générale,
nous voyons que la condition requise exige que l'on ait
{{) miTj— /?i2ri = o,
(9.) Pirt — ptri =0,
(3) //ii^j— /ijri = o,
(4) /iirj — /w,5, =0,
(5) /?î^î— qtri =0,
(6) q\rt— piSi =0.
De (i) et (2), on tire
^^^ ^-i^-^-P'
p désignant la valeur commune quelconque de ces rapports.
Les équations (4) et ((5) deviennent dès lors, lorsqu'on y rem-
place ma, /?2) '*2 par leurs valeurs tirées de là et que l'on supprime
le facteur - >
?
(4') /i,rj — m,5i = (),
(6') qiri— piSi =0.
Les équations (3) et (4') donnent alors
fUi _ Hi _ /Il
/'l ~ Si ~ Si '
(5)et.(6')
Pi _ 72 _ 9^1
ri ^2 Si '
d'oii
(8) -i = ^ = -1
n* rji Si
et
( ) 'Jh ^ El = 'J
/î, qi Si
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4^3
Rapprochant (9) de (7) et de (8), on voit qu'on a de même
(.0) !!L\ = P} = Cî.
/I2 qt Si
' Les égalités (7) et (8) établissent que les systèmes du premier
degré (a^) et (a2) ont même point de convergence, .les égalités
(9) et (10) que ce point est à l'infini. Quelles que soient les va-
leurs attribuées à ai et à aj, les droites cotées correspondantes
donneraient ce point à Tinfini.
L'emploi de l'abaque deviendrait illusoire.
Le raisonnement précédent suppose d'ailleurs les divers coeffi-
cients diflerents de zéro. Pourrait-on, au moyen de valeurs nulles,
satisfaire à l'ensemble des égalités (7), (9) et (10) équivalent à
celui des égalités (1) à (6)?
On voit immédiatement que non, car si m^= p^=: r, = o ou
/?22 = ^2= ^2 = O7 la variable ai ou la variable 0.2 disparaît de
l'équation.
Si /W| ^ G et /?22= o, on doit avoir ^1^=0 et /î2= 0, et les
systèmes de droites (ai) et (a2) sont parallèles, hypothèse égale-
ment inadmissible comme on vient de le voir.
Les deux hypothèses pour lesquelles X = o doivent donc être
écartées. Reste celle pour laquelle on a
La condition X = i entraîne les égalités (7), qui, à leur tour,
donnent
(11) m,/?2— m,/>, = 0.
La condition [ji = o entraîne, d'une part, l'égalité précédente,
déjà réalisée, de l'autre,
(i3) /ii/?2— m,^i = o.
Remplaçant, dans (i3), //i,et/?2 par les valeurs proportionnelles
mi et Pi tirées de (7), on a
(i4) /ti/?i — /n,^i = o.
464 CHAPITRE Tl.
De (i Si) et (i 4)) on tire
^«1
nt
ni
■
^^
— >
Pi
'h
11
et, si Ton remplace, dans (i3), /i| et q^ par les valeurs propor-
ti onnelles tirées de là, on a
Les égalités (i4) et (i6) peuvent être substituées à (i2)et(i3).
Pelles expriment que les centres de convergence des faisceaux (ai)
r*t (a^) sont l'un et l'autre rejetés à l'infini.
Mais, de (i5), on tire
/1i<7j— AljÇi = o.
Il en résulte que
identiquement, et comme, dans l'équation proposée, la variable as
n'entre que dans le déterminant qui est multiplié par ce facteur,
cette variable disparaîtrait de l'équation.
Pour satisfaire aux égalités (i i), (i4) et (i6), sans que cette cir-
constance se produise, il faut prendre
mi = nii = pi = p2 — o.
Comme, en outre, les coefficients f\ et 7*2 sont nécessairement
difl^érents de zéro, puisque, s'il n'en était pas ainsi, ai et aa disparaî-
traient des équations (ai) et (a^), on pourra les prendre égaux à i .
En résumé, réquation représentée sera quadratique lorsque
à ai et 7.2 correspondront les systèmes de droites parallèles
(a,) nxX-^q^y-{-s^-^aLx = o,
(aj) n^x^q^y -\-Si-\-OLi = o,
et à as le système de cercles
Remarquons que les centres de ces cercles, dont les coordonnées
sont données par les équations
20: -+- m3 «3 H- /i3 = o,
^y -^ Pi 2^3 4- 73 = o,
I .
THÉORIE GÉNÉRALE. OÊVKLOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4^5
se trouvent sur la droite
L'enveloppe de ces cercles est la conique
à laquelle ils sont bitangents, ce qui montre que la droite précé-
dente est un axe de cette conique.
168. Formation des fonctions composantes pour une équa-
tion quadratique donnée. — On peut se demander si inverse-
ment toute équation quadratique en ai, a2, as, telle que
( A,aî-f- A,a|-h A3a|-i-2B,a,a3-»-2B,a3a,H-2B3aia,
( H-aCiai-H'2C,aj-+-2C3a3-h D =0
est susceptible d'être ainsi représentée.
Pour nous en rendre compte, éliminons ai et a2 entre les équa-
tions (ai), (a.j) et Q, et cherchons s'il est possible de déterminer
pour les coefficients des deux premières des valeurs réelles, telles
que l'équation quadratique en x el y résultante représente un
cercle.
Si l'on tire ai et a2 des équations (ai) et (a2) ci-dessus pour les
porter dans l'équation (Q), on obtient en égalant entre eux les
coefficients des termes en x^ et j^^ de l'équation obtenue, et annu-
lant celui du terme en xy, les équations
A| nf -4- Aj /i| -h 2 B3 ni /ij = Al ^ î -4- Al ^ I -4- 2 B3 ç j ^ j ,
Xiniqi-\- Atntqi-hBiiniqi-^ ntçi) = o.
De la seconde, on tire
Ai/ii -+- BsAij
^» - - ^i ATTi^vB^r
Partant, dans la précédente, on trouve, après réduction,
t _ (AaAii-t-Bani)»
^'-- AiA,-B| •
Le numérateur de cette fraction étant positif, on voit que la
réalité de qt exige
(17) AiA,-B5>o.
M. D'O. 3o
466 CHAPITRE Yl.
Comme on peut permuter entre eux les indices affectés aux
trois variables, on voit que la condition de réalité peut s'exprimer
ainsi :
Si, dans l'équation (Q), les variables a,, aj et a, sont con-
sidérées comme les coordonnées courantes d'un point de l'es-
pace, il faut que la section, par l'un des plans de coordonnées,
de la quadrique définie par cette équation soit du genre ellip-
tique (*).
Supposant la condition remplie, on a
et, par suite,
(«9) 5^1 = hP
v/À,A,-B|
Le choix de /i| et n^ est libre, à cette seule réserve près qu'on
ne saurait prendre à la fois /i, r= /i2=: o, parce qu'alors, q^ et ^2
étant nuls aussi, les deux faisceaux de droites (ai) et (a2) seraient
tout entiers rejetés à l'infini.
Quanta s^ et 52, qui n'entrent pas dans les équations de con-
dition, on peut les choisir arbitrairement. Nous prendrons
5j ^^ 5j r^ o.
Dès lors, nx et n<i étant quelconques mais non nuls à la fois,
q^ elq^ ayant les valeurs (18) et (19), et l'inégalité de condition (1 7)
étant satisfaite, on pourra représenter l'équation (Q) au mojen
d'un abaque constitué par les systèmes de droites
(a,) riix -hqiy-hOLir=Oy
(22) n^x-h Çiy -+■ a,^ o,
(') Ce résultat comporte l'interprétation géonnélriqiie fort simple que voici, et
qui nous a été communiquée par M. Duporcq : si, par exemple, le plan ;5 = o
donne une section elliptique, considérons le cylindre ayant cette section pour
base et ses génératrices parallèles in Oz. Soit P un plan de section circulaire de
ce cylindre. L'abaque n'est autre que la projection cylindrique, parallèlement à
0-,de la quadrique sur le plan P. La conique enveloppe est le contour apparent
de la quadrique.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4^7
et le système de cercles
(x» -^ j^î ) ( A, n« -T- Aj n| — 2 B3 /i, nO
~ 7. [( B, Al, -f- Bj /Il ) aa -+- Cl ni -f- Cj /Il ] X
- 2[(Bi^j-r- B,(7,)a3-i-Gi^,H- Ciqi]y
-7- AsaJ -+- '^Cjaa-h D — o.
Remarque. — Puisque les cercles (as) ont leurs centres en
ligne droite, on doit pouvoir, en prenant celte droite comme axe
des y^ faire en sorte que Téqualion de ces cercles ne contienne
pas de terme en x. Or il semble ne pas pouvoir en être ainsi
dans le cas général, puisque nous venons de voir que /?i et /i2 ne
sauraient être nuls à la fois. Mais cette contradiction n'est qu'ap-
parente; il ne faut pas oublier, en effet, que nous avons pris
5| = 52=o. En rétablissant pour l'un de ces coefficients une
valeur quelconque, on verrait que l'on peut en disposer de façon
à annuler le coefficient du terme en x.
FIN.
INDEX ALPHABÉTIQUE.
Les Dumérot inscrits sont ceox des pages correspondantes.
Les aslérisqaes renvoient aux notes en bas des pages.
»
»
»
Abaque le plus général, 897.
Accouplés (Ab.), 246, 268.
Adler (yl.), 128*, 348.
Allard {E.), 64, 66.
Allix, VI.
Anamorphose, 3o, 5o.
générale, 90.
graphique, 85.
logarithmique, 61, 876.
» polaire, 122.
Annuités (Ab. des), 3o^.
Arpentage des coupes (Ah. de T), i3i.
Aubuisson (rf*), 386.
Ballast (Ab. du volume du), 187, l^i'i.
Bassantin, VI*.
Bazin, 281.
Beghin (yf.), 869*.
Beghin {M.)t 208, 204, 206, 242, 244-
Belhague (Lieutenant), 49*^
Bellencontrej VI.
Bertrand (Commandant), 49*» i59,
160.
Bertrand (/.), 17*.
Billeter, 36o*.
Bluniy 69, 278.
Bossut, 334.
Boucher, 359*.
Boussinesçj 3i5.
Boys (C.-V.), 209*.
Brauer (E.-A.), 335*.
Buache {Ph.), VI.
Cartésiens (Ab.), 24, 32, 4o8, 4^5.
Cercles entrecroisés (Ab. à), ii3, 460.
Chancely 4o*t 3oo, 807, 4»2-
Chenevier, t\'i* .
Chéry (Général), 60.
Collignon (£".), 57, 62*, 116*, 327.
Composantes (Fonctions), t\i%.
Composition des échelles, 157.
Consommation des machines à vapeur
(Ab. de la), 207.
Contact d'éléments, 891.
Correction barométrique (Ab. de la),*
178.
Correction des mires (Ab. de la), 870,
398.
Corrections dynamiques de niveau ( Ab.
des), 79, 249*.
Cousineryy V*.
Cotes (Disposition des), 92.
Crépin^ 56.
Cubiques cuspidales (Construction des),
190.
Dariès (C), 249*.
Davaine, VII, 267, 277*.
Débit d'une rivière (Ab. du), 58.
Déblais (Calcul des), 256.
Delocre, 45.
Demoulin {A.), t^'ii.
Dépression de l'horizon ( Ab. de la),
>9-
Derivry^ 860*.
Descartes j VI.
Déviation du compas (Ab. de la), 858.
470
INDEX ALPHABÉTIQUE.
»
»
»
Disjonction des variables, 98.
Distance sphérique (Ab. de la), 337.
Distributions d*eau (Ab. des), 159,
249*.
Double alignement (Ab. à), ai3, 897.
Doubles enveloppes (Droites à) 34 11
4ii.
Droites à deux cotes, 39^.
Droites entrecroisées (Ab. à), 100.
Ducarla, VI.
Dupain-Triely VI.
Duplaix {M.) y 3o4*.
Duporcq (£*.), IX, 4^7» 46t>*.
Durand {F.-W.), 62*.
Durand'Claye (/..), 359*.
Dyck {W.)y 3«5*.
Ecarts (Nombre probable des), 17, 20,
25, 27, 28, 29.
Echelle binaire, 297.
centrale, additionnelle, 281.
de repérage, 369.
dérivée, i3.
» isograde, 16.
» linéaire, 14.
» logarithmique, 9.
•> mobile, 28, 36, 357, 4o5.
» multiple, 35i.
'» normale, 1.
régulière, 9.
» scgmcntaire, 12.
>' tournante, 368. _
'> transformée, i^.
Echelles accolées (Ab. à), 17, 4o4.
^> binaires accolées (Ab. à ), 3oo,
4 10.
(Composition des), 157.
( Construction géométrique
des), 7.
» (Inversion des), 19.
Écoulement de l'eau (Ab. de 1'), 23 1.
» des gaz (Ab. de T), 224.
Eléments à n cotes, 35i.
Élimination graphique, 3oo*, 3o3.
Entrée (Ab. d'), 262.
Épaisseur des lentilles (Ab. de I'), i85.
Equation de Kepler (Ab. de T), 198.
^> du second degré, i83.
» du troisième degré, 43» 187,
333, 343, 340, 35o, 389,4^2,
4i
Équation du quatrième degré, 336, 347 ^
35o, 389.
») du cinquième degré, 34», 889.
** trinôme à exposants quel-
conques, 366, 387.
» quadratique, 4^0.
Équerre (Ab. à), 287, 289, 291, 346,
409.
Erreur de réfraction (Ab. de 1'), 317.
Erreur probable d'une nivelée (Ab. de
F), 28.
Étalon de graduation, i3.
Everett, 36o*.
Favaro {A.), VI*, 88, 274*, 36o*.
Favé {L.)^ 19, 25o, 252.
Flamant, ib^.
Fractionnement des abaques à points
alignés, i4o, i5o.
Fractionnement des abaques hexago-
naux, 76.
'•'3.
Fractionnement des échelles binaires,
298.
Frank (-4.), 36 1.
Fresnel, 253.
Frochotf 43.
Fruit des murs de soutènement (Ab.
du), 109, 198.
Futler {G.), 36o*.
Fuiler (y.), 359*.
GanguiUet (£".), 821*.
Garielj 55*.
Gaud (F.), 22/i.
Gauss, 195*, 884.
Gêna il le, 49-
Glissenicnl (Ab. à), 82, 317.
Goedsee/s (Capitaine), VIII, i54, i55,
235, 207, !ï39, 541, 823*, 4«4> 4»?-
Gorrieri (/>.), 60*, 191, 192.
Goulier (Colonel), 62*, 241*.
Graduation (Analyse d'une ), 3.
Grison (Capitaine), 3i.
Gunter, 1*, lo*, 358*.
Heddacus, 849*.
Ilelmerty 62*.
Ilermann {G.), 62*.
Heures de lever et de coucher du Soleil
(Ab. des), 56.
Hexagonaux (Ab.), 70, 379, 408, 412.
Homographique (Transformation), io3,
', '99-
INDEX ALPHABÉTIQUE.
471
Images logarithmiques (Ab. à), 385.
» de polynômes,
38i.
Indépendants (Ab.)» ^46^ Q7/1.
Intérôls composés (Ab. des), 3i3, 325.
Interpolation à vue, 8, 91, 99.
Inversion des échelles, 19.
Isopléthc, 33, 91*.
Isoplèthes (Points), VIII, i33*, 32o*.
Jauge des yachts français (Ab. de la),
3o5, ^12.
Jean^François (Père), II*.
John^ 358*.
Jomard, 358*.
Jouffret (Commandant), 21.
Kapteyn (>!.), 6a*.
Kelvin (Lord), 25o.
Kepler, 193, 195*.
Kœnigs (C), 4»? 43 1-
Kutter {W.-R.). ^21*.
Labosne, 358*.
Lafay (Capitaine), i37, i38, 180, 181,
206, 207, 253*, 254, 256, 372, 373,
374.
Lalanne {Léon)^ VII, 3i, 33, 36, 43, 5i,
61, 62, 87, 91*, 99, 100, 123*, 261,
277.
Lallemand ( Ch.), VII, i8, 21, 23*, 70,
74, 78, 81, 82, 85, 87, 88, 187*, 279,
281, 297, 3oo*, 3 10, 320, 352, 353, 356,
369, 370.
Lanave, 273.
Langensheld (Colonel), 206*.
Leadbetter, 358*.
Lecornu, 424*
Lenoir, 358*.
Lentilles sphériques (Ab. des), 54, 177.
Levers tachéométriques (Ab. des), 239.
Lévy {Maurice) y 249*.
Lignes à deux cotes, 395.
Logarithmiques d'addition et de sous-
traction (Courbes), 384.
Lumière diffusée (Ab. de la), 372, 398.
Lyon {G.), 228*.
Mac-Mahon (Major P. -A,), !\02.
Mandl ( Lieutenant /. ), 222.
Mannheini (Colonel), 36o*.
Marches de troupes en colonnes (Ab.
des), i53.
Marey, 38.
Massai^, VII, 90, 93*, 100, loi, iio,
III*, 269, 271, 3oi*, 346, 422, 426.
Maurer, i23*.
Mehmke (/?.), VIII, 62, i23*, 181*,
320*. 348, 35o, 376, 377, 383, 387.
Milburne, 36o*.
Miroirs sphériques (Ab. des), 54, 177.
Mobius, 181.
Moments d'inertie des rectangles (Ab.
des), i53.
Multiplicateurs correspondants, 39.
Multiplication (Ab. de), 37, 42, 56, 62,
78, i5i, 168, 171.
Murs de soutènement (Ab. des)^ ii5,
118, 243.
Muyden {A. Van), 62*.
Nivellement barométrique (Ab. dii),
228.
Obenlieim {d'), VI.
Oughtred, 359*.
Paladini (^. ), 345.
Parallèles (Ab. à), 52.
Parallèles mobiles (Ab. à), 2)1, i\iZ.
Partridge {Seth), 358*.
Paulin {H.), 268*, 272, 359.
Péraux, 358*.
Perrodil {Gros de), 358*.
Pesci (G.), 119, 120, 121*, 228*, 320*,
345.
Pillet (/.), 192.
Piobert, VI.
Plans superposés (Ab. à), 393, 397.
Poids de la vapeur d'eau (Ab. du), 4^^
406.
Point à la mer, 25o.
Points à deux cotes, 295, 32o.
Points alignés (Ab. à), i23, 282, 286,
289, 4o8, 4'i? 436.
Points condensés, 296, 324.
Polaires (Ab. ), 119,407.
Portées lumineuses (Ab. des), 63.
Pouchet, VI, 36, 37.
Poulain (Père), 62*,34i, 4i3.
Poussée des terres (Ab. de la), 3i5.
Poutres chargées ( Ab. des), 49» ^o, 192,
221.
Prévôt {E.)y 12*, i53*, 228, 229, 297*,
3o5, 3i2, 3i4.
Prime des porte-mires (Ab. de la),
3oi.
472
INDEX ALPHABÉTIQUE.
Profilométre, 391» 4"9'
Quadrangle limilef i35.
Quadrilatère limite, 106.
Quiquet (>4.)i i3i*.
Radau \R.), 5i*.
Radiantes (Ab. à), 4^, 55.
Râteau f 207, 209, 210, 21 3.
Réflexion vitrée (Ab. de la), 253.
Règles à un tiroir, 357, 4^8, 4ii*
Régies à plusieurs tiroirs, 36o.
RegnauU F.), 46, 48.
Remblais (Calcul des), 256.
Remous d'une rivière ( Calcul du), 334*
Renard (CA.), 3oo*, 317.
Renvoi (Ab. de), 262.
Repère (Transversale à), 237.
Ricci (Capitaine), 5i.
Ricour (Capitaine), 117*.
Rollet de l'/sle, 25o, lîi.
Rouie, 274.
Saint-Robert (O- P. rfc), 4i8.
Salmon, 189.
Saussure {R. de), 62*.
Scherer, 36o*.
Schwering (A".), 126*.
Siégler, 237*, 288, 291, 409.
Superposés (Ab. ), 246, 267, 377.
Superposition des graduations, 38, 43i.
Supports des points cotés, \'î\.
Switkowski, 2()8*, 271.
Systèmes à simple translation, 357.
» à double translation, 364-
>» de courbes, 91.
•) de droites, 93, 9'|.
»> de points, i4i, i43.
» linéaires de points alignés,
436.
Tangenticls ( Ab.), 127, 292, 876, 408.
Tavernier-Gravet, u*, 358*, 359*.
Ter que m, VI, Z\,
Terrier {P.), 38, 27'^*.
»
»
Thacker, 36o».
Théry, i3i.
Tir (Ab. de), 5i, 206.
Torres (£.), 366, 384*.
Toulon, 294, 359.
Towson, 25o.
Traction d'une locomotive ( Règle à
calcul pour la), 36i.
Trajectoires des contacts, 344*
Transparent à un index, i25.
à deux index, 26, 35, 4o4*
à trois index, 68.
Transversale circulaire (Ab. à), 234-
Transversale quelconque (Ab. à), 287,
288, 828*, 414.
Triangles rectilignes (Ab. des), 809.
» sphériques quelconques (Ab.
des), 827, 329.
« sphériques rectangles (Ab.
des), 249.
Trigonométriques (Ab. ), 22, 85, lai,
179» 181.
Trois dimensions ( Ab. à), 348, 36o*.
Types d'abaques pour un nombre donné
de variables, 899.
» » pour deux variables,
4o3.
pour trois variables,
4o5.
» pour quatre variables.
409.
» d'équations répondant aux prin-
I cipaux types d'abaques, ^ib.
Vaes (F.'J.). 3oi*, 36i, 862.
Vandervin (//.), 59, 60.
Viaris (M" de), 358».
Vitesse d'un train (Ab. de la), 208.
Vogler, 33, 62*, 91*,
Willotte, 292, 298*, 294, 4o8.
Wingate, 358*.
Yachts français (Jauge des), 3o5, 412.
TABLE DES MATIÈRES.
Page»
Introduction v
Liste des Publications de Fauteur relatives à la Nomographie x
CHAPITRE I.
Équations à deux variables.
I. — Échelles de fonctions.
1 . Échelle normale d'une fonction i
2. Analyse de la graduation 3
3. Construction géométrique d'une échelle ^
4 . Interpolation à vue 8
5. Échelles usuelles 9
1** Échelle régulière g
2* » logarithmique g
3* » segmentaire 12
6. Échelles dérivées. Étalons de graduation i3
7. >♦ transformées. Échelle linéaire générale i4
8. » isogrades 16
IL — Abaques d'équations a deux variables.
9. Abaques à échelles accolées 17
Exemples : i* Abaque du nombre probable des écarts 17
a* Abaque de la dépression de l'horizon 19
10. Inversion des échelles 19
11 . Abaques à deux échelles irrégulières. Échelles logarithmiques 21
Exemple : Abaque auxiliaire pour le calcul de l'erreur probable d'une
nivelée a3
12 . Abaques cartésiens à deux variables 24
13 . Emploi d'un transparent 26
1 4 . Emploi d'une échelle mobile 28
15. Anamorphose 3o
474 TABLE DBS MATIÈRES.
CHAPITRE II.
Équations à trois variables. Abaques à entrecroisement.
I. — Abaques cartésiens.
Par«s
16. Abaques cartésiens à trois variables Sa
17. Rattachement aux abaques à échelles accolées 'i^
18. Kmploi d*un transparent ou d'une échelle mobile 35
19. Exemples 36
Premier type d'abaque de multiplication 87
20. Superposition des graduations 38
21. Multiplicateurs correspondants 39
22. Abaques à lignes droites 4>
23. Exemples:
1" Second type d'abaque de multiplication 4^
a* Abaque de Lalanne pour l'équation trinôme du 3* degré 4^
3*' Abaque du poids de la vapeur d'eau contenue dans l'air 4^
4° Graphiques de l'ingénieur 49
II. — Anamorphose.
24. Principe Se
25. Exemple : Abaque de tir 5i
26. Abaques à parallèles Sa
Exemple : Abaque des miroirs et lentilles sphériques 54
27. Abaques à radiantes 55
Exemples : 1° Troisième type d'abaque de multiplication 56
*" Abaque des heures de lever et de coucher du Soleil. ... 56
3* « des débits d'une rivière 58
4° »> des poutres chargées 60
28. Anamorphose logarithmique 6i
29. Exemples :
I* Quatrième type d'abaque de multiplication 62
2" Abaque de l'équation des portées lumineuses 63
III. — Emploi d'un transparent a trois index. Abaques hexagonaux.
Anamorphose graphique.
30. Desiderata à réaliser dans la lecture d'un abaque 67
31 . Transparent à trois index : 68
32. Principe des abaques hexagonaux 70
33. Forme géométrique élémentaire (iii principe précédent 73
34. Déplacement des échelles 74
35. Fraclionneincnt des échelles 76
36. Exemples :
1° Cinquième type d'abaque de multiplication 78
>" Abaque des corrections dynamiques de niveau 79
37. Juxtaposition d'abaques hexagonaux. Abaques à glissement 82
TABLE DES MATIÈRES. 4?^
Pagct
38. Exemple : Abaque des sinus et des tangentes 85
39. Définition de l'anamorphose graphique 85
40. Exemple 88
IV. — Anamorphose générale.
41 . Principe 90
42. Systèmes de courbes cotées 91
43. Disposition des cotes d'un système 92
44 . Systèmes de droites du premier degré 93
45. Systèmes de droites du second degré 9^
46. Abaque général à trois systèmes de courbes cotées . . 97
47. Abaque à trois systèmes de droites enlrecroisérs 100
48. Type d'équations rentrant dans la classe précédente 10 1
40. Transformation homographique d'un abaque à droites entrecroisées . . . io3
50. Quadrilatère limite *. 106
51 . Exemple : Abaque du fruit intérieur des murs de soutènement 109
52. Abaques à cercles entrecroisés 1 13
53. Exemple : Abaque des murs de soutènement pour des terres profilées
suivant leur talus naturel 1 15
54. Emploi des coordonnées polaires 117
55. Abaques polaires 119
CHAPITRE III.
Suite des équations à trois variables. Abaques à alignement.
I. — Abaques généraux a points alignés.
56. Principe des points alignés i23
57. Emploi des coordonnées parallèles i25
58. Abaques tangentiels généraux 1 27
59. Transformation géométrique d'un abaque à droites entrecroisées en un
abaque à points alignés 129
60. Construction directe des abaques à points alignés i32
61 . Emploi des coordonnées cartésiennes i34
62. Transformation homographique des abaques à points alignés. Qua-
drangle limite i35
63. Fractionnement des abaques à points alignés i4o
64. Systèmes algébriques de points cotés i4i
65. Système particulier du second degré i43
II. — Abaques a trois échelles rectilignes.
A. — Abaques à trois échelles parallèles,
66. Type des équations correspondantes . i44
67. Disposition et limitation des échelles \t\-j
47^ TABLE DES MATIÈRES.
Pares
68. Fraclionneraent des échelles i5o
69. Exemples :
i** Sixième type d'abaque de multiplication i5i
^** Abaque des moments d'inertie des rectangles i53
3" Abaque des marches de troupes en colonnes i53
70. Composition des échelles 167
71 . Exemple : Abaque des distributions d'eau iSg
B. - Abaques à deux écf telles parallèles,
72. Type des équations correspondantes i6i
73. Disposition des échelles 164
74. Exemples:
I'» S«^ptième type d'abaque de multiplication 168
1" Huitième type d'abaque de multiplication 171
3«* Abaque de la correction barométrique 173
C. — Abaques à échelles non parallèles.
75 . Échelles concourantes 1 76
76. Exemples 177
77. Échelles non concourantes 180
III. Abaques a échelles curvilignes.
A. Abaques à deux échelles rectilignes parallèles et une échelle curviligne.
78. Type dos éciualions correspondantes 182
79. Premirr exemple : Abaque de l'équation du second degré i83
80. Cas particuliers divers :
I" Épaisseur des lentilles plan-convexes i85
^2" V^olumc du ballast 187
81. Second exemple : Abaque de l'équation trinôme du troisième degré.... 187
82. Cas particuliers divers 192
83. Troisième exemple : Abaque de l'équation de Kepler 193
B. Abaques à trois échelles curvilignes.
84. Second abaque du fruit intérieur des murs de soutènement 198
IV. Application de la méthode des points alignés a la représentation
DES LOIS empiriques.
85. Abaque de la vitesse d'un train remorqué par une locomotive de type
connu 2o3
80. Abaque du tir de siège 206
87. Abaque des consommations théoriques d'une machine à vapeur 207
TABLE DES MATIÈRES. 477
V. Abaques dérivés des abaques a points alionés.
A. Abaques à double alignement.
Pages
88. Principe général 21 3
89. Echelles rcctilignes et parallèles ^ 216
90. Exemples :
I** Abaque des poutres uniformémenl chargées '. . . 221
5" Abaque de Técouleraent des gaz par des tuyaux 224
91. Echelles rectilignes non parallèles. Abaque du nivellement baromé-
trique 227
92. Echelles curvilignes 280
93. Exemple :
Abaque de Técoulement de Teau dans les canaux découverts 28 1
B. Abaques à transversales diverses,
94 . Abaques à transversale circulaire 284
95. Abaques à transversale quelconque et repère. Abaques à équerre 287
90. Abaques à transversale quelconque pour équations à quatre variables. . 288
Exemple :
Abaque des levers tachéométriques 289
97. Abaques à parallèles mobiles 241
98. Exemple :
Second abaque des murs de soutènement pour des terres profilées sui-
vant leur talus naturel 248
CHAPITRE IV.
Systèmes de deux équations. Application générale au calcul
des profils de remblai et de déblai.
I. — Généralités.
90. Abaques indépendants, accouplés ou superposés 246
100. Exemples :
i" Abaque des triangles sphcriques rectangles. Point à la mer 249
2" Abaque des formules de Fresnel pour la réflexion vitrée 268
II. — Calcul des profils de remblai et de déblai.
101 . Généralités 2.56
102. Rappel des formules. Distinction des cas sSq
103. Abaques d'entrée et de renvoi 362
104 . Difl'érents types d'abaques 264
105. Abaques superposés à graduations algébriques 267
100. Abaques accouplés 268
107. Abaques indépendants 274
4/8 TABLE DES MATIÈRES.
Pmfeu
1U8. Abaques superposés à graduations logarithmiques 277
1U9. Abaques hexagonaux 379
110. Abaque R à points alignés 383
111. Abaque D à points alignés a86
112. Abaque C à points alignés 289
1 13. Abaque à équerre 291
114. Abaque tangentiel 292
CHAPITRE V.
Équations à plus de trois variables.
I. — Éléments a plusieurs cotes.
A. Droites à deux cotes,
115. Définition des éléments à deux cotes. Points condensés. Échelles bi-
naires 295
110. Fractionnement des échelles binaires 298
1 17. Échelles binaires accolées 3oo
Exemple :
Abaque de la prime des porte-mires du Nivellement général Soi
118. Exemples :
I* Abaque des annuités 3o4
2* Abaque de la formule de jauge de l'Union des Yachts français... 3o5
3" Abaque pour la résolution des triangles rectilignes dont un angle
au moins figure parmi les éléments connus 809
119. Al>a«iucs hexagonaux à échelles binaires 3i »
Exeiii|>Ios :
,0 Premier abacfuc des inlénHs composés 3i3
2° Abaiiuc de la poussée des terres 3i3
1*20. Abaques hexagonaux à glissement 317
E\ciiii)Ic :
Abaque de l'erreur de réfraction dans le nivellement géométrique.. . 317
H. Points à deux cotes.
121 . Points alignés à deux cotes 320
1*22. Premier exemple : Second aba(|ue des intérêts composés 3j5
r23. Dcuxirujc exemple : Abaque de la distanoe sphérique 327
124. Troisième exemple : Vbaquc général de la Trigonométrie sphérique. . . 32<)
125. Quatrième exemple : Abaque de l'équation complète du troisième
degré 333
120. Cincpiièiuc exemple : Ahaipie de l'équation du quatrième degré 33<»
127. Droites à doubles envelop[)cs 341
12^. Trajectoires de cuntaets 34 ^
129. Abaques à équerre pour la résolution des équations complètes du troi-
sième cl du «jualriètne degré 346
130. Abacjues ù trois dimensions 3^8
TABLE DES MATIÈRES. 479
C. Éléments à n cotes.
Paires
131 . Défînition des éléments à n cotes. Échelles multiples 35i
132. Exemple :
Abaque de la déviation du compas 353
II. — Systèmes mobiles.
A. Systèmes divers à translation et à rotation.
133. Systèmes à translation. Règles à un tiroir • 367
134 . Règles à plusieurs tiroirs 36o
Exemple :
Règle à calcul pour la traction d'une locomotive 36i
135. Systèmes à double translation. Résolution des équations trinômes à
exposants quelconques 364
136. Systèmes à rotation. Échelles tournantes 368
137. Exemple :
Abaque de la correction des mires 370
138. Abaque de la lumière diffusée 37Q
B. Abaques à images logarithmiques.
139. Nouvel usage de l'anamorphose logarithmique 376
140. Images logarithmiques de polynômes 38i
141 . Principe des abaques à images logarithmiques 385
142. Exemples :
1** Équations trinômes de degré quelconque 387
2'* Équations complètes des degrés 3, 4 et 5 389
4
CHAPITRE YI.
Théorie générale. Développements analytiques.
I. — Étude générale des abaques au point de vue de leur structure.
143. But de cette étude 390
144 . La notion de contact 391
145. Abaques à deux plans superposés 393
146. Abaques à plusieurs plans superposés 397
147. T^pes d'abaques correspondant à un nombre donné de variables 399
148. Équations à deux variables 4o3
149. Equations à trois variables 4o5
0
150. Equations à quatre variables 4<^9
II. — Étude des équations représentables au moyen d'un type
d'abaque donné.
A. Caractères différentiels et fonctionnels.
151 . Types d'équations répondant aux principaux types d'abaques 4'^
152. Équations du type (I) 4*^
48o TABLE DES MATIÈRES.
I>ag«i
153. Équations du type (II) 4^4
154. Équations du type (III) 4^
155. Équations rcprésentables par des abaques à graduations superposées . . 4^>
B. Théorie algébrique des équations représentables par trois systèmes
linéaires de points alignés.
156. But d'une telle étude 4^6
157. Formules et remarques préliminaires 4^7
158. Formation des fonctions composantes dans le cas de trois systèmes non
concourants 44^
159. Discussion 44^
160. Formation des fonctions composantes dans le cas de trois systèmes
concourants . 44^
161 . Discussion 44?
162. Passage aux échelles régulières dans le cas de trois systèmes non con-
courants 45o
163. Discussion 4^^
164. Passage aux échelles régulières dans le cas de trois systèmes concou-
rants 455
165 . Discussion 4^7
166. Résumé général 4^9
C. Représentation des équations quadratiques au moyen de droites
et de cercles entrecroisés,
167. Conditions requises 4^
168. Formation des fonctions composantes pour une équation quadratique
donnée 4^5
Index alphabétique 4^
FIN DK LA TABLE DES MATIERES.
tm\l Paris. - Impriinorie GAUTlilEK-YILLAUS, quai des Grands-Augustins, 5à.
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Auto-Imp. L- Courtier^ 43, rue de Dunkarqua, Paria
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